අවකලනය (differentiation) - 3

අවකලන සාම්‍යයන්

1. ඕනෑම නියත පදයක් අවකලනය (differentiation) කළ විට ශූන්‍යය ලැබේ. මෙහිදී අවකලනය කරනු ලබන විෂය වැදගත් නැත. උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

d(23)/dx = 0

d(49583393048774)/ds = 0

dπ/dx = 0 (π = 3.1416 යන නියතයයි)

ඉහත රීතිය ප්‍රස්ථාරයක් ඔස්සේ මැනවින් පැහැදිලි වෙනවා. යම් ස්වායත්ත විචල්‍යයක් විචලනය වුවත් පරායත්ත විචල්‍යය වෙනස් නොවී එකම අගයේ දිගටම තිබේ නම්, එවිට ප්‍රස්ථාරය ලෙස ලැබෙන්නේ නිකංම තිරස් රේඛාවකි (ඇත්තටම මෙවැනි අවස්ථාවක ස්වායත්ත විචල්‍යය හා පරායත්ත විචල්‍යය කියා දෙයක්ද නැත). තිරස් රේඛාවක බෑවුම ශූන්‍යයිනෙ. ඉතිං බෑවුම කියන්නේ අවකලනයයි. එනිසා අවකලනය 0 යි.

2. නියත පදයකින් ගුණ කර තිබෙන යම් ශ්‍රිතයක් අවකලනය කරන විට, ශ්‍රිතය සාමාන්‍ය පරිදි අවකලනය කරන අතර, නියත පදයට කිසිත් නොවීම පවතිනවා. එය පහත ආකාරයට නිරූපණය කළ හැකියි.

උදාහරණයක් බලමු.

d(4x²)/dx = 4(d x²/dx) = 4(2x) = 8x

3. xⁿ අවකලනය කරන විට n.x^n-1 ලැබේ. මෙම සාම්‍යය/රීතිය බල රීතිය (power rule) ලෙස හැඳින්වෙනවා. උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

d(x²)/dx = 2x^(2-1) = 2x

d(t³⁴)/dt = 34t³³

d(4s³)/ds = 4(3s²) = 12s²

d(r^-3)/dr = -3r^(-3-1) = -3r^-4

d(1/x²)/dx = d x^-2/dx = -2x^-3 = -2/x³

dx/dx = 1.x^(1-1) = x⁰ = 1

d √x /dx = d x^1/2 /dx = (1/2)x^{(1/2 – 1)} = (1/2)x^-1/2 = 1/(2√x)

ඉහත 1 වැනි සාම්‍යයත් ඔබට මෙම රීතිය මඟින් සාධනය කළ හැකියි පහත ආකාරයට. X⁰ = 1 ලෙස ලිවිය හැකියිනෙ. c යනු යම් නියත පදයක් ලෙස සිතන්න (එය 4 හෝ 90 හෝ 349494.402 හෝ වෙනත් ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් විය හැකියි).

c = c.1 = c.x⁰ → dc/dx = d (cx⁰)/dx = 0.cx^(0-1)/dx = 0.x^-1 = 0/x = 0

4. එකම ස්වායත්ත විචල්‍යය සහිත ශ්‍රිත කිහිපයක එකතු කිරීමක් හෝ අඩු කිරීමක් ඇති විට, එම ශ්‍රිත තනි තනිව අවකලනය කර ලැබෙන පිළිතුරු (ව්‍යුත්පන්න) එකතු හෝ අඩු කළ හැකියි. එනම්,

ඉහත සූත්‍රය තුළ රීති දෙකක් එකවර නිරූපණය කර තිබෙනවා (එකක් එකතු කිරීමට; අනෙක අඩු කිරීමට). එකතු කරන රීතිය ආකලන රීතිය (sum rule) ලෙසද, අඩු කරන රීතිය ව්‍යාකලන රීතිය (difference rule) ලෙසද හැඳින්වෙනවා. ඉහත සූත්‍රය ශ්‍රිත දෙකක් සඳහා පමණක් ලියා තිබුණත්, ශ්‍රිත ඕනෑම ගණනක එකතු කිරීමට හා අඩු කිරීමට මෙම රීතිය යෙදිය හැකියි.

උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

d(x⁴+3x²)/dx = d x⁴/dx + d 3x²/dx = 4x³ + 6x

d(2t⁴ – 3t² + 8t)/dt = d 2t⁴/dt + d(-3t²)/dt + d 8t/dt = 8t³ – 6t + 8

5. එකම ස්වායත්ත විචල්‍යය සහිත f(x) හා g(x) නම් ශ්‍රිත දෙකක ගුණිතයක් අවකලනය කරන විට පහත ආකාරයේ සම්බන්ධතාවක් පවතිනවා. මෙම රීතිය ගුණිත රීතිය (product rule) ලෙස හැඳින්වෙනවා.

ඉහත සූත්‍රයෙහි රටාවක් තිබේ. එනම්, ගුණිතයේ තිබෙන ශ්‍රිත දෙකෙන් වරකට එකක් විතරයි අවකලනය කරන්නේ. එම අවකලනය කළ ශ්‍රිතය අවකලනය නොකළ අනෙක් ශ්‍රිත සියල්ල සමග ගුණ කරන්න. ඉන්පසු එම කොටස් සියල්ල එකතු කරන්න. මේ විදියට f(x), g(x), h(x), t(x) නම් ශ්‍රිත 4ක ගුණිතයක සම්බන්ධතාව එම රටාව අනුව පහත ආකාරයට සාදා ගත හැකියි.

උදාහරණයක් බලමු.

කැමති නම් අවකලනය කරන්නට පෙර ශ්‍රිත දෙක ගුණ කර සුළු කළ හැකියි (පහසුවෙන් සුලු කළ හැකි ශ්‍රිත පළමුව එසේ ගුණ කිරීම උචිතය). මෙම උදාහරණය පහසුවෙන් ගුණ කළ හැකියි. එවිට, (2x³)(3x²) = 6x⁵ වේ. දැන් ගුණිත රීතිය දැමීමට අවශ්‍ය නැත; පහසුවෙන්ම 6x⁵ අවකලනය කළ හැකියි 30x⁴ ලෙස. බලන්න මෙම පිළිතුරම නේද ගුණිත රීතිය යොදාගත් විටත් ඉහතදී ලැබුණේ?

6. එකම ස්වායත්ත විචල්‍යය සහිත ශ්‍රිත දෙකක අනුපාතයක් අවකලනය කරන විට පහත ආකාරයේ සම්බන්ධතාවක් පවතී. අනුපාත රීතිය (quotient rule) ලෙස මෙය හැඳින්විය හැකියි.

උදාහරණයක් විසඳමු මෙම සූත්‍රය උපයෝගි කර ගෙන.

ඉහත ආකාරයට සූත්‍රය ආශ්‍රයෙන් සුලු කළ හැකි වුවත්, ඔබට පුලුවන් අවකලනය කරන්නට පෙර ශ්‍රිත දෙක සුලු කර ගන්නට (එසේ කිරීම පහසුයි නම් එලෙස සිදු කරන්න). බලන්න ඉහත ශ්‍රිත දෙකෙහි අනුපාතය වන 4x³/2x යන්න තවදුරටත් සුලු කළ හැකියි. එය සුලු කළ විට, 2x² ලැබේ. දැන් මෙම 2x² අවකලනය කරන්න. එවිටත් ලැබෙන්නේ පෙර ලැබුණු පිළිතුර වන 4x මයි නේද?

7. "ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක්" අවකලනය කරන විට, පළමුව අභ්‍යත්තර ශ්‍රිතය t වැනි අකුරකින් ආදේශ කරන්න. දැන් භාහිර ශ්‍රිතය එම t විෂයෙන් අවකලනය කරන්න. ඉන්පසු t අකුර ලෙස නිරූපණය කළ අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතය අවකලනය කරන්න එම ශ්‍රිතයේ ස්වායත්ත විචල්‍යයට සාපේක්ෂව. දැන් වෙන වෙනම මෙලෙස ගණනය කළ ප්‍රතිපල දෙක එකට ගුණ කරන්න. t පදය වෙනුවට එහි මුල් ශ්‍රිතය නැවත ආදේශ කරන්න. මෙම සම්පූර්ණ ක්‍රියාවලිය පහත ආකාරයට සරලව නිරූපණය කළ හැකියි.

