Thursday, August 31, 2017

දෛශික (vectors) - 16 (Tensor)

2
සටහන
ටෙන්සරයක සංරචක සෙට් එක මත අවකලනය සිදු කළ හැකියි. එහිදී විශේෂයෙන් සැලකිය යුතු කරුණු කිහිපයක් තිබේ. ඔබ දන්න සාමාන්‍ය අවකලන රීතිමයි තිබෙන්නේ; නමුත් ටෙන්සරයක් යනු තනි සංඛ්‍යාවක් නොව සංඛ්‍යා පද්ධතියක් නිසා සැලකිලිමත් විය යුතුය. පැහැදිලි කිරීම සඳහා පලමු ගණයේ ටෙන්සරයක් ගමු (Ajej). එකිනෙකට ප්‍රලම්භකව පවතින ඒකක/පදනම් දෛශික 3ක් ගමු (ත්‍රිමාන අවකාශය සඳහා). ඒ අනුව Ajej = A1e1 + A2e2 + A3e3 ලෙස ටෙන්සරය ප්‍රසාරණය කළ හැකියිනෙ. ඇත්තටම එය අප මීට පෙර ඕනෑ තරම් දැක තිබෙන ඒකක දෛශික ආශ්‍රයෙන් ලියන F = A1i + A2j + A3k ම තමයි (මෙම කාරණයත් සිහියේ තිබීම වැදගත් වේ).

දැන් ඉහත ටෙන්සරය (දෛශිකය) යොදා ගෙන පහත දැක්වෙන අවකලන අවස්ථාවන් සලකා බලමු.

ඉහත අවකලනයෙන් ලැබෙන පිලිතුර 0 වේ. ඊට හේතුව විෂය පදය (t) එම ගණිත ප්‍රකාශය තුල කොතැනවත් විචල්‍යයක් නොවේ. යම් ශ්‍රිතයක් තුල නොමැති විචල්‍යයක් විෂය කරගෙන අවකලනයක් සිදු කරන විට හැමවිටම පිලිතුර 0 බව ඔබ අවකලනයේදී ඉගෙන ඇති.

ඉහත (1) සූත්‍රයෙන් කියන්නේ යම් ටෙන්සරයක් (දෛශිකයක්) එම ටෙන්සරය නිරූපණය කරන පදනම් දෛශික පද්ධතියේ දෙවැනි පදනම් දෛශිකය විෂයෙන් (පාර්ශ්වික) අවකලනය කළ විට අවසාන පිලිතුර ලෙස ලැබෙන්නේ එම දෙවැනි පදනම් දෛශිකය ඔස්සේ පවතින ටෙන්සරයේ සංරචකය බවයි. මෙම දෙවැනි පදනම් දෛශිකය e2 ලෙස හෝ y ලෙසනෙ අප ලියන්නේ. එම සූත්‍රය ඕනෑම පදනම් දෛශිකයක් විෂය කොටගෙන අවකලනය සිදු කරන විට පොදුවේ ලියන ආකාරය තමයි (2) සූත්‍රයෙන් දක්වා තිබෙන්නේ (k දර්ශකයට 1, 2, ආදි ලෙස ඉලක්කමක් ආදේශ කළ විට (1) සූත්‍රයම ලැබෙනවා). j දර්ශකය පමණයි සමාකලනයට යටත් වන්නේ (එනම් ඩමි ඉන්ඩෙක්ස් එක වන්නේ). පහත දැක්වෙන ගණනය කිරීමත් බැලූ බැල්මට ඉහත ගණනය කිරීම වැනි වුවත්, වෙනසක් ඇත; එනම්, ඉහතදී k සමාකලනයට යටත් නොවුණු අතර, පහතදී j සමාකලන දර්ශකය වේ.

ඉහත (1) සූත්‍රය පොදු ආකාරය වන අතර, (2)න් දක්වා තිබෙන්නේ එය ප්‍රසාරණය කර තිබෙන ආකාරයයි (පදනම් දෛශික 3ක් ඔස්සේ). මෙහිදී j යන සමාකලනයට යටත් දර්ශක පදයයි. පාර්ශ්වික අවකලනය සිදු කරන විට, ඒ ඒ පදනම් දෛශිකය අවකලනය වන්නේ එම විෂයෙන්මයි. එනිසා එම පදනම් දෛශිකවල සංරචක පද සියල්ල ඉතිරි වේ.

ඉහත දැක්වෙන්නේ ටෙන්සරයක සම්පූර්ණ අවකලනය (total derivative) ලබා ගන්නා ආකාරයයි. ඉහත අවසානයට දක්වා තිබෙන්නේ ටෙන්සරයේ සම්පූර්ණ අවකලනය සමාකලන ආකාරයට නිරූපණය කිරීමයි.

ඉහත සූත්‍රය පලමු ගණයේ ටෙන්සරයකට අර්ථ දක්වා ඇත. එය දෙවැනි ගනයේ කොන්ට්‍රවේරියන්ට් ටෙන්සරයකට අර්ථ දක්වා තිබෙන්නේ පහත ආකාරයටයි. මෙහි i, j යනු සමාකලනයට යටත් නොවන පිටතින් ඉලක්කම් ආදේශ කළ යුතු දර්ශක පද වේ. සමාකලනය සිදු වන්නේ k, l යන ඩමී ඉන්ඩෙක්ස් පද දෙක මත පමණි.

