අනුකලනය (integration) - 1

හැඳින්වීම

අනුකලනය (integration හෝ integral calculus) යනු කලනයේ (calculus) ප්‍රධාන කොටස් දෙකෙන් එකකි. කලනයේ අනෙක් ප්‍රධාන කොටස අවකලනය (differentiation) වන අතර, මෙම පාඩම් මාලාව කියවීමට පෙර අවකලනය ගැන හොඳ දැනුමක් ලබාගෙන සිටීමට අවශ්‍යයි මොකද මා අනුකලනය ගැන කියා දෙන්නේ අවකලනය මත පදනම්වයි.

අනුකලනයද ගණිත කර්මයකි. එකතු කිරීම හා අඩු කිරීම එකිනෙකට විරුද්ධ ගණිත කර්ම දෙක වන්නා සේම, අනුකලනය හා අවකලනයද එකිනෙකට විරුද්ධ හෙවත් විලෝම ගණිත කර්ම දෙක වේ. අනුකලනයද ක්‍රියා කරන්නේ ශ්‍රිත (function) මතයි. අවකලනයේදී සිදු කළේ යම් ශ්‍රිතයක ස්වායත්ත විචල්‍යය වෙනස් කරන විට, එහි පරායත්ත විචල්‍යය වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව සෙවීමයි (ස්වායත්ත විචල්‍ය කිහිපයක් ඇති විට පාර්ශ්විය අවකලනය සිදු කරන හැටිද අවකලනය නම් පාඩම් මාලාවේදී අප ඉගෙන ගත්තා). තවත් නිවැරදිව කියතොත්, අවකලනයෙන් සිදු කළේ ක්ෂණික වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව (instantaneous rate of change) සෙවීමයි. රූපමය හෙවත් ප්‍රාස්ථාරිකව කියතොත් අවකලනය යනු ප්‍රස්ථාර වක්‍රයේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයකදී බෑවුම/ස්පර්ශකය සෙවීමයි. මෙම වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව හෙවත් බෑවුම අපට අවකලනයේදී ලැබෙන්නේ ශ්‍රිතයක් ආකාරයෙන් බවද ඔබ දැන් දන්නවා. එවිට, අනුකලනයෙන් කරන්නේ කුමක්ද?

යම් ශ්‍රිතයක වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව දන්නේ නම් එම වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව අයිති ශ්‍රිතය කුමක්දැයි අනුකලනයෙන් දැන ගත හැකියි.

උදාහරණයක් ලෙස, 2x යනු යම් ශ්‍රිතයක වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව නම්, x² යනු එම ශ්‍රිතය බව අනුකලනයෙන් සොයා ගත හැකියි. ඉහත අනුකලනයෙන් ලැබුණු පිළිතුර සත්‍ය බව ඔබට පහසුවෙන් දැනගත හැකියි x² ශ්‍රිතය නැවත අවකලනය කළොත්. එවිට, dx²/dx = 2x වේ. ඒ කියන්නේ වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව 2x ලෙස ලැබී තිබෙනවා.

ඉහත කාරණය (එනම්, යම් ශ්‍රිතයක වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව දන්නේ නම්, එම වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව සහිත ශ්‍රිතය අනුකලනයෙන් ලැබෙන බව) රූපයක් ආශ්‍රයෙන්ද විමසා බලමු. පහත දැක්වෙන්නේ x² නම් ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයයි. එම ප්‍රස්ථාර වක්‍රය මත ලක්ෂ්‍ය කිහිපයක් තෝරාගෙන එම ලක්ෂ්‍යවල ස්පර්ශක (එනම් අවකලන) ඇඳ ඇත.

 

ඉහත ප්‍රස්ථාරය හොඳින් බලන්න. එහි ස්පර්ශක ටික ළඟින් ළඟින් ඇන්ද විට ඉබේම යම් වක්‍රයක් ලැබෙනවා නේද? ඇඳීමේ පහසුව හා බලා තේරුම් ගැනීමේ පහසුව තකා මා ස්පර්ශක කිහිපයක් පමණි ඇඳ තිබෙන්නේ. එහෙත් සෛද්ධාන්තිකව ප්‍රස්ථාර වක්‍රයේ සෑම ලක්ෂ්‍යයකම එවැනි ස්පර්ශක ඇඳිය යුතුය (එවිට ස්පර්ශක අනන්ත ගණනක් ඇඳීමට සිදු වේ). එලෙස ඉතාම ළඟින් ළඟින් ස්පර්ශක ඇන්දොත් අපට ලැබෙන්නේ ඉතාම නිවැරදි ප්‍රස්ථාර වක්‍රයකි. ඉන්පසු එම වක්‍රයට හිමිකම් කියන ශ්‍රිතය කුමක්දැයි හඳුනාගත හැකියි (අප දැන් සලකා බැලූ උදාහරණයේදී, එම ශ්‍රිතය x² වේ). එය තමයි අනුකලනය මඟින් ලැබෙන ප්‍රතිපලය.

