දෛශික (vectors) - 6

ඩිව්

ඉංග්‍රිසි divergence යන දිගු නාමය කෙටි කර div ලෙස මෙම ගනිත කර්මය හඳුන්වනවා. අනිවාර්යෙන්ම දෛශික ශ්‍රිතයක් (දෛශික ලක්ෂ්‍ය ශ්‍රිතයක්) මත මෙය සිදු කෙරේ. ඩෙල් කාරකය ඇසුරින් මෙය ලියන්නේ පහත ආකාරයටයි.

ඩයිවර්ජන්ස් හිදි සිදු වන්නේ ඩෙල් කාරකය සමඟ දෛශික ශ්‍රිතය තිත් ගුණිතයට ලක් කිරීමයි. ඔබ දන්නවා තිත් ගුණිතයේ ප්‍රතිපලය හැමවිටම අදිශයක්. ඩෙල් කාරකය හා f ශ්‍රිතය තිත් ගුණිතයට ලක් කර බලන්න; එවිට ඉහත අර්ථ දැක්වීම ලැබේවි.

මෙහිදී යම් ගැටලුවක් මතු වේවි. එනම්, කොහොමද කාරකයක් (ගණිතමය වස්තුවක් නොවන එකක්) ගණිතමය වස්තුවක් සේ හැසිරෙමින් තිත් (හෝ කතිර) ගුණිතය සිදු කරන්නේ කියා. එම ගැටලුව මඟ හැරීමට ඉහත ඩිව් ගණිත කර්මය තේරුම් ගත යුත්තේ මෙසේය. කාරකය තුල තිබෙන පාර්ශ්වික අවකලනය දෛශික ශ්‍රිතය මත ක්‍රියාත්මක කරන්න. ඉන්පසු ඒකක දෛශිකවලින් අනුරූප පද තිත් ගුණිතය සිදු කරන්න. පහත දැක්වෙන්නේ මෙම පියවර දෙක වෙන වෙනම පැහැදිලි වන සේ ලියා ඇති ආකාරයයි.

ඩිව් ගණිත කර්මයෙන් කියන්නේ කුමක්ද? මෙයද ග්‍රැඩ් හි මෙන් දෙයාකාරයකින් තේරුම් ගත හැකියි. පළමු ක්‍රමය වන්නේ හුදු ගණිත කර්මයක් සේ සලකා සුලු කිරීමයි. උදාහරණයක් බලමු. ඩිව් කළ යුතු දෛශික ශ්‍රිතය a = x² i + yj + 2xyz k නම්, එම ශ්‍රිතය ඩිව් කරන්න. බලන්න අවසාන පිලිතුර අදිශයකි.

දෙවැනි ක්‍රමයේදී අවකාශයේ යම් ලක්ෂ්‍යයක් ගැන යමක් මින් කියයි (ඩෙල් කාරකය භාවිතා කරන්නේ ලක්ෂ්‍ය ශ්‍රිත මත නිසා, හැමවිටම අවකාශයේ ලක්ෂ්‍යයක ගතිගුණයක් තමයි කියන්නේ ග්‍රැඩ්, ඩිව්, කර්ල් යන ගණිත කර්ම තුනෙන්ම). විචලනය විය හැකි යම් දෛශික ගතිගුණයක්/රාශියක් යම් ලක්ෂ්‍යයක් ආශ්‍රයෙන් පවතින්නේ යැයි සිතමු. එම ගතිගුණය එම ලක්ෂ්‍යයේ සිට පිටතට (කුහුඹි ගුලකින් කුහුඹි පිටතට පැමිනෙන්නා සේ) හෝ ලක්ෂ්‍යය දෙසට (කුහුඹි ගුලක් තුලට කුහුඹි ඇතුලු වන්නා සේ) කුමන සීග්‍රතාවකින් ගමන් කරන්නේද යන්න මින් කියයි. තව දුරටත් එය විමසා බලමු.

