Skip to main content

අනුකලනය (integration) - 4


කොටස් වශයෙන් අනුකලනය කිරීම

සංකීර්ණ ස්වභාවයේ පවතින සමහර අනුකල ප්‍රකාශන විසඳීමේ තවත් උපක්‍රමයක් තමයි කොටස් වශයෙන් අනුකලනය කිරීම (integration by parts). ඒ සඳහා යොද ගන්නා පොදු සූත්‍රය පහත දැක්වේ.

u dv = uv - v du

ඇත්තටම ඉහත සරල අනුකල සමීකරණය සාදා ගෙන තිබෙන්නේ ගුණිතයක අවකලනය සොයන අවකලන සාම්‍යය ආශ්‍රයෙනි




















ශ්‍රිත දෙකක ගුණිතයක් අනුකලනය කරන විට හා පෙර උගත් ආදේශන රීතියද යෙදිය නොහැකි අවස්ථාවකදී මෙම රීතිය යෙදිය හැකිදැයි බැලිය යුතුය. මෙම රීතිය යෙදෙන අයුරු උදාහරණ ආශ්‍රයෙන්ම බලමු.

4xe5x dx යන්න සුලු කරන්න. මෙය ඍජුවම විසඳීමට සරල අනුකල සාම්‍යයක් නැති බව පේනවා මොකද ශ්‍රිතවල ගුණිතයක් අනුකලනය කිරීමට සාම්‍යයක් නැති නිසා. මීට ආදේශන රීතියද යෙදිය නොහැකියි. ඊට හේතුව 5x = u ලෙස සැලකූ විට, එහි අවකලනය 5 වේ. එහෙත් ගුණිතයේ තිබෙන්නේ 4x වේ. එනම් වැඩිපුර x විචල්‍ය පදයක් ඇත. වෙනස පවතින්නේ නියත පද ගුණිතයක් නම් (එනම් x වෙනුවට තිබෙන්නේ 4x ආදී ලෙස නම්) එවිටද ආදේශන රීතිය යෙදිය හැකි වුවත්, මෙහි වෙනස පවතින්නේ විචල්‍ය පද ගුණිතයකිනි. ඉතිං දැන් බලමු මීට කොටස් වශයෙන් අනුකලනය කිරීමේ උපක්‍රමය යෙදිය හැකිද කියා.

ප්‍රකාශනයේ ඉදිරියෙන්ම තිබෙන 4 අනුකලය ඉදිරියට ගෙන ආ හැකි නිසා, එම නියත ගුණිත පදය සලකන්න එපා. මෙම රීතිය යෙදීමේදී කල්පනා කළ යුතු ක්‍රමය මෙයයි. u dv ලෙස දී ඇති ගුණිත ප්‍රකාශය සකස් කළ හැකිදැයි බැලිය යුතුය. ඒ සඳහා පළමුවෙන්ම කරන්නට තිබෙන්නේ ගුණිතයේ යම් කොටසක් සඳහා u ආදේශ කිරීමයි. එවිට ප්‍රකාශයේ ඉතිරි කොටස ඉබේම dv බවට පත් වේ.

දැන් මෙම උදාහරණයට පහත දැක්වෙන ආදේශ කිරීම් කරමු.

x = u
 
එවිට ඉබේම, e5x dx = dv වේ.

ඉහත ආදේශනය සිදු කළ පසු, හැමවිටම u හි අවකලනයත් dv හි අනුකලනයත් සෙවිය යුතුය (සෑමවිටම මෙම ගණනය කිරීම් දෙක කිරීමට සිදු වේ. මෙම සුලු කිරීම් දෙක ගැටලුවක් නැතිව සිදු කළ හැකි නම්, බොහෝවිට කොටස් වශයෙන් අනුකලනය කිරීමේ උපක්‍රමය සාර්ථකව යෙදිය හැකි බව නිගමනය කළ හැකියි). u අවකලනය කිරීමෙන් u හා මුල් ("ඔරිජිනල්") ගුණිත ප්‍රකාශයේ ඇති ස්වායත්ත විචල්‍යය වන x අතර සම්බන්ධතාවක් ලබා ගැනේ (එනම් du හා dx අතර සම්බන්ධතාවක්). dv අනුකලනය කිරීමෙන් ලැබෙන්නේ v . ඒ අනුව,

du/dx = dx/dx = 1 → du = 1.dx = dx
v = dv = e5x dx = e5x/5

ඉහත අනුකලයේදී ලැබෙන නියත පදය (c) දැනට අමතක කරමු. ඉදිරියටත් අනුකලනය සිදු කිරීමට තිබෙන බැවින්, ඒවායෙන්ද නියත පද බිහිවෙන බැවින්, අපට අවසානයේ ලැබෙන පිළිතුරට එක් නියත පදයක් එකතු කළ හැකියි.

