Tuesday, March 1, 2016

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා (complex numbers) - 5


මතකයට

z යනු සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් (complex number) නිරූපණය කරන සංඛේතය නම්, z මඟින් එහි ප්‍රතිබද්ධය නිරූපණය කෙරේ.

ධ්‍රැවීය ආකාරයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කර ඇති විට එහි ප්‍රතිබද්ධය (conjugate) පහත ආකාරයට ලිවිය යුතුය. z = r(cos x + isin x) නම්,

z = r(cos x – isin x)

වේ. cos හා isin අතර තිබෙන ලකුණ මාරු කිරීමට පමණයි තිබෙන්නේ.

තවද, ධ්‍රැවීය ආකාරයෙන් දක්වා ඇති යම් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක ප්‍රතිලෝමය (inverse) ලබා ගැනීමට පහත ආකාරයට 1 යටට එම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව දැමිය යුතුය. එවිට, පහත පෙන්වා ඇති ආකාරයට ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර යොදා ගනිමින් තවදුරටත් එය සුලු කර ගත හැකියි.


 

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක ඔයිලර් නිරූපණය

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් ඉහත ආකාර දෙකට අමතරව තවත් අපූර්ව ආකාරයකින් නිරූපණය කළ හැකිය. මෙම නිරූපණය ඔයිලර් ආකාරය (Euler form) ලෙස හැඳින්වේ (සමහරුන් Euler යන්න “යූලර්” ලෙසත් උච්ඡාරණය කරනු මා දැක තිබෙනවා).

මේ සඳහා ex යන ශ්‍රිතය භාවිතා කරන්නට සිදු වෙනවා (ex ශ්‍රිතය ගැන වැඩිදුර නොදන්නේ නම් ඒ ගැන වද නොවන්න; ලියා තිබෙන දේවල් පමණක් ඒ කියා දී තිබෙන ආකාරයෙන් සරලව මතක තබා ගන්න දැනට). ex ශ්‍රිතය පහත ආකාරයට ප්‍රසාරණය කළ හැකි බව සාධනය කර තිබෙනවා (පහත සූත්‍රය සාධනය කිරීම ගැන වද වෙන්න එපා. එහෙත් එය කට පාඩමින් දැන සිටීම වැදගත් නිසා මතක තබා ගන්න. එහි ඇති රටාව හඳුනා ගතහොත් අමුතුවෙන් පාඩම් කරන්නට දෙයක්ද නැත.)
 


මතකයට

යම් නිඛිල සංඛ්‍යාවකට පසුව ! යන සංඛේතය දැමූ විට, ඉන් යම් නිශ්චිත ගණිතමය සංකල්පයක් හැඟවෙනවා. ක්‍රමාරෝපිතය (factorial) ලෙසයි එය හැඳින්වෙන්නේ. එවිට, 1 සිට අදාල සංඛ්‍යාව තෙක් ඇති අනුයාත සියලු නිඛිල එකට ගුණ කළ යුතු වෙනවා. ඒ අනුව පහත ක්‍රමාරෝපිත සංඛ්‍යා උදාහරණ ලෙස බලමු.



4! = 1x2x3x4 = 24

5! = 1x2x3x4x5 = 120

10! = 1x2x3x4x5x6x7x8x9 = 3,628,800



තවද, අර්ථ දැක්වීමෙන්ම 1 හි හා 0 හි ක්‍රමාරෝපිත පහත ආකාරයට විය යුතුය.



1! = 1

0! = 1

දැන් ඉහත ex සූත්‍රයේ x වෙනුවට ix නම් අතාත්වික සංඛ්‍යාව ආදේශ කරන්න. ඉන්පසු එය පහත ආකාරයට සුලු වේවි.


ඉහත සුලු කිරීමෙහි අවසානයට ලැබී තිබෙන ප්‍රකාශය වැදගත්ය. ත්‍රිකෝණමිතිය හා වෙනත් උසස් ගණිත සංකල්ප මඟින් පහත දැක්වෙන සම්බන්ධතා සාධනය කර තිබෙනවා.



මෙම සූත්‍ර දෙක ඉහත eix සුලු කිරීමෙහි අවසානයට ලැබුණු දිගු ප්‍රකාශයට ආදේශ කරන්න. එවිට පහත ආකාරයට අවසන් ප්‍රතිපලය අපට ලැබේ.



