අවකලනය (differentiation) - 4

විශේෂ ශ්‍රිත කිහිපයක අවකලනය

1. dxⁿ/dx = nx^n-1

මෙය මුලින් දැක්වූ සාම්‍යයන් ලැයිස්තුවේද පැවතියා. ඒ ගැන තව දුරටත් සාකච්ඡා කිරීමට අවශ්‍යයි. බොහොමයක් ශ්‍රිතවල විචල්‍යයන් යම් බලයකට නංවා ඇති ආකාරයෙනුයි හමුවෙන්නේ. ඉතිං එවැනි දර්ශක සහිත හෙවත් බලයකට නැංවූ පදයක් අවකලනය (differentiation) කිරීමට දැනගත යුතුමයි. මෙම සූත්‍රයෙන්/සාම්‍යයෙන් ඉතාම පහසුවෙන් එකවරම අවකලනය සිදු කළ හැකියිනෙ.

පදයේ දර්ශකය විවිධාකාර විය හැකියි. 3, 7 වැනි ධන පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් විය හැකියි (x³, x⁷); -2, -5 වැනි ඍණ පූර්ණ සංඛයාවක් විය හැකියි (x^-2, x^-5); 1/2, -3/5 වැනි ධන හෝ ඍණ භාග සංඛ්‍යාවක් විය හැකියි (y^1/2, z^-3/5). මේ ආදී ලෙස ඇති ඕනෑම අවස්ථාවක් සඳහා මෙම අවකලන සූත්‍රය යෙදිය හැකි බව සිහිතබා ගන්න.

මතකයට

යම් පදයක දර්ශකය ඍණ නම්, එම දර්ශකය ධන බවට පත් කර ගත හැකියි පදය 1 ට යටින් දැමීමෙන්. මෙය දර්ශක රීතියක් බව ඔබට මතක ඇති.

x^-3 = 1/x³ (y^-1/2) = (1/y^1/2)

යම් සංඛ්‍යාවක් 1ට යටින් දැමූ විට එය මුල් පදයේ "ගුණිත ප්‍රතිලෝමය" (multiplicative inverse) ලෙස හැඳින්වෙනවා. ප්‍රතිලෝම වර්ග කිහිපයක් තිබෙන නිසා ගුණිත ප්‍රතිලෝමය කියාම මෙය හැඳින්වීම හොඳය. ඒ අනුව x^-3 හි ගුණිත ප්‍රතිලෝමය 1/x³ වේ. මෙම වචනය මතක තබා ගන්න.

යම් පදයක තිබෙන්නේ 1/2, 1/3 වැනි භාග ස්වරූපයේ දර්ශකයක් නම්, ඒවා "මූල" (root) බවද මතක තබා ගන්න. එනම්, x^1/2 යනු x හි වර්ග මූලයයි. X^1/3 යනු x හි ඝන මූලයයි. Y^1/7 යනු y හි හත්වැනි මූලයයි. මේ අනුව සංඛ්‍යාවක මූලයන් ආකාර දෙකකින් නිරූපණය කළ හැකියි නේද?

X^1/2 = √x

x^1/3 = ³√x

x^1/7 = ⁷√x

සංඛ්‍යාවක මූල ගැන කතා කිරීමේදී සාමාන්‍යයෙන් ඍණ මූල ගැන කතා කරන්නෙ නැහැනෙ. එහෙත් දර්ශක ගැන කතා කරන විට ඍණ දර්ශක ගැන කතා කළ හැකියිනෙ. එමනිසා x^-1/2 වැනි ප්‍රකාශයක් දර්ශක යොදා ගෙන ලිව්වත් එය "මූලයක්" ලෙස හඳුන්වන සිරිතක් නැත (එලෙස හඳුන්වනවා නම්, x හි ඍණ වර්ගමූලය ලෙසයි හඳුන්වන්නට සිදු වනනේ). එලෙසම දර්ශකයේ ඇති භාග සංඛ්‍යාවේ ලවය 1 නොවන විටද සාමාන්‍යයෙන් මූල යන වචනය යොදන්නේ නැත. එ් අනුව x^2/5 යන්න x හි 2/5 වැනි මූලය ලෙස කියන්නේ නැත. එනිසා "මූල" යන නම යොදන්නේ සීමිත අවස්ථා ගණනකදී බවත් දර්ශකවලට කිසිදු සීමාවක් නැති බවද තේරුම්ගත යුතුය.

