අනුකලනය (integration) - 6

මේ වන විට අනුකලනය (integration) කිරීමේ උපක්‍රම තුනක් අප සලකා බැලුවා. මීට අමතරව තවත් උපක්‍රම ගණනාවක්ම තිබෙනවා. මේ සෑම උපක්‍රමයකින්ම සිදු කරන්නේ දී ඇති සංකීර්ණ අනුකල ප්‍රකාශය පහසුවෙන් අනුකලනය කළ හැකි තත්වයකට පත් කිරීමයි. සමහරවිට එකම අනුකල ප්‍රකාශය විසඳීමට ක්‍රම කිහිපයක් වුවත් යෙදිය හැකියි. තවද, ඉන් සමහර ක්‍රම පහසු වන අතර, සමහර ක්‍රම ඉතා අපහසු වීමටද හැකියි.

දී ඇති අනුකල ප්‍රකාශයට ඍජුවම යෙදිය හැකි අනුකල සාම්‍යයක් නොමැති විට, හා බැලූ බැල්මට ඔබ දන්නා වෙනත් උපක්‍රමයක් එකවර යෙදිය නොහැකි යැයි පෙනෙන විට, එම ප්‍රකාශය හැකි පමණ වීජීය වශයෙන් සරල කිරීමට උත්සහ දරන්න. ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත ඇති විට බොහෝ අවස්ථාවලදී මෙය කළ හැකියි. ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත යම් බලයකට නංවා ඇති විට, ඒවා පහසුවෙන්ම බලයකට නංවා නැති ස්වරූපයට පත් කළ හැකියි. ඒ සඳහා ත්‍රිකෝණමිතික පෛතගරස් සාම්‍යයන් හා වෙනත් සාම්‍යයන් යොදාගත හැකියි. උදාහරණයක් ලෙස, ∫ sin²(x) dx යන ප්‍රකාශයේ සයින් අනුපාතය තිබෙන්නේ වර්ග පදයක් ලෙසයි. ඉතිං මෙම වර්ගපදය වෙනුවට නිකංම ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයක් ලබා ගත හැකි නම්, එය පහසුවෙන් අනුකලනය හැකි වෙනවා. එය කළ හැකියි sin²A = [1 – cos(2A)]/2 යන සාම්‍යය යොදාගෙන සරල කර ගැනීමෙන්. එවිට පහත ආකාරයට මුල් ප්‍රකාශය සරල කර ගත හැකියි.

∫ sin²(x) dx = ∫ [1 – cos(2x)]/2 dx = ¹/₂ ∫ [1 – cos 2x] dx

අවසාන වශයෙන් මතක තබා ගත යුත්තේ සාම්‍යයන් යොදා හෝ අනුකල උපක්‍රම යොදා හෝ සුලු කළ නොහැකි අනුකල ප්‍රකාශද තිබෙන බවයි (පසු කාලීනව ගණිතඥයින් විසින් සුලු කළ නොහැකි යැයි කියන ප්‍රකාශ සුලු කිරීමට ක්‍රම සොයා ගන්නට ඉඩ තියෙන බවද මතක තබා ගත යුතුයි). ඇත්තටම සෑම අනුකල ප්‍රකාශයක්ම තනි තනිවම අභියෝගාත්මක සුලු කිරීමකි. දන්නා ක්‍රම මෙන්ම තමන්ගේම විවිධ අත්හදා බැලීම් සමග ඒවා සුලු කිරීමට ගණිතඥයන් වෙහෙසෙනවා. එමඟින් අලුත් අලුත් ක්‍රමද සොයා ගන්නවා. ඒ සඳහා ඉතා අනර්ඝ ගණිත දැනුමකුත් අවශ්‍ය වෙනවා.

එලෙස අලුත් සූත්‍ර හෝ ක්‍රම බිහිවෙන තෙක් එවැනි ප්‍රකාශ සුලු නොකර ඉන්නටත් බැහැනෙ. ඉතිං එවැනි අවස්ථාවලදී 100% ක් නිවැරදි පිළිතුරු නොලැබුණත් සෑහෙන්ඩ දුරකට නිවැරදි පිළිතුරු ලැබෙන වෙනත් ගණිත කර්ම මඟින් එම ප්‍රකාශ සුලු කර ගන්නවා. ගණිතයේදී යම් දෙයක් කිරීමට තිබෙන්නේ එකම ක්‍රමයක් යැයි සිතන්නට එපා. ඒ අනුව, අනුකලනයෙන් සිදු කරන දේම වෙනත් ගණිත ක්‍රමවලින්ද සිදු කර ගන්නට හැකියි; එහෙත් එම වෙනත් ක්‍රම හැමවිටම අනුකලනයෙන් ලැබෙන 100% ක් නිවැරදි පිළිතුර මෙන් නිවැරදි නොවන්නට පුලුවන්.