දැන් u dv = uv - v du යන සූත්‍රයට ඉහත සොයා ගත් කොටස් ආදේශ කරමු. 4 යන නියත ගුණිතයද තිබෙන බව වටහ ගන්න.










 
තවත් උදාහරණයක් බලමු. (2s + 5)sin(s) ds සුලු කරන්න. 2s + 5 යන්න u ලෙස සලකමු. එවිට,

u = 2s + 5
du/ds = 2 → du = 2 ds

dv = sin(s) ds
dv = sin(s) ds → v = -cos(s)

දැන් සූත්‍රයට ඉහත අගයන් ආදේශ කරමු. එවිට,

(2s + 5)sin(s) ds = (2s+5)(-cos(s)) - -cos(s)(2ds)
= -(2s+5)cos(s) + 2[sin(s)] = -(2s + 5)cos(s) + 2sin(s) + c

තවත් උදාහරණයක් ලෙස n2cos(5n) dn සුලු කරන්න. u = n2 ලෙස ගමු. එවිට dv = cos(5n) dn බවට පත් වේ. එවිට,

du/dn = 2n → du = 2n dn
v = dv = cos(5n) dn = sin(5n)/5

n2cos(5n) dn = (n2)(sin(5n)/5) - (sin(5n)/5)(2n dn)
= (1/5)n2sin(5n) – (2/5) nsin(5n) dn - (1)

ඉහත ආකාරයට නිවැරදිව පියවරෙන් පියවර සුලු කරගෙන යන විට, අපට එකවර අවසන් පිළිතුරක් මෙහිදී ලැබුණේ නැහැ නේද? nsin(5n) dn ලෙස තවත් අනුකල ප්‍රකාශයක් එහි තිබේ. එම කොටසත් සුලු කරන තුරු අවසන් පිළිතුර ලැබුණා සේ සලකන්නට බැහැ. එනිසා මෙම නව අනුකල ප්‍රකාශය විසඳීමට සිදු වෙනවා එය වෙනමම ප්‍රකාශයක් සේ සලකා. එම නව අනුකල ප්‍රකාශය දෙස බැලූ විට පෙනී යන්නේ එයද ශ්‍රිත දෙකක ගුණිතයක් සේ පවතින බවයි. ඊට අමතරව, එය විසඳීමට හැකි වන්නේ නැවතත් කොටස් වශයෙන් අනුකලනය කිරීමෙන් බව පෙනේ. ඒ අනුව එම කොටස වෙනමම දැන් සුලු කරමු.

u = n → du/dn = 1 → du = dn
dv = sin(5n) dn → v = sin(5n) dn = -cos(5n)/5

nsin(5n) dn = (n)(-cos(5n)/5) - (-cos(5n)/5)(dn)
= (-1/5)ncos(5n) + (1/25)sin(5n) + c'

දැන් මෙම විසඳුම ඉහත (1) ප්‍රකාශයට ආදේශ කරන්න.

n2cos(5n) dn = (1/5)n2sin(5n) – (2/5) nsin(5n) dn
= (1/5)n2sin(5n) – (2/5) [(-1/5)ncos(5n) + (1/25)sin(5n) + c']
(1/5)n2sin(5n) + ( 2/25)ncos(5n) - ( 2/125)sin(5n) + c

ඉහත උදාහරණය අනුව පෙනී යන්නේ සමහර ප්‍රකාශන විසඳීමට කිහිප පාරක්ම අනුකලන සෙවීමට සිදු වන බවයි. එනම් මුල් ප්‍රකාශය විසඳාගෙන යන විට එම ප්‍රතිපලය තුළ තවත් අනුකල ප්‍රකාශයක් නිර්මාණය වේ. එහෙත් මෙම නව අනුකල ප්‍රකාශය හැමවිටම ඊට පෙර අනුකල ප්‍රකාශයට වඩා සරලයි. අවසානයේදී කිසිදු අනුකල ප්‍රකාශයක් හමු නොවන තුරු සුලු කිරීම දිගටම කරගෙන යා යුතුය.