අවකාශයේ ඇති එම ලක්ෂ්‍යයේ සිට එම ගතිගුණය සම්පූර්නයෙන්ම පිටතට යම් වේගයකින් විසිරී යන පරිදි තිබිය හැකිය. එහෙමත් නැතිනම්, ගතිගුණය එම ලක්ෂ්‍යය තුලට යම් වේගයකින් ඇතුලුවන පරිදි තිබිය හැකිය. එහෙමත් නැතිනම්, යම් යම් පැතිවලින් යම් වේගයකින් එම ලක්ෂ්‍යය තුලටත්, යම් යම් පැතිවලින් යම් වේගයකින් එම ලක්ෂ්‍යයෙන් පිටතටත් එම ගතිගුණය ගමන් කරන ලෙස තිබිය හැකිය (මෙවිට ඇතුලට හා පිටතට යන එකිනෙකට විරුද්ධ දිශාවලට පවතින එකම ගතිගුණයේ වෙනස ගත් විට, නැවතත් පලමු අවස්ථා දෙකින් එකක් නියෝජනය වේ - එක්කෝ ඇතුලට, නැතිනම් පිටතට).

මේ අනුව ඩයිවර්ජන්ස් යනු යම් දෛශික රාශියක් යම් ඒකක පරිමාවක් (ලක්ෂ්‍යයක් කිව්වත් වරදක් නැත) තුලට හෝ පිටතට ගමන් කරන සීග්‍රතාවයි. කුඩා ලක්ෂ්‍යයකදී මෙය සිදුවන හැටි සිතා ගැනීමට කෙනෙකුට යම් ගැටලුවක් ඇති විය හැකි නිසායි ඒකක පරිමාවක් ගෙන ඇත්තේ.

මෙම ගණිත කර්මය භාවිතා කළ හැකියි යම් දෛශික ලක්ෂ්‍ය ශ්‍රිතයක් සලකන විට, එහි යම් ලක්ෂ්‍යයක එම ශ්‍රිතයෙන් කියනා ගතිගුණය ඒකරාශි වෙනවාද (අභිසාරි - convergent), එම ගුණය එම ලක්ෂ්‍යයෙන් විසිරී යනවාද (අපසාරි - divergent) කියා සෙවීමට. අපසාරි වෙන විට ඊට "ප්‍රභවයක්" (source) කියා කිව හැකියි. උදාහරණයක් ලෙස, විදුලි බල්බයක් යනු ආලෝකය දසත විහිදුවන ප්‍රභවයකි. අපසාරි අගයන් ධන ලෙස ලැබේ. එවිට අභිසාරි වන අගයන් ඍන ලෙස ලැබිය යුතුය. අභිසාරි ගුණයක් සහිත දෙයක් sink ලෙස හැඳින්විය හැකිය (එහෙම නැතිනම් ඍන ප්‍රභවයක් ලෙසත් එය සැලකිය හැකියි). ඩිව් අගය 0 නම්, ඉන් කියන්නේ එම ලක්ෂ්‍යයට ඇතුලුවන ප්‍රමාණයට සමාන ප්‍රමාණයක් ඉන් පිට වන බවයි.

පහත දැක්වෙන්නේ, විද්‍යුත් හෝ චුම්භක ක්ෂේත්‍රයක් (විරුද්ධ ධ්‍රැව කිහිපයක් ආසන්නයේ ඇති විට) ඇති වන ක්ෂේත්‍රයේ ආදර්ශයකි. මෙහි දෛශික ගුණය අභිසාරි හා අපසාරි වන හැටි බලන්න. මෙලෙස අපසාරි හෝ අභිසාරි වන ලක්ෂ්‍යයන් තමයි ඩිව් ගණිත කර්මය මඟින් සොයා ගන්නේ.

