අවකලනය (differentiation) - 8

ලෝපිටල්ස් රීතිය

ලෝපිටල්ස් රීතිය (L'Hospital's rule හෝ L’Hôpital's rule) යනු අවකලනය උපයෝගි කරගෙන සීමා සෙවීමට යොදා ගන්නා විශේෂ ගණිත උපක්‍රමයකි. (මෙය L'Hospital යන ප්‍රංශ ජාතිකයා විසින් පෙන්වා දුන් නිසා ඔහුගේ නමින්ම හැඳින්වේ. ප්‍රංශ වචන ලියන්නේද ඉංග්‍රිසි අකුරුවලට සමාන අකුරුවලින් වුවත්, ඒවා ශබ්ද කරන විදිය වෙනස්ය. එනිසා ඒ පෙන්වා ඇති ලෙසටම ශබ්ද කරන්න.)

ගණිතයේ අර්ථ දක්වා නැති අවස්ථා

ඔබ දන්නවා ගණිතයේදී අර්ථ දක්වා නොමැති අවස්ථා (undefined) කිහිපයක් තිබෙනවා. ඒවා එසේ වීමටද හේතු සහිතව පහත දැක්වේ.

0/0 - භාග සංඛ්‍යාවක ලවය 0 වන විට, සාමාන්‍යයෙන් එය කුමන අගයෙන් බෙදුවත් 0මයි. එලෙසම යම් භාගයක හරයේ 0 ඇති විට ලැබෙන්නේ අනන්තයයි. තවද, ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් එම සංඛ්‍යාවෙන්ම බෙදූ විට ලැබෙන උත්තරය 1යි. ඉතිං 0/0 යන අවස්ථාවේ මේ කරුණු තුනම එකවර තිබෙනවා. මේ තුනෙන් කුමන එක නිවැරදිදැයි කිසිවෙකුට තර්ක කළ නොහැකියි. හරි නම් 3ම හරි විය යුතුයි. එහෙත් එසේ කළද නොහැකියි. මේ හේතුව නිසා 0/0 යනු හරියටම කුමක්දැයි නිශ්චය කර හෙවත් අර්ථ දක්වා නොමැත (undefined).

අනන්තය/අනන්තය - භාග සංඛ්‍යාවක ලවයේ අනන්තය තිබෙන විට එය කුමන සංඛ්‍යාවකින් බෙදුවත් ලැබෙන්නේ නැවත අනන්තයයි. එලෙසම, යම් සංඛ්‍යාවක් අනන්තයෙන් බෙදූ විට ලැබෙන්නේ ශූන්‍යයි. තවද, එකම සංඛ්‍යාව එම සංඛ්‍යාවෙන්ම බෙදූ විට ලැබෙන්නේ 1යි. එහෙත් අනන්තය/අනන්තය යන භාගයේ මේ අවස්ථා 3ම එකවර ඇති නිසා, එයද පෙර සේම අර්ථ දක්වා නොමැත.

0⁰ – 0 ඕනෑම ඉලක්කමින් වැඩි කළත්, ඕනෑම බලයකට නැඟුවත් ලැබෙන්නේ 0 මයි. තවද, ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් 0 වැනි බලයට නැඟූ විට ලැබෙන්නේ 1යි. එහෙත් 0⁰ යන්න මේ අවස්ථා දෙකම නිරූපණය කරයි. ඉතිං කුමන අගය ගන්නේද යන්න අර්ථ දක්වා නැත.

(අනන්තය – අනන්තය) - අනන්තයෙන් අනන්තයක් අඩු කළ විට ලැබෙන අගය කීයද? එය පැවසිය නොහැකියි මොකද අනන්තය යනු නිශ්චිත අගයක් නොවේ. ඉතිං අනන්තය යන වචනය එකම ගණිත ප්‍රකාශය තුළ වුවද කිහිප පාරක්ම ලියා ඇති විට, ඒ සියල්ලෙම අගය එක සමාන යැයි පැවසිය නොහැකියි. එනම් අනන්තයෙන් අනන්තයක් අඩු කළ විට කීයක් ලැබේද යන්න නිශ්චිත නැත; අර්ථ දක්වා නැත.