ඉහත හපන්කම අපට සිදු කළ හැක්කේ වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව ශ්‍රිතයක් විදියට ලබා දී තිබෙන නිසාය. එවිට සෑම ලක්ෂ්‍යයකටම ස්පර්ශක ඇඳිය හැකියි x සඳහා විවිධ අගයන් ආදේශ කරමින්. උදාහරණයක් ලෙස 2x යන්න ශ්‍රිතය නැවත සලකමු. ඉතිං එහි x වලට …, -2, -1, 0, 1, 2, … ආදී ලෙස විවිධ අගයන් ආදේශ කරමින් ස්පර්ශක ඕනෑම ගණනක් ඇඳිය හැකියි. එහෙත් එලෙස ස්පර්ශක දහස් ගණනක් ඇඳීම ප්‍රායෝගික නැත. එනිසා ප්‍රායෝගිකව, ස්පර්ශක ඇඳ එමඟින් යම් ප්‍රස්ථාර වක්‍රයක් ලබා ගෙන, ඉන්පසු ඊට සරිලන ශ්‍රිතයක් අර්ථ දක්වීම සිදු කරන්නට යන්නේ නැත. ඊට වඩා ඉතාම පහසුවෙන් දී ඇති ශ්‍රිතය මත අනුකලනය නම් ගණිත කර්මය කළ විට, ඉබේම ලැබෙන්නේ අපට අවශ්‍ය ප්‍රතිපලයයි.

අනිශ්චිත අනුකලනය

දැන් ඔබට අනුකලනයෙන් සිදු වන්නේ කුමක්ද යන දැනුම ඇත. අනුකලනය ගණිත කර්මයට ආවේණික වචන හා සංඛේතද ඇත. යම් දී ඇති ශ්‍රිතයක් මත අනුකලනය කරන විට, අවකලනයේදී මෙන්ම එම ශ්‍රිතයේ ඇති ස්වායත්ත විචල්‍යයට සාපේක්ෂවයි අනුකලනය කළ යුත්තේ. උදාහරණයක් ලෙස 2x ශ්‍රිතයේ අනුකලනය පහත ආකාරයටයි ලියා දක්වන්නේ.

F(x) = ∫ 2x dx

ඉහත ප්‍රකාශය ශබ්ද කරන්නේ "x විෂයට සාපෙක්ෂව 2x ශ්‍රිතය අනුකලනය කරන්න" (integrate 2x with respect to x) කියාය. හැමවිටම විෂය ඉහත දක්වා ඇති ලෙසම d අකුරකට පසුව අවසානයේ යෙදිය යුතුය. එහි ∫ යන සංඛේතයෙන් අනුකලන ගණිත කර්මය හැඟවේ. මෙම සලකුණ අනුකලන සලකුණ (integral sign/symbol) ලෙස හැඳින්වෙනවා. මතකද අවකලනයේදී d ( )/dx වැනි සංඛේත ක්‍රමයක් යොදා ගත්තා? ∫ යන්න සාදා ගෙන තිබෙන්නේ ඉංග්‍රිසි S අකුර ඇදීමෙනි. ඊට හේතුව මොහොතකින් ඔබට වැටහේවි. මෙම සලකුණ හැමවිටම අනුකලනය කරන ශ්‍රිතයේ ඉදිරියෙන්ම ලිවිය යුතුය.

යම් ශ්‍රිතයක් අවකලනය කළ විට ලැබෙන්නේ ව්‍යුත්පන්නයයි (derivative). එලෙසම යම් ශ්‍රිතයක් අනුකලනය කළ විට ලැබෙන්නේ ප්‍රති-ව්‍යුත්පන්නයයි (anti-derivative). ඒ අනුව F(x) මඟින් ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නය නිරූපණය කෙරේ.

මෙතෙක් ඔබ භාවිතා කළ වචන වෙනුවට මෙම නව වචන යොදාගෙන අනුකලනය අධ්‍යනය කළ යුතුය. එනම්, වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව අනුකලනය කළ විට, ඉන් එම සීඝ්‍රතාවට අයිති ශ්‍රිතය ලැබේ යැයි කියනවා වෙනුවට, යම් ශ්‍රිතයක් අනුකලනය කර ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නය සොයනවා යැයි කියමු.

ඇත්තටම ඉහත අනුකලන ප්‍රකාශනය සුලු කළ විට x² යන ශ්‍රිතය ලැබේ. එය පහත ආකාරයට ලිවිය හැකියි.

