අනුකලනය (integration) - 3

අනුකලන සෙවීමේ උපක්‍රම

ආදේශයෙන් අනුකලනය කිරීම

ඉහත සාම්‍ය ලැයිස්තුවේ ශ්‍රිත දෙකක ගුණිතයක් (f(x).g(x)) හෝ ශ්‍රිත දෙකක අනුපාතයක් (f(x)/g(x)) ලෙස ඇති සංයුක්ත ශ්‍රිතයක් අනුකලනය කිරීම සඳහා කිසිදු සාම්‍යයක් තිබුණේ නැති බව දුටුවාද? එහෙත් අවකලනයේදී නම් ඒ අවස්ථා දෙක සඳහාම සාම්‍යන් දෙකක් තිබුණා. ඉන් අදහස් වන්නේ අනුකලනයකදී ගුණිත හෝ අනුපාත වශයෙන් ඇති බොහෝ සංයුක්ත ශ්‍රිත අනුකලනය කිරීම ඉතාම අපහසු බවයි.

එසේ වුවත්, ශ්‍රිත දෙකක ගුණිතයක් ලෙස පවතින පහසුවෙන් අනුකලනය කළ හැකි විශේෂ අවස්ථා කිහිපයක්ද තිබෙනවා. ආදේශයෙන් අනුකලනය කිරීම (integration by substitution) ක්‍රමය යොදා ගත හැකි එවැනි ආකාරයක් තමයි අප දැන් ඉගෙනීමට හදන්නේ. ශ්‍රිත දෙකක ගුණිතයක් පවතින්නේ පහත ආකාරයට නම් ආදේශ ක්‍රමය අනිවාර්යෙන්ම යෙදිය හැකිය.

∫ f(g(x)).g'(x) dx = ∫ f(u) du ; u = g(x) ලෙස ආදේශ කරමු.

ඉහත සූත්‍රයේ රටාව වටහා ගන්න. f යනු ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයකි. එනම් f ශ්‍රිතයේ ස්වායත්ත විචල්‍යය ලෙස තිබෙන්නේ g(x) නම් ශ්‍රිතයයි. මෙම g(x) ශ්‍රිතයේ අවකලනය සමගයි ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතය ගුණිත වී තිබෙන්නේ. එවිට එම ගුණිතයේ අනුකලනය වෙනුවට දකුණු පස ඇති ශ්‍රිතයේ අනුකලනය සෙවිය හැකියි. = ලකුණට දකුණු පස ඇති ශ්‍රිතය සාදාගෙන තිබෙන්නේ g(x) නම් ශ්‍රිතයට u නම් අකුරක් ආදෙශ කරමින්ය (ඔබට කැමති අකුරක් ආදේශ කරගත හැකියි). එලෙස ආදේශ කළ විට dx විෂයද du බවට පත් විය යුතුය.

මෙම රීතිය ආදේශන රීතිය (substitution rule) ලෙසද හැඳින්වේ. එය ප්‍රායෝගිකව යොදා ගන්නා අයුරු උදාහරණ කිහිපයක් ආශ්‍රයෙන් බලමු.

∫ 18x^{2 4}√(6x³ + 5) dx සුලු කරමු. මෙහි ශ්‍රිත දෙකක් ගුණ කර තිබේ: 18x² හා ⁴√(6x³ + 5). සාමාන්‍යයෙන් ශ්‍රිත දෙකක ගුණිතයක් ඍජුවම අනුකලනය කළ නොහැකි බව ඔබ දැන් දන්නවා. එනිසා වෙනත් උපක්‍රමයකින් එය අනුකලනය කළ හැකිදැයි බැලිය යුතුය.

⁴√(6x³ + 5) හෙවත් f(g(x)) නම් ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතය තුළ ඇති 6x³ + 5 යන කොටස g(x) වන අතර, එහි අවකලනය වන g'(x) = 18x² වේ. එවිට මුල් ගණිත ප්‍රකාශය f(g(x)).g'(x) යන ස්වරූපයෙන් පවතී. ඒ කියන්නේ ආදේශන රීතිය මෙහි යොදා මෙය අනුකලනය කරන්නට පුලුවන්.

ආදේශන රීතියෙන් සිදු වන්නේ ශ්‍රිත දෙකක ගුණිතය තනි ශ්‍රිතයක් බවට පත් කර ගැනීමකි. තනි ශ්‍රිත අනුකලනය කිරීමට අනුකලන සාම්‍යයන් රැසක්ම තිබෙන නිසා බොහෝවිට එය පහසුවෙන්ම සුලු කළ හැකි වෙනවා.

