Skip to main content

ත්‍රිකෝණමිතිය (trigonometry) - 7


ප්‍රති-ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත

මෙතෙක් ඔබ අධ්‍යනය කළේ යම් කෝණයක් ලබා දුන් විට එහි ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයක් සොයා ගන්නා අන්දමයි. එහෙත් සමහරවිට ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයක් මඟින් කෝණයක් සෙවීමටත් සිදු වෙනවා. මෙය ප්‍රති-ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත (inverse trigonometric functions) හෙවත් ප්‍රති-අනුපාත ලෙස හැඳින්වෙනවා.

ඒ අනුව සෑම ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයක් වෙනුවෙන්ම මෙම ප්‍රතිලෝම ක්‍රියාවලිය සිදු කළ හැකියි. sin, cos, sec ආදී ලෙස ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත/ශ්‍රිතවලට නම් තිබෙන්නා සේම ප්‍රති-ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත සඳහාද නම් සාදා ගෙන තිබෙනවා. එම නම් සාදා ගෙන තිබෙන්නේත් ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල නම් ආශ්‍රයෙන්මයි. එනම්, සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයේ නාමය ඉදිරියට arc යන උපසර්ගය දමන්න. සිංහලෙන් ලියන විට, arc වෙනුවට "ප්‍රති-” යන උපසර්ගය දැමිය හැකියි (උදාහරණ ලෙස, ප්‍රති-සයින්, ප්‍රති-ටෑන්).

sin → arcsin = sin-1
cos → arccos = cos-1
tan → arctan = tan-1
csc → arccsc = csc-1
sec → arcsec = sec-1
cot → arccot = cot-1

මීට අමතරව තවත් ප්‍රචලිත ක්‍රමයක් තිබෙනවා ප්‍රති-අනුපාත දක්වන. එහිදී සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත නාමයට පසුව ඉහලින් -1 ලෙස දමනවා. මෙම ක්‍රමයද ඉහත දැක්වෙනවා. මෙම නිරූපණ ක්‍රමය පටලවා ගන්න එපා අනුපාතයේ ඍණ බලයක් ලෙස. ඍණ බලයක් ලෙස යම් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයක් ලිවීමට අවශ්‍යම නම් (cos(x))-1 ලෙස වරහනක් දමා ඍණ බලයට නංවන්න. එහෙත් මෙම පැටලීම කිසිසේත්ම නැහැ arc ක්‍රමයට නම් කිරීමේදී. එමනිසා එම නිරූපණ ක්‍රමය භාවිතා කරන්න වැඩිපුර.

මතකයට
යම් කිසි අනුපාතයක ඍණ බලයක් යනු එම අනුපාතයෙන් ව්‍යුත්පන්න වන අනෙක් අනුපාතයයි. එනම් සයින්වල ඍණ බලය යෙදූ විට ලැබෙන්නේ කොසෙක්ය. ඊට හේතුව සරලයි. යම් රාශියක ඍණ බලයක් යනු 1 යට ධන බලයකි. උදාහරණයක් ගෙන බලමු.

(sin(x))-1 = 1/sin(x) = cosec(x)

මේ ආකාරයටම අනෙක් අනුපාතවලත් ඍණ එකේ බලයට නැංවූ අවස්ථා ගැන සිතන්න. තවද, ඍණ 1 වෙනුවට ඍණවලම වෙනත් බලයක් ඇති විටත් ලැබෙන්නේ පෙර පරිදිම ව්‍යුත්පන්න අනුපාතයම තමයි. එහෙත් මෙවිට එම අනුපාතයේ යම්කිසි බලයක් ලෙසයි පවතින්නේ. උදාහරණයක් බලමු.

(cos(x))-3 = 1/(cos(x))3 = (sec(x))3 = sec3(x)

sin(x) = a නම්, arcsin(a) = x වේ. මේ ආකාරයටයි ප්‍රති-අනුපාත ගැන මතක තබා ගත යුත්තේ. ඕනෑම කෝණයක් සඳහා ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත අගයන් තිබෙන්නේ එකක් පමණි. උදාහරණයක් ලෙස අංශක 90 කෝණයේ සයින් අගය 1 පමණි. අංශක 450 කෝණයේ සයින් අගයත් 1 පමණි. අංශක 810 කෝණයේ සයින් අගයත් 1 වේ. මේ ආදී ලෙස අගය 1 ලැබෙන කෝණ අනන්ත ගණනක් තිබෙනවා (මොකද ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත ආවර්තික නිසා කෝණය වැඩි කර ගෙන යෑමේදී සෑම අංශක 360කට වරක් එකම අගය නැවත නැවත ලැබෙනවා).