∫ 2x dx = x²

අනුකලනයේදී සුලු ගැටලුකාරි තත්වයක්ද ඇත. පළමුව ඒ ගැන සොයා බලමු. x², x² + 3, x² + c යන ශ්‍රිත තුන වෙන වෙනම අවකලනය කරන්න (c යනු ඕනෑම නියත පදයකි). එවිට,

d (x²)/dx = 2x

d (x²+3)/dx = 2x + 0 = 2x

d (x²+c)/dx = 2x + 0 = 2x

ඉහත ශ්‍රිත තුන සඳහාම ලැබුණේ එකම අවකලන ප්‍රතිපලය නේද? එහි පුදුම වන්නට දෙයක් නැහැ මොකද ඕනෑම නියත පදයක අවකලනය ශූන්‍යයි. එහෙත් ගැටලුව මතු වන්නේ 2x අනුකලන කරන විටයි. 2x නම් වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාවේ අයිතිකාර ශ්‍රිතය කුමක්ද? එය x² ද? x²+3 ද? x²+230 ද? ඇත්තෙන්ම අපට නිශ්චිතවම එය ප්‍රකාශ කළ නොහැකියි. x² කොටස අනිවාර්යෙන්ම තිබෙන බව පමණක් නිශ්චිතවම කිව හැකියි. එහෙත් ඊට අමතරව යම් නියත පදයක් තිබිය හැකියි; නොතිබියත් හැකියි. ඒ ගැන නිශ්චිත අදහසක් අපට කිව නොහැකියි. එනිසා යම් ශ්‍රිතයක් අනුකලනය කරන විට, අප විසින් යම් නියත පදයක්ද එකතු කළ යුතු වෙනවා මෙම ගැටලුව සමථයකට පත් කිරීමට නම්. එවිට සත්‍ය ලෙසම අප අනුකලන ප්‍රකාශයක් ලිවිය යුත්තේ පහත ආකාරයටයි.

∫ 2x dx = x² + c

c යනු ඕනෑම නියත පදයකි (ඔබට කැමති නම් c වෙනුවට k හෝ t හෝ වෙනත් ඕනෑම අකුරක් යෙදිය හැකියි; අකුරෙහි නොවේ වැදගත්කම තිබෙන්නේ).

ලැබෙන පිළිතුර හරියටම නිශ්චිත නැහැ නේද? එය හරියටම නිශ්චිත වන්නේ c හි නියම අගය කුමන හෝ ක්‍රමයකින් දැනගත හැකි නම් පමණි. ඇත්තටම එම c අගය අනුකලනය තුලින්ම දැනගැනීමට බැරිය (එය දැනගැනීමට වෙනත් ක්‍රමයක් අනුගමනය කිරීමට සිදු වෙනවා; ඒ ගැන පසුව බලමු). එනිසා අනිවාර්යෙන්ම හැමවිටම වාගේ අවිනිශ්චිත පිළිතුරක් තමයි අපට ලැබෙන්නේ. එනිසාම මෙම අනුකලනයට අනිශ්චිත හෙවත් අවිනිශ්චිත අනුකලනය (indefinite integration) කියා කියනවා. පසුවට අප ඉගෙන ගන්නවා c අගය නැතිව අනුකලන ප්‍රතිපලයක් ලබා ගන්නා හැටි (එය නිශ්චිත අනුකලනය ලෙස හැඳින්වෙනවා). කෙසේ වෙතත් අවිනිශ්චිත අනුකලනය මත තමයි සියලුම අනුකලන ක්‍රම ගොඩනැඟී තිබෙන්නේ.

දැන් බලමු පොදුවේ අනුකලනය සිදු කරන (එනම් සුලු කරන) අයුරු. ඒ සඳහා පහත අනුකලන සාම්‍යයන් (integral identities හෝ integration identities) දැනගත යුතු වෙනවා.

අනුකලන සාම්‍යයන්

1. ∫ a dx = ax + c

ඕනෑම නියත පදයක් යම් විෂයකින් අනුකලනය කරන විට, එම නියත පදය වරක් විෂයෙන් ගුණ කළ, හා ඊට අමතරව සුපුරුදු නියත පදයක් ඊට එකතු කළ ප්‍රතිපලයක් ලැබේ. ඉහත අනුකලනය නිවැරදි දැයි බැලීමට අවශ්‍ය නම් අනුකලන ප්‍රතිපලය එම විෂයෙන්ම අවකලනය කර බලන්න. එවිට,

d (ax + c)/dx = a

වේ. ඒ කියන්නේ ඉහත ප්‍රකාශය නිවැරදියි. උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

∫ 3 dt = 3t + c

∫ 2.52 ds = 2.53s + c

2. ∫ xⁿ dx = [x⁽ⁿ⁺¹⁾/(n+1)] + c

මෙය අවකලනයේදී හමු වූ ජව රීතියේ (power rule) හි විලෝමය බව ඔබට පේනවාද? උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