උදාහරණ කිහිපයක් සලකා බලමු.

dX⁵/dx = 5x⁴

dy^-3/dy = -3y^(-3-1) = -3y^-4

d√x/dx = dx^1/2/dx = (1/2)x^{(1/2 – 1)} = (1/2)x^(-1/2) = 1/2x^1/2 = 1/2(√x)

dx^2.4/dx = 2.4x^{(2.4 -1)} = 2.4x^1.4

මෙම සූත්‍රය පහත ආකාරයට සාධනය කළ හැකියි. අවකලන සූත්‍රයක් සාධනය කිරන්නේ [f(x+∆x) – f(x)]/∆x සොයා ∆x පදය 0 සීමාව දක්වා ගෙන යෑමෙන්ය. ඒ අනුව,

f(x) = xⁿ

f(x+∆x) = (x+∆x)ⁿ

f(x+∆x) – f(x) = (x+∆x)ⁿ – xⁿ

(x+∆x)ⁿ යන්න ප්‍රසාරණය කළ විට පද n+1 සංඛ්‍යාවක් ලැබේ. සාධනයට අවශ්‍ය ප්‍රමාණයට මා පහත දැක්වෙන සේ එය ප්‍රසාරණය කරනවා. එහි … ලෙස දක්වා තිබෙන කොටසෙහි ඇති පද සියල්ලම ∆x වලින් ගුණ වී පවතී.

(x+∆x)ⁿ = xⁿ + nx^n-1.∆x + … + (∆x)ⁿ

f(x+∆x) – f(x) = xⁿ + nx^n-1.∆x + … + (∆x)ⁿ – xⁿ

= nx^n-1.∆x + … + (∆x)ⁿ

[f(x+∆x) – f(x)] / ∆x = nx^n-1 + … + (∆x)^n-1

දැන් ∆x යන්න 0 සීමාව කරා ගෙන යන්න. එවිට + ... + තුළ ඇති පද සියල්ලමත් (∆x)^n-1 පදයත් 0 බවට පත් වෙනවා (මොකද එම කොටසේ ඇති සෑම පදයකම ∆x වලින් ගුණ වී තිබෙන නිසා; උදාහරණ ලෙස x.(∆x) = x.(0) = 0 වේ). එවිට ඉතිරි වන්නේ nx^n-1 යන්න පමණි. එය තමයි xⁿ වල ව්‍යුත්පන්නය වන්නේ. දැන් සාධනය සම්පූර්ණයි.

2. de^x/dx = e^x

මෙම සම්බන්ධතාව අපූරුය. ඊට හේතුව e^x නම් ශ්‍රිතය අවකලනය කළ විට නැවත ලැබෙන්නේ එම ශ්‍රිතයමයි. විචල්‍ය පදය (x) තිබෙන්නේ යම් නියතයක දර්ශකය ලෙසයි. මෙවැනි ශ්‍රිත ඝාතීය ශ්‍රිත (exponential function) යැයි පවසනවා. මෙම අවස්ථාවේදී මෙම ඝාතීය ශ්‍රිතයේ නියතය ලෙස ඇත්තේ e යන්නයි. e වෙනුවට 10, 2, 101 ආදී ලෙස වෙනත් නියත පදයක් වුවද පැවතිය හැකියි ඝාතීය ශ්‍රිතයක.