කෝණ ගණනාවකටම එකම ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත අගය ලැබෙන නිසා, ප්‍රති-අනුපාත සැලකීමේදී යම් ගැටලුවකට පත් වෙනවා. උදාහරණයක් ලෙස, ප්‍රති-සයින්(1) ට ලැබෙන කෝණ අගය කීයද? එය අංශක 90 විය හැකියි; 450 විය හැකියි; 810 විය හැකියි. මේ ආදී වශයෙන් කෝණ අනන්ත ගණනක් කිව හැකියි. එවිට හරිම පිළිතුර කුමක්ද? ඇත්තටම ඒ සියලුම කෝණ නිවැරදියි.

එහෙත් එම කෝණ අතුරින් එක් කෝණයක් පමණක් ප්‍රධාන කෝණය/අගය (principal value) ලෙස තෝරා ගන්නවා. එක් එක් ප්‍රති-අනුපාතයේ ප්‍රධාන අගය පහත වගුවේ දැක්වේ.

y = arcsin(x)
−90° ≤ y ≤ 90°
y = arccos(x)
0° ≤ y ≤ 180°
y = arctan(x)
−90° < y < 90°
y = arccsc(x)
0° ≤ y < 90° හා 90° < y ≤ 180°
y = arcsec(x)
-90° ≤ y < 0° හා 0° < y ≤ 90°
y = arccot(x)
0° < y < 180°

ඉහත වගුව බැලූ විට ප්‍රධාන අගය ලෙස විවිධ කෝණ පරාස ලියා ඇති බව පේනවා නේද? එම කෝණ පරාසයන් අහම්බෙන් තෝරාගත් ඒවා නොවේ. යම් නිශ්චිත කොන්දේසි තුනක් මතයි එම කෝණ පරාස තෝරා ගෙන තිබෙන්නේ. එම කෝන්දේසි වන්නේ:

1. පුලුවන් තරම් 0 කෝණය ඇතුලත් වන පරිදි එක ළඟින් පවතින කෝණ පරාසය තෝරා ගන්න.

2. යම් අනුපාතයක ඇති සම්පූර්ණ අගය පරාසය නිරූපණය කෙරෙන පරිදි ඊට අනුරූපව කෝණ පරාසය තිබිය යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස, සයින් අනුපාතය -1 සිට +1 දක්වා අගය පරාසයක් ගනී. මෙම -1 සිට +1 දක්වා වූ සම්පූර්ණ අගය පරාසය ලැබීමට අවශ්‍ය කෝණ පරාසයක් ඇත. මෙන්න මෙම කෝණ පරාසය තමයි ප්‍රධාන අගය පරාසය සඳහා ගත යුත්තේ.

2. පුලුවන් තරම් කෝණ පරාසය කුඩා විය යුතුය (අංශක 180ක කෝණ පරාසයක්). බලන්න ඉහත සියලු කෝණ පරාස අංශක 180කි. උදාහරණ ලෙස, ප්‍රතිසයින් -90 සිට +90 දක්වා අංශක 180ක පරාසයක් ගනී. ප්‍රතිකොස් 0 සිට 180 දක්වා අංශක 180ක පරාසයක් ගනී.

ඉහත කොන්දේසි 3 ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රස්ථාරයක් බැලූ විට පහසුවෙන් අවබෝධ කර ගත හැකියි. උදාහරණය සඳහා පහත සයින් ප්‍රස්ථාරය බලන්න.



