අනුකලනය (Integration) - 8

විෂම අනුකලය

විෂම අනුකලය (improper integral) යනු නිශ්චිත අනුකලයේදී මතු වන සුවිශේෂි තත්වයකි. සාමාන්‍යයෙන් නිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශයක් සුලු කර අවසන් වූවාට පසුව අපට යම් නිශ්චිත අගයක් (හෙවත් නිශ්චිත වර්ගඵලයක්) ලැබෙනවානෙ. එහෙත් යම් හේතු නිසා නිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශය සුලු කළ පසුත් අවසන් අගය නිශ්චිත නොවන අවස්ථා ඇත. විෂම අනුකලය යොදන්නට සිදු වන්නේ එබදු අවස්ථාලය. ප්‍රධාන ලෙස මෙවැනි අවස්ථා දෙකක් ඇත.

ඔබ දැන් දන්නවා නිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශයක් සුලු කිරීමේදී පියවරවල් දෙකක් තිබෙනවා. පළමු පියවරේදී අනිශ්චිත අනුකල සුලු කිරීමකුයි සිදු වන්නේ (දෙවැනි පියවරේදී නිශ්චිත පරාසයේ අගයන් දෙක ඊට ආදේශ කිරීම සිදු වෙනවා). මෙම පළමු පියවරේදී ලැබෙන්නේද ශ්‍රිතයක්නෙ. ඉතිං අනුකලයේ දක්වා ඇති පරාසය තුළ, සමහර ශ්‍රිත අසන්තතික (discontinuous) විය හැකියි. පහත රූපය බලන්න.

ඉහත රූපයේ දැක්වෙන්නේ අනුකලනයට භාජනය වන යම් ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයකි. එහි x=2 වන විට ප්‍රස්ථාරය කැඩී/අසන්තතික වී ඇත. දැන් පෙන්වා ඇති පරිදි 2 යන අවස්ථාවත් ඇතුලත් වන පරිදි යම් x අගය පරාසයක වර්ගඵලය (එනම් නිශ්චිත අනුකලය) සොයන විට ගැටලුවක් මතු වේ. එනම් x=2 යන අවස්ථාවේදී අනන්තය දක්වා උසක් ප්‍රස්ථාරය ගමන් කරනවා. ඉතිං කොහොමද නිශ්චිතවම වර්ගඵලයක් කියන්නේ? එනම් මෙය විෂම අනුකල අවස්ථාවකි.

මතකයට

පොඩි සිතුවිලි පරීක්ෂණයක් කරමු. සිතන්න යම් ඊතලයක් සෑම තත්පරයකදීම ඊට ගමන් කිරීමට තිබෙන දුරින් හරි අඩක් ගමන් කරනවා කියා. ඊට ගමන් කිරීමට තිබෙන දුර මීටර් 10ක් නම්, ඊතලයට කොපමණ කාලයක් ගත වෙනවාද එම දුර ගමන් කිරීමට? සිතා බලන්න. ඊට අනන්ත කාලයක් ගත වනු ඇත (එනම් කිසිදා ගමන් කර ඉවර වන්නේ නැත). පළමු තත්පරයේදී එය මීටර් 5ක් යනු ඇත. එවිට තවත් මීටර් 5ක දුරක් ඊට ගමන් කිරීමට ඇත. දෙවැනි තත්පරයේදී ඉන් අඩක් වන මීටර් 2.5ක් යනු ඇත. එවිට තවත් මීටර් 2.5ක් ඉතිරි වනු ඇත. මෙලෙස සෑම තත්පරයක් පාසාම තිබෙන දුරින් භාගයක් පමණක් යන නිසා, හැමවිටම ඉන් භාගයක් ඉතිරි වේ.

එහෙත් තත්පර කිහිපයක් ගිය පසු සමහරවිට ඊතලයට යෑමට තිබෙන්නේ මීටර් 0.000000000001 ක් වැනි දුරක් වීමට පුලුවන්. ඊටත් තත්පර කිහිපයකට පසු සිතාගත නොහැකි තරම් කුඩා දුරක් වේවි. කොතරම් කාලයක් ගියත් හැමවිටම තවත් ගමන් කිරීමට යම් දුරක් ඉතිරි වෙනවා.