දැන් අපට කරන්නට තිබෙන්නේ (6x³ + 5) = g(x) ලෙස ගත් ශ්‍රිතය u ට සමාන කර ආදේශන රීතිය අනුව ∫ f(u) du සුලු කිරීමයි. පළමුවෙන්ම, u = 6x³ + 5 යන ශ්‍රිතය x විෂයෙන් අවකලනය කරන්න. එවිට, du/dx = 18x² ලැබේ. එය du = 18x² dx ලෙස සකස් කළ හැකියි. දැන් අපට du හා dx අතර සම්බන්ධතාවක් ලැබුණා. මෙම සම්බන්ධතාව ලබා ගැනීම අත්‍යවශ්‍යයි මොකද dx විෂය වෙනුවට du ආදේශ කරන විට, නිකංම dx තිබෙන තැනට du දැමිය නොහැකියි; ඒ වෙනුවට ඉහත සම්බන්ධතාවයි යොදා ගන්නේ. අප සතුව දැන් තිබෙන දත්ත යොදා ගෙන අනුකලනය සිදු කරමු.

∫ f(g(x)).g'(x) dx = ∫ f(u) du

⁴√(6x³ + 5) = f(g(x)) හා 18x² = g'(x) ලෙස සලකමු.

u = g(x) ගත් විට, du = 18x² dx ලෙස ලැබේ.

∫ 18x^{2 4}√(6x³ + 5) dx = ∫ ⁴√(6x³ + 5) du = ∫ (6x³ + 5)^1/4 (18x² dx)

∫ u^1/4 du = (⁴/₅)u^5/4 + c

දැන් අපි අනුකලනය සිදු කර හමාරය. එහෙත් පුරුද්දක් වශයෙන් කළ යුතු දෙයක් තිබෙනවා. මුල් ශ්‍රිතයේ තිබූ විචල්‍යන් වෙනස් කර සුලු කිරීමක් කර අවසන් වූ පසුව, නැවත මුල් ශ්‍රිතයේ තිබූ විචල්‍යවලින්ම අවසන් පිළිතුර තැබිය යුතුය. එනිසා ඉහත අවසන් පිළිතුරෙහි u යන්නට ආදේශ සිදු කරන්න.

(⁴/₅)u^5/4 + c = (⁴/₅)(6x³ + 5)^5/4 + c

ඉහත ගණනය කිරීම දෙස හොඳින් නිරීක්ෂණය කළොත් පෙනෙනවා = ට දකුණු පස ඇති කොටසින් සිදු වී තිබෙන්නේ යම් සරල වීමක් බව. එනම් = ට වම් පැත්තේ ඇති සංකීර්ණ ගණිත ප්‍රකාශය වෙනුවට ඉතාම සරල ගණිත ප්‍රකාශයකුයි දකුණු පැත්තේ ලැබෙන්නේ. මෙම සරල වීම සිදු වන්නේම වම්පස ගුණිත වී තිබෙන ශ්‍රිත දෙක ඒ කියපු ආකාරයට තිබීම නිසාමය (එනම්, ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතය එහි අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතයේ අවකලනය සමග ගුණිත වී තිබීම).

ආදේශන ක්‍රමයේදී ආදේශ කිරීමට සුදුසු ශ්‍රිතය තෝරා ගැනීම ඉතාම වැදගත්. වැරදි ශ්‍රිතයකට u ආදේශ කළොත් විසඳිය නොහැකි වෙනවා. සාමාන්‍යයෙන් නිවැරදිව ආදේශ කළ පසු, = ට දකුණු පස ප්‍රකාශයේ x පද කිසිවක් ඉතිරි නොවී u පද පමණක් තිබිය යුතුය. තවත් උදාහරණයක් බලමු.

ඉහත ශ්‍රිතයද බැලූ බැල්මටම ආදේශන රීතිය යොදාගෙන සුලු කළ හැකි බව පේනවා. බලන්න සයින් තුළ තිබෙන අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතයේ අවකලනය වන (1 – 1/t) වලින් තමයි සයින් ගුණිත වී තිබෙන්නේ. t – ln t = s යැයි සිතමු. එවිට ds/dt = 1 – 1/t වේ. එය ds = (1 – 1/t) dt ලෙස සැකසිය හැකියි. දැන් ආදේශන රීතිය යොදා ගෙන සුලු කරමු.

