Skip to main content

අවකලනය (differentiation) - 7


අවකලනය කළ නොහැකි අවස්ථා

සෑම ශ්‍රිතයක්ම අවකලනය (differentiation) කළ හැකි යැයි නොසිතිය යුතුය. සමහර ශ්‍රිතවල සමහර ස්ථාන අවකලනය කළ නොහැකිය. සාමාන්‍යයෙන් යම් ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයක් ඇඳීමේදී එය සතතයෙන් හෙවත් අඛණ්ඩව (continuous) ඇඳිය නොහැකි නම්, එලෙස ඛණ්ඩණය (discontinuity) සිදු වී තිබෙන ලක්ෂ්‍යයේදී අනිවාර්යෙන්ම අවකලනය සිදු කළ නොහැකිය. ඒ කියන්නේ අවකලනය සිදු කිරීමට නම් ප්‍රස්ථාරය/ශ්‍රිතය අඛණ්ඩ වීම අත්‍යවශ්‍ය කොන්දේසියකි. අඛණ්ඩවීම ගණිතමය වශයෙන් පහත ආකාරයට දැක්විය හැකියි.


ඉහත ගණිත ප්‍රකාශනය සරලය. යම් ශ්‍රිතයක x යන ස්වායත්ත විචල්‍යය a යන අගය ගැනීමේදී f(a) යන නිශ්චිතව අගයක් ලැබිය යුතුය. තවද, එම ශ්‍රිතයේම x යන්න a අගය කරා යෑමේදී ලැබෙන නිශ්චිත සීමා අගයක් ලැබිය යුතු අතර, එය පෙර ලැබූ f(a) ට සමාන නම්, එම x=a යන ලක්ෂ්‍යය අඛණ්ඩ බවයි ඉන් කියන්නේ. x යන්න වම් පැත්තෙන් (a-) හෝ දකුණු පැත්තෙන් (a+) ළඟා විය හැකියි. උදාහරණයක් ලෙස f(x) = 3x යන ශ්‍රිතයේ x=8 නම් ලක්ෂ්‍යය අඛණ්ඩද නැද්ද සොයමු. මෙහි x=8 විට, f(8) = (3).(8) = 24 ලැබේ. තවද, f(x) = 3x ශ්‍රිතයේ සීමාව සොයන්න x යන්න 8 කරා යෑමේදී. එම සීමා අගය වන්නේ 3(7.99....9) = 23.99....9 වේ. එම අගය 24 ලෙස සලකයි. ඒ කියන්නේ මෙම ශ්‍රිතය x=8 යන අවස්ථාවේදී අඛණ්ඩ වේ.

තවද, අඛණ්ඩ වීම පමණක් ප්‍රමාණවත් නැත අවකලනයක් සිදු කළ හැකි වීමට; ශ්‍රිත ප්‍රස්ථාරයේ වක්‍රය සුමට (smooth) වීමද අවශ්‍ය වේ. වක්‍රය සුමට වීම යනු වක්‍රයේ ඉතාම ඉතාම ඉතා ළඟින් ඇති යම් ලක්ෂ්‍ය දෙකක බෑවුම් විශාල ලෙස වෙනස් නොවීමයි. මෙය ගණිතමය වශයෙන් පහත ආකාරයට දැක්විය හැකියි.


ඉහත ප්‍රකාශනයද සරලයි. යම් ශ්‍රිතයක සීමාව සොයන්න වම් පැත්තෙන් (x යන්න a කරා යෑමේදී). එලෙසම එම ශ්‍රිතයේම සීමාව සොයන්න දකුණු පැත්තෙන්. දැන් එම අගයන් දෙක සමාන නම්, එම ලක්ෂ්‍යයේදී ප්‍රස්ථාරය සුමටය.

යම් ශ්‍රිතයක යම් ලක්ෂ්‍යයකදී ඉහත අවශ්‍යතා දෙකින් එකක් හෝ සැපිරෙන්නේ නැතිනම්, එම ස්ථානය/ලක්ෂ්‍යය අවකලනය කළ නොහැකිය. මෙලෙස අවකලනය කළ නොහැකි අවස්ථා කිහිපයක් පහසුවෙන් හඳුනා ගත හැකියි.