මෙම අවස්ථාව ගැන මෙහෙමත් සිතන්න. ඔබ හොඳටම දන්නවා මීටර් 10ක් කියන්නේ නිශ්චිත දුරක් බව (එනම් අනන්ත දුරක් නොවේ). එහෙත් ඉහත ඊතලය ගමන් කරන්නේ යැයි උපකල්පනය කළ ආකාරය නිසා ඊට අනන්ත කාලයක් එය ගමන් කිරීමට ගත වූවා. ඒ කියන්නේ කාලය අනන්තයක් (අවිනිශ්චිත) වුවත්, දුර නිශ්චිතය.

ඉහත සිතුවිලි පරික්ෂාව වැනි තත්වයන් ගණිතයේදී ඇත්තටම හමු වේ. උදාහරණයක් ලෙස ඉහත රූපයම සලකන්න. එහි x=2 විට, ශ්‍රිතය අසන්තතික වන්නේ ප්‍රස්ථාරය දෙපැත්තෙන්ම උඩට අනන්තය කරා යන නිසාය. එවිට එකවරම ඔබට සිතේවි ප්‍රස්ථාර වක්‍රයේ වර්ගඵලය අනන්තයක් වේවි කියා. ඊට හේතුව පොඩ්ඩ පොඩ්ඩ කුඩා වර්ගඵලයන් අනන්ත සංඛ්‍යාවක් එකතු වූ විට අනන්ත වර්ගඵලයක් ලැබෙනවා කියා සිතිය හැකියිනෙ.

එහෙත් උදාහරණයක් ලෙස, ප්‍රස්ථාර වක්‍රය උඩට ගමන් කරන්නේ එකතු වන වර්ගඵලය ඊට පෙර එකතු වූ වර්ගඵලයෙන් දහයෙන් එකක පංගුවක් වන පරිදි නම්, එවිට ඇත්තටම අවසානයේ ලැබෙන වර්ගඵලය අනන්තයක් නොවේ. උදාහරණයක් ලෙස, x=1.9 වන විට වර්ගඵලය 10 නම්, x අක්ෂය දිගේ යම් කුඩා දුරක් ගිය පසු, එම ගිය කොටස නිසා 0.1 ක වර්ගඵලයක් ඊට එකතු වනවා යැයි සිතමු. එවිට දැන් මුලු වර්ගඵලය 10.1 වේ. එවැනිම කුඩා දුරක් නැවත ගිය පසු එකතු වන්නේ 0.1න් දහයෙන් පංගුවක් හෙවත් 0.01 වර්ගඵලයකි. එවිට, මුලු වර්ගඵලය 10.11 වේ. මේ ආදී ලෙස දුරවල් අනන්ත ගණනක් x දිගේ යන විට, මුලු වර්ගඵලයත් 10.111111......1 වේවි. බලන්න වර්ගඵලය කිසිවිටක 10.12 වත් වන්නේ නැත. කාල සමග දශමස්ථානය බැගින් පමණයි අගය වැඩි වන්නේ. ඒ කියන්නේ මෙතැන යම් සීමා අගයක් පවතිනවා නේද? (අවකලනය පාඩම්වලදී සීමා ගැන සොයා බැලුවානෙ).

මතකයට

සීමාවක් තිබෙන ඕනෑම තැනක 100%ක් නිශ්චිත බවක් නැත. එහෙත් එය සෑම අතින්ම 100% ක් නිශ්චිත බවට සිතා ගත නොහැකි තරම් ආසන්නයි. එනිසා සීමා යොදාගෙන කරන ගණනය කිරීම්ද ඉතාම නිවැරදියි. ඒවා දළ අගයන් හෝ ආසන්න අගයකට ගණනය කිරීමක් ලෙස සලකන්නට එපා.