(අනන්තය)⁰ – ශූන්‍යය නොවන වෙනත් ඕනෑම අගයක 0 වැනි බලය 1 වේ. එහෙත් අනන්තය යනු නිශ්චිත නැති සිතාගන්නවත් නොහැකි අගයකි. එවැනි නිශ්චිතව ප්‍රකාශ කර නොමැති අගයක 0 වැනි බලය අර්ථ දක්වා නොමැත.

0 x (අනන්තය) - අනන්තය 0න් වැඩි කළ විට ලැබෙන අගයද අර්ථ දක්වන්නට බැරිය. ඕනෑම අගයක් 0න් වැඩි කළ විට 0ම ලැබේ. තවද, ඕනෑම අගයක් අනන්තයෙන් වැඩි කළ විට අනන්තයද ලැබේ. එහෙත් මෙම ගුණිතය තුළ දෙකම එකවර තිබෙන නිසා කුමක් පිළිතුර විය යුතුදැයි නිශ්චය කළ නොහැකියි.

ගණිතයේදී කුමන හෝ අවස්ථාවකදී ඉහත ආකාරයේ අවස්ථාවක් මතු වූ විට, එය එතැනින් එහාට සුලු කළ නොහැකි අවිනිශ්චිත තත්වයකි. සීමා සොයන විටත් මෙබඳු අවිනිශ්චිත ආකාර (indeterminate form) මතු විය හැකියි. එවිට, එකවර එය එතැනින් එහාට සුලු කළ නොහැකිය කියා නිගමනය කිරීමට නුසුදුසු බව දැනගන්න. උදාහරණයක් ලෙස පහත සීමා ගණනය කිරීමේදී මෙබඳු අවිනිශ්චිත ආකාරයන්ට මුහුණ පාන්නට සිදු වෙනවා.

ඉහත ප්‍රකාශය එලෙසම සුලු කරන්නට ගියොත් 0/0 යන අවිනිශ්චිත ආකාරයක් ලැබෙනවා නේද? එවිට එතැනින් එහාට එය සුලු කළ නොහැකියිනෙ. එහෙත් හොඳින් බැලුවොත් ඉහත සීමා ගණනය කිරීමට පෙර, (x²-4)/x-2 යන්න තවදුරටත් සුලු කළ හැකියි. ඒ අනුව, (x²-4)/(x-2) = (x-2)(x+2)/(x-2) = x+2 වේ. දැන් x+2 හි සීමා අගය 4 වේ. අවිනිශ්චිත ආකාරය අහෝසි වී ගොස්ය.

ඉහතදී අවිනිශ්චිත ආකාරය අහෝසි කළේ ලවයේ සාධක බලා හරය හා ලවය අතර පොදු කොටස් කපා දැමීමෙනි. එය හැමවිටම කළ නොහැකියි. තවත් අවිනිශ්චිත ආකාරයක් ලැබෙන සීමා ගණනය කිරීමක් බලමු. මෙයද සාමාන්‍ය විදියට සීමා සොයන්නට ගියොත් අනන්තය/අනන්තය යන අවිනිශ්චිත ආකාරය ලැබේ.

මෙහිදී හරයේ හා ලවයේ කපා හරින්නට පොදු සාධක නැත. ඒ වෙනුවට මෙහිදී සිදු කර තිබෙන්නේ හරය හා ලවය x² න් බෙදීමයි. ඉන්පසු සීමා අගය ගණනය කිරීමේදී අනන්තය/අනන්තය යන අවිනිශ්චිත ආකාරය අහෝසී වී යයි.

ඉහත පෙන්වා දුන් ආකාර දෙකෙන් බොහෝමයක් අවිනිශ්චිත ආකාර අහෝසි කර සීමා ගණනය කිරීම කළ හැකියි. එහෙත් එක් එක් අවස්ථාවට උචිත ක්‍රම සොයා එලෙස සුලු කිරීමට වෙලාව ගත වේ. තවද ඒ එකදු ක්‍රමයකින්වත් අවිනිශ්චිත ආකාරයක් අහෝසි කිරීමට බැරි ශ්‍රිත හමු වීමටද පුලුවන්. උදාහරණයක් ලෙස පහත සීමා ගණනය ඉහත ක්‍රමවලින් විසඳිය නොහැකියි.

