Tuesday, March 29, 2016

අනුකලනය (Integration) - 8

2

විෂම අනුකලය

විෂම අනුකලය (improper integral) යනු නිශ්චිත අනුකලයේදී මතු වන සුවිශේෂි තත්වයකි. සාමාන්‍යයෙන් නිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශයක් සුලු කර අවසන් වූවාට පසුව අපට යම් නිශ්චිත අගයක් (හෙවත් නිශ්චිත වර්ගඵලයක්) ලැබෙනවානෙ. එහෙත් යම් හේතු නිසා නිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශය සුලු කළ පසුත් අවසන් අගය නිශ්චිත නොවන අවස්ථා ඇත. විෂම අනුකලය යොදන්නට සිදු වන්නේ එබදු අවස්ථාලය. ප්‍රධාන ලෙස මෙවැනි අවස්ථා දෙකක් ඇත.

ඔබ දැන් දන්නවා නිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශයක් සුලු කිරීමේදී පියවරවල් දෙකක් තිබෙනවා. පළමු පියවරේදී අනිශ්චිත අනුකල සුලු කිරීමකුයි සිදු වන්නේ (දෙවැනි පියවරේදී නිශ්චිත පරාසයේ අගයන් දෙක ඊට ආදේශ කිරීම සිදු වෙනවා). මෙම පළමු පියවරේදී ලැබෙන්නේද ශ්‍රිතයක්නෙ. ඉතිං අනුකලයේ දක්වා ඇති පරාසය තුළ, සමහර ශ්‍රිත අසන්තතික (discontinuous) විය හැකියි. පහත රූපය බලන්න.



ඉහත රූපයේ දැක්වෙන්නේ අනුකලනයට භාජනය වන යම් ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයකි. එහි x=2 වන විට ප්‍රස්ථාරය කැඩී/අසන්තතික වී ඇත. දැන් පෙන්වා ඇති පරිදි 2 යන අවස්ථාවත් ඇතුලත් වන පරිදි යම් x අගය පරාසයක වර්ගඵලය (එනම් නිශ්චිත අනුකලය) සොයන විට ගැටලුවක් මතු වේ. එනම් x=2 යන අවස්ථාවේදී අනන්තය දක්වා උසක් ප්‍රස්ථාරය ගමන් කරනවා. ඉතිං කොහොමද නිශ්චිතවම වර්ගඵලයක් කියන්නේ? එනම් මෙය විෂම අනුකල අවස්ථාවකි.

මතකයට
පොඩි සිතුවිලි පරීක්ෂණයක් කරමු. සිතන්න යම් ඊතලයක් සෑම තත්පරයකදීම ඊට ගමන් කිරීමට තිබෙන දුරින් හරි අඩක් ගමන් කරනවා කියා. ඊට ගමන් කිරීමට තිබෙන දුර මීටර් 10ක් නම්, ඊතලයට කොපමණ කාලයක් ගත වෙනවාද එම දුර ගමන් කිරීමට? සිතා බලන්න. ඊට අනන්ත කාලයක් ගත වනු ඇත (එනම් කිසිදා ගමන් කර ඉවර වන්නේ නැත). පළමු තත්පරයේදී එය මීටර් 5ක් යනු ඇත. එවිට තවත් මීටර් 5ක දුරක් ඊට ගමන් කිරීමට ඇත. දෙවැනි තත්පරයේදී ඉන් අඩක් වන මීටර් 2.5ක් යනු ඇත. එවිට තවත් මීටර් 2.5ක් ඉතිරි වනු ඇත. මෙලෙස සෑම තත්පරයක් පාසාම තිබෙන දුරින් භාගයක් පමණක් යන නිසා, හැමවිටම ඉන් භාගයක් ඉතිරි වේ.

එහෙත් තත්පර කිහිපයක් ගිය පසු සමහරවිට ඊතලයට යෑමට තිබෙන්නේ මීටර් 0.000000000001 ක් වැනි දුරක් වීමට පුලුවන්. ඊටත් තත්පර කිහිපයකට පසු සිතාගත නොහැකි තරම් කුඩා දුරක් වේවි. කොතරම් කාලයක් ගියත් හැමවිටම තවත් ගමන් කිරීමට යම් දුරක් ඉතිරි වෙනවා.

මෙම අවස්ථාව ගැන මෙහෙමත් සිතන්න. ඔබ හොඳටම දන්නවා මීටර් 10ක් කියන්නේ නිශ්චිත දුරක් බව (එනම් අනන්ත දුරක් නොවේ). එහෙත් ඉහත ඊතලය ගමන් කරන්නේ යැයි උපකල්පනය කළ ආකාරය නිසා ඊට අනන්ත කාලයක් එය ගමන් කිරීමට ගත වූවා. ඒ කියන්නේ කාලය අනන්තයක් (අවිනිශ්චිත) වුවත්, දුර නිශ්චිතය.

ඉහත සිතුවිලි පරික්ෂාව වැනි තත්වයන් ගණිතයේදී ඇත්තටම හමු වේ. උදාහරණයක් ලෙස ඉහත රූපයම සලකන්න. එහි x=2 විට, ශ්‍රිතය අසන්තතික වන්නේ ප්‍රස්ථාරය දෙපැත්තෙන්ම උඩට අනන්තය කරා යන නිසාය. එවිට එකවරම ඔබට සිතේවි ප්‍රස්ථාර වක්‍රයේ වර්ගඵලය අනන්තයක් වේවි කියා. ඊට හේතුව පොඩ්ඩ පොඩ්ඩ කුඩා වර්ගඵලයන් අනන්ත සංඛ්‍යාවක් එකතු වූ විට අනන්ත වර්ගඵලයක් ලැබෙනවා කියා සිතිය හැකියිනෙ.

