අනුකලනය (Integration) - 7

නිශ්චිත අනුකලනය

නිශ්චිත අනුකලනය (definite integral) දැන් ආකාර දෙකකින් පැහැදිලි කළ හැකියි මොකද අනුකලනය ආකාර දෙකකින් අර්ථ දක්වපු නිසා. මොන විදියෙන් අර්ථ දැක්වුවත් පැහැදිලි කළත් ඒ සියල්ලෙන්ම කියන්නේ එකම දේ බව මතක තබා ගන්න.

අනිශ්චිත අනුකලන ප්‍රතිපලවල හැමවිටම යම් නියත පදයක් (c) ලැබුණා නේද? එම අගය නිශ්චිතව නොදන්නා නිසානේ මුලු අනුකල ප්‍රකාශයම අවිනිශ්චිත වූයෙත්. නිශ්චිත අනුකලනය යනු මෙවැනි අවිනිශ්චිත නියත පදයක් නොමැති අනුකලන ප්‍රතිපලයකි.

වර්ගඵලය ආශ්‍රයෙන් නිශ්චිත අනුකලනය යනු කුමක්දැයි දැන් බලමු. අවිනිශ්චිත අනුකලනයේදී ශ්‍රිතය x අක්ෂය සමග සාදන වර්ගඵලය නිශ්චිත නැහැනෙ. ඊට හේතුව x අගය පරාසය නිශ්චිත නැති වීමයි. එහෙත් අපට පුලුවන් x හි අගය පරාසය සීමා කරන්න හෙවත් නිශ්චිත කරන්න. අහවල් x අගයේ සිට අහවල් x අගය දක්වා පරාසය තුළ ශ්‍රිතයේ වර්ගඵලය ලෙස නිශ්චිත අනුකලනය අර්ථ දැක්විය හැකියි.

මේ ගැන තව දුරටත් සොයා බලමු. නිශ්චිත අනුකලයේදී අගය පරාසය දැක්විය යුතු නිසා අනුකල සංඛේතයේ යටට හා උඩට වන්නට එම අගයන් දෙක දැක්වේ. උදාහරණයක් ලෙස x = 1 සිට x = 2 දක්වා පරාසය තුළ 2x ශ්‍රිතය x විෂයෙන් අනුකලනය කරන්න යැයි සංඛේතාත්මකව ලියන්නේ පහත ආකාරයටයි.

පරාසයේ පළමුවෙන් සඳහන් කරන අගය පහලිනුත් දෙවනුව සඳහන් කරන අගය ඉහලිනුත් දැක්විය යුතුය. නිශ්චිත අනුකලයක් හැමවිටම ඉහත ආකාරයට පරාස අගයන් 2 සහිතව දැක්විය යුතුය. දැන් බලමු නිශ්චිත අනුකලයක් සුලු කරන ආකාරය. නිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශයක් සුලු කිරීමේ පියවරවල් 2ක් ඇත.

1. සාමාන්‍ය (හෙවත් අනිශ්චිත) අනුකලයක් සුලු කරන ආකාරයට පළමුව එය සුලු කරන්න. එවිට c පදයක්ද ලැබේ (එය ගැටලුවක් නොවේ).

2. පළමු පියවරේදී ලැබුණු ප්‍රතිපලයට දැන් දී ඇති පරාසයේ අගයන් ආදේශ කරන්න. පළමුවෙන්ම උඩින් ඇති අගය ආදේශ කර සුලු කරන්න (මෙහිදී නියත පදය නොවෙනස්ව පවතී). දෙවනුව යටින් ඇති අගය ආදේශ කර සුලු කරන්න (මෙවිටත් නියත පදය නොවෙනස්ව පවතී). ඉන්පසු පළමුව ලැබුණු අගයෙන් දෙවැනි අගය අඩු කරන්න. මෙවිට, අවස්ථා දෙකෙහිදීම c නියත පදය සමාන නිසා, අඩු කරන විට නියත පදය ඉබේම අහෝසි වේ. ඒ කියන්නේ තවදුරටත් පිළිතුර අවිනිශ්චිත නැත.

උදාහරණයක් ආශ්‍රයෙන් ඉහත පියවර 2 සිදු කර බලමු.

