ත්‍රිකෝණමිතිය (trigonometry) - 3

0^o, 90^o, 180^o, 270^o, 360^o කෝණ

මෙම කෝණ 5 විශේෂිත අවස්ථාවන් කිහිපයකි. පළමුව අංශක 0 කෝණය සලකමු. මෙවිට අංශුව පොඩ්ඩක්වත් වෘත්ත පරිධිය ඔස්සේ ගමන් කොට නැත. ඒ කියන්නේ වෘත්ත අරය x අක්ෂය මත සමපාත වී ඇත. (වෘත්ත අරය රතු පාටින් දක්වා ඇත.)

මෙවිට කෝණය 0යි. කර්ණය වෙනස් නොවේ (මොකද කර්ණය යනු හැමවිටම වෘත්ත අරයනෙ). බද්ධ පාදය යනු x අක්ෂය දිගේ පවතින දුර නිසා, එය දැන් අරයට සමාන වී ඇත (අරය හා බද්ධ පාදය සමපාත වී තිබෙන නිසා). එහෙත් දැන් සම්මුඛ පාදයේ දිග ශූන්‍යයි. එනම් ඇත්තටම සම්මුඛ පාදයක් ඇත්තෙත් නැත. ඒ කියන්නේ සත්‍ය ලෙසම මෙතැන ත්‍රිකෝණයක්ද නැත. එහෙත් අනුපාත ගණනය කිරීමට එය ගැටලුවක් ඇති කරන්නේ නැහැ මොකද අප මූලිකව බලන්නේ දැන් වෘත්තයයි. මෙම කුඩා විස්තරය තුළ අප සොයා ගත් කරුණු මත අනුපාත සොයමු.

සයින්(0) = සම්මුඛ පාදය/කර්ණය = 0/r = 0 වේ.

කොස්(0) = බද්ධ පාදය/කර්ණය = r/r = 1 වේ.

ටෑන්(0) = සම්මුඛ පාදය/බද්ධ පාදය = 0/r = 0 වේ.

කොසෙක්(0) = කර්ණය/සම්මුඛ පාදය = r/0 = අනන්තය වේ.

සෙක්(0) = කර්ණය/බද්ධ පාදය = r/r = 1 වේ.

කොට්(0) = බද්ධ පාදය/සම්මුඛ පාදය = r/0 = අනන්තය වේ.

මතකයට

ඕනෑම ලොකු කුඩා සංඛ්‍යාවක් 0න් බෙදන විට, පිළිතුර ලෙස ලැබෙන්නේ සිතාගත නොහැකි තරමේ විශාල අගයකි. මෙම සිතාගත නොහැකි අතිදැවැන්ත අගය "අනන්තය" (infinity) ලෙසයි හැඳින්වෙන්නේ. අනන්තය යනු ඇත්තටම නිශ්චිත අගයක් නොවන බව මින් පැහැදිලි වෙනවා නේද? අනන්තය ධන හෝ ඍණ විය හැකියි. එනම්, ධන සංඛ්‍යාවලින් හෙවත් සංඛ්‍යා රේඛාවේ ධන පැත්ත දිගේ යන විට ධන අනන්තය ලැබේ. එලෙසම ඍණ අනන්තයද පවතී.

තවද, ඕනෑම ලොකු කුඩා සංඛ්‍යාවක් අනන්තයෙන් බෙදූ විට, පිළිතුර ලෙස ලැබෙන්නේ ශූන්‍ය හෙවත් 0 වේ. මෙවිට බෙදනු ලබන්නේ ධන හෝ ඍණ අනන්තයෙන් විය හැකියි. 0ට ධන ඍණ භේදයක් නැහැනෙ.

ඇත්තටම ඉහත ආකාරයට කොසෙක්, සෙක්, කොට් වෙන වෙනම රූපය ආශ්‍රයෙන්ම ගණනය කිරීමට අවශ්‍ය නැත. සයින්, කොස්, ටෑන් යන මූලික අනුපාත 3 ආශ්‍රයෙන්ම ඒවා ගණනය කළ හැකියි. මේ ක්‍රමයෙන් පහත ආකාරයට ඒවා ගණනය කළ හැකියි නේද?

කොසෙක්(0) = 1/සයින්(0) = 1/0 = අනන්තය

සෙක්(0) = 1/කොස්(0) = 1/1 = 1

කොට්(0) = 1/ටෑන්(0) = 1/0 = අනන්තය

දැන් අංශක 90 කෝණය ගැන බලමු. මෙවිට සම්මුඛ පාදය හා කර්ණය එකිනෙකට සමපාත වන අතර, බද්ධ පාදය ශූන්‍ය වේ. මෙම දත්ත මත අනුපාත සාදමු.

සයින්(90) = r/r = 1 වේ.

කොස්(90) = 0/r = 0 වේ.

ටෑන්(90) = r/0 = අනන්තය වේ.

කොසෙක්(90) = 1/සයින්(90) = 1/1 = 1 වේ.

සෙක්(90) = 1/කොස්(90) = 1/0 = අනන්තය වේ.

කොට්(90) = 1/ටෑන්(90) = 1/අනන්තය = 0 වේ.

දැන් බලමු අංශක 180 කෝණය. මෙවිට, බද්ධ පාදය හා අරය සමපාත වේ. අරය යනු හැමවිටම ධන අගයකි (ඍණ අගයක් සහිත අරයක් වෘත්තයක තිබිය නොහැකියිනෙ). එහෙත් දැන් බද්ධ පාදය ගැන එසේ සිතිය නොහැකියි. බද්ධ පාදය දැන් තිබෙන්නේ x අක්ෂය මත වුවත්, එය තිබෙන්නේ ඍණ කොටසේය. ඒ කියන්නේ බද්ධ පාදයේ අගය ඍණ වේ. තවද, සම්මුඛ පාදය ශූන්‍ය වේ.