එහෙත් උදාහරණයක් ලෙස, ප්‍රස්ථාර වක්‍රය උඩට ගමන් කරන්නේ එකතු වන වර්ගඵලය ඊට පෙර එකතු වූ වර්ගඵලයෙන් දහයෙන් එකක පංගුවක් වන පරිදි නම්, එවිට ඇත්තටම අවසානයේ ලැබෙන වර්ගඵලය අනන්තයක් නොවේ. උදාහරණයක් ලෙස, x=1.9 වන විට වර්ගඵලය 10 නම්, x අක්ෂය දිගේ යම් කුඩා දුරක් ගිය පසු, එම ගිය කොටස නිසා 0.1 ක වර්ගඵලයක් ඊට එකතු වනවා යැයි සිතමු. එවිට දැන් මුලු වර්ගඵලය 10.1 වේ. එවැනිම කුඩා දුරක් නැවත ගිය පසු එකතු වන්නේ 0.1න් දහයෙන් පංගුවක් හෙවත් 0.01 වර්ගඵලයකි. එවිට, මුලු වර්ගඵලය 10.11 වේ. මේ ආදී ලෙස දුරවල් අනන්ත ගණනක් x දිගේ යන විට, මුලු වර්ගඵලයත් 10.111111......1 වේවි. බලන්න වර්ගඵලය කිසිවිටක 10.12 වත් වන්නේ නැත. කාල සමග දශමස්ථානය බැගින් පමණයි අගය වැඩි වන්නේ. ඒ කියන්නේ මෙතැන යම් සීමා අගයක් පවතිනවා නේද? (අවකලනය පාඩම්වලදී සීමා ගැන සොයා බැලුවානෙ).

මතකයට
සීමාවක් තිබෙන ඕනෑම තැනක 100%ක් නිශ්චිත බවක් නැත. එහෙත් එය සෑම අතින්ම 100% ක් නිශ්චිත බවට සිතා ගත නොහැකි තරම් ආසන්නයි. එනිසා සීමා යොදාගෙන කරන ගණනය කිරීම්ද ඉතාම නිවැරදියි. ඒවා දළ අගයන් හෝ ආසන්න අගයකට ගණනය කිරීමක් ලෙස සලකන්නට එපා.

ඇත්තටම අසන්තතික ශ්‍රිතයක් වුවත්, එම අසන්තතික බව තිබෙන ස්ථානය හසු නොවන පරාසයක නිශ්චිත අනුකලය (වර්ගඵලය) සොයන විට කිසිදු ප්‍රශ්නයක් ඇති නොවේ. එවිට එතැන විෂම අනුකලයක් ඇත්තේ නැත. උදාහරණයක් ලෙස ඉහත ප්‍රස්ථාරය පහත දක්වා තිබෙනවා වෙනස් පරාසයක වර්ගඵලය සොයන අයුරින්. මෙවිට වර්ගඵලයේ අවිනිශ්චිත බවක් නැති නිසා, කිසිදු ගැටලුවක් නැත.



ඉහත විස්තරවලින් ගම්‍ය වන්නේ අසන්තතික ශ්‍රිතයක් සහිත විට, එම අසන්තතික බවත් ඇතුලත් වන පරිදි යම් පරාසයක් තුළ වර්ගඵලය සොයන විට, එය සාමාන්‍ය නිශ්චිත අනුකල සුලු කිරීමකින් පමණක් සුලු කළ නොහැකි බවයි. ඒ සඳහා යම් සීමා ගණනය කිරීමක් යොදා ගත යුතු වෙනවා. එවිට සලකා බැලිය යුතු ගතිගුණ කිහිපයක් තිබෙනවා.

විෂම අනුකල සුලු කරන අයුරු ඉගෙනීමට පෙර විෂම අනුකලයක් ඇති වන අවස්ථා දෙකෙන් දෙවැනි අවස්ථාවත් බලමු. මෙහිදී ශ්‍රිතය සන්තතිකයි. එහෙත් පරාස සීමාවන් නිශ්චිත නැත; ඒ කියන්නේ පරාස අගයන්ගෙන් එකක් හෝ දෙකම අනන්ත අගයන් සහිතයි. පරාස අගයන් අනන්තය ගත්තත් ඉන් හැඟවෙන්නේ නැහැ නිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශය සුලු කර එම අනන්ත අගයන් ආදේශ කර වර්ගඵලය සොයන විට එම වර්ගඵලයත් අනන්තයක් වන බව. ඇත්තටම අනුකල ප්‍රකාශයක් සුලු කරන විට ප්‍රතිඵලය ලෙස අනන්තය ලැබේ නම්, එය වලංගු පිළිතුරක් ලෙස සලකන්නේද නැත.

දැන් බලමු විෂම අනුකල විසඳන හැටි මේ අවස්ථා දෙකෙහිදීම. ඇත්තටම මෙම අවස්ථා දෙකට නම් දෙකකුත් තිබෙනවා. පළමු අවස්ථාව "පළමු ආකාරය" (Type I) ලෙසද, දෙවන අවස්ථාව "දෙවන ආකාරය" (Type II) ලෙසද හැඳින්වෙනවා. පළමු ආකාරයේදී ශ්‍රිතය පරිමිත නැති (integral function is unbounded) අතර, දෙවැනි ආකාරයේදී පරාස අගයන් පරිමිත නැත (interval is unbounded).

පහත අනුකලය බලන්න.