ඇත්තටම අසන්තතික ශ්‍රිතයක් වුවත්, එම අසන්තතික බව තිබෙන ස්ථානය හසු නොවන පරාසයක නිශ්චිත අනුකලය (වර්ගඵලය) සොයන විට කිසිදු ප්‍රශ්නයක් ඇති නොවේ. එවිට එතැන විෂම අනුකලයක් ඇත්තේ නැත. උදාහරණයක් ලෙස ඉහත ප්‍රස්ථාරය පහත දක්වා තිබෙනවා වෙනස් පරාසයක වර්ගඵලය සොයන අයුරින්. මෙවිට වර්ගඵලයේ අවිනිශ්චිත බවක් නැති නිසා, කිසිදු ගැටලුවක් නැත.

ඉහත විස්තරවලින් ගම්‍ය වන්නේ අසන්තතික ශ්‍රිතයක් සහිත විට, එම අසන්තතික බවත් ඇතුලත් වන පරිදි යම් පරාසයක් තුළ වර්ගඵලය සොයන විට, එය සාමාන්‍ය නිශ්චිත අනුකල සුලු කිරීමකින් පමණක් සුලු කළ නොහැකි බවයි. ඒ සඳහා යම් සීමා ගණනය කිරීමක් යොදා ගත යුතු වෙනවා. එවිට සලකා බැලිය යුතු ගතිගුණ කිහිපයක් තිබෙනවා.

විෂම අනුකල සුලු කරන අයුරු ඉගෙනීමට පෙර විෂම අනුකලයක් ඇති වන අවස්ථා දෙකෙන් දෙවැනි අවස්ථාවත් බලමු. මෙහිදී ශ්‍රිතය සන්තතිකයි. එහෙත් පරාස සීමාවන් නිශ්චිත නැත; ඒ කියන්නේ පරාස අගයන්ගෙන් එකක් හෝ දෙකම අනන්ත අගයන් සහිතයි. පරාස අගයන් අනන්තය ගත්තත් ඉන් හැඟවෙන්නේ නැහැ නිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශය සුලු කර එම අනන්ත අගයන් ආදේශ කර වර්ගඵලය සොයන විට එම වර්ගඵලයත් අනන්තයක් වන බව. ඇත්තටම අනුකල ප්‍රකාශයක් සුලු කරන විට ප්‍රතිඵලය ලෙස අනන්තය ලැබේ නම්, එය වලංගු පිළිතුරක් ලෙස සලකන්නේද නැත.

දැන් බලමු විෂම අනුකල විසඳන හැටි මේ අවස්ථා දෙකෙහිදීම. ඇත්තටම මෙම අවස්ථා දෙකට නම් දෙකකුත් තිබෙනවා. පළමු අවස්ථාව "පළමු ආකාරය" (Type I) ලෙසද, දෙවන අවස්ථාව "දෙවන ආකාරය" (Type II) ලෙසද හැඳින්වෙනවා. පළමු ආකාරයේදී ශ්‍රිතය පරිමිත නැති (integral function is unbounded) අතර, දෙවැනි ආකාරයේදී පරාස අගයන් පරිමිත නැත (interval is unbounded).

පහත අනුකලය බලන්න.

අනන්තය මෙම අනුකලයේ උඩත් සීමාව ලෙස පවතී. ඒ අනුව මෙය දෙවැනි ආකාරයේ විෂම අනුකලයක් නේද? අනන්තයක් පවතින නිසා එකවර සාමාන්‍යයෙන් විසඳන ආකාරයටම විසඳන්නට ගියොත් බොහෝවිට ගැටලු ඇති කරාවි. ඊට හේතුව අනන්තය යනු ඇත්තටම සංඛ්‍යාවක් නොවේ; එය නිශ්චිතද නැත. එබැවින් නිවැරදිව මෙවැනි අවස්ථාවක් සුලු කරන හැටි දත යුතුය. පළමුවෙන්ම අනන්තය එතැන නැතැයි සිතන්න. ඒ වෙනුවට වෙනත් නිශ්චිත අගයක් (විචල්‍යයක්) එතැන ඇතැයි සිතා සාමාන්‍ය පරිදි සුලු කරගෙන යන්න.