ඉහත සූත්‍ර දෙක සසඳා බලන විට එහි ඇති ක්‍රමවත් රටාව වැටහේවි. ඒ අනුව තෙවැනි ගනයේ කොන්ට්‍රවේරියන්ට් ටෙන්සරයක් පහත ආකාරයට නිරූපණය කළ හැකියි නේද? i, j, k යනු සමාකලනයට බඳුන් නොවන දර්ශක පද බව අමුතුවෙන් කිව යුතු නැහැනෙ.

රටාව තේරුම්ගෙන ඕනෑම ගණයක් සඳහා සූත්‍රය පහසුවෙන්ම සෑදිය හැකිය. කෝවේරියන්ට් ටෙන්සර් සඳහාද පරිනාමන න්‍යායක් ඇත පහත ආකාරවලට (පිලිවෙලින් පලමු ගනයේ, දෙවැනි ගනයේ, තෙවැනි ගනයේ ටෙන්සර් 3 සඳහා ඒවා පහත දැක්වේ). මේවායේද සමාකලනයට බඳුන් නොවන දර්ශක පද පෙර පරිදිම හඳුනා ගත හැකියි. ඇත්තටම = ලකුණට වම් පස ඇති පදයේ ඇති දර්ශක පද තමයි හැමවිටම සමාකලනයට බඳුන් නොවන්නේ.

එලෙසම දැන් අපට හැකියි ඕනෑම මිශ්‍ර ටෙන්සරයක් සඳහා වූ සූත්‍ර ලියන්නටත්. පහත දැක්වෙන මිශ්‍ර ටෙන්සර කිහිපයේ සූත්‍ර බලන්න.

පරිනාමන න්‍යායක් යොදා ගන්නා අන්දම උදාහරණයකින් බලමු. යම් කෝවේරියන්ට් ටෙන්සරයක (දෛශිකයක) අනුපිලිවෙලින් සංරචක xy, 2y-z2, xz වේ. එම අගයන් ලබා දී තිබෙන්නේ කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය ඇසුරිනි. එම දෛශිකයේම කෝවේරියන්ට් සංරචක දැන් සොයන්න ගෝලීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය ඇසුරින්. මෙය පලමු ගනයේ කෝවේරියන්ට් ටෙන්සරයක් නිසා පහත පරිනාමන න්‍යාය භාවිතා කළ යුතු වේ (පදනම් දෛශික 3ක් සමඟ; එනම්, j = 1, 2, 3 වේ).

xj පද තුන පහත ආකාරයට (පැරනි) කාටිසියානු පද්ධතියේ ඛණ්ඩාංක අක්ෂවලට අනුරූප වේ.

        x1 = x
        x2 = y
        x3 = z

එලෙසම, xi පද තුන පහත ආකාරයට (නව) ගෝලීය පද්ධතියේ ඛණ්ඩාංකවලට අනුරූප වේ.

        x1 = r
        x2 = θ
        x3 = ϕ

තවද, කාටිසියානු පද්ධතිය ඇසුරින් සංරචක 3 පහත ආකාරයට සැලකිය යුතුය.

        A1 = xy
        A2 = 2y- z2
        A3 = xz

අප දන්නවා කාටිසියානු හා ගෝලීය ඛණ්ඩාංක අතර පහත ආකාරයට සම්බන්දතා පවතිනවා (ඛණ්ඩාංක පාඩම බලන්න).

        x = rsinθcosϕ
        y = rsinθsinϕ
        z = rcosθ

අපට දැන් ඉහත පරිනාමන න්‍යාය භාවිතා කර සෙවීමට තිබෙන්නේ A1, A2, A3 සංරචක අගයන් වේ.


ඉහතදී අවසානයට ලැබි තිබෙන්නේ A1 සංරචකයයි. නව ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය ගෝලීය නිසා, ගෝලීය ඛණ්ඩාංක ඇසුරින් එම සංරචකය ලැබී තිබේ. මෙලෙසම A2, A3 යන සංරචක දෙකත් සෙවිය හැකිය. එම ගණනය කිරීම් දෙක සිදු කොට බලන්න.

ටෙන්සර් ගණිත කර්ම

ටෙන්සර් මත අදිශයකින් ගුණ කිරීම, එකතු කිරීම හා අඩු කිරීම, බහිර් ගුණිතය (outer product), අන්තඃගුණිතය (inner product), ටෙන්සර් සංකෝචනය (contraction of tensor) වැනි ගණිත කර්ම රාශියක් කළ හැකිය. මේවා ගැන කෙටියෙන් විමසමු.