අනුකලනයට තවත් අර්ථකථනයක්

අනුකලනය යනු ක්ෂණික වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව මඟින් එම සීඝ්‍රතාව අයත් ශ්‍රිතයක් ලබා ගැනීම යනුවෙන් ඔබ ඉගෙන ගත්තා. තවත් ආකාරයකින් අනුකලනය අර්ථ දැක්විය හැකියි. මෙම අලුත් ක්‍රමය ප්‍රාස්ථාරික හෙවත් චිත්‍රමය ආකාරයේ නිරූපණයකින් පහසුවෙන්ම විස්තර කළ හැකියි.

යම් ශ්‍රිතයක් අනුකලනය කිරීම යනු එම ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාර වක්‍රය හා ස්වායත්ත විචල්‍යය නිරූපණය කරන අක්ෂය (බොහෝවිට එය x අක්ෂය වේ) අතර පවතින ක්ෂේත්‍රඵලය හෙවත් වර්ගඵලයයි.

පහත රූපය බලන්න.

ඉහත රූපයෙහි f(x) නම් යම් ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය ඇඳ තිබේ. එම ප්‍රස්ථාර වක්‍රය හා ස්වායත්ත විචල්‍යය නිරූපණය කරන අක්ෂය අතර වර්ගඵලයෙන් යම් කොටසක් පමණක් නිල් පාටින් ලකුණු කර ඇත (මෙම ප්‍රස්ථාර වක්‍රය දෙපැත්තෙන්ම තව දුරටත් දිග් කළ හැකි අතර, එවිට වර්ගඵලයද ඒ සමගම වැඩි වේ). ප්‍රස්ථාර වක්‍රය නොනවත්වා දික් කළ හැකි නිසා, එම ප්‍රස්ථාර වක්‍රයෙන් ඇති කරන වර්ගඵලය හරියටම කොපමණදැයි තවම කිව නොහැකියි නේද? එනිසා අප මේ ලබා ගත්තේ අනිශ්චිත අනුකලයයි.

වර්ගඵලයෙන් අනුකලනය ලැබෙන්නේ කෙසේදැයි පෙන්වීම හරිම පහසුය. ඔබ දන්නවා අනුකලනය දක්වන පොදු ක්‍රමය වන්නේ ∫ f(x) dx ලෙස බව. දැන් මෙම අනුකල ප්‍රකාශය කොටස් වශයෙන් බලමු. dx වලින් හඟවන්නේ ඉතා කුඩා x අගයක් බවයි. f(x) යනු ඕනෑම ශ්‍රිතයකි. f(x) යනු x වලින් සාදපු ගණිත ප්‍රකාශයක් නිසා, විවිධ x අගයන් ආදේශ කළ විට ඊට අනුරූප විවිධ f(x) අගයන් ලැබෙනවනෙ. ඒ කියන්නේ ඍණ අනන්තයේ සිට ධන අනන්තය දක්වා අගය පරාසය තුළ සියලු අගයන් x සඳහා ආදේශ කළ විට, එම සම්පූර්ණ අගය පරාසයට අනුරූප f(x) අගය පරාසය ලැබේ. f(x) dx යන්න f(x).(dx) යන ගුණිතයක් ලෙස සිතන්න. එවිට f(x).(dx) යන්න වර්ගඵලයකි. එය තුනී තීරුවක් ලෙස දැකිය හැකියි මොකද dx යනු ඉතාම ඉතා කුඩා පළලකි. ඉහත ප්‍රස්ථාරය මත මෙවැනි එක් තීරුවක් ඇඳ ඇති අයුරු පහත දැක්වේ.

ඉහත ඇඳ ඇත්තේ තනි තීරුවක් පමණයිනෙ. ඒ කියන්නේ එම තුනී තීරුවේ වර්ගඵලය තමයි f(x).(dx) වලින් ලැබෙන්නේ. ඉතිං විවිධ x අගයන් සඳහා මෙවැනි තීරු රාශියක් මුලු x අක්ෂය මත ඇන්ද විට, ඉන් අපට වක්‍රයේ වර්ගඵලය ලැබෙන බව පේනවා නේද? වම් පැත්තේ සිට දකුණු අත පැත්තට නොනවත්වා මෙලෙස තීරු එකින් එක ඇඳ ඒ තනි තනි තීරු සියල්ලම එකතු කළ විට ලැබෙන්නේ එම ශ්‍රිතය මඟින් ඇති කරන ක්ෂේත්‍රඵලයයි. මෙලෙස තීරු සියල්ලම එකතු කරන්න කියන එක තමයි ∫ යන අනුකල සංඛේතයෙන් කියන්නේ. පහත රූපයේ එවැනි තීරු කිහිපයක් පමණි ඇඳ තිබෙන්නේ.

