ත්‍රිකෝණමිතිය (trigonometry) - 2

කොසෙක්, සෙක්, කොට්

ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක සම්මුඛ පාදය කර්ණයෙන් බෙදූ විට සයින්ද, බද්ධ පාදය කර්ණයෙන් බෙදූ විට කොස්ද, සම්මුඛ පාදය බද්ධ පාදයෙන් බෙදූ විට ටෑන්ද ලැබුණු හැටි ඔබ ඉගෙන ගත්තා. මීට අමතරව කර්ණය සම්මුඛ පාදයෙන් බෙදිය හැකියි; කර්ණය බද්ධ පාදයෙන් බෙදිය හැකියි; බද්ධ පාදය සම්මුඛ පාදයෙන් බෙදිය හැකියි. ඒ කියන්නේ තවත් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත තුනක් සෑදිය හැකි බව නේද? ඔව්. මෙම අලුත් අනුපාත තුනටම නම් තුනක් දී තිබෙනවා කොසීකන්ට් (cosecant), සීකන්ට් (secant), හා කෝටැන්ජන්ට් (cotangent) ලෙස. එහෙත් මෙම දිගු නම් වෙනුවට ඒවා ප්‍රසිද්ධ වී ඇත්තේ ඒවායේ කෙටි නම්වලින්ය. එම කෙටි නම් පිළිවෙලින් කොසෙක් (cosec), සෙක් (sec), හා කොට් (cot) වේ.

කොසෙක්(θ) = කර්ණය / සම්මුඛ පාදය

සෙක්(θ) = කර්ණය / බද්ධ පාදය

කොට්(θ) = බද්ධ පාදය / සම්මුඛ පාදය

ඒ කියන්නේ දැන් නැවතත් තවත් විශාල වගු 3ක් අමුතුවෙන්ම සෑදිය යුතුද? නැත. මෙම අලුත් අනුපාත 3 ඇත්තටම ඔබ මීට පෙර උගත් මූලික අනුපාත තුන මඟින් ව්‍යුත්පන්න කර ගත හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, කොසෙක් යනු කර්ණය / සම්මුඛ පාදය නම්, 1/කොසෙක් යනු සම්මුඛ පාදය / කර්ණය බවට පත් වෙනවා නේද? තවද, සම්මුඛ පාදය / කර්ණය යනු සයින් අනුපාතයයි. ඒ කියන්නේ 1/කොසෙක් යනු සයින් අනුපාතයමයි. එලෙසම 1/සයින් යනු කොසෙක්ය.

මේ ලෙසම සෙක් හා කොට් යනුද කොස් හා ටෑන්වලින් ව්‍යුත්පන්න කර ගන්නා අනුපාත දෙකකි.

කොසෙක්(θ) = 1/සයින්(θ) (හා 1/කොසෙක්(θ) = සයින්(θ) වේ)

සෙක්(θ) = 1/කොස්(θ) (හා 1/සෙක්(θ) = කොස්(θ) වේ)

කොට්(θ) = 1/ටෑන්(θ) (හා 1/කොට්(θ) = ටෑන්(θ) වේ)

මෙම අනුපාත 3 මූලික අනුපාත 3 ආශ්‍රයෙන් ගොඩනඟා ගත හැකි බැවින් සාමාන්‍යයෙන් වැඩි අවධානයක් මේ 3 කෙරෙහි දක්වන්නේ නැත. මේවායේ වගු පවා සාදාගෙන තිබෙන්නේ මූලික අනුපාතයන්ගේ අගයන්ගෙනි. එහෙත් අවශ්‍ය වුණොත් මෙම අනුපාත සමග වුවද ගණනය කිරීම කිරීමට හැකි විය යුතුයි. දැන් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත සියල්ලම හැඳිනගෙන අවසන්ය.

මතකයට

ටෑන් යනු සම්මුඛ පාදය බද්ධ පාදයෙන් බෙදූ විට ලැබෙන අනුපාතය බව ඉහතදී පෙන්වා දුන්නා. ඊට අමතරව ටෑන් අනුපාතය තවත් විදියකින් පෙන්වාදිය හැකිය. එනම්,

ඉහත ප්‍රකාශය ඉතාම පහසුවෙන් සාධනය කළ හැකියි පහත ආකාරයට.

එලෙසම කොට්(θ) යන්නද පහත ආකාරයට නිර්වචනය කළ හැකියි.

කොට්(θ) = කොස්(θ)/සයින්(θ)

වෘත්තයක් ආශ්‍රයෙන් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත නිර්වචනය කිරීම

මෙතෙක් අප අනුපාත සියල්ලම නිර්වචනය කළේ හෙවත් නිර්මාණය කළේ ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක් ආශ්‍රයෙනි. එලෙස නිර්වචනය කිරීම පහසු වුවත්, එහි යම් දෝෂයක් ඇත. එනම්, ඍජුකෝණි ත්‍රිකෝණයක කෝණයක් තිබිය හැකි උපරිම අගය අංශක 90කි. අවම අගය අංශක 0කි. එ් කියන්නේ ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතත් පැවතිය හැක්කේ මෙම කෝණ පරාසය තුළ පමණයි නේද? ඔව්, ත්‍රිකෝණයක් ආශ්‍රයෙන් නම් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත සාදා ගන්නේ, එම දෝෂය පවතීවි. එහෙත් වෘත්තයක් ආශ්‍රයෙන් එම අනුපාත සාදාගන්නා විට, එම දෝෂය ඉවත්ව යයි.