1. යම් ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය බැලූ විට ප්‍රස්ථාර වක්‍රයේ යම් ස්ථානයක් "අර්ථ දැක්විය නොහැකි" (undefined) නම්, එම ලක්ෂ්‍යය අවකලනය කළ නොහැකියි. පහත රූපය බලන්න. මෙහි x=2 විට, y = 0/0 නම් අගය ගන්නවා. එහෙත් ගණිතයේදී 0/0 යනු ගණනය කළ නොහැකි හා අර්ථ දක්වා නොමැති අවස්ථාවකි. එවැනි අවස්ථාවක් ප්‍රස්ථාරයක හමුවන විට ප්‍රස්ථාරයේ කුඩා o කින් එම ලක්ෂ්‍යය දැක්වේ. මෙම 0 සලකුණින් කියන්නේ එතැන ඛණ්ඩණයක් පවතින බවයි (ඉහතදී සඳහන් කළ කොන්දේසිය අනුව ඛණ්ඩනයක් තිබෙන අවස්ථාව අවකලනය කළ නොහැකියි).


එවැනි "අර්ථ දක්වා නොමැති" ලක්ෂ්‍යයක් අවකලනය කළ නොහැකියි (මොකද අර්ථ දක්වා නැතැයි කියන්නේ එවැනි අගයක් පවතින්නේ නැහැ කියන එකයි; ඉතිං පවතින්නේ නැති දෙයක අවකලනය සිදු කරන්නට බැහැනෙ).

ඕනෑම ශ්‍රිතයක යම් x අගයකදී සුලු කළ විට y = 0/0 ලෙස හෝ y = ∞/∞ හෝ අර්ථ දක්වා නොමැති වෙනත් ඕනෑම අවස්ථාවක් ලැබේ නම්, එම ලක්ෂ්‍ය අවකලනය කළ නොහැකියි. (ගණිතයේදී ශූන්‍යය ශූන්‍යයෙන් බෙදීම සේම අනන්තය අනන්තයෙන් බෙදීමද අර්ථ දක්වා නැත.)

එහෙත් අර්ථ දැක්විය නොහැකි ලක්ෂ්‍ය තිබෙන ශ්‍රිතයක් අවකලනය කිරීමට පෙර, එම ශ්‍රිතයම අර්ථ දැක්විය නොහැකි අවස්ථාව ඉවත් වන පරිදි සකස් කර ගැනීමට සමහර වෙලාවට හැකිය. ඒ කියන්නේ ඛණ්ඩණය ඉවත කළ හැකි වීමට පුලුවන්. එවිට එලෙස අලුතින් සකස් කළ ශ්‍රිතය අවකලනය කළ හැකියි. බොහෝ විට ශ්‍රිතය භාග ස්වරූපයෙන් නම් තිබෙන්නේ, එම භාගයේ හරය 0 වන අවස්ථා තමයි මෙලෙස කරදර කරන්නේ. ඉතිං යම් කිසි සුලු කිරීමකින් එලෙස හරය ශූන්‍ය විය හැකි අවස්ථාව ඉවත් කළ හැකි නම් එම කරදරයෙන් බොහෝවිට මිදේ.

උදාහරණයක් ලෙස, f(x) = (x2 – 4)/(x – 2) ශ්‍රිතය සලකන්න. මෙම ආකාරයෙන් තැබූ විට මෙම ශ්‍රිතය x=2 යන අවස්ථාවේදී අර්ථ දැක්විය නොහැකි අවස්ථාව මතු වේ. එහෙත් එම ශ්‍රිතය මත අවකලනය සිදු කිරීමට පෙර, එය තවදුරටත් සුලු කළ හැකියි f(x) = [(x-2)(x+2)]/(x-2) = x+2 ලෙස. දැන් ඔබට f(x) = x+2 යන ශ්‍රිතයේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් අවකලනය කළ හැකියි. ඒ කියන්නේ අර්ථ දැකිවිය නොහැකි අවස්ථාව ඉවත්ව ගොස් තිබෙනවා සුලු කිරීමෙන් පසුව. එම කරුණත් හොඳින් සිහි තබා ගන්න.

2. යම් x අගයකදී y අනන්තය කරා යනවා නම්, එම අවස්ථාවත් අවකලනය කළ නොහැකිය. ඉහත විස්තරය තුළත් මා පැවසුවා භාග ස්වරූපයෙන් පවතින ශ්‍රිතයක හරය ශූන්‍ය විය හැකි අවස්ථා පවතින විට ඉන් කරදර ඇති විය හැකි බව. හරය ශූන්‍ය බවට පත් වන විට එක්කෝ 0/0 යන අවස්ථාව හෝ (ඕනෑම අගයක්)/0 යන අවස්ථාව ලැබේ. මේ අවස්ථා දෙකම අවකලනය කළ නොහැකියි නේද? අනන්තය යනු නිශ්චිත අගයක් නොවේ. ඉතිං නිශ්චිත නැති අගයක අවකලනය කෙසේ නිශ්චිත වන්නද? උදාහරණයක් ලෙස, y = 1/x යන ශ්‍රිතය සලකන්න. එහි x=0 විට, ප්‍රස්ථාරය (එනම් y අගය) අනන්තය දක්වා ගමන් කරනවා.
 