මෙහිද සාම්‍යයන් කිහිපයක් තිබේ. දෙවැනි සාම්‍යයේදී දෛශික ශ්‍රිතයක් අදිශ ශ්‍රිතයකින් ගුණ කිරීම ගැනයි. එය දෛශික ගුණාකාරය ලෙස සැලකිය යුතු බව පැවසුවා මතකද? මෙවිට එහි ප්‍රතිපලය දෛශිකයකි; එනිසා ඒ මත ඩිව් කළ හැකියි. තෙවැනි සාම්‍යයේදී දෛශික ශ්‍රිත දෙකක් කතිර ගුණිතය සිදු කරයි. එවිට එහි ප්‍රතිපලය දෛශික වන නිසා ඒ මතත් ඩිව් සිදු කළ හැකිය.

කර්ල්

curl දෛශික අවකලන ගනිත කර්මය යනු ඩෙල් කාරකය යම් දෛශික ලක්ෂ්‍ය ශ්‍රිතයක් සමඟ කතිර ගුණිතය සිදු කිරීමයි. කර්ල් මඟින් ලැබෙන අවසාන ප්‍රතිපලය දෛශික වේ. ව්‍යුහාත්මකව කර්ල් හා ඩිව් දෙක අතර වෙනස ඉතා පැහැදිලිය. ඩිව් එකේදී ඒකක දෛහික 3 තිබුණේ නැති අතර, කර්ල් එකේදී i, j, k යන ඒකක දෛශික 3 තිබේ. බලන්න සූත්‍ර දෙකෙහි වෙනස.

ඉහත කෙටියෙන් හුරුබුහුටියට නිර්වචනය ඇතත්, එය සුලු කරන විට තරමක් දිගු ස්වභාවයක් ගන්නවා. එය කතිර ගුණිතයේ තිබෙන පොදු ලක්ෂණයක් (සුලු කිරීම තරමක් සංකීර්ණ වීම). එනිසා ඉහත ගණිත කර්මය යොදා සුලු කරන විට පහත ආකාරයට සුලු කිරීම සකස් කළ හැකියි.

ඔබට මතක ඇති ඉහත ආකාරයට ඇති ප්‍රකාශයක් න්‍යාසයකින් පහත ආකාරයට පෙන්විය හැකි බව (කතිර ගුණිතය තිබෙන විට න්‍යාසයකින් එය පහසුවෙන් මතක තිබෙන ආකාරයට පෙන්විය හැකි බව ඔබ දන්නවා).

පෙර කතා කළ අවස්ථා දෙකෙහිදිම මෙන්ම, මෙහිදිත් දෙයාකාරයකින් කර්ල් තේරුම් ගත හැකියි. එකක් පුරුදු ලෙසම ගනිත කර්මය සිදු කිරීමට පමණයි තිබෙන්නේ. උදාහරණයක් බලමු. දෛශික ශ්‍රිතය f = xi + yj + zk නම්, එ් මත කර්ල් සිදු කරන්න.

කර්ල් ගනිත කර්මය තේරුම් ගත යුතු දෙවැනි ආකාරය ජ්‍යාමිතික/අවකාශිය වේ (පෙර අවස්ථා දෙකෙහිම මෙන්ම). මින් කියන්නේ යම් ලක්ෂ්‍යයක පවතින දෛශික ලක්ෂණයක්/රාශියක් එම ලක්ෂ්‍යය වටා කරකැවීමක් (කර්ල් වීමක්) සිදු වෙනවාද නැද්ද යන්නයි. බලන්න පහත රතු කොටුවෙන් මතු කර පෙන්වා දෙනවා එම කරකැවීම. මෙම රූපයෙන් පෙන්වන දෛශික ක්ෂේත්‍රයට කර්ල් කර්මය සිදු කළා නම්, එහි ඕනෑම ලක්ෂ්‍යකදී පවතින කරකැවීමේ වේගය/සීග්‍රතාව හා එම ලක්ෂ්‍යයේදී කරකැවීම පවතින දිශාව ලබා දේ.

