දෛශික (vectors) - 8

රේඛා අනුකලනය ඉහත ආකාරයට විස්තර කළත් ඇත්තටම මෙහිද උප-ආකාර 3ක් තිබේ. එම උප-ආකාර 3ටම ඉහත කළ විස්තරය පොදුවේ යොදා ගත හැකිය. එසේ වුවත්, ඉහත රේඛා අනුකලන විස්තරය මෙම උප-ආකාර 3න් එකක් මූලික කොට ගෙනයි සිදු කළේ. එම විස්තරය හොඳින් මතක නම්, අනෙක් දෙකද පහසුවෙන්ම වටහා ගත හැකි වේ (මූලික න්‍යාය එකම නිසා). දැන් ඒ ගැන විමසා බලමු.

මෙම රේඛා අනුකල උප-ආකාර 3 පහත දැක්වේ. අනුකල සංඛේතයට පසුව ඇති කොටස් වෙත අවධානය යොමු කළොත් මෙහි ඇති රටාව එකවර පෙනෙනු ඇති. පළමු එකේ සිදු කර තිබෙන්නේ අදිශ ශ්‍රිතයක් දෛශික ශ්‍රිතයක් සමඟ ගුණාකාරය සිදු කිරීමයි (දෛශික ගුණාකාරය). එනිසා එම ශ්‍රිත දෙක මැද තිතක් හෝ කතිරයක් නැත. දෙවැන්නේදී දෛශික ශ්‍රිත දෙකක් තිත් ගුණිතය සිදු කර ඇත. තෙවැන්නේදී දෛශික දෙකක් කතිර ගුණිතය සිදු කර ඇත.

ඇත්තටම ශ්‍රිතය හා විෂය අතරට තිතක් හෝ කතිරයක් හෝ දැමීම ඔබ උගෙන ඇති සාමාන්‍ය (අදිශ) අනුකලනයට වඩා වෙනස්කමකි. එසේ වුවත්, සෛද්ධාන්තිකව ඒ ගැන අවබෝධ කර ගන්නා විට, එහි ලොකු අමුත්තක් නැත. ඊට හේතුව මෙයයි. සාමාන්‍ය අනුකලනයේදී පවා විෂය කොටස (dt, dR වැනි කොටස) හා අනුකලනයට භාජනය වන ප්‍රධාන ශ්‍රිතය (integrand) අතර ගුණ කිරීමක් තමයි පවතින්නේ (අදිශ සඳහා තිබෙන්නේ ඉතිං එකම එක ගුණ කිරීමක් පමණක් නිසා, ඩොට් එකකින් හෝ කතිරයකින් හෝ කිසිත් නොදා නිකං පද දෙක ළඟින් තැබීමෙන් හෝ එය පෙන්විය හැකියිනෙ - 4 . a, 4 x a, 4a). දෛශික සම්බන්ද වන විට, තත්වය ඊට වඩා තරමක් සංකීර්ණ වෙනවා මොකද දැන් රාශි/ශ්‍රිත දෙකක් ගුණ වන ආකාර 3ක් තිබෙන නිසා. එම අවස්ථා 3 දෛශික ගුනාකාරය, තිත/අදිිශ ගුණිතය, කතිර/දෛශික ගුණිතය වන අතර, ඒ අවස්ථා 3ට අදාල අනුකලන අවස්ථා 3 තමයි ඉහත පිලිවෙලින් දක්වා තිබෙන්නේ.

මෙම අනුකල අවස්ථා 3ම තේරුම් ගත හැකි ආකාර දෙකක් තිබේ (මෙම ආකාර දෙක එලෙසම දෛශික අවකලන කර්මවලදිත් මා පෙන්වා දුන්නා; එම ආකාර දෙක සමස්ථ ගණිතය තුලම පවතිනවා). පළමු ක්‍රමයේදී නිකංම සූත්‍රය යොදා සුලු කරන්නට පමණයි තිබෙන්නේ. ඉන් කියවෙන භෞතික/ජ්‍යාමිතික විග්‍රහයක් ගැන එවිට සොයා බලන්නේ නැත. දෙවැනි ක්‍රමයේදී එය භෞතික වශයෙන් හෝ ජ්‍යාමිතික වශයෙන් අසවල් දෙයක් කරනවා යැයි මනසේ මවාගත හැකි යමක් සිදු කරනවා (උදාහරණ ලෙස, දෛශික අවකලනයේදී කර්ල් යන්න කරකැවීමක් ලෙසත්, ඩිව් යන්න යම් තැනකින් යමක් විසිරී යෑමක් ලෙසත් සැලකුවා). එහෙත් දෙවැනි ක්‍රමයෙන් තේරුම් ගැනීම සෑම අවස්ථාවකදීම බැරිය (ගණිතය බොහෝ දුරට වියුක්ත යැයි පවසන්නේ එමනිසාය).