මතකයට

ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතය

ශ්‍රිතයක අගය වෙනස් වන්නේ ස්වායත්ත විචල්‍යය විචලනය වන විටය. සෑම ශ්‍රිතයකටම ස්වායත්ත විචල්‍යයක් තිබීම අත්‍යවශ්‍ය වේ. සමහර අවස්ථාවලදී යම් ශ්‍රිතයක ස්වායත්ත විචල්‍යය බවට පත් වන්නේ තවත් ශ්‍රිතයකි. උදාහරණයක් ලෙස, g(x) නම් ශ්‍රිතය තවත් f නම් ශ්‍රිතයක ස්වායත්ත විචල්‍යය බවට පත් වන්නේ යැයි සිතමු. එවිට f ශ්‍රිතය හඳුන්වන්නේ "ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතය" ලෙසයි. f(g(x)) යනුවෙන් එය නිරූපණය කෙරෙනවා.

ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක් ගත් විට, එහි ශ්‍රිත දෙකක් දැන් තියෙනවානෙ. ස්වායත්ත විචල්‍යය ලෙස ක්‍රියා කරන ශ්‍රිතය අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතය (inner function) ලෙස හඳුන්වමු. එවිට පිටතින්ම තිබෙන අනෙක් ශ්‍රිතය භාහිර ශ්‍රිතය (outer function) ලෙස හැඳින්විය හැකියි. උදාහරණයක් ලෙස f(g(x)) හි අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතය g වන අතර, භාහිර ශ්‍රිතය f වේ.

අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතයේ තිබෙන ස්වායත්ත විචල්‍යය විචලනය වන විට, අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතයේ අගය වෙනස් වෙනවා. එහි ප්‍රතිපලය ලෙස භාහිර ශ්‍රිතයේ අගයද වෙනස් වෙනවා. එනම් අභ්‍යන්තරයේම ඇති වන විචලනයක් ක්‍රමයෙන් භාහිර විචලනයක් ඇති කරනවාමයි (cascade). ඇත්තටම විද්‍යා හා තාක්ෂණ ලෝකයේ මෙවැනි ශ්‍රිතයක ශ්‍රිත ආශ්‍රයෙන් බොහෝ දේවල් නිරූපණය කළ හැකියි.

ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක් ගත් විට, එහි මට්ටම් 2ක් තිබෙනවානෙ. ඒ කියන්නේ අභ්‍යන්තරයේ තිබෙන ශ්‍රිතය එක් මට්ටමක් වන අතර භාහිර ශ්‍රිතය තවත් මට්ටමක්. අැත්තටම මට්ටම් අපට අවශ්‍ය ඕනෑ තරම් තිබිය හැකියි. ඒ අනුව, ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක ශ්‍රිත (මට්ටම් 3ක් ඇත), ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක ශ්‍රිත (මට්ටම් 4ක් ඇත) ආදී වශයෙන් විවිධාකාරයෙන් ඒවා පැවතිය හැකියි නේද? උදාහරණයක් ලෙස මට්ටම් 4ක් තිබෙන අවස්ථාවක් පහත ආකාරයට නිරූපණය කළ හැකියි.

f(g(h(t(x))))

ශ්‍රිතයක ශ්‍රිත, ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක ශ්‍රිත ආදී ඉහත ශ්‍රිත සියල්ලම පොදුවේ සංයුක්ත ශ්‍රිත (composite function හෝ composition of functions) ලෙස හැඳින්විය හැකියි.

ඉහත රීතිය දාම රීතිය (chain rule) ලෙස හැඳින්වෙනවා. ඊට හේතුව මොහොතකින් ඉතා හොඳින් පැහැදිලි වේවි. ඇත්තටම ඕනෑම මට්ටමක සංයුක්ත ශ්‍රිතයකට ඉහත රීතිය දැමිය හැකියි. ඇතුලතම ශ්‍රිතයේ සිට පිටතම ශ්‍රිතය දක්වා පිළිවෙලින් අවකලනය කරමින් එම ප්‍රතිපල එකට ගුණ කරන්නටයි තිබෙන්නේ. පහත දැක්වෙන්නේ මට්ටම් 4ක සංයුක්ත ශ්‍රිතයකට පොදු වන පරිදි සැකසූ දාම රීතියයි.