පළමුව දී ඇති අනුකල ප්‍රකාශය සාමාන්‍ය/අනිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශයක් විසඳන අයුරින්ම විසඳන්න. එවිට නියත පදයකුත් ලැබ තිබේ. එසේ අනිශ්චිත අනුකලයක් ලෙස එය විසඳුවත් එය ඇත්තටම නිශ්චිත අනුකලයක්නෙ. එනිසා සුලු කළ පසු ලැබෙන පිළිතුරට කොටු වරහනක් යොදා, එම වරහනේ දකුණු කෙළවර උඩින් හා යටින් අනුකලයේ දක්වා තිබූ අගයන් ලියා දක්වන්න.

දැන් කොටු වරහන තුළ තිබෙන ප්‍රකාශයට කොටු වරහනේ පිටතින් තිබෙන අගයන් ආදේශ කළ යුතුය. පළමුවෙන්ම, උඩින් තිබෙන අගය ආදේශ කර සුලු කර, දෙවනුව යටින් තිබෙන අගය ආදේශ කර සුලු කර, පළමු පිළිතුරෙන් දෙවැනි පිළිතුර අඩු කරන්න.

අවසන් පිළිතුරේ අවිනිශ්චිත නියත පදය ඉවත් වෙන හැටි දැක්කද? ඒ විතරකුත් නොව; අවසන් පිළිතුර හැමවිටම යම් නිශ්චිත අගයකි. අනිශ්චිත අනුකලනයේදී අවසන් පිළිතුර ලෙස ලැබුණේ ශ්‍රිතයකි. ඉහත ශ්‍රිතයේ එම පරාසය තුළ සිදු කළ නිශ්චිත අනුකලය පහත රූපයෙන් දැක්වේ. නිල් පාටින් දක්වා ඇත්තේ වර්ගඵලයයි.

තවත් උදාහරණයක් බලමු. කොස් x ශ්‍රිතය, x අගය 0.5 සිට 1 දක්වා පරාසය තුල x විෂයෙන් අනුකලනය කරන්න.

ඉහත ගණනය කිරීම ප්‍රස්ථාරයක් ඔස්සේ බලන විට පහත ආකාරයට පෙනේ.

සමහර අවස්ථාවල නිශ්චිත අනුකලයෙන් ඉහත ආකාරයට ගණනය කර අගයක් ලබා ගන්නා විට, ඍණ අගයක්ද ලැබිය හැකියි. උදාහරණයක් බලමු.

ඉහත පිළිතුර නිවැරදිය. එහෙත් ඔබ දන්නවා වර්ගඵලයක් කිසිසේත් ඍණ අගයක් විය නොහැකියි (කෙනෙකුගේ උස ඍණ අගයක් විය නොහැකියි සේම). එසේ නම් කොහොමද ඍණ වර්ගඵලයක් ආවේ? එය පැහැදිලි වේවි ඉහත ගණනය කිරීමට අදාල ප්‍රස්ථාරය බැලූ විට.

x අක්ෂයට උඩින් තිබෙන (නිල් පාටින් දක්වා ඇති) වර්ගඵලය ධන ලෙසත්, ඊට යටින් තිබෙන (රතු පාටින් දක්වා ඇති) වර්ගඵලය ඍණ ලෙසත් සලකා තිබීම ඊට හේතුවයි. එවිට යටට තිබෙන වර්ගඵලය උඩ වර්ගඵලයට වඩා වැඩි නිසා ඒ දෙකේ වෙනස ගත් විට ඍණ අගයක් ලෙස එය පෙන්වනවා. දැන් තේරෙනවා නේද ඍණ වර්ගඵලයක් කියා දෙයක් සැබැවින්ම නැතත් අප විසින්ම සම්මත කර ගත් කොන්දේසියක් නිසා මෙම තත්වය ඇති වී තිබෙන බව (එම කොන්දේසිය නම් අක්ෂයට උඩින් ඇති වර්ගඵලය ධන හා යටින් ඇති වර්ගඵලය ඍණ ලෙස සැලකීම).

ඇත්තටම නිශ්චිත අනුකලනයේදී අමාරුම කොටස තමයි එහි ප්‍රථම පියවර වන අනුකල ප්‍රකාශය සාමාන්‍ය අනිශ්චිත අනුකලයක් ලෙස සුලු කිරීම. එය සිදු කරන හැටි ඔබ මීට පෙර ඉගෙන ගත්තානෙ. එය කළ පසු තිබෙනනේ ඉතාම පහසු කාර්ය වන, අගයන් ආදේශ කර සුලු කිරීමයි. තවද, නිශ්චිත අනුකලනයේදී ඊටම සුවිශේෂි වූ යම් ගතිගුණ හෙවත් සාම්‍යන් කිහිපයක්ද තිබෙනවා.