සයින් අනුපාතයක අගය පරාසය -1 සිට +1 දක්වා වේ. එම පරාසය ලබා ගත හැකි ක්‍රම අතිවිශාල ගණනක් ඇත (ප්‍රස්ථාරය/අනුපාතය ආවර්තික බැවින්). එහෙත් ප්‍රධාන අගය හැමවිටම 0 කෝණය අසලින් ලබාගත යුතුය. එවිට කෝණය 0 සිට 270 දක්වා පරාසය ලෙසද ගත් විට -1 සිට +1 දක්වා අනුපාත පරාසය ලැබේ. -90 සිට +90 දක්වා කෝණ පරාසය ගත් විටත් -1 සිට +1 දක්වා අනුපාත අගය පරාසය ලැබෙනවා නේද? ඉතිං මේ පරාස දෙකෙන් හොඳම පරාසය තීරණය කරන්න. එය තීරණය කිරීම පහසුය. -90 සිට +90 දක්වා පරාසයේ තිබෙන්නේ අංශක 180 ක පරාසයකි. 0 සිට 270 දක්වා අංශක 270ක පරාසයක් ඇත. ඉතිං අප තෝරා ගත යුත්තේ අඩුම කෝණ පරාසයයි. දැන් කොස්, ටෑන් ආදී අනෙක් ප්‍රස්ථාර ඇසුරින් ඉහත ආකාරයට තර්ක කර කෝණ පරාසය ලබා ගත හැකියි.

ප්‍රති-අනුපාතවල ප්‍රස්ථාර

ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතවලට ප්‍රස්ථාර (graph) තිබෙන්නා සේම, ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රතිඅනුපාතවලටද ප්‍රස්ථාර ඇඳිය හැකියි. මෙම ප්‍රස්ථාරවල x අක්ෂයට අනුපාත අගයන් දක්වන අතර, y අක්ෂයෙන් කෝණය නිරූපණය කෙරේ. y අක්ෂය මත කෝණ නිරූපණය වන නිසා හා ප්‍රති-අනුපාතවල කෝණය ආවර්ත වන නිසා, y අක්ෂය මත ආවර්තික ප්‍රස්ථාරයි අපට ලැබිය යුත්තේ.

පහත දැක්වෙන්නේ ආක්සයින් (ප්‍රතිසයින්) හි ප්‍රස්ථාරයයි. එහි රතුපාටින් දැක්වෙන්නේ ප්‍රධාන අගය පරාසයයි. බලන්න y අක්ෂය දිගේ මෙම ප්‍රස්ථාරය ආවර්ත වෙනවා. උදාහරණයක් ලෙස 0 නම් අනුපාත අගය සඳහා (එනම් x=0 වන විට), -π, 0, +π අදී ලෙස නොනවත්වාම y අක්ෂය මත කෝණ ගණනාවක් ලැබේ. ප්‍රස්ථාර වක්‍රයේ පළල -1ත් +1ත් අතර හැමවිටම දෝලනය වෙන බවත් පේනවා නේද? බොහෝවිට රතුපාටින් දිස්වන කොටස (එනම් මූලික අගය) පමණක් ඇඳ තිබෙන ප්‍රස්ථාරයි තිබෙන්නේ.


 
ඇත්තටම ප්‍රතිසයින් ප්‍රස්ථාරයේ y අක්ෂය තිරස්ව පිහිටන සේ තැබූ විට ඉබේම ඉන් පෙනෙන්නේ සයින් ප්‍රස්ථාරයමයි. සෑම ප්‍රති-අනුපාත ප්‍රස්ථාරයක්ම මෙලෙස කරකවා බලන විට පෙනෙන්නේ ඊට ගැලපෙන අනුපාත ප්‍රස්ථාරයම තමයි. ඒ කියන්නේ, යම් අනුපාත ප්‍රස්ථාරයක් ගෙන එහි x අක්ෂය සිරස් වන සේ කරකැවූ විට ලැබෙන්නේ ප්‍රති-අනුපාත ප්‍රස්ථාරයයි. එලෙස අනෙක් අනුපාතවල ප්‍රස්ථාර ගැන ඔබ විමසා බලන්න.

පහත දැක්වෙන්නේ ප්‍රති-අනුපාතවල මූලික අගයන් පමණක් දක්වන ප්‍රස්ථාරයි. සෑම රූපයකම අනුපූරක ප්‍රස්ථාර දෙක බැගින් ඇඳ ඇත (ඒ දෙක වර්ණ දෙකකින් ඇඳ ඇත).