ඉහත ආකාරයට තීරු අඳින විට තීරුවල පළල කුඩා වීම අත්‍යවශ්‍යයි. තීරුවල පරතරය/පළල වැඩි වන විට, එමඟින් සුමට ප්‍රස්ථාර වක්‍රය හමුවන තැන තීරුවලින් හරියටම ආවරණය නොවේ. ඒ කියන්නේ එක් එක් තීරුව නිසා අඩුවෙන් හෝ වැඩියෙන් වර්ගඵලයක් ලැබේ. මෙවැනි තීරු ගණනාවක් පවතින නිසා අවසානයේදී ලැබෙන වර්ගඵලය කිසිසේත් නිවැරදි නොවේ. පහත රූපයෙන් මෙම විකෘතිය/අඩුපාඩුව මැනවින් පෙනේ. බලන්න මෙම තීරු ප්‍රස්ථාරයේ සුමට වක්‍රය හා ස්පර්ශවල ස්ථාන දෙස.

මෙම තීරුවලින් සිදුවන සුලු විකෘතිය අවම කළ හැකියි තීරුවල පළල අඩු කිරීමෙන්. එම පළල ශූන්‍යයට ඉතාම ආසන්න වන තෙක් අඩු කළ විට, එම විකෘතිය 100% ක්ම ඉවත් කර ගත හැකියි. ඇත්තටම සිතාගත නොහැකි තරම් කුඩා (එනම් ශූන්‍යයට ඉතාම ආසන්න) x අගයක් යන අර්ථය තමයි dx වලින් ලබා දෙන්නේ. ඒ කියන්නේ dx විෂයෙන් f(x) ශ්‍රිතය අනුකලනය කරන විට ලැබෙන වර්ගඵලය 100% ක්ම නිවැරදියි.

මතකයට

සිග්මා නිරූපණය (Sigma Notation)

x₁ + x₂ + x₃ + … යනු යම් පද කිහිපයක් එකතු කරන්න (sum) කියා උපදෙස් දීමක් බව ඔබ දන්නවා. මෙහිදී අගට තිබෙන ඩොට් තුනෙන් කියන්නේ තවත් පද තිබෙන බවයි. සමහරවිට පද අනන්ත ගණනක් තිබිය හැකියි. උදාහරණයක් ලෙස 0 සිට සියලුම ඉරට්ටේ සංඛ්‍යා එකතු කරන්න කියා කී විට එය 0 + 2 + 4 + 6 + … ලෙස ලිවිය හැකියි. අනන්ත පද ගණනක් ලියන්නටත් බැහැනෙ.

සමහරවිට පද අනන්ත ගණනක් නොව නිශ්චිත ගණනක් එලෙස එකතු කරන්න කියා කිව හැකියි x₁ + x₂ + … + x₂₀ ආදී ක්‍රමයකින්. මෙහිදී මුල් පද කිහිපයකුත් අග පදයක් හෝ අග පද කිහිපයකත් පෙන්වා මැද පද ඩොට් තුනකින් නිරූපණය කරනවා.

මෙවැනි අවිනිශ්චිත හෝ නිශ්චිත පද රාශියක් එකතු කරන්න කියා ගණිතයෙන් කෙටි සංඛේත ක්‍රමයකින් දැක්විය හැකියි. ඒ සඳහා ග්‍රීක් හෝඩියේ අකුරක් වන කැපිටල් සිග්මා (∑) භාවිතා වේ. සිග්මා ලියා, ඊට පසුව එකතු කළ යුතු පද සියල්ලම පොදුවේ නියෝජනය කරන එක් පදයක් පමණක් ලිවිය යුතුය.

x₁ + x₂ + x₃ + … = ∑ x_n

බලන්න එය කොච්චර කෙටිද කියා. ඉහත පොදු පදය x_n ලෙස දක්වා තිබෙනවා. මෙම n පදයට 1, 2, 3 ආදී ඉලක්කම් අදේශ කළ විට, මුලින් තිබෙන ප්‍රකාශය ලැබෙනවා නේද? සිග්මා ලකුණ තිබෙන නිසා, ඒ එක් එක් පදය එකතු කරන්න කියා උපදෙස ඉබේම ලැබෙනවා.

මෙම සංඛේත ක්‍රමයම අවශ්‍ය නම් තවදුරටත් විස්තරාත්මක කළ හැකියි සිග්මා අකුරට උඩින් හා යටින් යම් තොරතුරු ලියා දක්වමින්. එනම් n අක්ෂරය ලබා ගන්නා අගය පරාසය සිග්මා අක්ෂරය මත ලියා දැක්විය හැකියි. උදාහරණයක් ලෙස 2 සිට අනන්තය 100 දක්වා ඇති සියලු ඉලක්කම්වල එකතුව සොයන්න යැයි ලියන්නේ පහත ආකාරයටයි.