හොඳින් බලන්න ඉහත දාම සූත්‍රයෙන් ලස්සන රටාවක් දක්නට ලැබෙනවා. වම් පැත්තේ අවකලන අනුපාතයේ හරයේ තිබෙන පදය ඊළඟ අවකලන අනුපාතයේ ළවය බවට පත් වෙනවා. මේ ආදී ලෙස ඕනෑ තරම් මෙම රටාව දිගටම පවත්වාගෙන යා හැකියි නේද? උදාහරණයක් වශයෙන් පහත දැක්වෙන්නේ මට්ටම් 6ක සංයුක්ත ශ්‍රිතයක දාම රීතියයි. දම්වැලක පුරුක් මෙන් එකම හැඩයට/ක්‍රමයට දිගින් දිගට යන නිසයි දාම රීතිය නමින් එය හැඳින්වෙන්නේ.

දාම රීතිය ඉතාම වැදගත්ය. බොහෝ ශ්‍රිතවල අවකලනය සෑදීමේදී පිහිටට එන්නේ දාම රීතියයි. එක් සරල උදාහරණයක් බලමු දාම රීතිය යොදන. (3x⁴+2x)³ හි x විෂයෙහි අවකලනය සොයමු.

මෙය ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයකි. (3x⁴+2x) යන්නට t ආදේශ කළොත් එම ශ්‍රිතය t³ බවට පත් වෙනවා නේද? එය f(t) = t³ ලෙසද දැක්විය හැකියිනෙ. මින් පෙනෙනවා (3x⁴+2x)³ යනු සංයුක්ත ශ්‍රිතයක් බව. මෙයට දාම රීතිය යොදන්න. පළමුව අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතයේ අවකලනය සොයමු. එය (12x³+2) වේ. භාහිර ශ්‍රිතයේ අවකලනයත් සොයමු. එය 3t² හෙවත් 3( 3x⁴+2x)² වේ. එවිට අවසන් පිළිතුර වන්නේ මෙම අවකලන ප්‍රතිපල දෙකෙහි ගුණිතය වන (12x³+2). 3( 3x⁴+2x)² වේ.

මෙම අවකලන සාම්‍යයන් හොඳින් හුරුවිය යුතුය. ප්‍රමූලධර්මවලින් අවකලනය සෙවීම දැලි පිහියකින් ගහක් කපනවා බඳුය. මෙම සාම්‍යයන් යොදාගෙන ඉක්මනින්ම අවකලනය කිරීමට හැකියාව ලැබෙනවා. මෙම ක්‍රම දෙකෙහි වෙනස හොඳින් පෙන්වීමට උදාහරණයක් ලෙස 2(x³ – 4x² + 5)³ යන ශ්‍රිතය ක්‍රම දෙකෙන්ම අවකලනය කරන්න (ඔබ විසින් තනියම මෙය අභ්‍යාසයක් වශයෙන් කරන්න; බලන්න ඔබත් සිදු එය සිදු කළේ පහත පෙන්වා ඇති ආකාරවලින්ද කියා).

පළමුව සාම්‍යයන් යොදාගෙන අවකලනය සිදු කරමු.

මෙය ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයකි. එනිසා පිටතින්ම තිබෙන ශ්‍රිතය අවකලනය කරමු. (x³ – 4x² + 5) යන කොටස t යැයි සිතුවොත් එම ශ්‍රිතය 2t³ බවට පත් වේ. දැන් එය t විෂයෙන් අවකලනය කරමු. එවිට 2(3t²) හෙවත් 6t² ලැබේ. නැවත t වලට (x³ – 4x² + 5) ආදේශ කර 6(x³ – 4x² + 5)² ලෙස ලිවිය යුතුය. මෙහිදී අනුගමනය කරපු සාම්‍යයන් 2ක් ඇති බව පේනවාද? (ඉහත සාම්‍යයන් ලැයිස්තුවේ 2 හා 3 යන ඒවා).

ඇත්තටම ඔබට හොඳින් පැහැදිලිව පියවරයන් පෙන්වීම සඳහායි ඉහතදී t යන්න ආදෙශ කළේ. එහි කෙටි ක්‍රමයක් ඇත. නිකරුණේ t වැනි පදයක් ආදේශ කර පියවර ගණන වැඩි කර ගැනීමට අවශ්‍ය නැත. අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතය t හෝ x හෝ එවැනි තනි අකුරක් ලෙස සිතින් සිතාගෙන එම අකුරට සාපේක්ෂව කෙලින්ම අවකලනය සිදු කරන්න. එක පියවරින්ම එවිට එය සිදු කළ හැකියි. බොරුවට t ආදේශ කර, අවසානයේ නැවත t ඉවත් කරන්නට උවමනා නැත.