දෛශික ගුණාකාර ආකාරයේ රේඛා අනුකලය

ඇත්තෙන්ම, ඉහත දෛශික අනුකලන හෙඩිම පටන්ගැනීමේදි අප සලකා බලා තිබෙන්නේ මෙම ආකාරය තමයි (නැවත එම කොටස කියවා බලන්න). මෙහිදී විෂය හෝ ශ්‍රිතය යන දෙකෙන් එකක් දෛශික වන අතර, අනෙක අදිශ වේ. තවද, මෙය සුලු කර අවසන් වූ පසුව ලැබෙන්නේ දෛශික ශ්‍රිතයකි (එය දෛශික ගුනාකාරයේ ස්වභාවයනෙ). මෙහිද ආකාර දෙකක් තිබෙන බව පෙනේ; "විෂය - දෛශික, ශ්‍රිතය - අදිශ" හෝ "විෂය - අදිශ, ශ්‍රිතය - දෛශික" ලෙස. (dR = idx + jdy +kdz ලෙස ලිවිය හැක්කේ කෙසේදැයි මොහොතකින් විස්තර කෙරේ.)

මීට පෙර අනිශ්චිත අනුකලන උදාහරණයක් අප සලකා බැලූ අතර, දැන් තවත් උදාහරණයක් බලමු (මෙවර නිශ්චිත අනුකලයක් විසඳන හැටි බලමු). ශ්‍රිතය F(t) = (2t² - 3t)i + 2t² j + 4t k නම්, t=2 සිට t=4 දක්වා t විෂයෙන් එය අනුකල කරන්න. මෙහි විෂයෙහි උඩත් හා යටත් සීමා දෙක දී ඇති හෙයින් නිශ්චිත අනුකලනයකි. මෙම ගණන ඉහත රූපයේ පෙන්වා ඇති දෙවැනි ස්වරූපයට අයත් බව පෙනෙනවා නේද (ශ්‍රිතය-දෛශික, විෂය-අදිශ)?

තිත් ගුනිත ආකාරයේ රේඛා අනුකලය

ඉහතදී රේඛා අනුකලනය හෙඩිම යටතේ පැහැදිලි කිරීමේදී ඇත්තටම යොදා ගත්තේ දෙවැනි ආකාරය තමයි. මෙම දෙවැනි ආකාරය තමයි රේඛා අනුකල ආකාර 3න් ප්‍රචලිතම ආකාරය වන්නෙත් (එනිසා පතපොතෙහිද වැඩිම විස්තර තිබෙන්නේ මේ ගැනය). පෙර පැහැදිලි කිරීමට අමතරව තවත් වැදගත් කරුණු කිහිපයක් ඒ ගැන බලමු. ශ්‍රිත දෙකම දෛශික වන නිසා සාධාරණව එම ශ්‍රිත දෙක පහත ආකාරවලින් ලියමු. විශේෂයෙන් දෙවැනි ප්‍රකාශය හොඳින් බලන්න. යම් දෛශිකයක ඉතාම ඉතා කුඩා කොටසක් (ඉතාම කුඩා බව තමයි d අකුරින් හඟවන්නේ; කලනය ගැන ඉගෙන ගෙන ඇත්නම් ඔබට එය මතක ඇති). මෙම කුඩාම කුඩා දෛශිකය ඒකක දෛශිකවලින් පෙන්වන්නේ පහත දෙවැනි ප්‍රකාශයේ ආකාරයෙන් බව හොඳින් මතක තබා ගන්න.

F(R) = if(x,y,z) + jφ(x,y,z) + kψ(x,y,z)

dR = idx +jdy +kdz

දැන් ඉහත ප්‍රකාශ දෙක අදාල රේඛීය අනුකල අර්ථ දැක්වීම තුලට ආදේශ කර බලමු. ඉහත ශ්‍රිත දෙක ආදේශ කර සුලු කර බලන්න (පහත දැක්වෙන සුලු කිරීමේ අවසානයට පෙන්වා ඇති කොටස ලැබේවි). අමුතුවෙන් සුලු කර කර ඉන්නට අවශ්‍ය නැත, සිතෙනුත් ක්ෂණිකවම මෙය සුලු කළ හැකියි (ඕනෑම වෙනස් ඒකක දෛශික දෙකක් තිත් ගුණිතයට ලක්වන විට පිලිතුර ශූන්‍ය වේ). තවද, මෙම අනුකලයේ පිලිතුරු ශ්‍රිතය අනිවාර්යෙන්ම අදිශ වේ (තිත් ගුණිතයේ ප්‍රතිපලය අදිශයක්නෙ).