ඇත්තටම සිග්මා සංඛේතය යොදාගෙන සංකීර්ණ ප්‍රකාශ ඉතාම සංක්ෂිප්තව නිරූපණය කළ හැකියි. තවත් උදාහරණ සොයා බලා ඉගෙන ගන්න.

ඉහත විත්‍රමය ආකාරයෙන් සිදු කළ විස්තරය නැවතත් සංක්ෂිප්තව ගණිතානුකූලව සොයා බැලීමට වටිනවා. f(x) නම් පොදු ශ්‍රිතය නැවත සලකමු. එවිට එම ශ්‍රිතයේ x වල කුඩා පරතරය/වෙනස ∆x වේ. මෙම වෙනස (x₂-x₁) මඟින් ලැබේ යැයි සිතමු. විචල්‍යයේ අගය x₁ වන විට හා x₂ වන විට, ශ්‍රිතයේ අගය පිළිවෙලින් f(x₁) හා f(x₂) ලෙස සිතමු. එහෙත් ∆x යනු ඉතා කුඩා පරතරයකි. එනිසා ආසන්න වශයෙන් f(x₁) හා f(x₂) යන අගයන් දෙක සමානය. එනිසා ∆x පරතරය පුරාම f(x) අගය නොවෙනස්ව පවතින එක් අගයක් යැයි උපකල්පනය කරමු. ඔව්, මෙම උපකල්පනය තරමක් වැරදියි තමයි මොකද එම පරාසය තුළ ශ්‍රිතයේ අගය සත්‍ය වශයෙන්ම ඉතාම කුඩා ප්‍රමාණයකින් හෝ වෙනස් වෙනවනෙ. එහෙත් ඉවසන්න; එම වැරැද්ද සුලු මොහොතකින් නිවැරදි වේ. දැන් (x₂-x₁) හා එම පරාසය තුළ පවතින ශ්‍රිතයේ අගය වන f(x₁) දෙක එකිනෙකට ගුණ කරමු - (x₂-x₁).(f(x₁)) . මෙලෙසම, (x₃-x₂).(f(x₂)), (x₄-x₃).(f(x₃)), (x₅-x₄).(f(x₄)) ආදී ලෙස අනුයාතව x අගයන් සියල්ලම ආවරණය කළ හැකියි. දැන් එම ගුණිත පද සියල්ලම එකතු කරන්න.

ඉහත විස්තරය සංඛේතාත්මකව පහත ආකාරයට ලිවිය හැකිය.

∑ (x_n+1 – x_n).f(x_n) = ∑ (∆x).f(x_n)

(x₂ – x₁) = (x₃ – x₂) = (x₄ – x₃) = (x_n+1 – x_n) = ∆x වේ. ඒ කියන්නේ x අක්ෂය දිගේ සමාන පරතරවලින් වෙනස ලබා ගෙන ඇත. මොහොතකට පෙරත් පැවසුවා ∆x පරතරය තුළ f(x) එකම අගයක් පවතිනවා යනුවෙන් උපකල්පනය කළත් එය වැරදි බව. ඉතිං එම වැරැද්ද නිවැරදි කළ හැකි එකම ක්‍රමය ∆x පරතරය හැකි පමණ කුඩා කිරීමයි. එනම් ∆x ශූන්‍ය කරා ගෙන යා යුතුය. (අවකලන පාඩම්වලදී සීමා ගැන අප කතා කළා මතකද?) එවිට, 100% ක්ම නිවැරදි වර්ගඵලයක් ලැබේ. එය පහත ආකාරයට සංඛේතාත්මකව ඉදිරිපත් කළ හැකියි.

ඇත්තෙන්ම සිග්මා යොදා ගෙන කර ඇති ප්‍රකාශයම තමයි අනුකලනය යනුවෙන් හැඳින්වෙන්නෙත්. කුඩා තීරු රාශියක වර්ගඵලයන්ගේ එකතුව (sum) අනුකලනය මඟින් ලැබේ. මෙම sum යන වචනයේ "ස" ශබ්දයට ගැලපෙන්න තමයි සිග්මා යන "ස" ශබ්දය සහිත ග්‍රීක් අකුර යොදා ගෙන තිබෙන්නෙත්. ඒ විතරක්ද නොවේ, අනුකලනය හඟවන ∫ සංඛේතයත් s අකුර උඩට හා යටට ඇද (දික් කර) තමයි සකස් කර තිබෙන්නේ. සිග්මා යොදාගෙන ලියනවාට වඩා අනුකල නිරූපණ ක්‍රමය බොහොම පහසුවෙන් ලියන්නට පුලුවන්.