∫ (1 – 1/t)sin(t – ln t) dt = ∫ sin(s) ds = - cos (s) + c = - cos(t – ln t) + c

යන්න සුලු කරන්න. මෙහි 3n² – 2n යන අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතය අවකලනය කළ විට ලැබෙන්නේ 6n – 2 බැවින් මෙම ශ්‍රිතයත් ආදේශයෙන් සුලු කළ හැකියි. ඉහත ශ්‍රිතයේ ඉදිරියෙන්ම තිබෙන 5 යන නියතය ඊට බලපෑමක් එල්ල නොකරයි මක්නිසාද එය ∫ ට ඉදිරියෙන් ගෙන ආ හැකිය. ඒ අනුව

සුලු කරන්න. මෙහි අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතය වන (5 – 10x³) අවකලනය කළ විට, -30x² ලැබේ. එහෙත් අනුකලනය කිරීමට තිබෙන ගුණිතයේ තිබෙන්නේ x² පමණි. සුලු වෙනසක් මෙහි තිබෙනවා නේද? ඒ කියන්නේ ආදේශ රීතිය මෙහි යොදන්නට බැහැ කියාද? නැත; කලබල වන්නට කිසිදු කාරණයක් නැත. මෙවැනි නියත පද ගුණාකාරයක වෙනසක් ඇති විට එය පහසුවෙන්ම නිරාකරණය කර ගන්නට පුලුවන් පහත ආකාරයට පද සකස් කිරීමෙන්.

u = 5 – 10x³

du/dx = -30x² → du = -30x² dx →  

බලන්න දැන් අපට අවශ්‍ය x² dx යන කොටස ලැබී තිබෙනවා. අප සිදු කළේ සාමාන්‍ය පරිදි අවකලනය සිදු කර, අපට අවශ්‍ය කොටස එන පරිදි පද අනෙක් පසට ගෙන යාම පමණි. දැන් du පදය තනියම නොවෙයි ආදේශ කරන්නේ; -1/30 යන නියත පද ගුණාකාරයත් සමගමයි ආදේශ කනරන්නේ. ඒ අනුව දැන් සුපුරුදු ආදේශ රීතිය අනුගමනය කරමු මෙතැන් සිට.

ඉහත සලකා බැලූ උදාහරණ සියල්ලම ශ්‍රිත දෙකක ගුණිතයක් ලෙසයි තිබුණේ. එහෙත් ශ්‍රිත දෙකක අනුපාතයක් ලෙස පවතින අවස්ථාවක්ද සමහරවිට මෙම ආදේශන රීතිය මඟින්ම සුලු කළ හැකිය. එවිට, පළමුවෙන්ම අනුපාතය ගුණිතයක් ආකාරයට පත් කර ගත යුතුය. එසේ ගුණිතයක් ආකාරයට පත් වූ පසු, සාමාන්‍ය ආදේශන රීතිය යෙදිය හැකි පරිදි පැවතියද යුතුය (එනම්, f(g(x)).g'(x) ආකාරයට). කෙසේ හෝ වේවා මෙම කොන්දේසිය සැපිරිය යුතුම වෙනවානෙ.

උදාහරණයක් ලෙස, බලමු. බැලූ බැල්මට මෙය ශ්‍රිත දෙකක අනුපාතයක් නේද? එහෙත් අනුපාතයක් වෙනුවට මෙම ප්‍රකාශය ගුණිතයක් ආකාරයට පහසුවෙන්ම පත් කර ගත හැකියි සාමාන්‍ය දර්ශක රීති යෙදීමෙන්. එනම්,

දැන් 1 – 4x² = u ලෙස සලකා u අවකලනය කරන විට, du/dx = -8x ලැබේ. එහෙත් අපට අවශ්‍ය වන්නේ -8x නොව x වේ. එනිසා මීට පෙර උදාහරණයේදී කළා මෙන් නියත පද එහා මෙහා කර පහත සම්බන්ධතාව සාදා ගත හැකියි.

du/dx = -8x → du = -8x dx → (-¹/₈) du = x dx

දැන් සියල්ල සූදානම් නිසා ආදේශන රීතිය යොදමු.