ඉහතදී අනන්තය වෙනුවට n නම් නිශ්චත අගයක් සහිත නියත පදය ආදේශ කර ඇත. ඉන්පසු සාමාන්‍ය පරිදි සුලු කරගෙන ගොස් n සහිත අවසන් ප්‍රතිඵලයක් ලබාගෙන ඇත. එහෙත් තවම සුලු කිරීම අවසන් නැත. දැන් මුලින් ඉවත් කළ අනන්තය මේ තුලට ගෙන ආ යුතුයි. අනන්ත අගයන් ගණිත ප්‍රකාශයක් තුළට ගෙන ආ හැකි හොඳම ක්‍රමය සීමාවක් ලෙසයි. ඒ කියන්නේ දැන් n = අනන්තය ලෙස ආදේශ කරනවා වෙනුවට n අනන්තය කරා යෑමේදී ප්‍රකාශයේ සීමා අගය කුමක්ද යන්නයි සෙවිය යුත්තේ.

ඉහත පෙන්වූ සරල ක්‍රමය භාවිතා කරමින් දෙවැනි වර්ගයේ විෂම අනුකලය සිදු කළ හැකියි. ඒ සඳහා ඔබට අමුතුවෙන් කළ යුතු වන්නේ පරාසයේ ඇති අනන්ත අගය වෙනුවට යම් නියතයක් ආදේශ කර, එය සුලු කර, අවසානයේ එම නියතය අනන්තය කරා යන සීමාව ගැනීම පමණි. උඩත් සීමාවේ වෙනුවට යටත් සීමාවේද අනන්තය (මෙවිට එය ඍණ අනන්තය) පවතී නම්, එවිටද එවැනිම ආදේශයක් සිදු කළ යුතුය. එම ක්‍රියාවලිය කෙටියෙන් පහත ආකාරයෙන් දැක්විය හැකියි.

 

නැවත අවධාරණය කරන්නේ ඉහත ආකාරයට විසඳිය හැක්කේ පරාසයේ අනන්ත අගයක් පැවතියත් වර්ගඵලය (එනම් නිශ්චිත අනුකල ප්‍රතිපලය) අනන්ත නොවන අගයක් ගන්නා අවස්ථාවලදීය. පරාස අගය අනන්ත වුවත් වර්ගඵලය අනන්ත නොවන විට, එවැනි අවස්ථාවක් අභිසාරී (convergent) ලෙස හැඳින්වෙනවා. එහෙත් පරාස අගය අනන්ත වන විට, වර්ගඵලයත් අනන්ත අගයක් ගන්නා අවස්ථා තිබෙන අතර, එවැනි අවස්ථා අපසාරී (divergent) ලෙස හැඳින්වෙනවා.

පරාස අගයන් දෙකම අනන්ත අගයන් ලෙස නම් පවතින්නේ, එවිට පළමුව නිශ්චිත අනුකල සාම්‍යයක් යොදාගත යුතුය (තනි මුලු පරාසයේම එකවර වර්ගඵලය සොයනවා වෙනුවට, එය වර්ගඵලය කොටස් වශයෙන් සොයා එකතු කිරීමේ සාම්‍යය). ඉන්පසු එම වෙන් වෙන්ව ඇති අනුකල ප්‍රකාශ දෙකෙහි අනන්ත පද වෙනුවට ඉහත පෙන්වපු සූත්‍ර දෙක ආදේශ කරගෙනයි පහත සූත්‍රය නිර්මාණය කරගෙන තිබෙන්නේ. මෙහිදී වෙන වෙනම ලැබුණු කුඩා අනුකල ප්‍රකාශ දැන් වෙන වෙනම ගත් කළත් අභිසාරී විය යුතුය.