ටෙන්සර් අදිශයකින් ගුණ කිරීම

දෛශිකයක් අදිශයකින් ගුණ කළ විට සිදු වූ දේම මෙහිත් සිදු වේ (එහි අරුමයක් නැත මොකද දෛශිකයක් යනුත් ටෙන්සරයකි). එනම්, ටෙන්සරයේ විශාලත්වය පමණක් වෙනස් වේ. තවත් විදියකින් කියතොත් ටෙන්සරයේ සංරචක පමණක් ගුණ වේ. ඕනෑම ගනයක හා ඕනෑම වර්ගයක ටෙන්සරයක් සඳහා මෙය පහසුවෙන් සිදු කළ හැකිය. දෙවැනි ගනයේ ටෙන්සරයක් ඇසුරින් එය බලමු (පදනම් දෛශික 3ක් සඳහා). k යනු අදිශ අගයකි.

        k(Tij) = kT11, kT21, kT31
            kT12, kT22, kT32
                        kT13, kT23, kT33

ටෙන්සර් එකතු කිරීම හා අඩු කිරීම

එකම ගනයේ හා එකම වර්ගයේ ටෙන්සර් දෙකක එකතු කිරීම හෝ අඩු කිරීම කළ හැකිය. දෛශිකවල සිදු කළ ආකාරයටම සිදු වේ. එනම්, අනුරූප සංරචක එකතු හෝ අඩු කරන්න. උදාහරණයක් ලෙස Sij හා Tij යන කෝවේරියන්ට් දෙවැනි ගනයේ ටෙන්සර් දෙක එකතු කරමු.

        Sij + Tij = S11, S21, S31 T11, T21, T31
            S12, S22, S32 + T12, T22, T32
                        S13, S23, S33 T13, T23, T33

                    = S11+ T11 , S21+ T21 , S31+ T31
                        S12+ T12 , S22+ T22 , S32+ T32
                        S13+ T13 , S23+ T23 , S33+ T33

ඉහත ආකලනය පහත ආකාරයටද නිරූපණය කළ හැකිය. ටෙන්සර් එකතු කිරීමේදී හා අඩු කිරීමේදී අවසානයේ ලැබෙන පිලිතුරේ ගනය හා වර්ගය එකතු කිරීමට හෝ අඩු කිරීමට භාජනය වූ ටෙන්සර් දෙකේ ගනය හා වර්ගයට සමාන වේ. එනිසයි පහත Rij යනුවෙන් පිලිතුර ලෙස ලැබුණු අවසන් ටෙන්සරය නම් කර තිබෙන්නේ.


ටෙන්සර් බහිර්ගුණිතය

ඍජු ගුණිතය (tensor direct product) ලෙසද මෙය හැඳින්වේ. යම් ටෙන්සරයක් තවත් ටෙන්සරයක් සමඟ බහිර්ගුණිතය සිදු කරන විට, පහත ආකාරයට එය සිදු වේවි. උදාහරණය සඳහා යොදා ගෙන ඇත්තේ දෙවැනි ගනයේ කෝවේරියන්ට් ටෙන්සරයක් හා දෙවැනි ගනයේ කොන්ට්‍රවේරියන්ට් ටෙන්සරයකි. එහෙත් මේ සඳහා ටෙන්සර් දෙකෙහි ගනය හා වර්ගය සමාන වීම අත්‍යවශ්‍ය නොවේ. අවසාන වශයෙන් ලැබෙන පිලිතුරු ටෙන්සරයේ ගනය හැමවිටම ගුණිතයට බදුන් වන ටෙන්සර් දෙකෙහි ගනයන්වල එකතුවට සමාන වන අතර, ටෙන්සර් වර්ගයද ගුණිතයට හවුල් වන ටෙන්සර් දෙකෙහි වර්ගයන්වල මිශ්‍රණයකි. ටෙන්සර් දෙකෙහි යොදන උඩකුරු/යටකුරු හැමවිටම වෙනස් අක්ෂර භාවිතා කරන්න (එනම්, එක් ටෙන්සරයකට භාවිතා කළ අකුරු අනෙකෙහි නොයොදන්න).

සටහන
මීට පෙර ක්‍රොනික ඩෙල්ටා සංකල්පය අප ඉගෙන ගත්තා මතකද? එය පහත ආකාරයටත් අර්ථ දැක්විය හැකිය (කෝවේරියන්ට් හා කොන්ට්‍රවේරියන්ට් දර්ශක යොදා ගෙන).



ටෙන්සර් සංකෝචනය

මෙහිදී යම් මිශ්‍ර ටෙන්සරයක ගනය 2කින් අඩු කෙරේ (එනම් ගනය සංකෝචනය වේ). එය කළ හැක්කේ මිශ්‍ර ටෙන්සරයේ ඇති කෝවේරියන්ට් දර්ශකයක් එම මිශ්‍ර ටෙන්සරයේම ඇති කොන්ට්‍රවේරියන්ට් දර්ශක පදයකට සමාන කිරීමෙනි. උදාහරණයකින් එය බලමු (පහත සුලු කිරීම බලන්න). මෙහිදී l යන කෝවේරියන්ට් දර්ශකය සමාන කරනවා i යන කොන්ට්‍රවේරියන්ට් දර්ශකයට. අවශ්‍ය නම් i නැතිව, j, k යන දර්ශක පද දෙකෙන් එකකට වුවද එය සමාන කළ හැකිය. එහෙත් සමාන කරන්නට භාවිතා කරන දර්ශක පදය වෙනස් වන විට අවසානයේ ලැබෙන පිලිතුර (ටෙන්සරය) වෙනස් වේ. උදාහරණයක් ලෙස, Aijki හා Aijkk යනු එකිනෙකට වෙනස් ටෙන්සර දෙකකි (සංකෝචනයෙන් පසුව).