අනන්ත අගයක් ලැබිය හැකි එකම ආකාරය හරයේ 0 ක් තිබීමම නොවේ. y අගය අනන්තය විය හැකි තවත් ආකාර පවතී නම්, එවැනි අවස්ථාවලදීත් අවකලනය සෙවිය නොහැකියි. උදාහරණයක් ලෙස f(x) = 101/x නම් ශ්‍රිතය සලකන්න. එහි x=0 දී, y අගය අනන්තය කරා යයි. මේ ප්‍රස්ථාරයද ඉහත ප්‍රස්ථාරය මෙනි; එහෙත් ඊට වඩා ඉතා විශාල වක්‍රතාවක් පවතී (වක්‍රතාව ඉතාම වැඩි නිසා y අක්ෂය ලඝු පරිමාණයටයි ඇඳ තිබෙන්නේ).
 
3. සමහර ශ්‍රිතවල යම් x අගයකදී එකවර y අගය වෙනත් අගයකට පනිනවා (jump). පහත රූපයේ එවැනි පැනීමක් දැක්වේ. පැනීම සිදුවන x අගයට දැන් y අගයන් දෙකක් ඇත. අප උදාහරණයට ගත් ශ්‍රිතයේදී x=1දී, y සඳහා 3 හා 2 යන අගයන් දෙකක් ලැබේ. ඉතිං අවකලනයේදී මේ අවස්ථා දෙකෙන් කුමක් තෝරාගත යුතුදැයි කිසිවෙකුට නිශ්චය කළ නොහැකියිනෙ. ඒ කියන්නේ අවකලනයක් එම අවස්ථාවේදී සිදු කළ නොහැකියි.


4. ශිඛරයක් (cusp) සහිත ශ්‍රිතයක ශිඛරයේදී අවකලනයක් සිදු කළ නොහැකිය. ශිඛරයක් යනු ප්‍රස්ථාර වක්‍රය තියුණු නැම්මක් පවතින අවස්ථාවයි. එනම් ප්‍රස්ථාරය සුමට නොවන අවස්ථාවකි. y = |x| යන ශ්‍රිතයට අදාල පහත ප්‍රස්ථාරය බලන්න.

මෙම ප්‍රස්ථාරයේ x=0 අවස්ථාවේදී ඉතාම තියුණු නැම්ම (ශිඛරය) පේනවා නේද? මෙම නිශ්චිත අවස්ථාව තෙක් වම් පැත්තෙන් ගමන් කරන විට ප්‍රස්ථාරයේ සුමටව බෑවුම් ස්වභාවයක් ඇත. එලෙසම මෙම ශිඛරය තෙක් දකුණු පැත්තෙන් ගමන් කරන විටද සුමට බෑවුම් ස්වභාවයක් ඇත. ශිඛරය දෙපැත්තෙන් මෙලෙස පවතින බෑවුම් දෙක එකිනෙකට වෙනස්ය. දැන් එකවරම ශිඛරය හමු වේ. ශිඛරයේ බෑවුම එකවර කිව නොහැකියි. ඒ කියන්නේ වම් පැත්තෙන් ගත් සීමා අගය හා දකුණු පැත්තෙන් ගත් සීමා අගය එකිනෙකට අසමාන වේ; එනම් වක්‍රය සුමට නොවේ.


5. යම් ශ්‍රිතයකට යම් ලක්ෂ්‍යකදී ඇඳිය හැකි ස්පර්ශකය සිරස් (vertical tangent) නම්, එවැනි ලක්ෂ්‍යයක අවකලනය සෙවිය නොහැකිය. සිරක් ස්පර්ශකයක් යනු අවකලනයෙන් ලැබෙන අගය අනන්තය වීමයි. එම අගය අර්ථ දක්වා නැත. මෙම අවස්ථාව පැහැදිලි කිරීමට කදිමම උදාහරණය පහත රූපයේ දැක්වේ.

මෙම ප්‍රස්ථාරයේ 0 ට දකුණු පැත්තේ ප්‍රස්ථාර වක්‍රය බලන්න. දකුණු පැත්තේ සිට වමට (0 ආසන්නයට) එන විට බෑවුම ක්‍රමයෙන් වැඩි වේ (සිරස් වේ). තවද, 0 සිට වම් පැත්තට බෑවුම අඩු වේ. ඒ කියන්නේ 0 දී තමයි උපරිම බෑවුම තිබෙන්නේ. උපරිම බෑවුම යනු රේඛාව සිරස් වීමයි. ඒ කියන්නේ x=0 දී ස්පර්ශකය සිරස් වේ. එනිසා එම ලක්ෂ්‍යයේදී අවකලනය සිදු කළ නොහැකියි.
 