මතකයට

ඇත්තටම ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක යම් කෝණයක් අංශක 90 හෝ 0 හෝ විය නොහැකියි. 90ට ඉතාම ඉතාම ආසන්න විය හැකියි; 0ට ඉතාම ඉතාම ආසන්න විය හැකියි. ඒ කියන්නේ 90 හා 0 යනු සීමාකාරී (limiting) අගයන්ය. ඍජුකෝණි ත්‍රිකෝණයක දැනටමත් ඍජුකෝණයක් තිබේ. එමනිසා තවත් කෝණයක් අංශක 90ක් වුවොත් එම කෝණ දෙක පමණක් එකතුව ත්‍රිකෝණයක තිබිය හැකි අභ්‍යන්තර කෝණවල එකතුව වන අංශක 180 සාදයි. ඒ කියන්නේ අනෙක් කෝණය සෑදීමට බැරි බවයි. රූපමය වශයෙන් එය පහත ආකාරයට පෙන්විය හැකියි. ඒ කියන්නේ ත්‍රිකෝණය අහෝසි වී යම් චතුරස්‍රයක ස්වරූපයක් ලැබේ.

එලෙසම ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක කෝණයක් ක්‍රමයෙන් අඩු කරගෙන ගොස් අංශක 0 කළ විට, එක පාදයක් මතට අනෙක් පාදය සමපාත වේ (පතිත වේ). එවිටද ත්‍රිකෝණය අහෝසි වී නිකංම සරල රේඛාවක් බවට පරිවර්තනය වේ.

එහෙත් අංශක 89.99999999... ආදී 90ට ඉතාම ආසන්න අගයක් සහිත කෝණ තිබිය හැකියි; තිබිය නොහැක්කේ හරියටම අංශක 90 කෝණය පමණි. එලෙසම 0.0000000000000000...1 ආදී 0ට ඉතාම ආසන්න අගයක් සහිත කෝණ තිබිය හැකියි; තිබිය නොහැක්කේ හරියටම අංශක 0 කෝණය පමණි. ඒ කියන්නේ 0 හා 90 යනු ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක කෝණ සඳහා සීමා දෙකකි.

ඔබ දන්නවා වෘත්තයක් (circle) කියන්නේ යම් මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යක් වටා නියත දුරකින් යම් අංශුවක් ගමන් කරන විට සෑදෙන පථයයි. එම අංශුව එසේ ගමන් කරන විට යම් දුරක් ගියාට පසුව නැවත තමන් ගමන ආරම්භ කරපු තැනටම පැමිණේ. එය එක වටයක් (revolution හෝ round) සැලකෙනවා. එම වටය වෘත්තියේ පරිධිය (circumference) ලෙසද, වෘත්තයේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය කේන්ද්‍රය (center හෝ origin) ලෙසද, කේන්ද්‍රයේ සිට පරිධියේ ඕනෑම තැනකට තිබෙන නියත දුර අරය (radius) ලෙසද හැඳින්වෙනවා. තවද, පරිධියේ යම් තැනක සිට කේන්ද්‍රය හරහා ගොස් නැවත එක එල්ලේම පරිධියේ තවත් තැනකට ස්පර්ශ වන සේ අඳින ඍජු රේඛා ඛණ්ඩය විශ්කම්භය (diameter) ලෙස හැඳින්වෙනවා. හැමවිටම විශ්කම්භය අරය මෙන් දෙගුණයකි.

වෘත්ත පරිධිය ඔස්සේ යම් අංශුවක් යම් දුරක් ගමන් කළ විට එම අංශුවේ ආරම්භය හා අවසානය විසින් එම වෘත්තයේ කේන්ද්‍රයේ යම් කෝණයක් ආපාතනය කරයි.

දැන් එම අංශුව හරියටම එක් වටයක් පරිධිය ඔස්සේ ගමන් කළේ නම් (එනම්, අංශුව ගමන් කළ ස්ථානයටම වටය ගමන් කොට නැවත පැමිණියේ නම්), කේන්ද්‍රය මත අංශක 360ක කෝණයක් ආපාතනය වේ.

එම අංශුව නවතින්නේ නැතිව පරිධිය දිගේ වට 2ක් ගමන් කළේ නම්, දැන් කේන්ද්‍රය මත අංශක 360x2 හෙවත් අංශක 720ක කෝණයක් ආපාතනය කරනු ඇතැයි සැලකේ. එලෙස වට 10ක් ගමන් කළේ නම්, අංශක 3600ක් ගමන් කර ඇතැයි පැවසිය හැකියි. මේ ආකාරයට ඕනෑම ප්‍රමාණයක අංශක ගණනක් ගැන අපට කතා කළ හැකියි නේද? එකම ගමන් මාර්ගය ඔස්සේ නැවත නැවත අංශුව ගමන් කරන බව සැබෑවකි; එහෙත් අංශක ගණන ඉහත ආකාරයට වැඩිවීමට ඉන් බාධාවක් ඇති කරන්නේ නැත.