අනන්තය මෙම අනුකලයේ උඩත් සීමාව ලෙස පවතී. ඒ අනුව මෙය දෙවැනි ආකාරයේ විෂම අනුකලයක් නේද? අනන්තයක් පවතින නිසා එකවර සාමාන්‍යයෙන් විසඳන ආකාරයටම විසඳන්නට ගියොත් බොහෝවිට ගැටලු ඇති කරාවි. ඊට හේතුව අනන්තය යනු ඇත්තටම සංඛ්‍යාවක් නොවේ; එය නිශ්චිතද නැත. එබැවින් නිවැරදිව මෙවැනි අවස්ථාවක් සුලු කරන හැටි දත යුතුය. පළමුවෙන්ම අනන්තය එතැන නැතැයි සිතන්න. ඒ වෙනුවට වෙනත් නිශ්චිත අගයක් (විචල්‍යයක්) එතැන ඇතැයි සිතා සාමාන්‍ය පරිදි සුලු කරගෙන යන්න.









ඉහතදී අනන්තය වෙනුවට n නම් නිශ්චත අගයක් සහිත නියත පදය ආදේශ කර ඇත. ඉන්පසු සාමාන්‍ය පරිදි සුලු කරගෙන ගොස් n සහිත අවසන් ප්‍රතිඵලයක් ලබාගෙන ඇත. එහෙත් තවම සුලු කිරීම අවසන් නැත. දැන් මුලින් ඉවත් කළ අනන්තය මේ තුලට ගෙන ආ යුතුයි. අනන්ත අගයන් ගණිත ප්‍රකාශයක් තුළට ගෙන ආ හැකි හොඳම ක්‍රමය සීමාවක් ලෙසයි. ඒ කියන්නේ දැන් n = අනන්තය ලෙස ආදේශ කරනවා වෙනුවට n අනන්තය කරා යෑමේදී ප්‍රකාශයේ සීමා අගය කුමක්ද යන්නයි සෙවිය යුත්තේ.







ඉහත පෙන්වූ සරල ක්‍රමය භාවිතා කරමින් දෙවැනි වර්ගයේ විෂම අනුකලය සිදු කළ හැකියි. ඒ සඳහා ඔබට අමුතුවෙන් කළ යුතු වන්නේ පරාසයේ ඇති අනන්ත අගය වෙනුවට යම් නියතයක් ආදේශ කර, එය සුලු කර, අවසානයේ එම නියතය අනන්තය කරා යන සීමාව ගැනීම පමණි. උඩත් සීමාවේ වෙනුවට යටත් සීමාවේද අනන්තය (මෙවිට එය ඍණ අනන්තය) පවතී නම්, එවිටද එවැනිම ආදේශයක් සිදු කළ යුතුය. එම ක්‍රියාවලිය කෙටියෙන් පහත ආකාරයෙන් දැක්විය හැකියි.


 
නැවත අවධාරණය කරන්නේ ඉහත ආකාරයට විසඳිය හැක්කේ පරාසයේ අනන්ත අගයක් පැවතියත් වර්ගඵලය (එනම් නිශ්චිත අනුකල ප්‍රතිපලය) අනන්ත නොවන අගයක් ගන්නා අවස්ථාවලදීය. පරාස අගය අනන්ත වුවත් වර්ගඵලය අනන්ත නොවන විට, එවැනි අවස්ථාවක් අභිසාරී (convergent) ලෙස හැඳින්වෙනවා. එහෙත් පරාස අගය අනන්ත වන විට, වර්ගඵලයත් අනන්ත අගයක් ගන්නා අවස්ථා තිබෙන අතර, එවැනි අවස්ථා අපසාරී (divergent) ලෙස හැඳින්වෙනවා.

පරාස අගයන් දෙකම අනන්ත අගයන් ලෙස නම් පවතින්නේ, එවිට පළමුව නිශ්චිත අනුකල සාම්‍යයක් යොදාගත යුතුය (තනි මුලු පරාසයේම එකවර වර්ගඵලය සොයනවා වෙනුවට, එය වර්ගඵලය කොටස් වශයෙන් සොයා එකතු කිරීමේ සාම්‍යය). ඉන්පසු එම වෙන් වෙන්ව ඇති අනුකල ප්‍රකාශ දෙකෙහි අනන්ත පද වෙනුවට ඉහත පෙන්වපු සූත්‍ර දෙක ආදේශ කරගෙනයි පහත සූත්‍රය නිර්මාණය කරගෙන තිබෙන්නේ. මෙහිදී වෙන වෙනම ලැබුණු කුඩා අනුකල ප්‍රකාශ දැන් වෙන වෙනම ගත් කළත් අභිසාරී විය යුතුය.



ඒ අනුව ඉහතකදී සලකා බැලූ උදාහරණය අභිසාරී අවස්ථාවකි. දැන් අපසාරි අවස්ථාවක්ද බලමු. මෙහි අවසන් ප්‍රතිඵලයද අනන්ත අගයකි - එනම් අපසාරී වේ.







තවත් උදාහරණයක් බලමු. මෙහි අගය අනන්තය නොවන බැවින් අනුකල ප්‍රකාශය අභිසාරී වේ.











දැන් අපි බලමු පළමු ආකාරයේ විෂම අනුකල සුලු කරන අයුරු. මෙහිදී ශ්‍රිතයේ අසන්තතික බව තිබෙන ස්ථානය හසු නොවන සේ වර්ගඵලය සෙවීමට වගබලා ගන්න. එසේ අසන්තතික බව මඟ හැරිය හැකි ක්‍රමය මෙසේය.