 

ප්‍රති-අනුපාත අනුපූරක හා සාම්‍යයන්

අනුපාතවලට අනුපූරක අනුපාත හා සාම්‍යයන් (identities) තිබුණා සේම, ප්‍රති-අනුපාතවලටද අනුපූරක හා සාම්‍යයන් තිබේ. පහත දැක්වෙන්නේ අනුපූරක සම්බන්ධතාය. පහත අනුපූරක සම්බන්ධතාවලින් පළමු තීරුව පමණක් දන්නේ නම්, දෙවැනි තීරුව ඉබේම සාදා ගත හැකියිනෙ (a = b – d නම්, d = b – a ලෙස සැකසිය හැකියිනෙ). ප්‍රස්ථාර දෙස හොඳින් බැලූ විට මෙම සියලු සම්බන්ධතා ඇයි එසේ වන්නේ කියා පෙනේවි.

arccos(x) = 90 – arcsin(x) arcsin(x) = 90 – arcos(x)
arctan(x) = 90 – arccot(x) arccot(x) = 90 – arctan(x)
arccsc(x) = 90 – arcsec(x) arcsec(x) = 90 – arccsc(x)

ප්‍රති-අනුපාතවලට යොදන විචල්‍යය + හෝ - විය හැකියි. ධන හා ඍණ විචල්‍යයන් (x) අතර පහත ආකාරයේ සම්බන්ධතාවක් ඇත. මෙය හරියට අනුපාතවල ධන කෝණ හා ඍණ කෝණ අතර තිබූ සබඳතාව වැනිය.

arcsin(-x) = –arcsin(x)
arctan(-x) = -arctan(x)
arccsc(-x) = - arccsc(x)

arccos(-x) = 90 -arccos(x)
arccot(-x) = 90 -arccot(x)
arcsec(-x) = 90 -arcsec(x)

ඉහත සාම්‍යයන් 6හිද රටාවක් ඇත. අනුපූරක ප්‍රති-අනුපාතවලදී 90 කෝණයක් සූත්‍රවල ඇත.


note: මෙම කොටස මාගේ මුල් පාඩම්වල නොතිබූ අතර, ඉල්ලීමක් අනුව අලුතින් එකතු කරන ලදි.මේ සමගම ඊපොතත් නැවත සකස් කර තිබේ. (trigonometry)

Comments

Popular posts from this blog

දන්නා සිංහලෙන් ඉංග්‍රිසි ඉගෙන ගනිමු - පාඩම 1

මෙම පොත (පාඩම් මාලාව) පරිශීලනය කිරීමට ඔබට එදිනෙදා සිංහල භාෂාව භාවිතා කිරීමේ හැකියාව හා සාමාන්‍ය බුද්ධිය පමණක් තිබීම අවම සුදුසුකම ලෙස මා සලකනවා.  තවද, ඇසෙන පරිදි ඉංග්‍රීසි අකුරින් ලිවීමට හැකිවීම හා ඉංග්‍රීසියෙන් ලියා ඇති දෙයක් කියවීමට හැකි නම්, ඔබට මෙතැන් සිට මෙම පාඩම් මාලාව කියවා ඉගෙන ගත හැකිය.  ඔබට එසේ ඉංග්‍රීසි කියවීම හා ලිවීම ගැන දැනීමක් දැනටමත් නොමැත්තේ නම්, කරුණාකර මෙ‍ම පොතෙහි “අතිරේකය - 1 ”  බලා පළමුව එම හැකියාව ඇති කරගන්න.  තවද, හැකි පමණ ඉංග්‍රීසි වචනද පාඩම් කරගන්න. ඔබ හිතවතෙකුගේ නිවසකට හෝ වෙනත් පිටස්තර තැනකට යන විටෙක හැසිරෙන්නේ ඔබට අවශ්‍ය විදියටම නෙමේ නේද?  එනම්, පිට නිවසකට ගිය විට අහවල් පුටුව තිබෙන තැන හරි නැහැ, අහවල් එක මෙහෙම තිබෙන්නට ඕනෑ ආදී ලෙස ඔවුනට පවසන්නේ නැහැ, මොකද අප සිටින්නේ අනුන්ගේ තැනක නිසා.  එලෙසම, ඉංග්‍රීසි භාෂාව යනු සිංහල නොවේ.  ඔබ කැමැති වුවත් නැතත් ඉංග්‍රීසි ඉගෙනීමේදීද අප ඉංග්‍රීසි ව්‍යාකරණ රීති හා රටා එපරිද්දෙන්ම උගත යුතුය.  එනම්, සෑම සිංහල වගන්ති රටාවක්ම ඉංග්‍රීසියට ඔබ්බන්නට නොව, ඉංග්‍රීසියේ ඇති රටා ඔබ දන්නා සිංහල භාෂාව තුළින් ඉගෙනීමට උත්සහ කළ යුතුය. 

කතාවක් කර පොරක් වන්න...

