ත්‍රිකෝණමිතිය (trigonometry) - 7

ප්‍රති-ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත

මෙතෙක් ඔබ අධ්‍යනය කළේ යම් කෝණයක් ලබා දුන් විට එහි ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයක් සොයා ගන්නා අන්දමයි. එහෙත් සමහරවිට ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයක් මඟින් කෝණයක් සෙවීමටත් සිදු වෙනවා. මෙය ප්‍රති-ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත (inverse trigonometric functions) හෙවත් ප්‍රති-අනුපාත ලෙස හැඳින්වෙනවා.

ඒ අනුව සෑම ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයක් වෙනුවෙන්ම මෙම ප්‍රතිලෝම ක්‍රියාවලිය සිදු කළ හැකියි. sin, cos, sec ආදී ලෙස ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත/ශ්‍රිතවලට නම් තිබෙන්නා සේම ප්‍රති-ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත සඳහාද නම් සාදා ගෙන තිබෙනවා. එම නම් සාදා ගෙන තිබෙන්නේත් ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල නම් ආශ්‍රයෙන්මයි. එනම්, සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයේ නාමය ඉදිරියට arc යන උපසර්ගය දමන්න. සිංහලෙන් ලියන විට, arc වෙනුවට "ප්‍රති-” යන උපසර්ගය දැමිය හැකියි (උදාහරණ ලෙස, ප්‍රති-සයින්, ප්‍රති-ටෑන්).

sin → arcsin = sin^-1

cos → arccos = cos^-1

tan → arctan = tan^-1

csc → arccsc = csc^-1

sec → arcsec = sec^-1

cot → arccot = cot^-1

මීට අමතරව තවත් ප්‍රචලිත ක්‍රමයක් තිබෙනවා ප්‍රති-අනුපාත දක්වන. එහිදී සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත නාමයට පසුව ඉහලින් -1 ලෙස දමනවා. මෙම ක්‍රමයද ඉහත දැක්වෙනවා. මෙම නිරූපණ ක්‍රමය පටලවා ගන්න එපා අනුපාතයේ ඍණ බලයක් ලෙස. ඍණ බලයක් ලෙස යම් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයක් ලිවීමට අවශ්‍යම නම් (cos(x))^-1 ලෙස වරහනක් දමා ඍණ බලයට නංවන්න. එහෙත් මෙම පැටලීම කිසිසේත්ම නැහැ arc ක්‍රමයට නම් කිරීමේදී. එමනිසා එම නිරූපණ ක්‍රමය භාවිතා කරන්න වැඩිපුර.

මතකයට

යම් කිසි අනුපාතයක ඍණ බලයක් යනු එම අනුපාතයෙන් ව්‍යුත්පන්න වන අනෙක් අනුපාතයයි. එනම් සයින්වල ඍණ බලය යෙදූ විට ලැබෙන්නේ කොසෙක්ය. ඊට හේතුව සරලයි. යම් රාශියක ඍණ බලයක් යනු 1 යට ධන බලයකි. උදාහරණයක් ගෙන බලමු.

(sin(x))^-1 = 1/sin(x) = cosec(x)

මේ ආකාරයටම අනෙක් අනුපාතවලත් ඍණ එකේ බලයට නැංවූ අවස්ථා ගැන සිතන්න. තවද, ඍණ 1 වෙනුවට ඍණවලම වෙනත් බලයක් ඇති විටත් ලැබෙන්නේ පෙර පරිදිම ව්‍යුත්පන්න අනුපාතයම තමයි. එහෙත් මෙවිට එම අනුපාතයේ යම්කිසි බලයක් ලෙසයි පවතින්නේ. උදාහරණයක් බලමු.

(cos(x))^-3 = 1/(cos(x))³ = (sec(x))³ = sec³(x)

sin(x) = a නම්, arcsin(a) = x වේ. මේ ආකාරයටයි ප්‍රති-අනුපාත ගැන මතක තබා ගත යුත්තේ. ඕනෑම කෝණයක් සඳහා ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත අගයන් තිබෙන්නේ එකක් පමණි. උදාහරණයක් ලෙස අංශක 90 කෝණයේ සයින් අගය 1 පමණි. අංශක 450 කෝණයේ සයින් අගයත් 1 පමණි. අංශක 810 කෝණයේ සයින් අගයත් 1 වේ. මේ ආදී ලෙස අගය 1 ලැබෙන කෝණ අනන්ත ගණනක් තිබෙනවා (මොකද ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත ආවර්තික නිසා කෝණය වැඩි කර ගෙන යෑමේදී සෑම අංශක 360කට වරක් එකම අගය නැවත නැවත ලැබෙනවා).