මතකයට
යම් සංඛ්‍යා/අගයන් දෙකක් අතර සැසඳීමක් සිදු කළ හැකියි. ඒ සඳහා වෙනමම "සැසඳීමේ ගණිතකර්ම" (relational operators) ඇත. පහත දැක්වෙන්නේ එම ගණිතකර්මයි.

x > y “x විශාලයි y ට වඩා". මෙය "වඩා විශාල" (greater than) ගණිත කර්මය ලෙස හැඳින්වෙනවා.

x < y “x කුඩායි y ට වඩා". මෙය "වඩා කුඩා" (less than) ගණිත කර්මයයි.

x = y “x සමානයි y”. "සමාන" (equal to) ගණිත කර්මයයි.

x <> y “x අසමානයි y”. "අසමාන" (not equal to) ගණිත කර්මයයි.

x y “x විශාලයි හෝ සමානයි y”. "විශාල හෝ සමාන" (greater than or equal to) ගණිත කර්මයයි.

x y “x කුඩායි හෝ සමානයි y”. කුඩා හෝ සමාන" (less than or equal to) ගණිත කර්මයයි.

ඕනෑම අගයන් දෙකක් ගත්විට ඉහත ආකාර 6න් කුමක් හෝ ආකාරයකින් එම අගයන් දෙක සැසඳිය හැකිය. තවද, සංඛ්‍යා දෙකක් සැසඳීම පමණක් නොව, ඉහත ගණිත කර්ම යොදා ගෙන යම් විචල්‍යයක් ගත හැකි අගය පරාසයක් (range හෝ interval) දැක්වීමද සිදු කළ හැකිය. උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

5 < x > 15 - මින් කියන්නේ x නම් විචල්‍යයේ අගය 5ට වඩා වැඩි විය යුතු අතර 15ට වඩා අඩු විය යුතු බවයි. මෙවිට x 5 හෝ 15 යන අගයන් දෙක අයත් වන්නේ නැත. ලියා ඇති පරාස සීමා අගයන් ඇතුලත් නොවන විට, විවෘත පරාසයක්" (open interval) ලෙස එය හැඳින්වේ. ඒ අනුව ඉහත ප්‍රකාශය විවෘත පරාස ප්‍රකාශයකි. 5 හා 15 යන අගයනුත් ඇතුලත් වීමට අවශ්‍ය නම් එය පහත ආකාරයට ලිවිය යුතුය.

5 x 15 - මෙම ප්‍රකාශය දැන් විවෘත පරාසයක් නොව සංවෘත පරාසයකි (closed interval). එහෙත් අපට අවශ්‍ය නම් ප්‍රකාශයක එක් පැත්තක් විවෘතවත් අනෙක් පස සංවෘතවත් තැබිය හැකියි.

5 < x 15 - මෙහි වම් පස විවෘත වන අතර, දකුණු පස සංවෘත වේ.

පරාසයන් ඉහත ආකාරයට නිරූපණය කළ හැකි වුවත්, කෙටි ක්‍රමයකින්ද පරාස දැක්විය හැකියි. ඒ සඳහා සාමාන්‍ය වරහන් හා කොටු වරහන් භාවිතා වේ. උදාහරණයක් ලෙස දෙපැත්තම විවෘතව අැති පරාසයක් දක්වන්නේ දෙපැත්තේම සාමාන්‍ය වරහන් යෙදීමෙනි. එලෙසම, දෙපැත්තම සංවෘත පරාසයක් දක්වන්නේ දෙපැත්තෙන්ම කොටු වරහන් යෙදීමෙනි.

5 < x > 15 → (5, 15)
5 x 15 → [5,15]

එහෙත් පැත්තක් විවෘත හා පැත්තක් සංවෘත පරාසයන් නිරූපණය කරන විට, විවෘත පැත්ත සාමාන්‍ය වරහනකිනුත් සංවෘත පැත්ත කොටු වරහනකිනුත් ආවරණය කළ යුතුය.

5 x > 15 → [5, 15)
5 < x 15 → (5, 15]

තවද, ප්‍රස්ථාරයක ශ්‍රිත ලකුණු කරන්නාක් මෙන්, පරාසයන්ද සංඛ්‍යා රේඛාවක් මත ලකුණු කළ හැකියි. සංවෘත පැත්තේ අගය තද ඩොට් එකකින්ද, විවෘත පැත්තේ අගය මැද හිස් ඩොට් එකකින්ද ලකුණු කර පරාසය තද ඉරකින් ලකුණු කළ යුතුය.


 
නිශ්චිත අනුකලයේ ඇති පරාස අගයන් දෙකෙන් එකක් (හෝ දෙකම) ශ්‍රිතය අසන්තිතක වන මායිම හෙවත් සීමාව වන සේ සැලකූ විට විෂම අනුකලයක් ඇති වේ. මතක තබා ගන්න මෙහිදී දී ඇති පරාසය තුළ කිසිදු අසන්තතික බවක් නැත. අසන්තතික බව පටන් ගන්නා මොහොතේම තමයි වර්ගඵලය සෙවිය යුතු පරාසය කෙළවර වන්නේ. මෙම විස්තරය සංක්ෂිප්තව ගණිතානුකූලව පහත ආකාරයට ලිවිය හැකියි.

f(x) ශ්‍රිතය [a,b) පරාසය තුළ සන්තතික වන නමුත්, හරියටම x = b වන විට අසන්තතික වෙනවා යැයි සිතමු. එවිට,







ලෙස ලිවිය හැකියි. පරාසය ලියා තිබෙන්නේ [a,b) ලෙස නිසා, ඉන් හැඟවෙන්නේ a යන්න පරාසයට ඇතුලත් වුවත්, b යන අගය පරාසය තුළ නැති බවයි. x=b වන විට ශ්‍රිතය අසන්තතික වන නිසා, අපට වර්ගඵලය සොයන පරාසය තුළ b තබා ගත නොහැකියිනෙ. ඒ කියන්නේ b ට වඩා අඩු එහෙත් b ට ඉතාම ඉතාම ඉතා ආසන්න අගයක් තමයි උඩත් සීමාව බවට පත් වන්නේ. උදාහරණයක් ලෙස, b යනු 10 නම්, 9.99.......9 වැනි 10ට ඉතාම ආසන්න අගයක් ගත හැකියි. (මෙවැනි විටක b යනු "සීමාවක්" ලෙස සලකන බව ඔබ දැන් දන්නවා). සීමාව ගත යුත්තේ වම් පැත්තෙන්ය (එනම් සීමා අගයට අඩු අගයක් ගත යුතුය). එය තමයි b- ලෙස හඟවන්නේ.