ඒ අනුව ඉහතකදී සලකා බැලූ උදාහරණය අභිසාරී අවස්ථාවකි. දැන් අපසාරි අවස්ථාවක්ද බලමු. මෙහි අවසන් ප්‍රතිඵලයද අනන්ත අගයකි - එනම් අපසාරී වේ.

තවත් උදාහරණයක් බලමු. මෙහි අගය අනන්තය නොවන බැවින් අනුකල ප්‍රකාශය අභිසාරී වේ.

දැන් අපි බලමු පළමු ආකාරයේ විෂම අනුකල සුලු කරන අයුරු. මෙහිදී ශ්‍රිතයේ අසන්තතික බව තිබෙන ස්ථානය හසු නොවන සේ වර්ගඵලය සෙවීමට වගබලා ගන්න. එසේ අසන්තතික බව මඟ හැරිය හැකි ක්‍රමය මෙසේය.

මතකයට

යම් සංඛ්‍යා/අගයන් දෙකක් අතර සැසඳීමක් සිදු කළ හැකියි. ඒ සඳහා වෙනමම "සැසඳීමේ ගණිතකර්ම" (relational operators) ඇත. පහත දැක්වෙන්නේ එම ගණිතකර්මයි.

x > y “x විශාලයි y ට වඩා". මෙය "වඩා විශාල" (greater than) ගණිත කර්මය ලෙස හැඳින්වෙනවා.

x < y “x කුඩායි y ට වඩා". මෙය "වඩා කුඩා" (less than) ගණිත කර්මයයි.

x = y “x සමානයි y”. "සමාන" (equal to) ගණිත කර්මයයි.

x <> y “x අසමානයි y”. "අසමාන" (not equal to) ගණිත කර්මයයි.

x ≥ y “x විශාලයි හෝ සමානයි y”. "විශාල හෝ සමාන" (greater than or equal to) ගණිත කර්මයයි.

x ≤ y “x කුඩායි හෝ සමානයි y”. “කුඩා හෝ සමාන" (less than or equal to) ගණිත කර්මයයි.

ඕනෑම අගයන් දෙකක් ගත්විට ඉහත ආකාර 6න් කුමක් හෝ ආකාරයකින් එම අගයන් දෙක සැසඳිය හැකිය. තවද, සංඛ්‍යා දෙකක් සැසඳීම පමණක් නොව, ඉහත ගණිත කර්ම යොදා ගෙන යම් විචල්‍යයක් ගත හැකි අගය පරාසයක් (range හෝ interval) දැක්වීමද සිදු කළ හැකිය. උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

5 < x > 15 - මින් කියන්නේ x නම් විචල්‍යයේ අගය 5ට වඩා වැඩි විය යුතු අතර 15ට වඩා අඩු විය යුතු බවයි. මෙවිට x ට 5 හෝ 15 යන අගයන් දෙක අයත් වන්නේ නැත. ලියා ඇති පරාස සීමා අගයන් ඇතුලත් නොවන විට, “විවෘත පරාසයක්" (open interval) ලෙස එය හැඳින්වේ. ඒ අනුව ඉහත ප්‍රකාශය විවෘත පරාස ප්‍රකාශයකි. 5 හා 15 යන අගයනුත් ඇතුලත් වීමට අවශ්‍ය නම් එය පහත ආකාරයට ලිවිය යුතුය.

5 ≤ x ≥ 15 - මෙම ප්‍රකාශය දැන් විවෘත පරාසයක් නොව සංවෘත පරාසයකි (closed interval). එහෙත් අපට අවශ්‍ය නම් ප්‍රකාශයක එක් පැත්තක් විවෘතවත් අනෙක් පස සංවෘතවත් තැබිය හැකියි.

5 < x ≥ 15 - මෙහි වම් පස විවෘත වන අතර, දකුණු පස සංවෘත වේ.