අවසානයේ පාර්ශ්වික අවකලන දෙකකින් යුතු ප්‍රකාශයක් ලැබී තිබෙන නිසා, එය දෙවැනි ගනයේ ටෙන්සරයක් බව පෙනේ. සංකෝචනය සිදු කිරීමට පෙර එය හතරවැනි ගනයේ ටෙන්සරයක් විය.

ටෙන්සර් අන්තඃගුණිතය

මෙය ටෙන්සර් තිත් ගුණිතය (tensor dot product) ලෙසත් හැඳින්විය හැකිය. මෙහිදී දෙන ලද ටෙන්සර් දෙකක බහිර්ගුණිතය පළමුව සිදු කර, ඉන් සෑදෙන ටෙන්සරය මත ටෙන්සර් සංකෝචනය සිදු කළ යුතුය (බහිර්ගුණිතයට සහභාගී වූ ටෙන්සර් දෙකෙන් උඩකුරක් හා යටකුරක් එකිනෙකට සමාන කළ යුතුය). මෙය සිදු වීමට නම්, බහිර්ගුණිතය සිදු වීමෙන් පසු අනිවාර්යෙන්ම මිශ්‍ර ටෙන්සරයක් ලැබිය යුතුය (ඒ කියන්නේ බහිර්ගුණිතයට සහභාගි වන ටෙන්සර් දෙකෙන් එකක් හෝ මිශ්‍ර ටෙන්සරයක් විය යුතුය නැතහොත් එම ටෙන්සර් දෙකේ වර්ගය වෙනස් විය යුතුය). ටෙන්සර් සංකෝචනයක් තිබෙන නිසා, අන්තඃගුණිතයේදී ගුණිතයට සහභාගිවන ටෙන්සර් දෙකේ ගනයන් දෙකේ එකතුවට 2ක් අඩු ගනයක් ලැබේවි. උදාහරණයකින් මෙය බලමු.

ඔබ දෛශිකවල දුටු තිත් ගුණිතයත් මෙම අන්තඃගුණිතය තමයි. දෛශික දෙකක් බහිර්ගුණිතය සිදු කරන විට පිලිතුරේ ගනය 2ක් වෙනවානෙ. ඉන්පසු සංකෝචනය සිදු කරන විට, ගනය 2කින් අඩු වෙනවානෙ. මෙනිසා අවසාන පිලිතුරේ ගනය ශූන්‍ය වේ. ඉතිං දෛශික දෙකක තිත් ගුණිතයෙන් ලැබෙන්නේ අදිශයක් නේද?


ගණිතයේ බොහෝ (සමහරවිට සියලුම) සංකල්ප දෙයාකාරයකින් තේරුම් ගැනීමට හැකිය. එකක් නම්, භෞතික ලෝකයේ අපට සංජානනය වන (අපේ පංචේන්ද්‍රියන්ට හෝ උපකරණවලට දැනෙන) යම් යම් සිද්ධි (මේවා භෞතික සංසිද්ධි ලෙස හැඳින්වේ) නිරූපණය කිරීමට ගණිත සංකල්ප භාවිතා වේ. එහි පුදුමයක්ද නැත මොකද ගණිතය යනු විද්‍යාවේ භාෂාවයි. උදාහරණයක් ලෙස, භෞතික ලෝකයේ තිබෙන ස්කන්ධය, ඝනත්වය වැනි දෑ මැනීමේදී හා ඒවා සමඟ කටයුතු කිරීමේදී ගණිතය පැත්තෙන් ඊට අදිශ රාශි කියා සංකල්පයක් හඳුන්වා දේ. එලෙසමයි දෛශික ගැනත්. භෞතික ලෝකයේදී බලය, ත්වරණය ආදී රාශිවලට විශාලත්වයක් හා දිශාවක් නිශ්චිතව පවතී. ගණිතයේදී ඒවා දෛශික යන සංකල්පය යටතේ සලකා බැලේ.

එහෙත් ගණිතය දෙවැනි ආකාරයට තේරුම්ගැනීම පළමු ආකාරයට වඩා තරමක් අපහසුය. ඇත්තටම තරමක් නොව, ඉතාම අපහසු මට්ටමක් දක්වා එය විහිදී යා හැකිය. ඊට හේතුව මෙහිදී නිදහස උපරිම වේ. භෞතික සංසිද්ධි සමඟ දැන් ගණිතය ගැටගැසෙන්නේ නැත. එනිසා ඔබ මෙම දෙවැනි ආකාරයෙන් යමක් ගණිතයෙන් පැවසුවොත්, ඒ කියන දෙය භෞතික ලෝකයේ මෙහෙමයි කියා පෙන්වා දීමට අවශ්‍ය නැත. මෙහිදී කරන්නේ එම සංකල්පය හඳුන්වාදෙන හා එය දියුණු කරන ගණිතඥයන් යම් යම් කොන්දේසි හා රීති සමුදායක් (එම කොන්දේ හා රීති ඇත්තටම තාර්කික වේ) ඉදිරිපත් කිරීමයි.