ඉහත සූත්‍රය යොදා ගෙන දැන් උදාහරණයක් සිදු කර බලමු. ප්‍රධාන දෛශික ශ්‍රිතය F=3x²i + (2xz - y)j + zk යැයි සිතමු. පථය ලෙස ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය තුල (0,0,0) සිට (2,1,3) දක්වා වූ සරල රේඛාව ගන්න. දැන් මෙම දෛශික ශ්‍රිත දෙකෙහි තිත් ගුණිත ආකාරයේ රේඛා අනුකලනය සොයන්න. පළමුව දෛශික ශ්‍රිතය අර්ථ දැක්වීමට අනුගතව පහත ආකාරයෙන් ලියා ගන්න (ඉහත සුලු කිරීමේ දෙවැනි පේලියේ ආකාරයට).

ඉහත ඇත්තේ අනිශ්චිත අනුකලයකි. දී ඇති දත්තය සමඟ එය නිශ්චිත අනුකලයක් බවට පත් කර ගත යුතුය. ඒ සඳහා අනුකලය සඳහා උඩත් හා යටත් අගයන් දෙක තිබිය යුතුය. ඒවා සාදා ගන්නේ දී ඇති දත්ත මඟිනි. පථය වන්නේ (0,0,0) සිට (2,1,3) දක්වා සරල රේඛා ඛණ්ඩයයි. එම සරල රේඛාවෙන් x/2 = y/1 = z/3 = t ලෙස සමීකරණයක් නිර්වචනය කර ගත හැකිය; මෙහි t වෙනුවට අපට කැමති අක්ෂරයක් යෙදිය හැකි අතර, ඊට පරාමිතිය යැයි කියනවා.

සටහන

ශ්‍රිතයක පරාමිතිය (parameter) යනු එම ශ්‍රිතයේ ඇති වෙනස් වෙනස් ස්වායත්ත විචල්‍ය සියල්ල වෙනුවට යෙදිය හැකි තනි විචල්‍යයකි. මෙය විය හැක්කේ කෙසේදැයි මඳක් කල්පනා කර බලන්න. එම ස්වායත්ත විචල්‍යද මෙම පරාමිතයේ ශ්‍රිත ලෙස සකස් කළ විට එය කළ හැකියි නේද? ඒ කියන්නේ අපේ ශ්‍රිතය ඇත්තටම දැන් ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක් (සීය කෙනෙකු) බවට පත්ව ඇත. සුලු කිරීමේ පහසුව තකා මෙලෙස යම් ශ්‍රිතයක් පරාමිතික ස්වරූපයට සාදා ගන්නවා.

f(x,y,z) නම් ස්වායත්ත විචල්‍ය 3ක ශ්‍රිතය ගමු. මෙම ස්වායත්ත විචල්‍ය 3 එකිනෙකට වෙනස්ය. එහෙත් එම ස්වායත්ත විචල්‍ය ටික වෙනත් විචල්‍යයක (t යැයි එය ගමු) ශ්‍රිත බවට පත් කර ගත හැකි යැයි සිතමු. ඒ කියන්නේ, x = f_x(t), y = f_y(t), z = f_z(t) ලෙස එම ශ්‍රිත ලිවිය හැකියි; මෙම කුඩා සමීකරණ පරාමිතික සමීකරණ (parametric equations) යැයි කියනවා. එවිට මුල් ශ්‍රිතය f(x,y,z) ස්වරූපයේ සිට f(f_x(t), f_y(t), f_z(t)) බවට පත් වේ. මෙවිට මුල් ශ්‍රිතය ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක් (සීයා/අත්තා) වී ඇත.