තවත් උදාහරණයක් ලෙස ln(x) dx විසඳමු. මෙය විසඳීමට ඇත්තටම අනුකල සාම්‍යයක් ඇත. මීට අමතරව කොටස් වශයෙන් අනුකලනය කිරීමේ උපක්‍රමයෙන්ද මෙය විසඳිය හැකිය (ඇත්තටම අනුකල සාම්‍යය සාධනය කරන්නේද මෙමඟිනි). ln(x) = u ලෙස සලකමු. ඒ අනුව,

u = ln(x) → du/dx = (1/x) → du = (1/x) dx
dv = dx → v = dv = dx = x

ln(x) dx = (ln(x))(x) - x ((1/x)dx)
= xln(x) - 1 dx = xln(x) – x + c

මේ ආකාරයට තවත් උදාහරණ රාශියක් සුලු කර මෙම ක්‍රමයද හුරු විය යුතුයි.
 

Comments

Post a Comment

Thanks for the comment made on blog.tekcroach.top

Popular posts from this blog

දන්නා සිංහලෙන් ඉංග්‍රිසි ඉගෙන ගනිමු - පාඩම 1

මෙම පොත (පාඩම් මාලාව) පරිශීලනය කිරීමට ඔබට එදිනෙදා සිංහල භාෂාව භාවිතා කිරීමේ හැකියාව හා සාමාන්‍ය බුද්ධිය පමණක් තිබීම අවම සුදුසුකම ලෙස මා සලකනවා.  තවද, ඇසෙන පරිදි ඉංග්‍රීසි අකුරින් ලිවීමට හැකිවීම හා ඉංග්‍රීසියෙන් ලියා ඇති දෙයක් කියවීමට හැකි නම්, ඔබට මෙතැන් සිට මෙම පාඩම් මාලාව කියවා ඉගෙන ගත හැකිය.  ඔබට එසේ ඉංග්‍රීසි කියවීම හා ලිවීම ගැන දැනීමක් දැනටමත් නොමැත්තේ නම්, කරුණාකර මෙ‍ම පොතෙහි “අතිරේකය - 1 ”  බලා පළමුව එම හැකියාව ඇති කරගන්න.  තවද, හැකි පමණ ඉංග්‍රීසි වචනද පාඩම් කරගන්න. ඔබ හිතවතෙකුගේ නිවසකට හෝ වෙනත් පිටස්තර තැනකට යන විටෙක හැසිරෙන්නේ ඔබට අවශ්‍ය විදියටම නෙමේ නේද?  එනම්, පිට නිවසකට ගිය විට අහවල් පුටුව තිබෙන තැන හරි නැහැ, අහවල් එක මෙහෙම තිබෙන්නට ඕනෑ ආදී ලෙස ඔවුනට පවසන්නේ නැහැ, මොකද අප සිටින්නේ අනුන්ගේ තැනක නිසා.  එලෙසම, ඉංග්‍රීසි භාෂාව යනු සිංහල නොවේ.  ඔබ කැමැති වුවත් නැතත් ඉංග්‍රීසි ඉගෙනීමේදීද අප ඉංග්‍රීසි ව්‍යාකරණ රීති හා රටා එපරිද්දෙන්ම උගත යුතුය.  එනම්, සෑම සිංහල වගන්ති රටාවක්ම ඉංග්‍රීසියට ඔබ්බන්නට නොව, ඉංග්‍රීසියේ ඇති රටා ඔබ දන්නා සිංහල භාෂාව තුළින් ඉගෙනීමට උත්සහ කළ යුතුය. 

කතාවක් කර පොරක් වන්න...