ඒ අනුව දෛශික හා ටෙන්සර්ද ඉහත දෙයාකාරයෙන්ම තේරුම්ගත හැකියි. මෙහි මා උත්සහ කළේ ටෙන්සර් ගැන මූලික දැනුමක් ලබා දීමටයි.
Read More »

Wednesday, August 30, 2017

දෛශික (vectors) - 15 (Tensor)

0
ඉහත රටාව හඳුනාගත්තා නම්, දැන් ඔබට හැකියි ඕනෑම ගනයක ටෙන්සරයක් එකවර ලියන්නට (එනම් එම ටෙන්සරයේ සංරචක ගොන්න එකවර ලියන්නට). තර්කනය පෙර සේම වේ. ගනය එකින් එක වැඩි වන විට, "පදනම් දෛශික සෙට්" එක බැඟින් එකතු වෙනවා යැයි සිතිය යුතුය. එලෙස පදනම් සෙට් එකක් එකතු වන විට, එහි එක් එක් පදයකින් ඊට පෙර ගනයේ ටෙන්සරයේ සංරචක සියල්ල ගුණ විය යුතුය. තවද, සංරචකයට පසුව තිබෙන යටකුරු/උඩකුරු ගණන පදනම් දෛශික සෙට් ගණනට සමාන වේ. උදාහරණයක් ලෙස, තෙවැනි ගනයේ කොන්ට්‍රවේරියන්ට් ටෙන්සරයක් පහත දැක්වේ. දෙවැනි ටෙන්සරයට වැඩිපුර එකතු වූ පදනම් දෛශික සෙට් එක හඟවන උඩකුර මා කොල වර්ණයෙන් දක්වා තිබෙනවා.

        T111, T211, T311, T121, T221, T321, T131, T231, T331
        T112, T212, T312, T122, T222, T322, T132, T232, T332
        T113, T213, T313, T123, T223, T323, T133, T233, T333

සටහන
ටෙන්සරයක තිබෙන යටකුරු/උඩකුරු ගණනින් කියන්නේ ටෙන්සරයේ ගණයයි. උදාහරණයක් ලෙස, සිව්වැනි ගනයේ ටෙන්සරයක යටකුරු/උඩකුරු 4ක් තිබේ. ඒ කියන්නේ එකිනෙකට ස්වාධිනව පදනම් දෛශික සෙට් 4ක් තිබේ.

ඉහත දක්වා තිබෙන කොන්ට්‍රවේරියන්ට් ටෙන්සරයත්, ඉහත දක්වා නැති කෝවේරියන්ට් ටෙන්සරය හා මිශ්‍ර ටෙන්සර දෙකත් සමේෂන් ක්‍රමයට අනුව අනුපිලිවෙලින් පහත ආකාරවලින් නිරූපණය කළ හැකිය. මිශ්‍ර ටෙන්සරය ලිවිය හැකි ආකාර දෙකක් දැන් තිබේ; ඒ කියන්නේ මිශ්‍ර ටෙන්සර් වර්ග දෙකක් ඇත.

        Tjkl        Tjkl        Tjkl        Tjkl

පහත දැක්වෙන්නේ සිව්වැනි ගනයේ කෝවේරියන්ට් ටෙන්සරයක සංරචකයි.

        T1111, T2111, T3111, T1211, T2211, T3211, T1311, T2311, T3311
        T1121, T2121, T3121, T1221, T2221, T3221, T1321, T2321, T3321
        T1131, T2131, T3131, T1231, T2231, T3231, T1331, T2331, T3331

        T1112, T2112, T3112, T1212, T2212, T3212, T1312, T2312, T3312
        T1122, T2122, T3122, T1222, T2222, T3222, T1322, T2322, T3322
        T1132, T2132, T3132, T1232, T2232, T3232, T1332, T2332, T3332

        T1113, T2113, T3113, T1213, T2213, T3213, T1313, T2313, T3313
        T1123, T2123, T3123, T1223, T2223, T3223, T1323, T2323, T3323
        T1133, T2133, T3133, T1233, T2233, T3233, T1333, T2333, T3333

මේ ආදී ලෙස, ටෙන්සරයක සංරචක පහසුවෙන් ලිවීමටත්, එම ක්‍රමයට දක්වා තිබෙන ටෙන්සරයක් අවබෝධ කර ගැනීමටත් හැකි විය යුතුය. ඇත්තෙන්ම ඉහත ආකාරවලින් දක්වා තිබෙන්නේ ටෙන්සරයේ සංරචකනෙ. එම සංරචක ඊට ගැලපෙන පදනම් දෛශික සමඟ ලිවීමෙන් තමයි සත්‍යම ටෙන්සරය ලැබෙන්නේ. උදාහරණයක් ලෙස, aij යන ටෙන්සරය සුදුසු පදනම් දෛශික සමඟ ප්‍රසාරණය කර දක්වන ආකාරය බලමු. පදනම් දෛශික 3ක පද්ධතියක් සලකමු. පලමුව i ඩමි ඉන්ඩෙක්ස් එක මත ප්‍රසාරණය සිදු කරමු. දෙවැනි ගනයේ ටෙන්සරයක් නිසා, පදනම් දෛශික සෙට් දෙකක් ඇතුලත් කළ යුතු වෙනවා.


දැන්, j ඩමි ඉන්ඩෙක්ස් එක මත ඉහත ප්‍රසාරණය කර ලැබුණු ප්‍රකාශනය නැවත ප්‍රසාරණය කරමු.