පරාසයන් ඉහත ආකාරයට නිරූපණය කළ හැකි වුවත්, කෙටි ක්‍රමයකින්ද පරාස දැක්විය හැකියි. ඒ සඳහා සාමාන්‍ය වරහන් හා කොටු වරහන් භාවිතා වේ. උදාහරණයක් ලෙස දෙපැත්තම විවෘතව අැති පරාසයක් දක්වන්නේ දෙපැත්තේම සාමාන්‍ය වරහන් යෙදීමෙනි. එලෙසම, දෙපැත්තම සංවෘත පරාසයක් දක්වන්නේ දෙපැත්තෙන්ම කොටු වරහන් යෙදීමෙනි.

5 < x > 15 → (5, 15)

5 ≤ x ≥ 15 → [5,15]

එහෙත් පැත්තක් විවෘත හා පැත්තක් සංවෘත පරාසයන් නිරූපණය කරන විට, විවෘත පැත්ත සාමාන්‍ය වරහනකිනුත් සංවෘත පැත්ත කොටු වරහනකිනුත් ආවරණය කළ යුතුය.

5 ≤ x > 15 → [5, 15)

5 < x ≥ 15 → (5, 15]

තවද, ප්‍රස්ථාරයක ශ්‍රිත ලකුණු කරන්නාක් මෙන්, පරාසයන්ද සංඛ්‍යා රේඛාවක් මත ලකුණු කළ හැකියි. සංවෘත පැත්තේ අගය තද ඩොට් එකකින්ද, විවෘත පැත්තේ අගය මැද හිස් ඩොට් එකකින්ද ලකුණු කර පරාසය තද ඉරකින් ලකුණු කළ යුතුය.

 

නිශ්චිත අනුකලයේ ඇති පරාස අගයන් දෙකෙන් එකක් (හෝ දෙකම) ශ්‍රිතය අසන්තිතක වන මායිම හෙවත් සීමාව වන සේ සැලකූ විට විෂම අනුකලයක් ඇති වේ. මතක තබා ගන්න මෙහිදී දී ඇති පරාසය තුළ කිසිදු අසන්තතික බවක් නැත. අසන්තතික බව පටන් ගන්නා මොහොතේම තමයි වර්ගඵලය සෙවිය යුතු පරාසය කෙළවර වන්නේ. මෙම විස්තරය සංක්ෂිප්තව ගණිතානුකූලව පහත ආකාරයට ලිවිය හැකියි.

f(x) ශ්‍රිතය [a,b) පරාසය තුළ සන්තතික වන නමුත්, හරියටම x = b වන විට අසන්තතික වෙනවා යැයි සිතමු. එවිට,

ලෙස ලිවිය හැකියි. පරාසය ලියා තිබෙන්නේ [a,b) ලෙස නිසා, ඉන් හැඟවෙන්නේ a යන්න පරාසයට ඇතුලත් වුවත්, b යන අගය පරාසය තුළ නැති බවයි. x=b වන විට ශ්‍රිතය අසන්තතික වන නිසා, අපට වර්ගඵලය සොයන පරාසය තුළ b තබා ගත නොහැකියිනෙ. ඒ කියන්නේ b ට වඩා අඩු එහෙත් b ට ඉතාම ඉතාම ඉතා ආසන්න අගයක් තමයි උඩත් සීමාව බවට පත් වන්නේ. උදාහරණයක් ලෙස, b යනු 10 නම්, 9.99.......9 වැනි 10ට ඉතාම ආසන්න අගයක් ගත හැකියි. (මෙවැනි විටක b යනු "සීමාවක්" ලෙස සලකන බව ඔබ දැන් දන්නවා). සීමාව ගත යුත්තේ වම් පැත්තෙන්ය (එනම් සීමා අගයට අඩු අගයක් ගත යුතුය). එය තමයි b^- ලෙස හඟවන්නේ.

එලෙසම, f(x) ශ්‍රිතය (a,b] යන පරාසය තුළ සන්තතික වන නමුත්, හරියටම x = a වන විට අසන්තතික වෙනවා යැයි සිතමු. එවිට,

මෙහිදී සීමා අගය ගන්නේ දකුණු පසින්ය. ඊට හේතුව x=a වන විට ශ්‍රිතය අසන්තතික වෙනවා නම්, a යනු යටත් පරාස අගය නිසා, වර්ගඵලය සොයන විට දකුණු පසටයි ගමන් කරන්නේ.