කෙනෙකුගේ ජීවිතය තුල අඩුම වශයෙන් එක් වතාවක් හෝ කතාවක් පිරිසක් ඉදිරියේ කර තිබෙනවාට කිසිදු සැකයක් නැත. පාසැලේදී බලෙන් හෝ යම් සංගම් සැසියක හෝ රැස්වීමක හෝ එම කතාව සමහරවිට සිදු කර ඇති. පාසලේදී කතා මඟ හැරීමට ටොයිලට් එකේ සැඟවුනු අවස්ථාද මට දැන් සිහිපත් වේ. එහෙත් එදා එසේ කතා මඟ හැරීම ගැන අපරාදේ එහෙම කළේ යැයි අද සිතේ. යහලුවන් ඉදිරියේ "පොර" වෙන්න තිබූ අවස්ථා මඟ හැරුණේ යැයි දුකක් සිතට නැඟේ. ඇත්තටම කතාවක් කිරීම "පොර" කමකි. දක්ෂ කතිකයන්ට සමාජයේ ඉහල වටිනාකමක් හිමි වේ. පාසැලේදී වේවා, මඟුලක් අවමඟුලක් හෝ වෙනත් ඕනෑම සමාජ අවස්ථාවකදී වේවා දේශපාලන වේදිකාව මත වේවා කතාවක් කිරීමේදී පිලිපැදිය යුත්තේ සරල පිලිවෙතකි. එහෙත් එම සරල පිලිවෙත තුල වුවද, තමන්ගේ අනන්‍යතාව රඳවන කතාවක් කිරීමට කාටත් හැකිය. පුද්ගලයාගෙන් පුද්ගලයා වෙනස් වේ. එම වෙනස ප්‍රසිද්ධ කතා (public speaking) තුලද පවත්වාගත හැකිය. මේ ගැන මට ලිපියක් ලියන්නට සිතුනේ මාගේ මිතුරෙකුට ප්‍රසිද්ධ කතාවක් කිරීමට අවශ්‍ය වී, ඒ ගැන මේ ළඟ දවසක අප පැයක් පමණ සිදු කළ සංවාදයක් නිසාය. මා ප්‍රසිද්ධ දේශකයකු නොවුණත් මේ විෂය සම්බන්දයෙන් පාසැල් කාලයේ සිටම පත

දන්නා සිංහලෙන් ඉංග්‍රිසි ඉගෙන ගනිමු - අතිරේකය 1

මූලික ඉංග්‍රීසි ලිවීම හා කියවීම ඉංග්‍රීසියෙන් ලියන්නේ හා ඉංග්‍රීසියෙන් ලියා ඇති දෙයක් කියවන්නේ කෙසේද?  ඉංග්‍රීසිය ඉගෙනීමට පෙර ඔබට මෙම හැකියාව තිබිය යුතුමය.  එය එතරම් අපහසු දෙයක්ද නොවේ.  ඔබේ උනන්දුව හොඳින් ‍තිබේ නම්, පැය කිහිපයකින් ඔබට මෙම හැකියාව ඇති කර ගත හැකිය.  මුල සිට පියවරෙන් පියවර එය උගන්වන්නම්.   මුලින්ම මිනිසා භාෂාවක් භාවිතා කළේ ශබ්දයෙන් පමණි.  එනම් ලිඛිත භාෂාව ඇති වූයේ පසු කාලයකදීය.  කටින් නිකුත් කරන ශබ්ද කනින් අසා ඔවුන් අදහස් උවමාරු කර ගත්තා.  පසුව ඔවුන්ට වුවමනා වුණා මෙම ශබ්ද කොලයක හෝ වෙනත් දෙයක සටහන් කර ගන්නට.  ඒ සඳහායි අකුරු නිර්මාණය කර ගත්තේ.  එම අකුරු නියෝජනය කරන්නේ ශබ්දයි .  මෙසේ මූලික අකුරු කිහිපයක් ඔවුන් එක එක භාෂාව සඳහා නිර්මාණය කර ගත්තා.  ඉංග්‍රීසියේදී මෙලෙස මූලික අකුරු 26ක් ඇත.   එය ඉංග්‍රීසි හෝඩිය ලෙස හැඳින් වෙනවා. අප ඉගෙන ගත යුත්තේ මෙම අකුරු මඟින් නියෝජනය කෙරෙන ශබ්ද මොනවාද යන්නයි.  එවිට ඔබට ඉංග්‍රීසි ලිවීමට හා කියවීමට හැකි වෙනවා.  ඊට පෙර අප අකුරු 26 දැනගත යුතුයි.  එම අකුරු 26 පහත දක්වා ඇත.  ඉංග්‍රීසියේදී සෑම අකුරක්ම “සිම්පල්” හා “කැපිටල්” ලෙස දෙයාකාර