ඉහත T ලෙස ලැබී තිබෙන දීර්ඝ ප්‍රකාශය තමයි සත්‍ය ලෙසම ටෙන්සරය වන්නේ. එහෙත් මීට පෙරත් පැහැදිලි කර තිබෙන ලෙසටම, පදනම් දෛශික සිතින් යොදා, සංරචක කොටස් පමණක් අප ලියනවා සංක්ෂිප්තව එම ටෙන්සරය නිරූපණය කිරීම සඳහා. බලන්න මෙලෙස සංක්ෂිප්ත කිරීමේ සම්මතයක් ගොඩනඟා ගෙන ඇති නිසා, ඉහත ආකාරයේ වැනි දිගු ගණිත ප්‍රකාශ aij ආදි ලෙස ඉතා කෙටි වී තිබෙනවා.

යටකුරු/උඩකුරු 2ක් තිබෙන විට, (හා ත්‍රිමාන අවකාශය ආදර්ශනය කිරීමට පදනම් දෛශික 3ක් ගත් විට) මුලු පද 9ක් ලැබෙනවා (එක් එක් සංරචකය සඳහා). ajkl වැනි උඩකුරු/යටකුරු 3ක් තිබෙන තෙවැනි ගනයේ ටෙන්සරයක ප්‍රසාරිත ප්‍රකාශයේ පද 27ක් තිබේවි. aklmn වැනි සිව්වැනි ගනයේ ටෙන්සරයක ප්‍රසාරිත ප්‍රකාශයක පද 81 ක් තිබේවි. පස්වැනි ගනයේ ටෙන්සරයක් ප්‍රසාරණය කළ විට පද 243ක් ලැබේවි. මේ ආදි ලෙස ගනය ඉහල යන විට විශාල ලෙස පද ලැබෙන බව පෙනේ.

යම් ටෙන්සරයක කොන්ට්‍රවේරියන්ට් හෝ වේරියන්ට් හෝ මිශ්‍ර යනු ටෙන්සර් වර්ගය (type/valance of tensor) වේ. ටෙන්සර් වර්ගය (n,m) ලෙස වරහනක් තුල සංඛ්‍යා 2කින් දැක්වේ; එහි පළමු සංඛ්‍යාවෙන් (n මඟින්) කොන්ට්‍රවේරියන්ට් දර්ශක පද හෙවත් උඩකුරු ගණනත්, දෙවැනි සංඛ්‍යාවෙන් (m මඟින්) කෝවේරියන්ට් දර්ශක පද හෙවත් යටකුරු ගණනත් දක්වනවා. උදාහරණයක් ලෙස, Aij යන්න (2,0) ලෙසත්, Aijk යන්න (0,3) ලෙසත්, Aijkl යන්න (2,2) ලෙසත් දැක්විය හැකියි.

ඕනෑම (ඇත්තෙන්ම දෙවැනි ගනයට ඉහල) ගනයක හා වර්ගයක ටෙන්සරයක් ගෙන, එහි ඇති දර්ශක පද දෙකක් හුවමාරු කළ විට සෑදෙන ටෙන්සරය සමාන වන්නේ නම් පද දෙක හුවමාරුවට පෙර තිබුණු (ඔරිජිනල්) ටෙන්සරයට, එවැනි ටෙන්සරයක් සමමිතීය ටෙන්සර් (symmetric tensor) ලෙස හැඳින්වේ.

උදාහරණයක් ලෙස, Aij යන දෙවැනි ගනයේ කොන්ට්‍රවේරියන්ට් වර්ගයේ ටෙන්සරයේ ඇති i, j යන දර්ශක පද දෙක එකිනෙකට හුවමාරු කළ විට Aji ලැබේවි. මෙවිට, Aij = Aji නම්, ඒ කියන්නේ Aij යනු සමමිතික ටෙන්සරයකි. තවත් උදාහරණයක් ගමු. පස්වැනි ගනයේ මිශ්‍ර වර්ගයේ ටෙන්සරයක් වන Tijklm ගමු. එහි j, k යන දර්ශක පද දෙක හුවමාරු කළ විට (අනෙක් දර්ශක පද එලෙසම තිබියදී) ලැබෙන ටෙන්සරය මුල් ටෙන්සරයට සමාන නම් (එනම්, Tijklm = Tikjlm විට), එම ටෙන්සරය සමමිතීය වේ.

තවද, ඉහත ආකාරයටම යම් ගනයක හා වර්ගයක ටෙන්සරයක් ගෙන, එහි ඇති දර්ශක පද දෙකක් එකිනෙකට හුවමාරු කළ පසු සෑදෙන ටෙන්සරය අගයෙන් සමාන එහෙත් ලකුණෙන් ප්‍රතිවිරුද්ධ නම්, එවිට මුල් ටෙන්සරය කුටික සමමිතීය ටෙන්සර් (skew symmetric tensor) ලෙස හැඳින්වේ. උදාහරණයක් ලෙස, Tijklm = -Tikjlm නම්, Tijklm යනු කුටික සමමිතීය ටෙන්සරයකි.