එලෙසම, f(x) ශ්‍රිතය (a,b] යන පරාසය තුළ සන්තතික වන නමුත්, හරියටම x = a වන විට අසන්තතික වෙනවා යැයි සිතමු. එවිට,







මෙහිදී සීමා අගය ගන්නේ දකුණු පසින්ය. ඊට හේතුව x=a වන විට ශ්‍රිතය අසන්තතික වෙනවා නම්, a යනු යටත් පරාස අගය නිසා, වර්ගඵලය සොයන විට දකුණු පසටයි ගමන් කරන්නේ.

පරාසය තුළදීම ශ්‍රිතය අසන්තතික වන්නට හැකියි. එවිට, පෙර අවස්ථාවකදීත් සිදු කළ ආකාරයටම තනි වර්ගඵලයක් වෙනුවට වර්ගඵල කිහිපයක් සොයා එකතු කරන නිශ්චිත අනුකල සාම්‍යය යෙදිය හැකියි. එනම්, යම් ශ්‍රිතයක [a,b] නම් පරාසය තුළ නිශ්චිත අනුකලය සෙවීමට ඇතැයි සිතමු. එහෙත් මෙම පරාසයේ අතර මැද c නම් අගයකදී ප්‍රස්ථාරයේ යම් අසන්තතික බවක් තිබේ යැයි සිතමු. එවිට, ඔබ කළ යුත්තේ මෙම අසන්තතික ලක්ෂ්‍ය එක් පරාස අගයක් වන සේ සකස් කළ පරාස දෙකක් සාදා ගැනීමයි. එනම්,












දැන් උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.







පැහැදිලිවම මෙම ශ්‍රිතය x = 5 වන විට අසන්තතික වේ. තවද, එම අසන්තතික බව ඇති වන x=5 වන අවස්ථාව තමයි උඩත් සීමාව ලෙස දක්වා තිබෙන්නෙත්. එනිසා x අගය හරියටම 5 වන අවස්ථාවට පෙර අවස්ථාවක් දක්වා වර්ගඵලය සෙවිය හැකියි (ඒ කියන්නේ 5 සීමාව ලෙස ගෙන ඉහතදී උගත් සීමා සහිත අනුකල ප්‍රකාශයක් බවට මෙම අනුකල ප්‍රකාශය පත් කර ගත යුතුය).











තවත් උදාහරණයක් බලමු.







මෙම ශ්‍රිතය පැහැදිලිවම x=0 වැනි අවස්ථාවේදී අසන්තතික වේ. තවද අනුකල පරාසය -2 සිට 3 දක්වා වන බැවින් x=0 යන අවස්ථාව එම පරාසය තුළ පිහිටයි. එබැවින් විෂම අනුකල ක්‍රමයක් යොදා ගෙන සුලු කිරීමට සිදු වෙනවා. ඉහතදී උගත් න්‍යායන් අනුව එම මැද තිබෙන අසන්තතික අවස්ථාව මායිම්/සීමා වන සේ අවකල දෙකක එකතුවක් බවට ඉහත අනුකල ප්‍රකාශය පත් කර ගත යුතුය.







හරි, දැන් කරන්නට තිබෙන්නේ එම කුඩා ප්‍රකාශ දෙක මීට පෙර උදාහරණය සුලු කළ ආකාරයට වෙන වෙනම සුලු කිරීමටයි. පළමුව ප්‍රථම ප්‍රකාශය සුලු කරන්නට උත්සහ කරමු. එහිදී එය සීමා ප්‍රකාශයක් ලෙස මුලින්ම සකස් කරන්න.







දැන් එම සීමා අනුකල ප්‍රකාශය සුලු කරන්න.









එය සුලු කළ විට අනන්තය ලැබුණි. එනිසා අනෙක් කොටස සුලු කිරීමට අවශ්‍ය නැහැ මොකද දැනටමත් මෙම ප්‍රකාශය අවලංගුභාවයට පත්ව ඇත. එනම් ශ්‍රිතය අපසාරී වේ. (යම් ශ්‍රිතයක් සුලු කළ විට අවසාන පිළිතුර අනන්තය ලැබේ නම් එය අපසාරි ශ්‍රිතයකි; එසේ නොවී නියත අගයක් ලැබුණි නම් එය අභිසාරි ශ්‍රිතයකි).
Read More »

Saturday, March 26, 2016

අනුකලනය (Integration) - 7

2

නිශ්චිත අනුකලනය

නිශ්චිත අනුකලනය (definite integral) දැන් ආකාර දෙකකින් පැහැදිලි කළ හැකියි මොකද අනුකලනය ආකාර දෙකකින් අර්ථ දක්වපු නිසා. මොන විදියෙන් අර්ථ දැක්වුවත් පැහැදිලි කළත් ඒ සියල්ලෙන්ම කියන්නේ එකම දේ බව මතක තබා ගන්න.