මෙහිදිත් සාමාන්‍ය කතිර ගුනිතයකදී මෙන් දෛශික දෙකට ලම්භක තලයක් ඔස්සේ නව දෛශිකයේ දිශාව පිහිටයි. එනිසා හැමවිටම දිශා දෙකක් පමණි තිබෙන්නේ (තලයට සාපේක්ෂව). කතිර ගුණිතය දකුණත් පද්ධතියක් සාදන බවත්, එය සොයා ගන්නා සැටි කතිර ගුණත කොටසේදී පෙන්වා දුන්නා මතකද? ඉතිං, කර්ල් හිදි කරකැවීමක් හෙවත් භ්‍රමණයක් (rotation) ගැන කතා කරන නිසා, භ්‍රමණයකට තිබෙන්නේ පැති/දිශා දෙකක් නිසා (වාමාවර්ත හෝ දක්ෂිනාවර්ත), මෙම භ්‍රමණ දිශා දෙක හා කතිර ගුණිතයේ දිශා දෙක 2 අතර ඍජු සබඳතාවක් තිබෙනවා. ඒ කියන්නේ කර්ල් අගයේ ධන හෝ ඍන ස්වභාවය මත අදාල ලක්ෂ්‍යය මත භ්‍රමණයේ දිශාව තීරණය වේ. තවද, කර්ල් අගයේ විශාලත්වය මඟින් එතැන සිදු වන භ්‍රමණයේ සීග්‍රතාව කියවේ.

කර්ල් අගය 0 නම්, එම ලක්ෂ්‍යය මත සලකා බලනු ලබන දෛශික රාශියේ භ්‍රමණ විචලනයක් නැත. එවැනි භ්‍රමණයක් ආකාරයට විචලනය පවතින ක්ෂේත්‍රයක් භ්‍රමණීය (rotational) ලෙසද, භ්‍රමණයක් නැති (භ්‍රමණය ශූන්‍ය) විට, ඊට අභ්‍රමණීය (irrotational) ලෙසද හැඳින්වේ. රොටේෂන් යන්නම කර්ල් යන්නට අර්ථයෙන් සමාන ඉංග්‍රිසි වදනක් වන අතර, එනිසා curl යන වචනයෙන් මෙන්ම rotation (හෝ එහි කෙටි වචනය වන rot) ලෙසද මෙම ගණිත කර්මය නම් කෙරෙනවා. තවද, curl f ලෙස ලියනවා වෙනුවට rot f ලෙසද සමහරුන් මෙම ගණිත කර්මය සංඛේතවත් කරයි.

කර්ල් සඳහා වන සාම්‍යයන් දැන් බලමු.

ලාප්ලාස් කාරකය

ඉහත සලකා බැලූ මූලික ගණිත කර්ම 3ට අමතරව ඩෙල් කාරකයෙන් සාදා ගත හැකි තවත් කාරකයක්. එය ලප්ලාස් (Pierre-Simon de Laplace) නම් ගණිතඥයාට ගෞරව පිනිස Laplacian හෝ Laplace operator ලෙස නම් කර ඇත. එහි නිර්වචනය පහත දැක්වේ. නිර්වචනයෙන් පෙනෙන පරිදි, ඩෙල් කාරක දෙකක් තිත් ගුණිතය කරන විට මෙය ලැබේ. ඩෙල් කාරකයේ වර්ග පදයක් ලෙස හෝ කැපිටල් ග්‍රීක් අකුරකින් හෝ ලප්ලාස් කාරකය සංඛේතවත් කෙරේ.