ඉක්මනින් සුලු කිරීමටත් ඉහත උදාහරණ දෙකෙහිදි මෙන් කිසිසේත් සාමාන්‍ය ක්‍රමවලින් විසඳිය නොහැකි අවස්ථාවලටද එක සේ යෙදිය හැකි ක්‍රමවේදය තමයි ලෝපිටල්ස් රීතිය. එම නියමය පහත දැක්වේ.

එනම්, යම් ස්වායත්ත විචල්‍යයක් ඇති යම් ශ්‍රිතයක් එම ස්වායත්ත විචල්‍යයම සහිත තවත් ශ්‍රිතයකින් බෙදා එහි සීමාව සෙවීමේදී, 0/0 හෝ අනන්තය/අනන්තය යන අවිනිශ්චිත ආකාරයේ පිළිතුරක් ලැබෙන විට, එම ශ්‍රිත දෙකෙහි අවකලන දෙක බෙදා සීමාව සෙවිය හැකියි. උදාහරණ ලෙස ඉහත උදාහරණයට ගත් අවස්ථාවලට ලෝපිටල්ස් නියමය යොදාගෙන ඉක්මනින්ම සීමා අගයන් සොයන විදිය බලමු.

ඉහත ශ්‍රිතයට ලෝපිටල්ස් නියමය යෙදූ විට (8x-5)/(-6x) යන ශ්‍රිතය ලැබුණා. එහෙත් එම පිළිතුරද අනන්තය/අනන්තය යන අවනිශ්චිත ආකාරයේ එකකි. එනිසා නැවත එම ප්‍රතිපලයට ලෝපිටල්ස් නියමය යොදන්න.

දෙවැනිවර ලෝපිටල්ස් නියමය යොදමින් අවිනිශ්චිත ස්වරූපය ඉවත් කර ඇත. මින් ගම්‍ය වන්නේ ලෝපිටල්ස් නියමයේදී අවකලනයේ ගණය වැදගත් නැති බවයි. එකම ශ්‍රිතය මත එක් වරක් හෝ දෙවරක් හෝ ඕනෑම ගණනක් අවකලනය කළ හැකියි.

0/0 හා අනන්තය/අනන්තය යන අවිනිශ්චිත ආකාර දෙකට පමණි ලෝපිටල්ස් නියමය යෙදිය හැක්කේ. සමහර ශ්‍රිත මෙම ආකාර දෙක හැර වෙනත් ආකාරවල අවිනිශ්චිත ස්වරූපයන්ගෙන් පැවතිය හැකියි. එහෙත් යම් යම් සරල සුලු කිරීම්වලින් එම ස්වරූපත් ලෝපිටල්ස් නියමය යෙදිය හැකි ආකාර දෙකෙන් එකකට පරිවර්තනය කරගත හැකි විය හැකියි. උදාහරණයක් බලමු.

මෙහිදී x ශූන්‍ය කරා යන්නේ දකුණු පැත්තේ සිටයි. ඊට හේතුව ඍණ සංඛ්‍යාවක ලඝු අගයක් ගත නොහැකි නිසාය. x යන්න 0 කරා යෑමේදී x=0 වන අතර, ln(x) = අනන්තය වේ. එවිට 0x(අනන්තය) යන අවිනිශ්චිත ස්වරූපය ලැබේ. එහෙත් මෙම ස්වරූපයේ අවිනිශ්චිත ස්වරූපයකට ලෝපිටල්ස් නියමය ඍජුවම යෙදිය නොහැකියිනෙ. එහෙත් ඔබට පුලුවන් මෙය අනන්තය/අනන්තය යන ස්වරූපයට පත් කරන්න පහත ආකාරයට ඉහත ගණිත ප්‍රකාශය සැකසීමෙන්.

දැන් සුපුරුදු ලෙසම ලෝපිටල්ස් නියමය ඊට යොදන්න. එවිට පහත ආකාරයට පිළිතුර ලැබේවි.