අනිශ්චිත අනුකලන ප්‍රතිපලවල හැමවිටම යම් නියත පදයක් (c) ලැබුණා නේද? එම අගය නිශ්චිතව නොදන්නා නිසානේ මුලු අනුකල ප්‍රකාශයම අවිනිශ්චිත වූයෙත්. නිශ්චිත අනුකලනය යනු මෙවැනි අවිනිශ්චිත නියත පදයක් නොමැති අනුකලන ප්‍රතිපලයකි.

වර්ගඵලය ආශ්‍රයෙන් නිශ්චිත අනුකලනය යනු කුමක්දැයි දැන් බලමු. අවිනිශ්චිත අනුකලනයේදී ශ්‍රිතය x අක්ෂය සමග සාදන වර්ගඵලය නිශ්චිත නැහැනෙ. ඊට හේතුව x අගය පරාසය නිශ්චිත නැති වීමයි. එහෙත් අපට පුලුවන් x හි අගය පරාසය සීමා කරන්න හෙවත් නිශ්චිත කරන්න. අහවල් x අගයේ සිට අහවල් x අගය දක්වා පරාසය තුළ ශ්‍රිතයේ වර්ගඵලය ලෙස නිශ්චිත අනුකලනය අර්ථ දැක්විය හැකියි.

මේ ගැන තව දුරටත් සොයා බලමු. නිශ්චිත අනුකලයේදී අගය පරාසය දැක්විය යුතු නිසා අනුකල සංඛේතයේ යටට හා උඩට වන්නට එම අගයන් දෙක දැක්වේ. උදාහරණයක් ලෙස x = 1 සිට x = 2 දක්වා පරාසය තුළ 2x ශ්‍රිතය x විෂයෙන් අනුකලනය කරන්න යැයි සංඛේතාත්මකව ලියන්නේ පහත ආකාරයටයි.



පරාසයේ පළමුවෙන් සඳහන් කරන අගය පහලිනුත් දෙවනුව සඳහන් කරන අගය ඉහලිනුත් දැක්විය යුතුය. නිශ්චිත අනුකලයක් හැමවිටම ඉහත ආකාරයට පරාස අගයන් 2 සහිතව දැක්විය යුතුය. දැන් බලමු නිශ්චිත අනුකලයක් සුලු කරන ආකාරය. නිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශයක් සුලු කිරීමේ පියවරවල් 2ක් ඇත.

1. සාමාන්‍ය (හෙවත් අනිශ්චිත) අනුකලයක් සුලු කරන ආකාරයට පළමුව එය සුලු කරන්න. එවිට c පදයක්ද ලැබේ (එය ගැටලුවක් නොවේ).

2. පළමු පියවරේදී ලැබුණු ප්‍රතිපලයට දැන් දී ඇති පරාසයේ අගයන් ආදේශ කරන්න. පළමුවෙන්ම උඩින් ඇති අගය ආදේශ කර සුලු කරන්න (මෙහිදී නියත පදය නොවෙනස්ව පවතී). දෙවනුව යටින් ඇති අගය ආදේශ කර සුලු කරන්න (මෙවිටත් නියත පදය නොවෙනස්ව පවතී). ඉන්පසු පළමුව ලැබුණු අගයෙන් දෙවැනි අගය අඩු කරන්න. මෙවිට, අවස්ථා දෙකෙහිදීම c නියත පදය සමාන නිසා, අඩු කරන විට නියත පදය ඉබේම අහෝසි වේ. ඒ කියන්නේ තවදුරටත් පිළිතුර අවිනිශ්චිත නැත.

උදාහරණයක් ආශ්‍රයෙන් ඉහත පියවර 2 සිදු කර බලමු.



පළමුව දී ඇති අනුකල ප්‍රකාශය සාමාන්‍ය/අනිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශයක් විසඳන අයුරින්ම විසඳන්න. එවිට නියත පදයකුත් ලැබ තිබේ. එසේ අනිශ්චිත අනුකලයක් ලෙස එය විසඳුවත් එය ඇත්තටම නිශ්චිත අනුකලයක්නෙ. එනිසා සුලු කළ පසු ලැබෙන පිළිතුරට කොටු වරහනක් යොදා, එම වරහනේ දකුණු කෙළවර උඩින් හා යටින් අනුකලයේ දක්වා තිබූ අගයන් ලියා දක්වන්න.

දැන් කොටු වරහන තුළ තිබෙන ප්‍රකාශයට කොටු වරහනේ පිටතින් තිබෙන අගයන් ආදේශ කළ යුතුය. පළමුවෙන්ම, උඩින් තිබෙන අගය ආදේශ කර සුලු කර, දෙවනුව යටින් තිබෙන අගය ආදේශ කර සුලු කර, පළමු පිළිතුරෙන් දෙවැනි පිළිතුර අඩු කරන්න.



අවසන් පිළිතුරේ අවිනිශ්චිත නියත පදය ඉවත් වෙන හැටි දැක්කද? ඒ විතරකුත් නොව; අවසන් පිළිතුර හැමවිටම යම් නිශ්චිත අගයකි. අනිශ්චිත අනුකලනයේදී අවසන් පිළිතුර ලෙස ලැබුණේ ශ්‍රිතයකි. ඉහත ශ්‍රිතයේ එම පරාසය තුළ සිදු කළ නිශ්චිත අනුකලය පහත රූපයෙන් දැක්වේ. නිල් පාටින් දක්වා ඇත්තේ වර්ගඵලයයි.



තවත් උදාහරණයක් බලමු. කොස් x ශ්‍රිතය, x අගය 0.5 සිට 1 දක්වා පරාසය තුල x විෂයෙන් අනුකලනය කරන්න.



ඉහත ගණනය කිරීම ප්‍රස්ථාරයක් ඔස්සේ බලන විට පහත ආකාරයට පෙනේ.