තවත් ගැටලුවක් බලමු. ∫ sin(1-x).(2 – cos(1-x))⁴ dx සුලු කරමු. මෙය බැලූ බැල්මට යම් ගැටලුවක් ඔබට අැති කළ හැකියි. එනම්, දැන් ඔබ අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතය ලෙස ගත යුත්තේ කුමක්ද? (1-x) ද? Cos(1-x) ද? නැතහොත් (2 – cos(1-x)) ද? මට්ටම් කිහිපයකින් අභ්‍යන්තර ශ්‍රිත මෙම ප්‍රකාශය තුළ ඇත. ඇත්තටම මෙතැන ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයකුයි පවතින්නේ (මට්ටම් 4ක්). පළමු මට්ටම 1-x වේ; දෙවැනි මට්ටම cos(1-x) වේ; තෙවැනි මට්ටම (2 – cos(1-x)) වේ; සිව්වැනි මට්ටම (2 – cos(1-x))⁴ වේ.

මෙවන් අවස්ථාවක මුලින්ම බැලීම සුදුසුයි පිටතින්ම තිබෙන අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතය. ඒ අනුව, (2 – cos(1-x)) යන ශ්‍රිතය බලමු. එවිට, u = (2 – cos(1-x)) වේ. එය අවකලනය කරමු. මෙයද ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක් නිසා දාම රීතිය යොදා ගෙනයි අවකලනය කළ යුත්තේ. එවිට, du/dx = (sin(1-x)).(-1) වේ.

බලන්න අනුකලනය සොයන මුල් ප්‍රකාශයේද sin(1-x) නම් කොටස පවතිනවා. ඒ කියන්නේ අප අවකලනය කිරීමට තෝරා ගත් අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතය නිවැරදියි. ඒ අනුව ඉහතදී අවකලනය කළ ශ්‍රිතය මුල් ශ්‍රිතයට ගැලපෙන සේ පහත ආකාරයට සකස් කළ හැකියිනෙ.

du/dx = - sin(1 – x) → du = - sin(1 – x) dx → sin(1 – x) dx = - du

දැන් සුපුරුදු ලෙස ආදේශන රීතිය යොදමු.

∫ sin(1-x).(2 – cos(1-x))⁴ dx = ∫ (u⁴)(-du) = -u⁵/5 + c

= (-¹/₅)(2 – cos(1-x))⁵ + c

ඉහත ආකාරයට පිටතින්ම තිබෙන අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතය යොදා ගෙන සුලු කිරීමේදී කෙනෙකු අසන්නට පුලුවන් අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතවල බලපෑම නොසලකා හරිනවාද කියා. නැත. පිටතම ඇති අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතය අවකලනය කරන විට, ඊට දාම රීතිය යොදන බැවින් එම අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතවල බලපෑම එලෙසම පවතින්නට අප විසින් ඉඩ සලසා දී තිබෙනවා. එය ඉබේම වෙනවා දාම රීතිය යොදන විට (අමුතුවෙන් සිතන්නට දෙයක් නැත).

මෙවැනි ගැටලු හැකි තරම් විසඳා මෙම ක්‍රමයට හුරු වෙන්න. ඉහත උදාහරණවලින් මතක තබා ගත යුතු කරුණු මෙසේය. සමහර ප්‍රකාශන බැලූ බැල්මට ආදේශන රීතිය යොදන්නට පුලුවන් බව පෙනෙනවා. තවත් ප්‍රකාශනවල යම් නියත ගුණාකාරයක වෙනසක් පෙනීමට පුලුවන් (උදාහරණ ලෙස, x³ තිබෙන්නට අවශ්‍ය වුවත් ලැබෙන්නේ 4x³ විය හැකියි). එවිට යෙදිය යුතු පිළියම ඉහත උදාහරණවලදී ඔබ ඉගෙන ගත්තා. තවත් ප්‍රකාශන අනුපාත ස්වරූපයෙන් තිබෙන්නේ. එවිට ඒවා ගුණිත ප්‍රකාශන බවට පත් කරගෙන f(g(x)).g'(x) ස්වරූපයෙන් පවතිනවාද යන්න සොයා බලා, එසේ කළ හැකි නම් ආදේශන රීතිය යෙදිය හැකියි. තවත් අවස්ථාවල අභ්‍යන්තර ශ්‍රිත මට්ටම් කිහිපයකින් පවතිනවා. එවිට ගැලපෙන මට්ටම ඔබට තෝරා ගැනීමට සිදු වෙනවා. බොහෝවිට පිටතින්ම ඇති අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතයෙන් පටන් ගෙන එය සොයා බලන්න (අවකලය සාදමින්). පිටතින් ඇති යම් අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතයක් නිවැරදි තෝරා ගැනීම ලෙස හැඟී යන විට, ඊටත් අභ්‍යන්තරයේ ඇති ශ්‍රිත ගැන තැවීමට අවශ්‍ය නැති බවද ඉහතදී මා පෙන්වා දුන්නා.