පරාසය තුළදීම ශ්‍රිතය අසන්තතික වන්නට හැකියි. එවිට, පෙර අවස්ථාවකදීත් සිදු කළ ආකාරයටම තනි වර්ගඵලයක් වෙනුවට වර්ගඵල කිහිපයක් සොයා එකතු කරන නිශ්චිත අනුකල සාම්‍යය යෙදිය හැකියි. එනම්, යම් ශ්‍රිතයක [a,b] නම් පරාසය තුළ නිශ්චිත අනුකලය සෙවීමට ඇතැයි සිතමු. එහෙත් මෙම පරාසයේ අතර මැද c නම් අගයකදී ප්‍රස්ථාරයේ යම් අසන්තතික බවක් තිබේ යැයි සිතමු. එවිට, ඔබ කළ යුත්තේ මෙම අසන්තතික ලක්ෂ්‍ය එක් පරාස අගයක් වන සේ සකස් කළ පරාස දෙකක් සාදා ගැනීමයි. එනම්,

දැන් උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

පැහැදිලිවම මෙම ශ්‍රිතය x = 5 වන විට අසන්තතික වේ. තවද, එම අසන්තතික බව ඇති වන x=5 වන අවස්ථාව තමයි උඩත් සීමාව ලෙස දක්වා තිබෙන්නෙත්. එනිසා x අගය හරියටම 5 වන අවස්ථාවට පෙර අවස්ථාවක් දක්වා වර්ගඵලය සෙවිය හැකියි (ඒ කියන්නේ 5 සීමාව ලෙස ගෙන ඉහතදී උගත් සීමා සහිත අනුකල ප්‍රකාශයක් බවට මෙම අනුකල ප්‍රකාශය පත් කර ගත යුතුය).

තවත් උදාහරණයක් බලමු.

මෙම ශ්‍රිතය පැහැදිලිවම x=0 වැනි අවස්ථාවේදී අසන්තතික වේ. තවද අනුකල පරාසය -2 සිට 3 දක්වා වන බැවින් x=0 යන අවස්ථාව එම පරාසය තුළ පිහිටයි. එබැවින් විෂම අනුකල ක්‍රමයක් යොදා ගෙන සුලු කිරීමට සිදු වෙනවා. ඉහතදී උගත් න්‍යායන් අනුව එම මැද තිබෙන අසන්තතික අවස්ථාව මායිම්/සීමා වන සේ අවකල දෙකක එකතුවක් බවට ඉහත අනුකල ප්‍රකාශය පත් කර ගත යුතුය.

හරි, දැන් කරන්නට තිබෙන්නේ එම කුඩා ප්‍රකාශ දෙක මීට පෙර උදාහරණය සුලු කළ ආකාරයට වෙන වෙනම සුලු කිරීමටයි. පළමුව ප්‍රථම ප්‍රකාශය සුලු කරන්නට උත්සහ කරමු. එහිදී එය සීමා ප්‍රකාශයක් ලෙස මුලින්ම සකස් කරන්න.

දැන් එම සීමා අනුකල ප්‍රකාශය සුලු කරන්න.

එය සුලු කළ විට අනන්තය ලැබුණි. එනිසා අනෙක් කොටස සුලු කිරීමට අවශ්‍ය නැහැ මොකද දැනටමත් මෙම ප්‍රකාශය අවලංගුභාවයට පත්ව ඇත. එනම් ශ්‍රිතය අපසාරී වේ. (යම් ශ්‍රිතයක් සුලු කළ විට අවසාන පිළිතුර අනන්තය ලැබේ නම් එය අපසාරි ශ්‍රිතයකි; එසේ නොවී නියත අගයක් ලැබුණි නම් එය අභිසාරි ශ්‍රිතයකි).