නිශ්චිත අනුකල සාම්‍යන්

සීමා අගයන් මාරු කළ විට, අවසන් නිශ්චිත අනුකල අගය නොවෙනස් වුවත්, එහි සංඛේතය වෙනස් වේ (එනම් ධන අගයක් ඍණ බවටද, ඍණ අගයක් ධන බවටද පත් වේ). ඔබ දන්නවා වර්ගඵලයක ධන ඍණ භේදය යනු එම වර්ගඵලය කුමන පැත්තකද තිබෙන්නේ යන වග අනුව තීරණය වන්නක්.

සීමා අගය එකම වන විට, අනුකල ප්‍රකාශය කුමක් වුවත්, හැමවිටම ප්‍රතිඵලය ශූන්‍ය වේ. සීමා අගය එකම යනු වර්ගඵලයක් නැතැයි යන්නයි (එනම් උදාහරණයක් වශයෙන්, 2 සිට 2 දක්වා වෙනස 0 යිනෙ).

 

මෙය පහත රූපය ඇසුරින් පහසුවෙන්ම තේරුම්ගත හැකියි. මින් කියන්නේ කෙලින්ම a සිට b දක්වා තනි පරාසයේම වර්ගඵලය වෙනුවට එම පරාසය කොටස් කිහිපයකට කඩා ඒ එක් එක් පරාසවල වර්ගඵලයන් සොයා එකතු කළ හැකි බවයි. ඉහත සූත්‍රය දක්වා තිබෙන්නේ කොටස් දෙකකට කඩා එම කොටස් දෙකෙහි වර්ගඵලයන් දෙක එකතු කරන ආකාරයයි. මේ ලෙසම කොටස් ඕනෑම ගණනකට කඩා එකතු කළ හැකි බව වටහා ගන්න.

යම් නිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශයක සීමාවන් වෙනස් නොකර, එහි ස්වායත්ත විචල්‍යය පමණක් වෙනස් කළත් අවසන් ප්‍රතිඵලයේ වෙනසක් සිදු නොවේ.

යම් අනුකල ප්‍රකාශයක සීමාවන් යම් සංඛ්‍යාවක ඍණ අගයේ සිට ධන අගය දක්වා නම් සොයන්නේ, එම අනුකලනයට භාජනය කළ ශ්‍රිතයේ ඔත්තේ ඉරට්ටේ බව අනුව පෙන්වා ඇති ප්‍රතිඵලයන් දෙකෙන් එකක් ලැබේ. එනම්, ඉරට්ටේ (even) ශ්‍රිතයක් නම්, -a සිට a දක්වා අනුකලනය කරන්නේ නැතිව, 0 සිට a දක්වා අනුකලනය සොයා එය 2 න් ගුණ කළ විට අවසන් පිළිතුර ලබා ගත හැකියි. එහෙත් ශ්‍රිතය ඔත්තේ (odd) නම්, එම ශ්‍රිතයේ අනුකලන ප්‍රතිඵලය හැමවිටම 0 වේ. මෙය තේරුම් ගැනීමට ඔත්තේ ශ්‍රිත හා ඉරට්ටේ ශ්‍රිත ගැන දැනීමක් තිබිය යුතුය.

මතකයට

සංඛ්‍යාවලදී නම් ඔත්තේ යනු 2න් බෙදූ විට 1ක් ඉතිරිවන සංඛ්‍යා වන අතර, ඉරට්ටේ යනු 2න් බෙදූ විට කිසිත් ඉතිරි නොවන සංඛ්‍යා බව ඔබ දන්නවා. ශ්‍රිතවල ඔත්තේ ඉරට්ටේ යනු කුමක්ද? එය සපුරා වෙනස්ම තත්වයකි.

f(x) නම් පොදු ශ්‍රිතය ගැන සිතන්න. මෙහි x නම් ස්වායත්ත විචල්‍යයට විවිධ අගයන් ආදේශ කළ විට ඊට අනුරූපව පරායත්ත විචල්‍යය සඳහා අගයන් ලැබෙනවානෙ. යම් ශ්‍රිතයක x සඳහා ධන හා ඍණ යන දෙවර්ගයේම අගයන් ආදේශ කළ හැකියි.