දෛශික (vectors) - 1

එදිනෙදා ජීවිතයේදිත් විද්‍යාවේදිත් අපට විවිධාකාරයේ අගයන් සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදු වෙනවා . ඉන් සමහරක් නිකංම සංඛ්‍යාවකින් ප්‍රකාශ කළ හැකි අගයන්ය . අඹ ගෙඩි 4 ක් , ළමයි 6 දෙනෙක් ආදී ලෙස ඒවා ප්‍රකාශ කළ හැකියි . තවත් සමහර අවස්ථාවලදී නිකංම අගයකින් / සංඛ්‍යාවකින් පමණක් ප්‍රකාශ කළ නොහැකි දේවල් / රාශි (quantity) හමු වේ . මෙවිට “මීටර්” , “ තත්පර” , “ කිලෝග්‍රෑම්” වැනි යම් ඒකකයක් (unit) සමඟ එම අගයන් පැවසිය යුතුය ; නැතිනම් ප්‍රකාශ කරන අදහස නිශ්චිත නොවේ . උදාහරණයක් ලෙස , “ මං 5 කින් එන්නම්” යැයි කී විට , එම 5 යනු තත්පරද , පැයද , දවස්ද , අවුරුදුද ආදි ලෙස නිශ්චිත නොවේ . මේ දෙවර්ගයේම අගයන් අදිශ (scalar) ලෙස හැඳින්වේ . අදිශයක් හෙවත් අදිශ රාශියක් යනු විශාලත්වයක් පමණක් ඇති දිශාවක් නැති අගයන්ය . ඔබේ වයස කියන විට , “ උතුරට 24 යි , නැගෙනහිරට 16 යි” කියා කියන්නේ නැහැනෙ මොකද දිශාව යන සාධකය / කාරණය වයස නමැති රාශියට වැදගත්කමක් නැත . එහෙත් සමහර අවස්ථා තිබෙනවා අගයක් / විශාලත්වයක් (magnitude) මෙන්ම දිශාවක්ද (direction) පැවසීමට සිදු වන . මෙවැනි රාශි දෛශික (vector) ලෙස හැඳින්වේ . උදාහරණයක් ලෙස , ඔබ යම් “බලයක්

දැනගත යුතු ඉංග්‍රිසි වචන -1

ඉංග්‍රිසි බස ඉගැනීමේදී වචන කොපමණ උගත යුතුද, එම වචන මොනවාදැයි බොහෝ දෙනෙකුට මතුවන ගැටලුවක් වන අතර, බොහෝ දෙනා ඊට විවිධ පිලිතුරුද සපයා ඇත. මේ ගැන හොඳින් පරීක්ෂණය කර ඇමරිකානු ආයතනයක් විසින් වචන 5000ක ලැයිස්තුවක් ඉදිරිපත් කර ඇත. එම ලැයිස්තුව මා කෙටස් දෙකකට (දිගු වැඩි නිසා) සිංහල තේරුම්ද සහිතව ඉදිරිපත් කර ඇත. (මේවා සැකසුවත් සෝදුපත් බලා නැති නිසා සුලු සුලු දෝෂ සමහරවිට තිබිය හැකිය). පහත ලැයිස්තුවේ වචන 2500ක් ඇත.    Word    තේරුම        be    ඉන්නවා    and    හා    of    ගේ    in    තුල    to    ට    have    තියෙනවා    to    ට    it    ඒක, ඌ    I    මම    that    ... කියලා, ඒ/අර, ඒක/අරක    for    සඳහා    you    ඔබ, ඔබලා    he    ඔහු    with    සමඟ    on    මත    do    කරනවා, "මෙව්ව කරනවා"    say    කියනවා    this    මේ, මේක    they    උන්, ඒවා, ඒගොල්ලෝ    at    දෙස, අසල    but    නමුත්    we    අපි    his    ඔහුගේ    from    සිට, ගෙන්    not    නැහැ    by    විසින්, මඟින්    she    ඇය    or    හෝ, හෙවත්    as    විට, නිසා, වශයෙන්    what    මොකක්ද,