සමහර අවස්ථාවල නිශ්චිත අනුකලයෙන් ඉහත ආකාරයට ගණනය කර අගයක් ලබා ගන්නා විට, ඍණ අගයක්ද ලැබිය හැකියි. උදාහරණයක් බලමු.



ඉහත පිළිතුර නිවැරදිය. එහෙත් ඔබ දන්නවා වර්ගඵලයක් කිසිසේත් ඍණ අගයක් විය නොහැකියි (කෙනෙකුගේ උස ඍණ අගයක් විය නොහැකියි සේම). එසේ නම් කොහොමද ඍණ වර්ගඵලයක් ආවේ? එය පැහැදිලි වේවි ඉහත ගණනය කිරීමට අදාල ප්‍රස්ථාරය බැලූ විට.



x අක්ෂයට උඩින් තිබෙන (නිල් පාටින් දක්වා ඇති) වර්ගඵලය ධන ලෙසත්, ඊට යටින් තිබෙන (රතු පාටින් දක්වා ඇති) වර්ගඵලය ඍණ ලෙසත් සලකා තිබීම ඊට හේතුවයි. එවිට යටට තිබෙන වර්ගඵලය උඩ වර්ගඵලයට වඩා වැඩි නිසා ඒ දෙකේ වෙනස ගත් විට ඍණ අගයක් ලෙස එය පෙන්වනවා. දැන් තේරෙනවා නේද ඍණ වර්ගඵලයක් කියා දෙයක් සැබැවින්ම නැතත් අප විසින්ම සම්මත කර ගත් කොන්දේසියක් නිසා මෙම තත්වය ඇති වී තිබෙන බව (එම කොන්දේසිය නම් අක්ෂයට උඩින් ඇති වර්ගඵලය ධන හා යටින් ඇති වර්ගඵලය ඍණ ලෙස සැලකීම).

ඇත්තටම නිශ්චිත අනුකලනයේදී අමාරුම කොටස තමයි එහි ප්‍රථම පියවර වන අනුකල ප්‍රකාශය සාමාන්‍ය අනිශ්චිත අනුකලයක් ලෙස සුලු කිරීම. එය සිදු කරන හැටි ඔබ මීට පෙර ඉගෙන ගත්තානෙ. එය කළ පසු තිබෙනනේ ඉතාම පහසු කාර්ය වන, අගයන් ආදේශ කර සුලු කිරීමයි. තවද, නිශ්චිත අනුකලනයේදී ඊටම සුවිශේෂි වූ යම් ගතිගුණ හෙවත් සාම්‍යන් කිහිපයක්ද තිබෙනවා.

නිශ්චිත අනුකල සාම්‍යන්






සීමා අගයන් මාරු කළ විට, අවසන් නිශ්චිත අනුකල අගය නොවෙනස් වුවත්, එහි සංඛේතය වෙනස් වේ (එනම් ධන අගයක් ඍණ බවටද, ඍණ අගයක් ධන බවටද පත් වේ). ඔබ දන්නවා වර්ගඵලයක ධන ඍණ භේදය යනු එම වර්ගඵලය කුමන පැත්තකද තිබෙන්නේ යන වග අනුව තීරණය වන්නක්.







සීමා අගය එකම වන විට, අනුකල ප්‍රකාශය කුමක් වුවත්, හැමවිටම ප්‍රතිඵලය ශූන්‍ය වේ. සීමා අගය එකම යනු වර්ගඵලයක් නැතැයි යන්නයි (එනම් උදාහරණයක් වශයෙන්, 2 සිට 2 දක්වා වෙනස 0 යිනෙ).







මෙය පහත රූපය ඇසුරින් පහසුවෙන්ම තේරුම්ගත හැකියි. මින් කියන්නේ කෙලින්ම a සිට b දක්වා තනි පරාසයේම වර්ගඵලය වෙනුවට එම පරාසය කොටස් කිහිපයකට කඩා ඒ එක් එක් පරාසවල වර්ගඵලයන් සොයා එකතු කළ හැකි බවයි. ඉහත සූත්‍රය දක්වා තිබෙන්නේ කොටස් දෙකකට කඩා එම කොටස් දෙකෙහි වර්ගඵලයන් දෙක එකතු කරන ආකාරයයි. මේ ලෙසම කොටස් ඕනෑම ගණනකට කඩා එකතු කළ හැකි බව වටහා ගන්න.







යම් නිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශයක සීමාවන් වෙනස් නොකර, එහි ස්වායත්ත විචල්‍යය පමණක් වෙනස් කළත් අවසන් ප්‍රතිඵලයේ වෙනසක් සිදු නොවේ.









යම් අනුකල ප්‍රකාශයක සීමාවන් යම් සංඛ්‍යාවක ඍණ අගයේ සිට ධන අගය දක්වා නම් සොයන්නේ, එම අනුකලනයට භාජනය කළ ශ්‍රිතයේ ඔත්තේ ඉරට්ටේ බව අනුව පෙන්වා ඇති ප්‍රතිඵලයන් දෙකෙන් එකක් ලැබේ. එනම්, ඉරට්ටේ (even) ශ්‍රිතයක් නම්, -a සිට a දක්වා අනුකලනය කරන්නේ නැතිව, 0 සිට a දක්වා අනුකලනය සොයා එය 2 න් ගුණ කළ විට අවසන් පිළිතුර ලබා ගත හැකියි. එහෙත් ශ්‍රිතය ඔත්තේ (odd) නම්, එම ශ්‍රිතයේ අනුකලන ප්‍රතිඵලය හැමවිටම 0 වේ. මෙය තේරුම් ගැනීමට ඔත්තේ ශ්‍රිත හා ඉරට්ටේ ශ්‍රිත ගැන දැනීමක් තිබිය යුතුය.