කෝණ ගණනාවකටම එකම ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත අගය ලැබෙන නිසා, ප්‍රති-අනුපාත සැලකීමේදී යම් ගැටලුවකට පත් වෙනවා. උදාහරණයක් ලෙස, ප්‍රති-සයින්(1) ට ලැබෙන කෝණ අගය කීයද? එය අංශක 90 විය හැකියි; 450 විය හැකියි; 810 විය හැකියි. මේ ආදී වශයෙන් කෝණ අනන්ත ගණනක් කිව හැකියි. එවිට හරිම පිළිතුර කුමක්ද? ඇත්තටම ඒ සියලුම කෝණ නිවැරදියි.

එහෙත් එම කෝණ අතුරින් එක් කෝණයක් පමණක් ප්‍රධාන කෝණය/අගය (principal value) ලෙස තෝරා ගන්නවා. එක් එක් ප්‍රති-අනුපාතයේ ප්‍රධාන අගය පහත වගුවේ දැක්වේ.

y = arcsin(x)	−90° ≤ y ≤ 90°
y = arccos(x)	0° ≤ y ≤ 180°
y = arctan(x)	−90° < y < 90°
y = arccsc(x)	0° ≤ y < 90° හා 90° < y ≤ 180°
y = arcsec(x)	-90° ≤ y < 0° හා 0° < y ≤ 90°
y = arccot(x)	0° < y < 180°

ඉහත වගුව බැලූ විට ප්‍රධාන අගය ලෙස විවිධ කෝණ පරාස ලියා ඇති බව පේනවා නේද? එම කෝණ පරාසයන් අහම්බෙන් තෝරාගත් ඒවා නොවේ. යම් නිශ්චිත කොන්දේසි තුනක් මතයි එම කෝණ පරාස තෝරා ගෙන තිබෙන්නේ. එම කෝන්දේසි වන්නේ:

1. පුලුවන් තරම් 0 කෝණය ඇතුලත් වන පරිදි එක ළඟින් පවතින කෝණ පරාසය තෝරා ගන්න.

2. යම් අනුපාතයක ඇති සම්පූර්ණ අගය පරාසය නිරූපණය කෙරෙන පරිදි ඊට අනුරූපව කෝණ පරාසය තිබිය යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස, සයින් අනුපාතය -1 සිට +1 දක්වා අගය පරාසයක් ගනී. මෙම -1 සිට +1 දක්වා වූ සම්පූර්ණ අගය පරාසය ලැබීමට අවශ්‍ය කෝණ පරාසයක් ඇත. මෙන්න මෙම කෝණ පරාසය තමයි ප්‍රධාන අගය පරාසය සඳහා ගත යුත්තේ.

2. පුලුවන් තරම් කෝණ පරාසය කුඩා විය යුතුය (අංශක 180ක කෝණ පරාසයක්). බලන්න ඉහත සියලු කෝණ පරාස අංශක 180කි. උදාහරණ ලෙස, ප්‍රතිසයින් -90 සිට +90 දක්වා අංශක 180ක පරාසයක් ගනී. ප්‍රතිකොස් 0 සිට 180 දක්වා අංශක 180ක පරාසයක් ගනී.

ඉහත කොන්දේසි 3 ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රස්ථාරයක් බැලූ විට පහසුවෙන් අවබෝධ කර ගත හැකියි. උදාහරණය සඳහා පහත සයින් ප්‍රස්ථාරය බලන්න.

සයින් අනුපාතයක අගය පරාසය -1 සිට +1 දක්වා වේ. එම පරාසය ලබා ගත හැකි ක්‍රම අතිවිශාල ගණනක් ඇත (ප්‍රස්ථාරය/අනුපාතය ආවර්තික බැවින්). එහෙත් ප්‍රධාන අගය හැමවිටම 0 කෝණය අසලින් ලබාගත යුතුය. එවිට කෝණය 0 සිට 270 දක්වා පරාසය ලෙසද ගත් විට -1 සිට +1 දක්වා අනුපාත පරාසය ලැබේ. -90 සිට +90 දක්වා කෝණ පරාසය ගත් විටත් -1 සිට +1 දක්වා අනුපාත අගය පරාසය ලැබෙනවා නේද? ඉතිං මේ පරාස දෙකෙන් හොඳම පරාසය තීරණය කරන්න. එය තීරණය කිරීම පහසුය. -90 සිට +90 දක්වා පරාසයේ තිබෙන්නේ අංශක 180 ක පරාසයකි. 0 සිට 270 දක්වා අංශක 270ක පරාසයක් ඇත. ඉතිං අප තෝරා ගත යුත්තේ අඩුම කෝණ පරාසයයි. දැන් කොස්, ටෑන් ආදී අනෙක් ප්‍රස්ථාර ඇසුරින් ඉහත ආකාරයට තර්ක කර කෝණ පරාසය ලබා ගත හැකියි.

ප්‍රති-අනුපාතවල ප්‍රස්ථාර

ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතවලට ප්‍රස්ථාර (graph) තිබෙන්නා සේම, ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රතිඅනුපාතවලටද ප්‍රස්ථාර ඇඳිය හැකියි. මෙම ප්‍රස්ථාරවල x අක්ෂයට අනුපාත අගයන් දක්වන අතර, y අක්ෂයෙන් කෝණය නිරූපණය කෙරේ. y අක්ෂය මත කෝණ නිරූපණය වන නිසා හා ප්‍රති-අනුපාතවල කෝණය ආවර්ත වන නිසා, y අක්ෂය මත ආවර්තික ප්‍රස්ථාරයි අපට ලැබිය යුත්තේ.