ඉතිං යම් ශ්‍රිතයකට -a නම් අගය ආදේශ කළ විට ලැබෙන පරායත්ත විචල්‍ය අගයම නම් +a නම් අගය ආදේශ කළ විට ලැබෙන්නෙත් එවැනි ශ්‍රිතයක් ඉරට්ටේ ශ්‍රිත (even function) නම් වේ. එනම් එකම සංඛ්‍යාවේ ධන හෝ ඍණ අගයන් දෙකටම ලැබෙන්නේ එකම ප්‍රතිඵලයයි. එනම්,

f(a) = b

f(-a) = b

මෙවැනි ශ්‍රිතයක් ප්‍රස්ථාර ගත කළොත් y අක්ෂයට දෙපැත්තේ ප්‍රස්ථාර වක්‍රය සමමිතික බවක් පෙන්වනවා. 

එලෙසම යම් f(x) නම් ශ්‍රිතයක ස්වායත්ත විචල්‍යය සඳහා -a නම් අගය ආදේශ කළ විට ලැබෙන පරායත්ත විචල්‍යයේ අගයම ඇති නමුත් සලකුණින් වෙනස් අගයක් නම් +a ආදේශ කළ විට ලැබෙන්නේ එය ඔත්තේ ශ්‍රිතයකි (odd function). එනම්,

f(a) = b

f(-a) = -b

මෙවැනි ඔත්තේ ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයකට උදාහරණයක් පහත දැක්වේ.

ඉරට්ටේ ශ්‍රිතවලට උදාහරණ කිහිපයකි cos(x), cos²(x), sin²(x), x² යන ශ්‍රිත. ඔත්තේ ශ්‍රිතවලට උදාහරණ කිහිපයකි sin(x), tan(x) යන ශ්‍රිත. සෑම ශ්‍රිතයක්ම එක්කෝ ඔත්තේ නැත්නම් ඉරට්ටේ කියා අනිවාර්ය කළ නොහැකිය. බොහෝ ශ්‍රිත මේ දෙකෙන් එකකටවත් වැටෙන්නේ නැත. එහෙත් ආවර්ථික ශ්‍රිත (periodic functions) අනිවාර්යෙන්ම මේ දෙකෙන් එක් ගොඩකට වැටේ. ඔබ දන්නවා ආවර්ථික ශ්‍රිත යනු එකම ප්‍රස්ථාර හැඩය නැවත නැවත ලැබෙන ශ්‍රිතයි (සයින්, කොස් ප්‍රස්ථාර ඊට හොඳම නිදසුන්ය).

ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයකදී -a සිට 0 දක්වා අනුකලනය කළ විට ලැබෙන වර්ගඵලය හා 0 සිට +a දක්වා අනුකලනය කළ විට ලැබෙන වර්ගඵලය යන දෙකම හැමවිටම පිහිටන්නේ x අක්ෂයේ එකම පැත්තේය (එනම්, දෙකම ඉර උඩ හෝ දෙකම ඉර යට). ඊට හේතුව ශ්‍රිතය y අක්ෂය වටා සමමිතික වීමයි. මෙම සමමිතික බව නිසාම මෙම වර්ගඵලයන් දෙකම සමානද වේ. ඉතිං එක කොටසක පමණක් වර්ගඵලය සොයා එය 2න් ගුණ කිරීම පහසුයිනෙ මුලු පරාසයේම අනුකලනය සොයනවාට වඩා.

ඔත්තේ ශ්‍රිතයකදී -a සිට 0 දක්වා අනුකලයෙන් ලැබෙන වර්ගඵලය හා 0 සිට +a දක්වා වූ වර්ගඵලය හැමවිටම x අක්ෂයෙන් උඩ හා යට ලෙස විරුද්ධවයි පිහිටන්නේ. සලකුණින් පමණක් එසේ විරුද්ධ වුවත්, අගයෙන් ඒ දෙක සමාන බව ඔත්තේ ශ්‍රිත ගැන කතා කරන විට ඉගෙන ගත්තා. ඉතිං එම කොටස් දෙක වෙන් වෙන්ම අනුකලනය කර එම වර්ගඵලයන් දෙක එකතු කළ විට, එම වර්ගඵලයන් දෙක එකිනෙකට සමාන නමුත් සලකුණින් විරුද්ධ නිසා අවසානයේ අගය 0 වේ. ඒ අනුව සයින් ශ්‍රිතය ඔත්තේ නිසා, එය -π සිට + π දක්වා අනුකලනය කළ විට, පිළිතුර 0 වේ ( )