∫ x⁴ dx = x⁽⁴⁺¹⁾/(4+1) + c = x⁵/5 + c

∫ t³ dt = t⁴/4 + c

∫ s⁴ ds = s⁵/5 + c

මෙම සූත්‍රයෙහි n යන්න -1 විය නොහැකියි. ඊට හේතුව බලාගත හැකියි n ට -1 ආදේශක කර සුලු කරගෙන යන විට. එනම්,

∫ x^-1 dx = x^(-1+1)/-1+1 + c = x⁰/0 +c = 1/0 + c

වේ. එහි හරයේ 0 ඇත. යම් අගයක් බින්දුවෙන් බෙදූ විට පිළිතුර අනන්තය වේ. එනිසා එය අවලංගු අවස්ථාවක් ලෙස සැලකේ.  n = -1 වන විට, මෙම සාම්‍යය වෙනුවට වෙනත් සාම්‍යයක් යෙදිය යුතු වෙනවා. x-1 = 1/x නිසා, මෙවිට යෙදිය යුතු වන්නේ පහත 6 වැනියට දැක්වෙන සාම්‍යයි.

තවද, ඉහත පළමු සාම්‍යයද මෙම රීතිය ආශ්‍රයෙන්ම ලබා ගත හැකියි. එනම්,

∫ a dx = ∫ a.1 dx = ∫ a.x⁰ dx = a.x⁽⁰⁺¹⁾/(0+1) + c = ax + c

3. ∫ cf(x) dx = c ∫ f(x) dx

මින් කියන්නේ යම් ශ්‍රිතයක් යම් නියත පදයකින් ගුණ කර ඇති විට, එම නියත පදය නොසලකා ශ්‍රිතය සාමාන්‍ය ලෙස අනුකලනය කර, එම ලැබෙන ප්‍රතිපලය අර නොසලකා හැරපු නියත පදයෙන් ගුණ කරන්න කියාය. උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

∫ 2x³ dx = 2∫ x³ dx = 2(x⁴/4 + c) = x⁴/2 + 2c = x⁴/2 + c'

ඉහත සුලු කිරීම වෙත අවධානය යොමු කරන්න. එහිදී නියත පදයද 2න් ගුණ කිරීමට සිදු වෙනවා. එහෙත් c යනු දැනටත් අප නිශ්චිතව අගය නොදන්නා නියතයකි. ඉතිං එවැනි අවිනිශ්චිත නියතයක් යම් කිසි අගයකින් ගුණ කළ විට හෝ බෙදූ විට හෝ ඊට අගයක් එකතු හෝ අඩු කළ විට හෝ වෙනත් ඕනෑම ගණිත කර්මයක් සිදු කළ විට හෝ එම පදය තවමත් පවතින්නේ අවිනිශ්චිත ආකාරයෙන්මයි. එනිසා 2c = c' ලෙස මා සංඛේතවත් කර තිබෙනවා. එහෙත් c' යන්න c ට වඩා අඩුවෙන් හෝ වැඩියෙන් නිශ්චිත නැත. එනිසා c කිව්වත් c' කිව්වත් අපට ඉන් වෙනසක් නැත. එනිසා නිකරුණේ මා ඉහත කරපු ආකාරයට අනිශ්චිත නියත පද ගුණ කර අමුතුවෙන් c' ආදී අලුත් නියත පද හඳුන්වා දීමට අවශ්‍ය නැත. එබැවින් c ට මුකුත් නොකරම එලෙසම තබන්න.

∫ 5s⁴ ds = 5∫ s⁴ ds = 5(s⁵/5 + c) = s⁵ + c

4. ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx + c

ශ්‍රිත දෙකක් හෝ කිහිපයක් එකට එකතු කර හෝ අඩු කර තිබෙන විට, එම මුලු සංයුක්ත ශ්‍රිතයම එකට අනුකලනය කරනවා වෙනුවට වෙන වෙනම අනුකලනය කර එකතු හෝ අඩු කළ හැකියි.

මෙහිදීද f(x) වෙනම අනුකලනය කළ විට c1 නියතයක්ද, g(x) වෙනම අනුකලනය කළ විට c2 නියතයක්ද ලැබේ. පෙර තර්ක කරපු විදියටම අනිශ්චිත නියත පද දෙකක් එකතු කළත් නැවත ලැබෙන්නේද අනිශ්චිත නියත පදයක් නිසා, කෙලින්ම තනි c නියත පදයකින් එය දැක්විය හැකියි. උදාහරණයක් බලමු.

∫ (4x³ + 2x - 9x²) dx = ∫ 4x³ dx + ∫ 2x dx - ∫ 9x² dx

= 4∫ x³ dx + 2∫ x dx - 9∫ x² dx = 4(x⁴/4) + 2(x²/2) – 9(x³/3)

= x⁴ + x² – x³/3 + c