පහත දැක්වෙන්නේ ආක්සයින් (ප්‍රතිසයින්) හි ප්‍රස්ථාරයයි. එහි රතුපාටින් දැක්වෙන්නේ ප්‍රධාන අගය පරාසයයි. බලන්න y අක්ෂය දිගේ මෙම ප්‍රස්ථාරය ආවර්ත වෙනවා. උදාහරණයක් ලෙස 0 නම් අනුපාත අගය සඳහා (එනම් x=0 වන විට), -π, 0, +π අදී ලෙස නොනවත්වාම y අක්ෂය මත කෝණ ගණනාවක් ලැබේ. ප්‍රස්ථාර වක්‍රයේ පළල -1ත් +1ත් අතර හැමවිටම දෝලනය වෙන බවත් පේනවා නේද? බොහෝවිට රතුපාටින් දිස්වන කොටස (එනම් මූලික අගය) පමණක් ඇඳ තිබෙන ප්‍රස්ථාරයි තිබෙන්නේ.

 

ඇත්තටම ප්‍රතිසයින් ප්‍රස්ථාරයේ y අක්ෂය තිරස්ව පිහිටන සේ තැබූ විට ඉබේම ඉන් පෙනෙන්නේ සයින් ප්‍රස්ථාරයමයි. සෑම ප්‍රති-අනුපාත ප්‍රස්ථාරයක්ම මෙලෙස කරකවා බලන විට පෙනෙන්නේ ඊට ගැලපෙන අනුපාත ප්‍රස්ථාරයම තමයි. ඒ කියන්නේ, යම් අනුපාත ප්‍රස්ථාරයක් ගෙන එහි x අක්ෂය සිරස් වන සේ කරකැවූ විට ලැබෙන්නේ ප්‍රති-අනුපාත ප්‍රස්ථාරයයි. එලෙස අනෙක් අනුපාතවල ප්‍රස්ථාර ගැන ඔබ විමසා බලන්න.

පහත දැක්වෙන්නේ ප්‍රති-අනුපාතවල මූලික අගයන් පමණක් දක්වන ප්‍රස්ථාරයි. සෑම රූපයකම අනුපූරක ප්‍රස්ථාර දෙක බැගින් ඇඳ ඇත (ඒ දෙක වර්ණ දෙකකින් ඇඳ ඇත).

 

ප්‍රති-අනුපාත අනුපූරක හා සාම්‍යයන්

අනුපාතවලට අනුපූරක අනුපාත හා සාම්‍යයන් (identities) තිබුණා සේම, ප්‍රති-අනුපාතවලටද අනුපූරක හා සාම්‍යයන් තිබේ. පහත දැක්වෙන්නේ අනුපූරක සම්බන්ධතාය. පහත අනුපූරක සම්බන්ධතාවලින් පළමු තීරුව පමණක් දන්නේ නම්, දෙවැනි තීරුව ඉබේම සාදා ගත හැකියිනෙ (a = b – d නම්, d = b – a ලෙස සැකසිය හැකියිනෙ). ප්‍රස්ථාර දෙස හොඳින් බැලූ විට මෙම සියලු සම්බන්ධතා ඇයි එසේ වන්නේ කියා පෙනේවි.

arccos(x) = 90 – arcsin(x) arcsin(x) = 90 – arcos(x)

arctan(x) = 90 – arccot(x) arccot(x) = 90 – arctan(x)

arccsc(x) = 90 – arcsec(x) arcsec(x) = 90 – arccsc(x)

ප්‍රති-අනුපාතවලට යොදන විචල්‍යය + හෝ - විය හැකියි. ධන හා ඍණ විචල්‍යයන් (x) අතර පහත ආකාරයේ සම්බන්ධතාවක් ඇත. මෙය හරියට අනුපාතවල ධන කෝණ හා ඍණ කෝණ අතර තිබූ සබඳතාව වැනිය.

arcsin(-x) = –arcsin(x)

arctan(-x) = -arctan(x)

arccsc(-x) = - arccsc(x)

arccos(-x) = 90 -arccos(x)

arccot(-x) = 90 -arccot(x)

arcsec(-x) = 90 -arcsec(x)

ඉහත සාම්‍යයන් 6හිද රටාවක් ඇත. අනුපූරක ප්‍රති-අනුපාතවලදී 90 කෝණයක් සූත්‍රවල ඇත.

note: මෙම කොටස මාගේ මුල් පාඩම්වල නොතිබූ අතර, ඉල්ලීමක් අනුව අලුතින් එකතු කරන ලදි.මේ සමගම ඊපොතත් නැවත සකස් කර තිබේ. (trigonometry)