මතකයට
සංඛ්‍යාවලදී නම් ඔත්තේ යනු 2න් බෙදූ විට 1ක් ඉතිරිවන සංඛ්‍යා වන අතර, ඉරට්ටේ යනු 2න් බෙදූ විට කිසිත් ඉතිරි නොවන සංඛ්‍යා බව ඔබ දන්නවා. ශ්‍රිතවල ඔත්තේ ඉරට්ටේ යනු කුමක්ද? එය සපුරා වෙනස්ම තත්වයකි.

f(x) නම් පොදු ශ්‍රිතය ගැන සිතන්න. මෙහි x නම් ස්වායත්ත විචල්‍යයට විවිධ අගයන් ආදේශ කළ විට ඊට අනුරූපව පරායත්ත විචල්‍යය සඳහා අගයන් ලැබෙනවානෙ. යම් ශ්‍රිතයක x සඳහා ධන හා ඍණ යන දෙවර්ගයේම අගයන් ආදේශ කළ හැකියි.

ඉතිං යම් ශ්‍රිතයකට -a නම් අගය ආදේශ කළ විට ලැබෙන පරායත්ත විචල්‍ය අගයම නම් +a නම් අගය ආදේශ කළ විට ලැබෙන්නෙත් එවැනි ශ්‍රිතයක් ඉරට්ටේ ශ්‍රිත (even function) නම් වේ. එනම් එකම සංඛ්‍යාවේ ධන හෝ ඍණ අගයන් දෙකටම ලැබෙන්නේ එකම ප්‍රතිඵලයයි. එනම්,

f(a) = b
f(-a) = b

මෙවැනි ශ්‍රිතයක් ප්‍රස්ථාර ගත කළොත් y අක්ෂයට දෙපැත්තේ ප්‍රස්ථාර වක්‍රය සමමිතික බවක් පෙන්වනවා




එලෙසම යම් f(x) නම් ශ්‍රිතයක ස්වායත්ත විචල්‍යය සඳහා -a නම් අගය ආදේශ කළ විට ලැබෙන පරායත්ත විචල්‍යයේ අගයම ඇති නමුත් සලකුණින් වෙනස් අගයක් නම් +a ආදේශ කළ විට ලැබෙන්නේ එය ඔත්තේ ශ්‍රිතයකි (odd function). එනම්,

f(a) = b
f(-a) = -b

මෙවැනි ඔත්තේ ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයකට උදාහරණයක් පහත දැක්වේ.



ඉරට්ටේ ශ්‍රිතවලට උදාහරණ කිහිපයකි cos(x), cos2(x), sin2(x), x2 යන ශ්‍රිත. ඔත්තේ ශ්‍රිතවලට උදාහරණ කිහිපයකි sin(x), tan(x) යන ශ්‍රිත. සෑම ශ්‍රිතයක්ම එක්කෝ ඔත්තේ නැත්නම් ඉරට්ටේ කියා අනිවාර්ය කළ නොහැකිය. බොහෝ ශ්‍රිත මේ දෙකෙන් එකකටවත් වැටෙන්නේ නැත. එහෙත් ආවර්ථික ශ්‍රිත (periodic functions) අනිවාර්යෙන්ම මේ දෙකෙන් එක් ගොඩකට වැටේ. ඔබ දන්නවා ආවර්ථික ශ්‍රිත යනු එකම ප්‍රස්ථාර හැඩය නැවත නැවත ලැබෙන ශ්‍රිතයි (සයින්, කොස් ප්‍රස්ථාර ඊට හොඳම නිදසුන්ය).

ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයකදී -a සිට 0 දක්වා අනුකලනය කළ විට ලැබෙන වර්ගඵලය හා 0 සිට +a දක්වා අනුකලනය කළ විට ලැබෙන වර්ගඵලය යන දෙකම හැමවිටම පිහිටන්නේ x අක්ෂයේ එකම පැත්තේය (එනම්, දෙකම ඉර උඩ හෝ දෙකම ඉර යට). ඊට හේතුව ශ්‍රිතය y අක්ෂය වටා සමමිතික වීමයි. මෙම සමමිතික බව නිසාම මෙම වර්ගඵලයන් දෙකම සමානද වේ. ඉතිං එක කොටසක පමණක් වර්ගඵලය සොයා එය 2න් ගුණ කිරීම පහසුයිනෙ මුලු පරාසයේම අනුකලනය සොයනවාට වඩා.

ඔත්තේ ශ්‍රිතයකදී -a සිට 0 දක්වා අනුකලයෙන් ලැබෙන වර්ගඵලය හා 0 සිට +a දක්වා වූ වර්ගඵලය හැමවිටම x අක්ෂයෙන් උඩ හා යට ලෙස විරුද්ධවයි පිහිටන්නේ. සලකුණින් පමණක් එසේ විරුද්ධ වුවත්, අගයෙන් ඒ දෙක සමාන බව ඔත්තේ ශ්‍රිත ගැන කතා කරන විට ඉගෙන ගත්තා. ඉතිං එම කොටස් දෙක වෙන් වෙන්ම අනුකලනය කර එම වර්ගඵලයන් දෙක එකතු කළ විට, එම වර්ගඵලයන් දෙක එකිනෙකට සමාන නමුත් සලකුණින් විරුද්ධ නිසා අවසානයේ අගය 0 වේ. ඒ අනුව සයින් ශ්‍රිතය ඔත්තේ නිසා, එය -π සිට + π දක්වා අනුකලනය කළ විට, පිළිතුර 0 වේ ( )

Read More »