ඛණ්ඩාංක පරිණාමනය

යම් ටෙන්සරයක් යම් පදනම්/ඒකක දෛශික පද්ධතියක් ඇසුරින් නිරූපණය කරනවා යනු එම ටෙන්සරය (එම ඛණ්ඩාංක පද්ධතියට අනුබද්ධ ඒකක දෛශික ගොන්නෙන් සැදුම්ලත් ටෙන්සරය) යම් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් තුල නිරූපණය කිරීමක් ලෙස සැලකිය හැකියිනෙ. එලෙස යම් ටෙන්සරයක් විවිධ ඛණ්ඩාංක පද්ධති ඇසුරින් නිරූපණය කළ හැකිය. ඒ විතරක් නොව; එක් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක නිරූපිත ටෙන්සරයක් වෙනත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියකින් නිරූපණය කරන විට, මෙම නව ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ පදනම්/ඒකක දෛශික පරණ ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ පදනම්/ඒකක දෛශික මඟින් ව්‍යුත්පන්නද කළ හැකි වේ. මෙය ඛණ්ඩාංක පරිනාමනය (transformation of coordinates) ලෙස හැඳින්වේ.

සරල උදාහරණයක් බලමු. පහත දැක්වෙන්නේ ද්විමාන කාටිසියානු තලයක් මත යම් ලක්ෂ්‍යයක් ලකුණු කර ඇති ආකාරයයි. එම ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංකය වන්නේ (x1,y1) වේ.

දැන් එම ලක්ෂ්‍යයම අප ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක පහත ආකාරයට ලකුණු කරමු. එම ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක මඟින් (r1, θ1) වේ.

අපට හැකියි ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක අගයන් දෙක සොයා ගන්නට පැරනි කාටිසියානු ඛණ්ඩාංකවලින් (ඛණ්ඩාංක පද්ධති ගැන මීට පෙර සංක්ෂිප්ත පාඩමක් මේ ගැන අප සලකා බැලුවා). ඒ අනුව, පහත ආකාරයට ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක යුගලය සොයා ගත හැකියි කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක ආශ්‍රයෙන්.

        r1 = (x12 + y12)
        θ1 = tan-1 (y1/x1)

මෙහි යම් රටාවක් ඇත. එනම් නව ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ එක් ඛණ්ඩාංක අගයක් ලබා ගැනීමට (සාධාරණ වශයෙන්) පැරනි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඛණ්ඩාංක අගයන් සියල්ලම අවශ්‍ය වේ. ඉහත උදාහරණයේදී r1 ලබා ගැනීමට පැරනි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඛණ්ඩාංක සියල්ලම (එනම් x1, y1) අවශ්‍ය වූවා. එලෙසමයි θ1 සඳහාත් පැරනි ඛණ්ඩාංක සියල්ලම අවශ්‍ය වූවා. ඒ අනුව, අලුත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ එක් එක් ඛණ්ඩාංකයක් ලබා ගන්නවා යනු පැරනි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ සියලු ඛණ්ඩාංක මත ශ්‍රිතයක් යෙදීමක් ලෙස සිතිය හැකියි. ඒ කියන්නේ, ඉහත ශ්‍රිත දෙක පොදුවේ පහත ආකාරයට නිරූපණය කළ හැකියි.

        r1 = fr(x1,y1)
        θ1 = fθ(x1,y1)

මේ ලෙසටම ඔබට පුලුවන් ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක ඇසුරින් කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක දක්වන්නටත් (ශ්‍රිත ලෙස). දැන් අප මේ කතා කළ දේ ගැන පොදුවේ සාකච්ඡා කරමු (ඕනෑම ඛණ්ඩාංක පද්ධතියකට ගැලපෙන ලෙස).
පරන ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය මත ලකුණු කරපු යම් ලක්ෂ්‍යයකට අදාල ඛණ්ඩාංක අගයන් ඊට අදාල ඒකක/පදනම් දෛශික ඔස්සේ x1, x2, x3, ... , xn පවතින ලෙස නිරූපණය කරමු. එලෙසම, නව ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය මත එම ලක්ෂ්‍යටම අදාලව මෙම නව පද්ධතියේ ඒකක/පදනම් දෛශික ඔස්සේ ඛණ්ඩාංක අගයන් x1, x2, x3, ... , xn යැයි සිතමු. මෙවිට පහත ආකාරයට පරන පද්ධතියේ සිට අලුත් පද්ධතියට ඛණ්ඩාංක පරිනාමනයට අදාලව ශ්‍රිත ලිවිය හැකිය.

        x1 = f1(x1, x2, x3, ... , xn)
        x2 = f2(x1, x2, x3, ... , xn)
        x3 = f3(x1, x2, x3, ... , xn)
        ....................
        ....................
        xn = fn(x1, x2, x3, ... , xn)

ඉහත තනි තනි ශ්‍රිතවලින් හැඟවෙන්නේ කුමක්ද? එහි පළමු ශ්‍රිතය සලකන්න. එහි x1 යනු නව ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ එක් ඒකක/පදනම් දෛශිකයක් (පළවෙනි ඒකක දෛශිකය) ඔස්සේ ඇති සංරචක අගයයි. මෙම සංරචක අගය අපට පරණ ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ සියලු සංරචක අගයන් (x1, x2, x3, ... , xn) යොදා ගෙන සොයා ගත හැකියි. ඒ කියන්නේ පරණ ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ සියලු සංරචක අගයන් මත යම් සූත්‍රයක් හෙවත් ශ්‍රිතයක් (f1 ලෙස එය දක්වා තිබේ) යෙදූ විට x1 අගය ලැබේ.