 

අවසාන වශයෙන්…

අවකලනය යනු ගණිත කර්මයක් නිසා සරල හා සංකීර්ණ ගණිත ව්‍යුහ විශාල සංඛ්‍යාවක් සමගම එය යෙදේ. උදාහරණයක් ලෙස, දෛශික සමග යෙදෙන හැටි ඉතාම කෙටියෙන් ඉහතදී පෙන්වා දුන්නා.

මේ ලෙසම නිශ්චායක, මැනිෆෝල්ඩ් ආදී නොයෙක් නම්වලින් හැඳින්වෙන වෙනත් ගණිතමය යෙදුම්/ව්‍යුහ සමගද අවකලනය භාවිතා කරනවා. එකතු කිරීම අඩු කිරීම යන ගණිත කර්මත් පොදුවේ ගණිතය පුරාම භාවිතා වෙනවානෙ. අන්න ඒ ලෙසම තමයි අවකලනයත් භාවිතා වෙනවා පොදුවේ මොකද එයත් ගණිත කර්මයක් නිසා. ඒකෙන් කියවෙන්නේ නැහැ ඒ සියලුම භාවිතාවන් ගැන ඔබ දැනගත යුතුයි කියා. ඒ ඒ ගණිතමය ව්‍යුහයන් ඔබ වෙනමම ඉගෙන ගන්නා විට, අවකලනය ඒ සමග යොදන්නේ කෙලෙසද කියාත් ඉගෙන ගත හැකියි.

භෞතික විද්‍යාව හා පොදුවේ විද්‍යා තාක්ෂණ ක්ෂේත්‍රයන් තුළ අවකලනය නැතිවම බැරි තරමටම ප්‍රයෝජනවත්ය. විද්‍යාවේදී සලකා බලන බොහෝ රාශින් අවකලනය මඟින් දැක්විය හැකියි. පහත දැක්වෙන්නේ ඊට උදාහරණ කිහිපයකි.

වේගය/ප්‍රවේගය, v = ds/dt (කාලයට සාපේක්ෂව දුරෙහි අවකලනය)

ත්වරණය, a = dv/dt (කාලයට සාපේක්ෂව ප්‍රවේගයෙහි අවකලනය)

බලය, F = m.a = m.(dv/dt)

කෝණික ප්‍රවේගය, ω = dθ/dt (කාලයට සාපේක්ෂව කෝණයේ අවකලනය)

කෝණික ත්වරණය, α = dω/dt

ධාරාව, I = dQ/dt (කාලයට සාපේක්ෂව ආරෝපණයෙහි අවකලනය)

තවද ප්‍රස්ථාර ඇඳීමේදීද අවකලනය යොදා ගත හැකියි. යම් ශ්‍රිතයක අවකලනය 0 යි නම්, ඉන් හැඟවෙන්නේ බෑවුමද ශූන්‍ය බවයි. එනම් සලකා බලනු ලබන ලක්ෂ්‍යයේදී ප්‍රස්ථාර වක්‍රය තිරස් බවයි. යම් වක්‍රවීමකදී එම වක්‍රවීම උපරිම ලක්ෂ්‍යයට ඇඳි ස්පර්ශකය තිරස් වේ.

යම් ප්‍රස්ථාරයක බෑවුම ශූන්‍ය වන (එනම් ස්පර්ශකය තිරස් වන) අවස්ථා දැන ගැනීම ප්‍රස්ථාර ඇඳීමට පහසුවකි. ඊට හේතුව අවකලනය ශූන්‍ය වන අවස්ථාවක් යනු ප්‍රස්ථාරය වක්‍රවන අවස්ථාවකි. උදාහරණයක් බලමු කොහොමද අවකලනය මඟින් ප්‍රස්ථාරයක වක්‍රතාව පවතින ස්ථානය සොයාගන්නේ කියා.