ඉන්පසු (x³ – 4x² + 5) යන අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතය x විෂයෙන් අවකලනය කරමු. මෙය ඉතාම පහසුවෙන් කළ හැකියිනෙ සාම්‍යයන් යොදාගෙන. (x³ – 4x² + 5) යන්නෙහි අවකලනය (3x² – 8x) වේ. බලන්න මෙහිදී යොදා ගෙන තිබෙන සාම්‍යයන් මොනවාද කියා (ඉහත සාම්‍යය ලැයිස්තුවේ 2, 3, 4, 1 යන ඒවා).

දැන් කරන්නට තිබෙන්නේ ඉහත ප්‍රතිපල දෙක දාම රීතියට අනුව එකිනෙකට ගුණ කිරීමයි. එවිට, 6(x³ – 4x² + 5)²(3x² – 8x) ලැබේ. පියවරවල් විස්තර කිරීම නිසයි මෙතරම්වත් දිග පිළිතුරක් ලියන්නට සිදු වුණේ. විස්තර කිරීම් නොකළා නම් එක් පේලියකින් පමණ ඉහත ගණනය කිරීම සිදු කළ හැකි බව තේරුම් ගන්න. ඉහත පිළිතුර අවශ්‍ය නම් ප්‍රසාරණය කළ හැකියි. එවිට පහත ආකාරයට එය පත් වෙනවා.

f'(x) = 18x⁸ −192x⁷+672x⁶−588x⁵ −1200x⁴+1920x³+450x² −1200x

දෙවනුව බලමු ප්‍රමූලධර්මවලින් එය විසඳන අයුරු.

f(x) =                  2(x³ – 4x² + 5)³

f(x+∆x) =           2[(x+∆x)³ – 4(x+∆x)² + 5)]³

f(x+∆x) – f(x) = 2[(x+∆x)³ – 4(x+∆x)² + 5)]³ - 2(x³ – 4x² + 5)³

                  = 2[{x³ + 3x²(∆x) + 3x(∆x)² + (∆x)³} – 4{x² + 2x(∆x) +

                       (∆x)²} + 5]³ - 2(x³ – 4x² + 5)³

                  = 2[x³ + 3x²(∆x) + 3x(∆x)² + (∆x)³ – 4x² – 8x(∆x) -

                       (∆x)² + 5]³ - 2(x³ – 4x² + 5)³

                  = 2[x⁹ + 9x⁸(∆x) + 36x⁷(∆x)² + 84x⁶(∆x)³ + 126x⁵(∆x)⁴ + 126x⁴(∆x)⁵ + 84x³(∆x)⁶ + 36x²(∆x)⁷ + 9x(∆x)⁸ + (∆x)⁹ − 12x⁸ − 96x⁷(∆x) − 327x⁶(∆x)² − 618x⁵(∆x)³ − 705x⁴(∆x)⁴ − 492x³(∆x)⁵ − 201x²(∆x)⁶ − 42x(∆x)⁷ − 3(∆x)⁸ + 48x⁷ + 336x⁶(∆x) + 936x⁵(∆x)² + 1320x⁴(∆x)³ + 987x³(∆x)⁴ + 369x²(∆x)⁵ + 57x(∆x)⁶ + 3(∆x)⁷ − 49x⁶ − 294x⁵(∆x) − 591x⁴(∆x)² − 404x³(∆x)³ + 21x²(∆x)⁴ + 66x(∆x)⁵ + 14(∆x)⁶ − 120x⁵ − 600x⁴(∆x) − 1110x³(∆x)² − 930x²(∆x)³ − 330x(∆x)⁴ − 30(∆x)⁵ + 240x⁴ + 960x³(∆x) + 1080x²(∆x)² + 240x(∆x)³ + 15(∆x)⁴ + 75x³ + 225x²(∆x) + 225x(∆x)² + 75(∆x)³ − 300x² − 600x(∆x) − 75(∆x)² + 125] - 2[x⁹ − 12x⁸ + 48x⁷ − 49x⁶ − 120x⁵ + 240x⁴ + 75x³ − 300x² + 125]