එලෙසම නව පද්ධතියේ දෙවැනි ඒකක දෛශිකය ඔස්සේ ඇති සංරචකය (x2) ද සෙවිය හැකියි. එහිදී පරන පද්ධතියේ සංරචකය අගයන් මත යෙදිය යුතු සූත්‍රය/ශ්‍රිතය දැන් වෙනස්ය (f2). ඒ විදියට සෙසු ශ්‍රිත ගැනත් සිතන්න (අප මොහොතකට පෙර සලකා බැලූ උදාහරණය මතක් කර ගෙන සසඳා බලන්න).

ඉහත ආකාරයට සූත්‍ර n ගණනක් ලියන්නේ නැතිව, සංක්ෂිප්තව පහත ආකාරයට ඉහත සූත්‍ර සියල්ලටම තනි පොදු ශ්‍රිතයක් ලිවිය හැකිය.

        xk = fk(x1, x2, x3, ... , xn)

පරන ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ සංරචක අගයන්ගෙන් ඉහත පෙන්වූ ආකාරයට නව ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ සංරචක සොයා ගත හැකියි සේම, නව ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ සංරචක ඇසුරින් පරන ඛණ්ඩාංක පද්ධතියට අනුරූප සංරචක අගයන්ද සෙවිය හැකිය ඉහත රටාවටම පහත දැක්වෙන සේ ශ්‍රිත සකස් කර ගත් විට.

        x1 = f1(x1, x2, x3, ... , xn)
        x2 = f2(x1, x2, x3, ... , xn)
        x3 = f3(x1, x2, x3, ... , xn)
        ................
        ................
        xn = fn(x1, x2, x3, ... , xn) ------------------ (1)

ඉහත සූත්‍රද පොදුවේ පහත අයුරින් තනි ශ්‍රිතයකින් දැක්විය හැකිය.

        xm = fm(x1, x2, x3, ... , xn) ------------------ (2)

ඉහත (1) හා (2) යන ශ්‍රිතවලින් සිදු කරන්නේ ඛණ්ඩාංක පරිනාමයයි. මෙම ඛණ්ඩාංක පරිනාමය ඇසුරින්ද ටෙන්සර්වල ගතිගුණ අධ්‍යනය කළ හැකිය. විශේෂයෙන් කෝවේරියන්ට් හා කොන්ට්‍රවේරියන්ට් වෙනස මින් පහත ආකාරයට සඳහන් කළ හැකිය. ඛණ්ඩාංක පරිනාමනය ඇසුරින් කෝවේරියන්ට් හා කොන්ට්‍රවේරියන්ට් වෙනස නිර්වචනය කරන විට, එය පරිනාමන න්‍යාය (transformation law) ලෙස හැඳින්වෙනවා.

පහත දැක්වෙන්නේ කොන්ට්‍රවේරියන්ට් දෛශිකයක් (පලමු ගනයේ ටෙන්සරයක්) සඳහා නිර්වචනය කර තිබෙන පරිනාමන න්‍යාය වේ. මෙහි Ai යනු නව ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ පදනම් දෛශික ඔස්සේ පවතින සංරචක අගයන් වේ. Aj යනු පැරනි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ පදනම් දෛශික ඔස්සේ පවතින සංරචක වේ. x1, x2 ආදි ලෙස (පොදුවේ xi) දක්වන්නේ නව ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ තිබෙන පදනම් දෛශික වේ. x1, x2 ආදි ලෙස (පොදුවේ xj) දක්වන්නේ පැරනි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ තිබෙන පදනම් දෛශික වේ. මෙම න්‍යායට/රටාවට යම් රාශියක් හැසිරේ නම්, එය කොන්ට්‍රවේරියන්ට් දෛශිකයකි. අයින්ස්ටයින්ගේ සමාකලන රීතියට අනුව ටෙන්සර් නිරූපණය කර ඇති බව තේරුම් ගන්න.

ඉහත සූත්‍රයේ දර්ශක පද දෙකක් (i, j) ඇතත්, සමාකලනයට යටත් වන ඩමි ඉන්ඩෙක්ස් එක වන්නේ j පමණි. i වලින් දැක්වෙන පදයට අප විසින් පිටතින් 1, 2, 3 ආදි ලෙස ඉලක්කමක් ආදේශ කෙරේ. ඒ කියන්නේ එලෙස පිටතින් 1 ආදේශ කර ලැබෙන A1 යනු අලුත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ පළමු පදනම්/ඒකක දෛශිකය ඔස්සේ පවතින ටෙන්සරයේ සංරචකයයි. ඉන්පසු පිටතින් 2 ආදේශ කර A2 ලබා ගැනේ; එය අලුත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ දෙවැනි පදනම් දෛශිකය ඔස්සේ පවතින සංරචකයයි. ඒ ආදි ලෙස අපට අවශ්‍ය පදනම් දෛශික ගණන දක්වා ක්‍රමයෙන් පූර්න සංඛ්‍යා පිටතින් ආදේශ කළ යුතු වෙනවා එම i යන දර්ශකය වෙනුවට.
Read More »