e ආසන්න වශයෙන් 2.7183 යන අගයට සමාන වේ. 2, 103048, 2.7183 වැනි යම් නිශ්චිත අගයකට නියතයක් හෙවත් නියත පදයක් (constant) යැයි කියනවා. e යන්නට ඇත්තේද නිශ්චිත අගයක් නිසා ඉබේම e යන්නද නියතයක් ලෙස හැඳින්වෙනවා. ගණිතයේ තිබෙන සුප්‍රසිද්ධම නියත පද දෙක තමයි e හා π කියන්නෙ.

e වල වැදගත්කම කුමක්ද, ඊට 2.7183 යන අගය කෙසේ ලැබුණාද යන්න වෙනමම කතා කළ හැකි හා කතා කළ යුතු මාතෘකාවකි. එය ගැන සොයා බලන්න. e සහිත ඝාතීය ශ්‍රිතය සියලුම ඝාතීය ශ්‍රිතයන්ගේ මූලික (“ඔරිජිනල්") ස්වරූපය ලෙස සැලකුවාට වරදක් නැත.

උදාහරණක් බලමු. y = e^2x යන ශ්‍රිතය x විෂයෙන් අවකලනය කරන්න. මෙය ඇත්තටම ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයකි. 2x=t ලෙස සිතුවොත් එය පැහැදිලි වේවි. එවිට e^t යන්න භාහිර ශ්‍රිතය ලෙසත් t=2x යන්න අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතය ලෙසත් පේනවා නේද? දාම රීතිය යොදා මෙය සුලු කළ හැකියි දැන්.

dy/dt = de^t/dt = e^t = e^2x

dt/dx = d2x/dx = 2

(dy/dt).(dt/dx) = e^2x.2 = 2e^2x

3. da^x/dx = a^x.ln(a)

ඉහත 2 හිදී සලකා බැලුවේ e^x නම් මූලිකම ඝාතීය ශ්‍රිතයේ අවකලනයයි. දැන් සලකා බලන්නේ ඕනෑම ඝාතීය ශ්‍රිතයක අවකලනයයි (එනම් a යන්න ඕනෑම අගයක නියතයකි; එය 10 විය හැකියි; 101 විය හැකියි; ඕනෑම අගයක් විය හැකියි). බලන්න මෙහි ඇති රටාව. අවකලනයට භාජනය කළ ශ්‍රිතය නැවත ලැබේ. එහෙත් මෙහිදී අමතරව ln(a) පදයකින් එය ගුණ කළ යුතු වෙනවා. e^x ශ්‍රිතයේ අවකලනයට වඩා ඇති එකම වෙනස මෙම ln(a) යන කොටසයි.

ln(a) යනු a නම් නියත පදයේ ලඝුගණකයයි. තවද, එම ලඝුගණකයේ පාදය e වේ. සාමාන්‍යයෙන් ලඝු ලියන්නේ log_පාදය (ලඝු_පාදය) ලෙසනෙ. උදාහරණ ලෙස log₁₀, log₂, log_e දැක්විය හැකියි. e පාදයේ ලඝුගණක ගන්නා විට එය log_e ලෙස නොලියා ln ලෙස කෙලින්ම ලිවිය හැකියි. වෙනත් විශේෂත්වයක් ln වල නැත. ln ක්‍රියාත්මක වන්නේ a නම් නියතය මත බැවින් පිළිතුර ලෙස ලැබෙන්නේද නියතයක්මයි. ඒ කියන්නේ ln a යනු නියත පදයකි.