y=x² + 3x - 4 යන ප්‍රස්ථාරය ගමු. මෙම ප්‍රස්ථාරයේ වක්‍ර ස්වභායක් ඇත. සමහර ප්‍රස්ථාරවල වක්‍ර කිහිපයක්ම තිබිය හැකියි. උදාහරණයට ගත් ශ්‍රිතයේ ස්වායත්ත පදය වන x හි උපරිම දර්ශක අගය 2 වේ. එනිසා ප්‍රස්ථාරයේ තිබෙන්නේ එක වක්‍රතාවක් පමණි. දර්ශක අගය 3 වූවා නම්, වක්‍රතා 2ක් තිබේ. මේ ආදි ලෙස, ශ්‍රිතයේ ස්වායත්ත විචල්‍යයේ තිබෙන උපරිම දර්ශක අගයට අනුරූපවයි වක්‍රතා ගණන තීරණය වන්නේ (දර්ශක අගයට 1ක් අඩුවෙන්).

දැන් ඉහත ශ්‍රිතයේ අවකලනය සොයන්න. එය y' = 2x + 3 වේ. මෙම අවකලනය ශූන්‍ය වන අවස්ථාවයි අපට වැදගත් වන්නේ. ඒ කියන්නේ y' යන්න ශූන්‍යයට සමාන කරන්න. එවිට,

y' = 0 → 2x+3 = 0

එය සුලු කළ විට, x = -3/2 වේ. වක්‍රතාව පවතින ලක්ෂ්‍යයේ x අගය ඔබ දැන් දන්නවා. ඒ කියන්නේ x = -3/2 අවස්ථාවේදී තමයි ශ්‍රිතයේ වක්‍රතාව උපරිමව පවතින්නේ. මෙම අවස්ථාවේදී y අගය කුමක්ද? එය සෙවීමට x=-3/2 හෙවත් x=-1.5 යන්න x²+3x-4 යන ශ්‍රිතයට ආදේශ කරන්න. එවිට y= -6.25 යන අගය ලැබේ. පහත රූපයේ මෙය පැහැදිලිව පෙනේ.

 

මේ ආකාරයට ගණය 3ක් වන (එනම් x³ පදයක් සහිත) ශ්‍රිතයක අවකලනය ගත් විට, එහි ගණය 2 වන x පදයක් (එනම් x² පදයක්) සහිත ශ්‍රිතයක් ලැබෙන බව ඔබ දැන් දන්නවානෙ. ඉතිං මෙම වර්ගපදය සාධකවලට කඩන විට x සඳහා අගයන් දෙකක් ලැබේවි. උදාහරණයක් ලෙස, x³/3 – x²/2 – 6x + 4 යන ශ්‍රිතය සලකන්න. එය අවකලනය කරන්න.

f'(x) = x²-x-6

x²-x-6 = (x-3)(x+2) ලෙස සාධකවලට කැඩිය හැකියි. දැන් f'(x) = 0 කරන්න.

(x-3)(x+2) = 0 → x=3 හෝ x=-2 වේ.

මෙම අගයන් දෙකෙන් කියන්නේ එම ශ්‍රිතයේ වක්‍රතා දෙකේ x අගයන්ය. ශ්‍රිතයට එම අගයන් ආදේශක කර සුලු කළ විට y අගයන් දෙකද ලබා ගත හැකියි.

මේ ලෙසට 4 වැනි ගණයේ ශ්‍රිතයක් අවකලනය කළ විට, 3 වැනි ගණයේ ශ්‍රිතයක් ආකාරයෙන් අවකලන ප්‍රතිපලයක් ලැබේ. ශ්‍රිතයකදී, ගණයට සමාන සාධක ඇති නිසා x සඳහා දැන් අගයන් 3ක් සොයා ගත හැකියි. මෙම අගයන් 3 තමයි ශ්‍රිතයේ උපරිම වක්‍රතා සහිත ලක්ෂ්‍ය නියෝජනය කරන්නේ. ශ්‍රිත හා ප්‍රස්ථාර ගැන වැඩිදුර ඉගෙනීමේදී මේ ගැන වැඩිදුර අධ්‍යනය කළ හැකියි.

අවකලනයේ (differentiation) විලෝම ගණිත කර්මය අනුකලනයයි. අනුකලනය අවකලනයට වඩා තරමක් කරදරකාරියි. එහෙත් එයත් අවකලනය සේම රසවත් හා ප්‍රයෝජනවත්.