මෙයත් ඩෙල් කාරකය මෙන්ම කාරකයකි. එය තේරුම් ගත යුත්තේ මෙසේය. දෙන ලද අදිශ ශ්‍රිතයක් සමඟ පළමුව ග්‍රැඩ් කරන්න. ඉන් ලැබෙන දෛශික ශ්‍රිතය සමඟ ඩිව් කරන්න. මෙවිට අවසාන පිලිතුර අදිශයක් වේ. මෙම සුලු කිරීම සිදු කර බැලුවොත් ඔබට ලැබෙන්නේ ඉහත නිර්වචනයේ දක්වා ඇති සූත්‍රය වේ. ඇත්තටම ලප්ලාසියන් යනු දෙවැනි ගණයේ අවකලනයකි (second order differentiation).

ඩෙල් කාරකය සමඟ දෙවන ගණයේ අවකලනය

ග්‍රැඩ්, ඩිව්, කර්ල් යනු ඩෙල් කාරකය එක වරක් යම් ලක්ෂ්‍ය ශ්‍රිතයක් මත යොදන ගණිත කර්ම වේ. එහෙත් එක වරක් ඩෙල් කාරකය යෙදූ පසු, ඉන් ලැබෙන පිලිතුරට නැවත ඩෙල් කාරකය යෙදිය හැකිය (මෙය දෙවරක් අවකලනය කිරීමකි). ඉහත සලකා බැලූ ලප්ලාසියන් යනුද එවැනි දෙවන ගණයේ අවකලනයකි. දැන් අපි කෙටියෙන් බලමු ග්‍රැඩ්, ඩිව්, කර්ල් එකිනෙකට මිශ්‍ර කර යොදා ගන්නා හැටිත්. එලෙස එකිනෙකට වලංගු ලෙස මිශ්‍ර කළ හැකි ආකාර සියල්ල පහත සංක්ෂිප්තව දක්වා ඇත.

ඉහත ලැයිස්තුවේ පළමු එකින් කියන්නේ ලප්ලාස් කාරකයම තමයි. දෙවැන්න හා සිව්වැන්න සිදු කළ විට හැමවිටම ශූන්‍යම ලැබේ. ඊට හේතු තර්ක කර ඔබටම බැලිය හැකියි. 2න් කියන්නේ පළමුව අදිශ ලක්ෂ්‍ය ශ්‍රිතයක් මත ග්‍රැඩ් සිදු කර එහි දෛශික ප්‍රතිපලය ගන්න කියාය. හැමවිටම මෙම අගය එක් ඍජු දිශාවකට පවතී. ඉතං දිශාව එකම පැත්තට නම් එතැන කරකැවීමක් නැහැනෙ. එනිසා එහි කර්ල් අගය 0 විය යුතුය. එලෙසම 4ත් තර්ක කර බලන්න.

ඩෙල් කාරකයෙන් ගණිත කර්ම 3ක් සාදා ගත් නිසා, වරකට ඉන් 2 බැඟින් ගත් විට ගණිත කර්ම 9ක් සාදා ගත හැකිව තිබුණි. එසේ වුවත් ඉහත ආකාරයට 5ක් පමණි ඉන් වලංගු වන්නේ; අනෙක් සංකරණයන් අවලංගු වේ. වරක් ග්‍රැඩ් කර එහි දෛශික ප්‍රතිපලයට නැවත ග්‍රැඩ් සිදු කළ නොහැකියිනෙ මන්ද ග්‍රැඩ් සිදු කළ හැක්කේ අදිශයක් මත නිසා. එලෙසම වරක් ඩිව් කර, ඉන් ලැබෙන අදිශ ප්‍රතිපලයට නැවත ඩිව් හෝ කර්ල් සිදු කළ නොහැකියි මන්ද ඩිව් හෝ කර්ල් සිදු කළ හැක්කේ දෛශිකයක් මත නිසා. එලෙසම, වරක් කර්ල් කර ඉන් ලැබෙන දෛශික පිලිතුර මත නැවත ග්‍රැඩ් කළ නොහැකියි මන්ද ග්‍රැඩ් කළ හැක්කේ අදිශයක් මත නිසා.