කෙනෙකුගේ ජීවිතය තුල අඩුම වශයෙන් එක් වතාවක් හෝ කතාවක් පිරිසක් ඉදිරියේ කර තිබෙනවාට කිසිදු සැකයක් නැත. පාසැලේදී බලෙන් හෝ යම් සංගම් සැසියක හෝ රැස්වීමක හෝ එම කතාව සමහරවිට සිදු කර ඇති. පාසලේදී කතා මඟ හැරීමට ටොයිලට් එකේ සැඟවුනු අවස්ථාද මට දැන් සිහිපත් වේ. එහෙත් එදා එසේ කතා මඟ හැරීම ගැන අපරාදේ එහෙම කළේ යැයි අද සිතේ. යහලුවන් ඉදිරියේ "පොර" වෙන්න තිබූ අවස්ථා මඟ හැරුණේ යැයි දුකක් සිතට නැඟේ. ඇත්තටම කතාවක් කිරීම "පොර" කමකි. දක්ෂ කතිකයන්ට සමාජයේ ඉහල වටිනාකමක් හිමි වේ. පාසැලේදී වේවා, මඟුලක් අවමඟුලක් හෝ වෙනත් ඕනෑම සමාජ අවස්ථාවකදී වේවා දේශපාලන වේදිකාව මත වේවා කතාවක් කිරීමේදී පිලිපැදිය යුත්තේ සරල පිලිවෙතකි. එහෙත් එම සරල පිලිවෙත තුල වුවද, තමන්ගේ අනන්‍යතාව රඳවන කතාවක් කිරීමට කාටත් හැකිය. පුද්ගලයාගෙන් පුද්ගලයා වෙනස් වේ. එම වෙනස ප්‍රසිද්ධ කතා (public speaking) තුලද පවත්වාගත හැකිය. මේ ගැන මට ලිපියක් ලියන්නට සිතුනේ මාගේ මිතුරෙකුට ප්‍රසිද්ධ කතාවක් කිරීමට අවශ්‍ය වී, ඒ ගැන මේ ළඟ දවසක අප පැයක් පමණ සිදු කළ සංවාදයක් නිසාය. මා ප්‍රසිද්ධ දේශකයකු නොවුණත් මේ විෂය සම්බන්දයෙන් පාසැල් කාලයේ සිටම පත

දන්නා සිංහලෙන් ඉංග්‍රිසි ඉගෙන ගනිමු - අතිරේකය 1

මූලික ඉංග්‍රීසි ලිවීම හා කියවීම ඉංග්‍රීසියෙන් ලියන්නේ හා ඉංග්‍රීසියෙන් ලියා ඇති දෙයක් කියවන්නේ කෙසේද?  ඉංග්‍රීසිය ඉගෙනීමට පෙර ඔබට මෙම හැකියාව තිබිය යුතුමය.  එය එතරම් අපහසු දෙයක්ද නොවේ.  ඔබේ උනන්දුව හොඳින් ‍තිබේ නම්, පැය කිහිපයකින් ඔබට මෙම හැකියාව ඇති කර ගත හැකිය.  මුල සිට පියවරෙන් පියවර එය උගන්වන්නම්.   මුලින්ම මිනිසා භාෂාවක් භාවිතා කළේ ශබ්දයෙන් පමණි.  එනම් ලිඛිත භාෂාව ඇති වූයේ පසු කාලයකදීය.  කටින් නිකුත් කරන ශබ්ද කනින් අසා ඔවුන් අදහස් උවමාරු කර ගත්තා.  පසුව ඔවුන්ට වුවමනා වුණා මෙම ශබ්ද කොලයක හෝ වෙනත් දෙයක සටහන් කර ගන්නට.  ඒ සඳහායි අකුරු නිර්මාණය කර ගත්තේ.  එම අකුරු නියෝජනය කරන්නේ ශබ්දයි .  මෙසේ මූලික අකුරු කිහිපයක් ඔවුන් එක එක භාෂාව සඳහා නිර්මාණය කර ගත්තා.  ඉංග්‍රීසියේදී මෙලෙස මූලික අකුරු 26ක් ඇත.   එය ඉංග්‍රීසි හෝඩිය ලෙස හැඳින් වෙනවා. අප ඉගෙන ගත යුත්තේ මෙම අකුරු මඟින් නියෝජනය කෙරෙන ශබ්ද මොනවාද යන්නයි.  එවිට ඔබට ඉංග්‍රීසි ලිවීමට හා කියවීමට හැකි වෙනවා.  ඊට පෙර අප අකුරු 26 දැනගත යුතුයි.  එම අකුරු 26 පහත දක්වා ඇත.  ඉංග්‍රීසියේදී සෑම අකුරක්ම “සිම්පල්” හා “කැපිටල්” ලෙස දෙයාකාර