ඉහත සුලු කිරීම්වල අවසානයේ තිබෙන ප්‍රකාශය බලන්න. එහි cos x + isin x යන කොටස r වලින් ගුණ කළ විට, r(cos x + isin x) හෙවත් rcis යන්න ලැබෙනවා නේද? rcis යනු සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කරන ධ්‍රැවීය ආකාරයයි. ඒ අනුව ඉහත සුලු කිරීමේ අවසාන සමීකරණයේ දෙපසම r වලින් ගුණ කළ විට, rcis යන්න = ලකුණට දකුණු පසින් ලැබේ. එය reix ට සමානයි. ඒ කියන්නේ reix යනු සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවකි.

reix = r(cos x + isin x) = a + bi යනු ඒ අනුව සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කළ හැකි ආකාර තුනයි.

ඔයිලර් ආකාරයේ සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක ප්‍රතිබද්ධය සාදන්නේ i ට මුලින් ඇති ලකුණ මාරු කිරීමෙන්. එනම්, reix හි ප්‍රතිබද්ධය වනුයේ

z = re-ix

වේ. ඇත්තටම සිතා බැලුවොත් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කරන ආකාර තුනෙහිදිම ප්‍රතිබද්ධය සාදන්නේ i ට පෙර තිබෙන ලකුණ මාරු කිරීමෙන් බව පෙනේ (a-ib, r(cos x – isin x) යන ප්‍රතිබද්ධ දෙක බැලුවහම එය පෙනෙනවා).

ඔයිලර් ස්වරූපයෙන් ඇති සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙකක් පහසුවෙන්ම ගුණ කිරීමට හා බෙදීමට හැකියි දර්ශක රීති භාවිතා කරමින්. උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

z1 = 5ei4 හා z2 = 2ei2 නම්, z1 x z2 හා z1/z2 සොයන්න.

z1 x z2 = (5ei4) x (2ei2) = (5x4)(e(i4+i2)) = 20ei6
z1/z2 = (5ei4)/(2ei2) = (5/2)(e(i4-i2)) = 2.5ei2

අවසාන වශයෙන්…

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාද සාමාන්‍ය සංඛ්‍යා මෙන්ම හුරු වේ ටික කාලයක් මෙම සංඛ්‍යා බැලීමෙන්, ලිවීමෙන්, හා ඒ ගැන සිතීමෙන්. එහෙත් සාමාන්‍ය සංඛ්‍යා මෙන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා (හා අතාත්වික සංඛ්‍යා) එදිනෙදා ජීවිතයේදී භාවිතා වෙන්නේ නැති නිසා බොහෝ දෙනෙක් මෙම සංඛ්‍යා ගැන අවබෝධයක් නැතිව සිටීමද පුදුමයට කරුණක් නොවේ. එහෙත් ඉලෙක්ට්‍රොනික්ස් වැනි ඉංජිනේරු හා තාක්ෂණික ලෝකයේ සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවලින් හොඳින් වැඩ ගන්නවා.

මතකයට

ඉලෙක්ට්‍රොනික්ස්වලදී බහුලවම සංකීර්ණ සංඛ්‍යා භාවිතාවට ගන්නවා ගැටලු විසඳීමට. එහිදී i පදය විදුලි ධාරාව සංඛේතවත් කිරීමට යොදා ගන්නා බැවින්, සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ ඇති i පදය සමග යම් පැටලැවීමක් ඇති වීමට හැකියි. එනිසා, ඉලෙක්ට්‍රොනික්ස්වලදී සාමාන්‍යයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ i පදය වෙනුවට j පදය ආදේශ කරනවා. උදාහරණ ලෙස පහත දැක්වෙන්නේ j යොදාගෙන සංකීර්ණ සංඛ්‍යා කිහිපයක් නිරූපණය කර ඇති ආකාරයයි.



4+3j

-2-6j

5(cos 30 + jsin 30)

9e4j

ඇත්තටම සංකීර්ණ සංඛ්‍යා භාවිතා කරන්නේ ඉලෙක්ට්‍රොනික්ස්, ක්වන්ටම් භෞතික විද්‍යාව වැනි විශේෂිත ක්ෂේත්‍රවල බැවින් ඔබ සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සහිත උදාහරණ හා ගැටලු විසඳීමේදී යම් ප්‍රශ්නයක්ද මතු වෙනවා. එනම්, ඉලෙක්ට්‍රොනික්ස් හෝ එවැනි යම් ක්ෂේත්‍රයක් පිළිබඳ යම් දැනුමක් ඔබ සතුව නැතිව එවැනි ගැටලු සංකීර්ණ සංඛ්‍යා යොදා ගෙන විසඳන හැටි කියා දෙන්නට යම් අපහසුතාවක් පවතින බව තේරුම් ගන්න. උදාහරණයක් ලෙස පහත ගැටලුව සලකන්න.