සයින්(180) = 0/r = 0 වේ.

කොස්(180) = -r/r = -1 වේ.

ටෑන්(180) = 0/-r = 0 වේ.

කොසෙක්(180) = 1/0 = අනන්තය වේ.

සෙක්(180) = 1/-1 = -1 වේ.

කොට්(180) = 1/0 = අනන්තය වේ.

අංශක 270 කෝණය බලමු. මෙවිට සම්මුඛ පාදය හා අරය සමපාත වී ඇත. එහෙත් සම්මුඛ පාදය පිහිටන්නේ y අක්ෂයේ ඍණ දිශාවේ බැවින් සම්මුඛ පාදයේ අගය ඍණ ලෙස සැලකිය යුතුය. බද්ධ පාදය 0 වේ.

සයින්(270) = -r/r = -1 වේ.

කොස්(270) = 0/r = 0 වේ.

ටෑන්(270) = -r/0 = ඍණ අනන්තය වේ.

කොසෙක්(270) = 1/-1 = -1 වේ.

සෙක්(270) = 1/0 = අනන්තය වේ.

කොට්(270) = 1/ඍණ අනන්තය = 0 වේ.

අංශක 360 කෝණය ගැන අමුතුවෙන් සලකා බැලීමට දෙයක් නැත. ඊට හේතුව අංශක 360 යනු අංශක 0 ම තමයි. එනම් යම් අංශුවක් අංශක 0 සිටින විටත් අංශක 360හි සිටින විටත්, එම අවස්ථා දෙක එකිනෙකට සමපාතව පවතිනවා. එනිසා අංශක 0දී සලකා බැලූ කාරණා සියල්ල මීට අදාල වන අතර, අංශක 0දී ලැබුණු අගයන්මයි අංශක 360 සඳහාත් පවතින්නේ.

දැන් ඉහත ප්‍රතිඵල සියල්ල පහත ආකාරයට වගුවක සාරාංශගත කළ හැකිය.

	0o	90o	180o	270o	360o
sin	0	1	0	-1	0
cos	1	0	-1	0	1
tan	0	infinity	0	-infinity	0
csc	infinity	1	infinity	-1	infinity
sec	1	infinity	-1	infinity	1
cot	infinity	0	infinity	0	infinity

30^o, 45^o, 60^o කෝණ

මෙම කෝණ සඳහා ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත අගයන් සරල ජ්‍යාමිතිය යොදාගෙන සෙවිය හැකියි. පළමුවෙන්ම අංශක 45 කෝණය බලමු. ඒ සඳහා පහත රූපය සලකන්න.

මෙහි B කෝණය ගමු. මෙම ත්‍රිකෝණය සඳහා පයිතගරස් ප්‍රමේයය දැමූ විට, BC² = AB²+AC² වේ. එහෙත් AB = AC ද වේ (සමද්විපාද ත්‍රිකෝණයේ සමාන පාද දෙක). එවිට, BC² = AC² + AC² = 2AC² වේ. තවද, BC² = AB² + AB² = 2AB² ලෙසද එය ලිවිය හැකියි. ඒ අනුව 45 කෝණය සඳහා පහත ආකාරයට අනුපාත ගණනය කරමු.

 

අංශක 30 හා 60 කෝණ සඳහා පහත රූපය සලකමු. මුලින්ම ABC නම් ත්‍රිකෝණය සලකන්න. එහි අංශක 30 ක හා 60 ක කෝණ ඇත. දැන් A ශීර්ෂයේ සිට BC පාදය තෙක් AD නම් රේඛාවක් නිර්මාණය කරන්න AC දිගට AD සමාන වන පරිදි. මෙම AD දිග a ලෙසද ගමු. එවිට ACD ත්‍රිකෝණය ඉබේම සමපාද ත්‍රිකෝණයක් බවට පත් වේ මොකද කෝණ 3ම සමාන නිසා (හෙවත් පාද 3ම සමාන නිසා). මෙවිට ADB කෝණය අංශක 120ක් වේ (180 – 60 = 120 නිසා). දැනටමත් B කෝණය (හෙවත් ABC කෝණය) 30 නිසා, ඉබේම BAD කෝණයත් අංශක 30ක් බවට පත් වේ. ඒ කියන්නේ ADB ත්‍රිකෝණය සමද්විපාද ත්‍රිකෝණයකි. එහි BD පාදය හා AD පාදය සමානය. එනිසා BD = a වේ. (AC = CD = AD = BD = a වේ.) එවිට, BC = 2a = 2AC වේ. තවද, BC² = AC²+AB² → (2a)² = a² + AB² → AB² = 4a² – a² = 3a² වේ.

දැන් අපට හැකියි මෙම දත්ත ඔස්සේ අනුපාත සියල්ල සොයන්න.

 

ඉහත ගණනය කිරීම් බලන විට, සයින්(30) = කොස්(60) හා සයින්(60) = කොස්(30) බව පේනවා නේද? මූලික අනුපාත 3න් අනෙක් අනුපාත 3හි අගයනුත් සෙවිය හැකියිනෙ. මේ සියලු දත්ත පහත වගුවේ සාරාංශගත කර ඇත. අංශක 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 කෝණවල සයින්, කොස්, ටෑන් අගයන් මතක තබා ගැනීමට වටිනවා. (trigonometry ...)

	30o	45o	60o
sin	1/2	1/√2	√3/2
cos	√3/2	1/√2	1/2
tan	1/√3	1	√3
csc	2	√2	2/√3
sec	2/√3	√2	2
cot	√3	1	1/√3