හරි... දැන් බලමු මෙවැනි වෘත්තයක් මඟින් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත නිර්වචනය කරගන්නා අයුරු. පහත රූපයට අවධානය යොමු කරන්න. එහි වෘත්තයට අමතරව, xy-ඛණ්ඩාංක තලයක් (coordinates system) ඇත. වෘත්තයේ කේන්ද්‍රය හා ඛණ්ඩාංක තලයේ මූලය/කේන්ද්‍රය එකිනෙකට සමපාත කර ඇත. මෙවිට සුපුරුදු ලෙසම x අක්ෂයේ දිගේ මූලයේ සිට දකුණු පැත්තට ධන අගයන්ද, මූලයේ සිට වම් පැත්තට ඍණ අගයන්ද පවතිනවා යැයි සිතිය හැකියි. එලෙසම y අක්ෂය දිගේ මූලයේ සිට උඩට ධන අගයන්ද, මූලයේ සිට යටට ඍණ අගයන්ද පවතිනවා යැයි සිතිය හැකියි. පහත රූපයේ වෘත්තයේ වැදගත් ස්ථාන 4හි අංශක ගණන (0, 90, 180, 270) ලකුණු කරද ඇත.

 

දැන් අප අවධානය යොමු කරන්නට යන්නේ යම් අංශුවක් වෘත්ත පරිධිය ඔස්සේ ගමන් කරන විට වෘත්ත කේන්ද්‍රය මත ආපාතනය කරන්නට යන θ කෝණයටයි. සම්මතයක් ලෙස, කෝණය හැමවිටම අප වාමාවර්තව හෙවත් ඔරලෝසුවේ කටු කරකැවෙන පැත්තට විරුද්ධ දිශාවට (anti-clockwise) මනිමු. තවද, හැමවිටම අංශුව ගමන් අරඹන්නේ x අක්ෂයේ (ධන පැත්තේ) සිට යැයිද සිතමු.

 

දැන් මෙම θ කෝණය ඇතුලත් වන පරිදි ඍජුකෝණි ත්‍රිකෝණයක් නිර්මාණය කරන්න. මෙලෙස නිර්මාණය කරපු ඍජුකෝණි ත්‍රිකෝණයේ කර්ණය බවට හැමවිටම පත්වන්නේ වෘත්ත අරයයි (ඉහත රූපය බලන්න).

දැන් මෙම ඍජුකෝණි ත්‍රිකෝණය ආශ්‍රයෙන් සුපුරුදු ලෙසම ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත ලබා ගත හැකියි නේද? ඔව්. වෘත්තය ආශ්‍රයෙන් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත නිර්වචනය කරනවා යැයි කිව්වත් ඇත්ත වශයෙන්ම මෙහිදීත් වක්‍රව ඍජුකෝණි ත්‍රිකෝණයක් ආශ්‍රයෙන්මයි එම අනුපාත නිර්වචනය කරගන්නේ. ඒ කියන්නේ ත්‍රිකෝණමිතිය යන නමට කැලලක් ඇති වන්නේ නැහැ. එහෙත් මෙහි ඇති අපූර්වත්වය පෙනෙන්නේ ඕනෑම කෝණයක් සඳහා එම අනුපාත ලබා ගත හැකි වීමයි. ඒ කෙසේද?

ඉහත රූපයේ පරිධිය ඔස්සේ ගමන් කරන අංශුව ඔබ කැමති පරිදි වෘත්ත පරිධියේ ඕනෑම තැනකින් තබන්න. උදාහරණයක් ලෙස පහත රූපයේ ආකාරයට එය තබමු. එවිට එය විසින් ආපාතනය කර ඇති කෝණයද රූපයේ පෙන්වා ඇත. දැන් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත ලබා ගැනීමට ඍජුකෝණි ත්‍රිකෝණයක් නිර්මාණය කරගන්න. මේ සියල්ල පහත රූපයේ දැක්වේ.

 

එම ත්‍රිකෝණය ආශ්‍රයෙන් දැන් අනුපාත ලබාගත හැකියි නේද? උදාහරණයක් ලෙස සයින් θ = y/r ලෙසද, කොස් θ = x/r ලෙසද, ටෑන් θ = y/x ලෙසද ලිවිය හැකියි නේද? මෙහිදී ත්‍රිකෝණයේ පාද සකස් කරගන්නා අන්දම බලන්න. අරය හැමවිටම කර්ණය ලෙස පවතී. ඉතිරි පාද දෙකෙන් එකක් හැමවිටම x අක්ෂය මත පවතී. අනෙක් පාදය හැමවිටම y අක්ෂය මත හෝ ඊට සමාන්තරව පවතී.