හර්ට්ස් 1000ක ඒසී සංඥාවක් ශ්‍රේණිගතව සම්බන්ධ කර ඇති මයික්‍රොෆැරඩ් 1ක කැපෑසිටරයක් හා කිලෝඕම් 1ක රෙසිස්ටරයක් හරහා යන විට එම විදුලියට මෙම පද්ධතිය විසින් ඇති කරන සම්බාධකය (impedance) සොයන්න.

මෙය සංකීර්ණ සංඛ්‍යා මඟින් පහසුවෙන්ම විසඳිය හැකියි. එහෙත් මෙම ගැටලුව විසඳීමට නම්, ඒසී විදුලිය, කැපෑසිටර්, රෙසිස්ටර්, සම්බධාකය ආදී වචන වලින් හැඳින්වෙන සංකල්ප ගැන ඔබට යම් වැටහීමක් තිබීමට අවශ්‍ය වෙනවා. ඉතිං මෙම ගැටලුව සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවලින් පහසුවෙන් විසඳීමට හැකි වුවත්, ඉලෙක්ට්‍රොනික්ස් (හා විදුලිය) ගැන ඔබට යම් වැටහීමක් නැතිනම්, එම ගැටලුව විසඳීමට බැරි වෙනවා. එය සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ගැන ඔබට තිබෙන දැනුමේ අඩුපාඩුවක් නොවන බව තේරුම් ගන්න.

එහෙත් මෙම පොතේ ඉගැන්වූ සංකීර්ණ සංඛ්‍යා පිළිබඳ න්‍යායන් හොඳින් ඉගෙන ගත්තා නම්, යම් දවසක එවැනි ක්ෂේත්‍රයක් ඉගෙන ගන්නා විට, එහි ඇති ගැටලු සංකීර්ණ සංඛ්‍යා මඟින් විසඳීමට හැකි වේවි.

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සමග තවත් උසස් ගණිත කර්ම සිදු කළ හැකියි. සංකීර්ණ සංඛ්‍යා යොදාගෙන ශ්‍රිත සෑදීම, සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ශ්‍රිත අවකලනය හා අනුකලනය කිරීම වැනි උසස් ගණිත කර්ම සිදු කිරීමට වුවත් අපහසුවක් නැත. එහෙත් ඒ සඳහා අවකලනය, අනුකලනය වැනි ගණිත කර්ම ගැන ඔබ දැන සිටිය යුතු වෙනවානෙ. ඒවා ගැන පසුවට ඉගෙන ගමු.

6 comments:

  1. Famously
    start with e,
    raise to π
    with an i,
    we've been taught
    by a lot
    that you've got
    minus one.

    Can we glean
    what it means?
    For such words
    are absurd.
    How to treat
    the repeat
    of a feat
    πi times?

    This is bound
    to confound
    'til your mind
    redefines
    these amounts
    one can't count
    which surmount
    our friend e.

    Numbers act
    as abstract
    functions which
    slide the rich
    2d space
    in its place
    with a grace
    when they sum.

    Multiplied,
    they don’t slide,
    acting a
    second way.
    They rotate,
    and dilate,
    but keep straight
    that same plane.

    Now what we
    write as e
    to the x
    won’t perplex
    when you know
    it’s for show
    that “x” goes
    up and right.

    It does not,
    as you thought,
    repeat e
    product e.
    It functions
    with gumption
    on functions
    of the plane.

    It turns slides
    side to side
    into growths
    and shrinks both.
    Up and downs
    come around
    as turns round,
    which is key!

    This is why
    π times i,
    which slides north
    is brought forth
    and returned,
    we have learned,
    as a turn
    halfway round.

    Minus one,
    matched by none,
    turns this way,
    hence we’re done.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Very beautiful though it is a copy-paste from the Internet (maybe http://subtitlelist.com/en/Eulers-Formula-Poem-52893).

      Delete
    2. Yes it is.. haha.. but I got the first idea from the "3blue1brown" YouTube channel. Then I searched for the poem and found it. I invite you to go to that channel and watch it. You will delighted by the abstractness. :)

      Delete
    3. Poem: http://youtu.be/zLzLxVeqdQg

      Proof using abstract algebra: https://youtu.be/mvmuCPvRoWQ (hd 66mb)

      Proof using calculus : https://youtu.be/v0YEaeIClKY

      Delete

Thanks for the comment made on blog.tekcroach.top.

Note: Only a member of this blog may post a comment.

InnoCentive > Challenges & Rewards