අවශ්‍ය නම් මෙම සූත්‍රයෙන්ම de^x/dx = e^x යන සූත්‍රයත් පහසුවෙන්ම සාධනය කළ හැකියි. da^x/dx = a^x.lna හි a ට e ආදේශ කරන්න. ඉන්පසු සුලු කරන්න.

da^x/dx = a^x.ln a → de^x/dx = e^x.ln e = e^x.1 = e^x

ln(e) = 1 වේ. (යම් සංඛ්‍යාවක එම සංඛ්‍යාවම පාදය ලෙස ඇති ලඝුගණකය ගත් විට පිළිතුර 1 වේ; log₁₀ = 10 = 1 නේද? එලෙසම ln e = log_e e = 1 වේ.) උදාහරණයක් ලෙස y=2(4^x) යන ශ්‍රිතය x විෂයෙන් අවකලනය කරන්න.

dy/dx = d2(4^x)/dx = 2d(4^x)/dx = 2(4^x.ln(4)) = 2(4^x)(1.3863) = 2.7726(4^x)

4. d ln(x) /dx = 1/x

මෙම සූත්‍රය ඉතාම සරලයි. යම් පදයක e-පාදයේ ලඝුගණකය අවකලනය කරන විට, පිළිතුර ලෙස ලැබෙන්නේ එම පදයේ ගුණිත ප්‍රතිලෝමයයි (එනම්, “එක යට සංඛ්‍යාව"). උදාහරණයක් බලමු. ln(x²) හි අවකලනය සොයන්න.

මෙයද ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයකි. පළමුව අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතයේ අවකලනය (dx²/dx) සොයමු. එය 2x වේ. ඉන්පසු භාහිර ශ්‍රිතයේ අවකලනය (y') සොයමු. එය 1/x² වේ. එවිට අවසාන පිළිතුර වන්නේ (2x).(1/x²) = 2x/x² = 2/x වේ.

5 d log_a(x)/dx = 1/(x.ln(a))

මෙය ඉහත d ln(x)/dx = 1/x යන්නෙහිම අනෙක් සූත්‍රයයි. e පාදයේ ලඝුගණකය බලන විට එම සූත්‍රය යොදන අතර, මෙම සූත්‍රය යොදන්නේ වෙනත් ඕනෑම පාදයකින් ගත් ලඝුගණකයක් අවකලනය කරන විටයි.

බලන්න ඕනෑම පාදයක ලඝුගණකය අවකලනය කරන විට ලැබෙන පිළිතුරෙහි e පාදයේ ලඝුගණකය අවකලනය කරන විට ලැබෙන පිළිතුරෙහි වෙනස. රටාවක් එතැන ඇත. ඕනෑම පාදයක ලඝු ඇති අවස්ථාවේදී ln(a) නම් නියත පදයෙන් හරය ගුණ කර ඇත.

ඇත්තටම e පාදයේ ලඝු අවකලනය කරන සූත්‍රය පවා මෙම සූත්‍රයෙන් සාධනය කළ හැකියි. මෙම සූත්‍රයෙහි a යන්නට e ආදේශ කර සුලු කරන්නට විතරයි තිබෙන්නේ එය සාධනය කිරීමට.

d log_a(x)/dx = 1/(xln(a)) → d log_e(x)/dx = 1/(xln(e)) = 1/x(1) = 1/x

6. ත්‍රිකෝණමිතික (trigonometric) අනුපාතවල අවකලනයන්.

i. d sin(x)/dx = cos(x)

ii. d cos(x)/dx = -sin(x)

iii. d tan(x)/dx = sec²(x)

iv. d sec(x)/dx = sec(x).tan(x)

v. d csc(x)/dx = -csc(x).cot(x)

vi. d cot(x)/dx = -csc²(x)

උදාහරණ කිහිපයක් බලමු. පහත උදාහරණ දෙකම ශ්‍රිතයක ශ්‍රිත වේ.

d sin(2x³)/dx = (6x²).(cos(2x³)) = 6x²cos(2x³)

d tan(3y)/dy = (3).(sec²(3y)) = 3sec²(3y)

ඉහත සූත්‍රවලින් කිහිපයක් සාධනය කරමු. පළමුව සයින් සූත්‍රය සාධනය කරමු.