දෛශික (vectors) - 1

එදිනෙදා ජීවිතයේදිත් විද්‍යාවේදිත් අපට විවිධාකාරයේ අගයන් සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදු වෙනවා . ඉන් සමහරක් නිකංම සංඛ්‍යාවකින් ප්‍රකාශ කළ හැකි අගයන්ය . අඹ ගෙඩි 4 ක් , ළමයි 6 දෙනෙක් ආදී ලෙස ඒවා ප්‍රකාශ කළ හැකියි . තවත් සමහර අවස්ථාවලදී නිකංම අගයකින් / සංඛ්‍යාවකින් පමණක් ප්‍රකාශ කළ නොහැකි දේවල් / රාශි (quantity) හමු වේ . මෙවිට “මීටර්” , “ තත්පර” , “ කිලෝග්‍රෑම්” වැනි යම් ඒකකයක් (unit) සමඟ එම අගයන් පැවසිය යුතුය ; නැතිනම් ප්‍රකාශ කරන අදහස නිශ්චිත නොවේ . උදාහරණයක් ලෙස , “ මං 5 කින් එන්නම්” යැයි කී විට , එම 5 යනු තත්පරද , පැයද , දවස්ද , අවුරුදුද ආදි ලෙස නිශ්චිත නොවේ . මේ දෙවර්ගයේම අගයන් අදිශ (scalar) ලෙස හැඳින්වේ . අදිශයක් හෙවත් අදිශ රාශියක් යනු විශාලත්වයක් පමණක් ඇති දිශාවක් නැති අගයන්ය . ඔබේ වයස කියන විට , “ උතුරට 24 යි , නැගෙනහිරට 16 යි” කියා කියන්නේ නැහැනෙ මොකද දිශාව යන සාධකය / කාරණය වයස නමැති රාශියට වැදගත්කමක් නැත . එහෙත් සමහර අවස්ථා තිබෙනවා අගයක් / විශාලත්වයක් (magnitude) මෙන්ම දිශාවක්ද (direction) පැවසීමට සිදු වන . මෙවැනි රාශි දෛශික (vector) ලෙස හැඳින්වේ . උදාහරණයක් ලෙස , ඔබ යම් “බලයක්

දැනගත යුතු ඉංග්‍රිසි වචන -1

ඉංග්‍රිසි බස ඉගැනීමේදී වචන කොපමණ උගත යුතුද, එම වචන මොනවාදැයි බොහෝ දෙනෙකුට මතුවන ගැටලුවක් වන අතර, බොහෝ දෙනා ඊට විවිධ පිලිතුරුද සපයා ඇත. මේ ගැන හොඳින් පරීක්ෂණය කර ඇමරිකානු ආයතනයක් විසින් වචන 5000ක ලැයිස්තුවක් ඉදිරිපත් කර ඇත. එම ලැයිස්තුව මා කෙටස් දෙකකට (දිගු වැඩි නිසා) සිංහල තේරුම්ද සහිතව ඉදිරිපත් කර ඇත. (මේවා සැකසුවත් සෝදුපත් බලා නැති නිසා සුලු සුලු දෝෂ සමහරවිට තිබිය හැකිය). පහත ලැයිස්තුවේ වචන 2500ක් ඇත.    Word    තේරුම        be    ඉන්නවා    and    හා    of    ගේ    in    තුල    to    ට    have    තියෙනවා    to    ට    it    ඒක, ඌ    I    මම    that    ... කියලා, ඒ/අර, ඒක/අරක    for    සඳහා    you    ඔබ, ඔබලා    he    ඔහු    with    සමඟ    on    මත    do    කරනවා, "මෙව්ව කරනවා"    say    කියනවා    this    මේ, මේක    they    උන්, ඒවා, ඒගොල්ලෝ    at    දෙස, අසල    but    නමුත්    we    අපි    his    ඔහුගේ    from    සිට, ගෙන්    not    නැහැ    by    විසින්, මඟින්    she    ඇය    or    හෝ, හෙවත්    as    විට, නිසා, වශයෙන්    what    මොකක්ද,