                  = [18x⁸(∆x) + 72x⁷(∆x)² + 168x⁶(∆x)³ + 252x⁵(∆x)⁴ + 252x⁴(∆x)⁵ + 168x³(∆x)⁶ + 72x²(∆x)⁷ + 18x(∆x)⁸ + 2(∆x)⁹ − 192x⁷(∆x) − 654x⁶(∆x)² − 1236x⁵(∆x)³ − 1410x⁴(∆x)⁴ − 984x³(∆x)⁵ − 402x²(∆x)⁶ − 84x(∆x)⁷ − 6(∆x)⁸ + 672x⁶(∆x) + 1872x⁵(∆x)² + 2640x⁴(∆x)³ + 1974x³(∆x)⁴ + 738x²(∆x)⁵ + 114x(∆x)⁶ + 6(∆x)⁷ − 588x⁵(∆x) − 1182x⁴(∆x)² − 808x³(∆x)³ + 42x²(∆x)⁴ + 132x(∆x)⁵ + 28(∆x)⁶ − 1200x⁴(∆x) − 2220x³(∆x)² − 1860x²(∆x)³ − 660x(∆x)⁴ − 60(∆x)⁵ + 1920x³(∆x) + 2160x²(∆x)² + 480x(∆x)³ + 30(∆x)⁴ + 450x²(∆x) + 450x(∆x)² + 150(∆x)³ − 1200x(∆x) − 150(∆x)²]

[f(x+∆x) – f(x)]/∆x = [18x⁸ + 72x⁷(∆x) + 168x⁶(∆x)² + 252x⁵(∆x)³ + 252x⁴(∆x)⁴ + 168x³(∆x)⁵ + 72x²(∆x)⁶ + 18x(∆x)⁷ + 2(∆x)⁸ − 192x⁷ − 654x⁶(∆x) − 1236x⁵(∆x)² − 1410x⁴(∆x)³ − 984x³(∆x)⁴ − 402x²(∆x)⁵ − 84x(∆x)⁶ − 6(∆x)⁷ + 672x⁶ + 1872x⁵(∆x) + 2640x⁴(∆x)² + 1974x³(∆x)³ + 738x²(∆x)⁴ + 114x(∆x)⁵ + 6(∆x)⁶ − 588x⁵ − 1182x⁴(∆x) − 808x³(∆x)² + 42x²(∆x)³ + 132x(∆x)⁴ + 28(∆x)⁵ − 1200x⁴ − 2220x³(∆x) − 1860x²(∆x)² − 660x(∆x)³ − 60(∆x)⁴ + 1920x³ + 2160x²(∆x) + 480x(∆x)² + 30(∆x)³ + 450x² + 450x(∆x) + 150(∆x)² − 1200x − 150(∆x)]

දැන් ∆x පදය 0 සීමාව දක්වා ගෙන යන්න (සියලු ∆x සහිත පද 0 බවට පත් වේ). එවිට අවසානයේ පහත ප්‍රකාශය ලැබේවි. එය තමයි f(x) = 2(x³ – 4x² + 5)³ හි අවකලනය.

f'(x) = [18x⁸ − 192x⁷ + 672x⁶ − 588x⁵ − 1200x⁴ + 1920x³ + 450x² − 1200x]

ඉහත ගණනය කිරීම් ඔබ විසින් අතින් සිදු කළා නම් දවසම වුවත් වැය වන්නට ඉඩ තිබෙනවා. ඊට හේතුව එය ගණනය කරන්නට අමාරු වීම නොවේ. පද විශාල ගණනක් තිබෙන නිසා සුලු කිරීමේ දැඩි අපහසුවක් ඉබේම ඇති වෙනවා. අත්වැරදි සිදු වෙනවා. අත් වැරැද්දක් සිදු වූ පසු එම වැරැද්ද සෙවීම ඊටත් වඩා අපහසුය. ප්‍රමූලධර්මවලින් අවකලනය කිරීම දැලි පිහියකින් ගහක් කපනවා බඳු යැයි පැවසුවේ ඒකයි.

දැන් අපි බලමු ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත, ලඝු වැනි සුවිශේෂි ශ්‍රිත කිහිපයක් අවකලනය කරන හැටි.