දැන් මෙම t පරාමිතිය ආශ්‍රයෙන් x, y, z දැක්විය හැකියි පහත ආකාරයට. මේවා පරාමිතික සමීකරණ වේ.

x/2 = t --> x = 2t

y/1 = t --> y = t

z/3 = t --> z = 3t

මෙවිට, (0,0,0) යන ලක්ෂ්‍ය යනු පරාමිතික අගය 0 වන අවස්ථාවයි (t = 0). එය ලබා ගන්නේ ඉහත ඕනෑම පරාමිතික සමීකරණයට ඛණ්ඩාංකයේ අදාල අගය ආදේශ කර පරාමිතික අගය සෙවීමෙනි. උදාහරණයක් ලෙස, (0,0,0) යන ඛණ්ඩාංකයේ මුල් 0 ආදාල/අයත් වන්නේ x ට වේ. එවිට x අඩංගු පරාමිතික සමීකරණය ගෙන, එහි x අගයට 0 ආදේශ කර t අගය ලබා ගත හැකියි. මෙම උදාහරණයේදී එය x = 2t --> 0 = 2t --> t = 0 වේ. මෙලෙසම ඛණ්ඩාංකයේ අනෙක් අගයන්ද යොදා ගත හැකියි. උදාහරණයක් ලෙස, එහි දෙවැනි අගයද 0 වන අතර, එය y ට අදාල වේ. එනිසා, y = t යන පරාමිතික සූත්‍රය යොදා ගත යුතුය. එවිට, t = 0 ලෙස මුල් උත්තරයම ලැබේ. මෙලෙසම (2,1,3) යන ඛණ්ඩාංකයේදී පරාමිතික අගය මේ දැන් පෙන්වූ ලෙසටම සෙවිය හැකියි. ඛණ්ඩාංකයේ අවසාන අගය වන 3 ගමු. මෙය අදාල වන්නේ z ටයි. එවිට, z = 3t --> 3 = 3t --> t =1 ලෙස ලැබේ.

ඛණ්ඩාංක දෙක මඟින් පථයේ කෙලවරවල් දෙකයි පැවසුවේ. ඛණ්ඩාංක ස්වරූපයෙන් තිබූ එම අගයන් පරාමිතියක් අමුතුවෙන් නිර්වචනය කර, නිශ්චිත අගයන් දෙකක් (0 හා 1) බවට දැන් අප පත් කරගෙන ඇත. පරාමිතියක් නිර්වචනය කළේ එය සිදු කර ගැනීම සඳහාය. දැන් මෙම පරාමිතිය සඳහා ලබා ගත් අගයන් දෙක තමයි නිශ්චිත අනුකලයේ උඩත් හා යටත් සීමා අගයන් දෙක බවට පත් වන්නේ.

එහෙත් දැන් තවත් දෙයක් කිරීමට තිබෙනවා අවසන් නිශ්චිත අනුකලනය සිදු කිරීමට පෙර. එනම්, තවදුරටත් ශ්‍රිතය x, y, z යන විචල්‍ය ඇසුරින් පැවතිය නොහැකිය. එය පරාමිතිය ආශ්‍රයෙන් ඉදිරිපත් කළ යුතුය. ඉහත පරාමිතික සමීකරණ 3ට අනුව, x, y, z යන තැන්වලට t සහිත ප්‍රකාශ ආදේශ කරන්න. එලෙසම dx, dy, dz විෂය පදද dt ඇසුරින් ලිවිය යුතුය. මෙම විෂය පද ලබා ගන්නේ ඉහත පරාමිතික සමීකරණ පරාමිතියෙන් (t විෂයෙන්) අවකලනය කිරීමෙනි.

x = 2t --> dx/dt = d(2t)/dt --> dx/dt = 2 --> dx = 2 dt

y = t --> dy/dt = dt/dt --> dy/dt = 1 --> dy = dt

z = 3t --> dz/dt = d(3t)/dt --> dz/dt = 3 --> dz = 3 dt

දැන් සියලු පෙරසූදානම් කිරිලි කර අවසන්ය. මුල් ශ්‍රිතය පරාමිතිය ආශ්‍රිතව ප්‍රකාශ කිරීම පහත ආකාරයට සිදු වේ (ආදේශ කිරීමෙන්).

3x²dx + (2xz - y)dy + zdz --> 3(2t)² 2dt + {2(2t)(3t) - t}dt + 3t 3dt

--> 36t² dt+ 12t² dt - t dt + 9t dt

--> (48t² + 8t) dt

ඉහත ශ්‍රිතයට දැන් නිශ්චිත අනුකලය සිදු කරන්න. මෙවිට අවසාන පිලිතුර ලෙස 20 ලැබේ.

ඉහත උදාහරණය ප්‍රායෝගික උදාහරණයක් ආදර්ශනය කරන්නකි. එනම්, එහි දැක්වූ දෛශික ශ්‍රිතයෙන් යම් බල ක්ෂේත්‍රයක් නිරූපණය කෙරේ. මෙම ක්ෂේත්‍රය හරහා අංශුවක් ඒ කියූ රේඛීය පථය ඔස්සේ ගමන් කරන විට, එම අංශුව විසින් සිදු කරපු කාර්ය ප්‍රමාණය තමයි 20 ලෙස ලැබුණේ. ඔබ දන්නවා භෞතික විද්‍යාවේදී කාර්ය යනු බලය යන දෛශික අගය හා එම බලය නිසා බලයේ දිශාවටම චලනය වන දුර (දෛශිකයකි) යන දෙකෙහි ගුණිතයයි (තිත් ගුණිතයයි).

මෙම බල ක්ෂේත්‍රය හරහා ගමන් කරන අංශුව රේඛීයව නොව වක්‍ර ගමනක වුවද යෙදවිය හැකිය. මෙවිට වක්‍ර පථයක් ඔස්සේ රේඛා අනුකලනය සිදු වේ (ගණනය කිරීමේ වෙනසක් නැත). උදාහරණයක් ලෙස, ඉහත ක්ෂේත්‍රය තුලම, අර අංශුව ගමන් කළ පථය වූයේ x = 0 සිට x = 2 දක්වා පරාසය තුල x² = 4y, 3x³ = 8z යන සමීකරණ ද්විත්වයෙන් නිරූපණය කරන වක්‍ර පථය දිගේ නම්, නැවත අනුකලනය සිදු කරන්න.

මෙහිදී ඇත්තටම රේඛා අනුකලය සිදු කිරීමේදී පෙර අවස්ථාවට වඩා පොඩ්ඩක්වත් වෙනස් නැත. එහෙත් දැන් පථය වෙනස්ය. දී තිබෙන දත්ත නිශ්චිත අනුකලයේ සීමා අගයන් දෙකක් බවට පත් කර ගැනීමට පෙර කළ පරිදි පරාමිතියක් භාවිතා කිරීමට සිදු වේ. පථය සඳහා දී තිබෙන සමීකරණවල x විචල්‍ය පොදුය. එය t පරාමිතියට සමාන කරමු. එවිට පහත පරාමිතික ශ්‍රිත 3 ලැබේ. පරාමිතිය ඇසුරින් විචල්‍යයන් සියල්ල දැක්විය හැකි නම්, එය වලංගු පරාමිතියක් වන අතර, සරලම ආකාරයේ පරාමිතික ශ්‍රිත ලැබෙන පරිදි පරාමිතියක් අර්ථ දැක්වීමට උත්සහ කළ යුතුය.

x = t

x² = 4y --> y = t²/4

3x³ = 8z --> z = 3t³/8

එලෙසම dx, dy, dz යන විෂය පදත් පරාමිතිය ඇසුරින් නිරූපණය කරමු.

x = t --> dx/dt = dt/dt --> dx = dt

y = t2/4 --> dy/dt = 2t/4 --> dy = 1/2 t dt

z = 3t3/8 --> dz/dt = 9t2/8 --> dz = 9t²/8 dt

මෙවිට, පථයේ සීමා අගයන් වන x = 0, x = 2 යන අගයන් පරාමිතිය ඇසුරින්, t = x = 0, t = x = 2 වේ. දැන් මෙම සියලු දත්තයන් සමඟ නිශ්චිත අනුකලය පහත ආකාරයට සිදු කළ හැකිය.

කතිර ගුණිත ආකාරයේ රේඛා අනුකලය

කලින් අවස්ථා දෙකෙහි තිබූ රටාව හා සංකල්පය තේරුම් ගත් විට, මෙම ආකාරයේ රේඛා අනුකලය ගැනත් පහසුවෙන්ම තේරුම් ගත හැකියි. විෂය පදය හා ප්‍රධාන ශ්‍රිතය යන දෙකම දෛශික වන අතර, ඒ දෙක කතිර ගුණිතය සිදු කරනවා. එනිසා, අවසානයේ ලැබෙන පිලිතුරද දෛශික විය යුතුය. එහෙත් කතිර ගුනිතය ස්වභාවයෙන්ම තරමක් සංකීර්ණ නිසා, කතිර ගුණිතයක් මත අනුකලනය කරන විට තවත් එය සංකීර්න වෙනවා.