6. සමහර ශ්‍රිතවලදී x අගය යම් නිශ්චිත සීමාකාරි අගයක් කරා යෑමේදී y අගය සීඝ්‍රයෙන් දෝලනය වන්නට පටන් ගන්නවා. එම සීමාකාරි අගයට ළං වන්නට වන්නට දෝලනය සිදු වීමද වැඩි වේ. හරියටම සීමා අගයට ළං වත්ම දෝලන අනන්ත ගණනක් සිදු වේ. ඒ කියන්නේ සීමාකාරි අගයේදී y අගය නිශ්චිත නැත. ඒ කියන්නේ එම අවස්ථාවේ අවකලනය සිදු කළ නොහැකියි. උදාහරණයක් ලෙස y = sin(1/x) ශ්‍රිතය ගමු. එම ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය දළ වශයෙන් පහත ඇඳ තිබේ (දළ වශයෙන් යැයි කීවේ 0 අසලදී දෝලන අනන්ත සංඛ්‍යාවක් අඳින්නට ක්‍රමයක් ප්‍රායෝගිකව නැති නිසයි).
 
මතකයට
ඉහත y=sin(1/x) ශ්‍රිතයට ඉහත රූපයේ ආකාරයට "විකාර" ප්‍රස්ථාරයක් ලැබුණේ කෙසේදැයි සමහරවිට ඔබ කල්පනා කරනවා ඇති. මෙසේ තර්ක කර බලන්න.

ඕනෑම සයින් ශ්‍රිතයක් x අක්ෂය කපන්නේ කුමන කෝණවලදීද? පිළිතුර

sin(?) = …, -3π, -2π, -π, 0, π, 2π, 3π, …

එ් අනුව sin(1/x) වලද එලෙසම සිදු විය යුතුය මොකද ඉහත පෙන්වා දුන් ලෙස ඕනෑම සයින් ප්‍රස්ථාරයක් x අක්ෂය කපන්නේ ඉහත කෝණ අගයන්හිදිය. එ් අනුව,

1/x = …, -3π, -2π, -π, 0, π, 2π, 3π, …

ඉහත 1/x යන ස්වරූපය x යන ස්වරූපයට හරවා ගන්න. (1/0 යන්න ගණන කළ නොහැකි නිසා එය නොසලකා හරින්න.) එවිට,

x = …, -1/3π, -1/2π, -1/π, 1/0, 1/π, 1/2π, 1/3π, …

ඉහත ප්‍රකාශනයෙන් කියවෙන්නේ කුමක්ද? ඍණ පැත්තේ සිට හා ධන පැත්තේ සිට 0 ට ආසන්න වන්නට වන්නට වැඩි වැඩියෙන් x අක්ෂය කපන බවයි. එනම් දෙපැත්තෙන්ම 0 ට ළං වන විට, x අක්ෂය කපන වාර ගණන වැඩි වේ; දෝලන ගණන වැඩි වේ.

7. සමහර අවස්ථා තිබෙනවා ශ්‍රිතය සමගම කොන්දේසියක් ලෙස එනවා අහවල් අගයට හෝ අගය පරාසයට මෙම ශ්‍රිතය වලංගු නොවේ කියා. එවිට, එම අවලංගු පරාසය තුළද අවකලනයක් සිදු කළ නොහැකියි. මීට හොඳම උදාහරණය තමයි y = x යන ශ්‍රිතය. ඍණ අගයක වර්ගමූලයක් සෙවිය නොහැකියි. ඉතිං, ප්‍රස්ථාරය ඇඳීමේදී 0 සිට වම් පැත්ත හෙවත් ඍණ පැත්තේ කිසිවක් ඇඳෙන්නේ නැත. ඉතිං එම පැත්තේ අවකලනයක් සෙවිය නොහැකියි.


ඉහත අවස්ථා ගැන කල්පනා කර බලන්න. හොඳින් ඒවා තේරුම්ගත් පසු අවකලනය කළ නොහැකි අවස්ථා ඔබට පහසුවෙන් හඳුනාගත හැකි වේවි. යම් ශ්‍රිතයක් සම්පූර්ණයෙන්ම අවකලනය කළ නොහැකි වන්නේ නැත. ශ්‍රිතයේ යම් එක් ලක්ෂ්‍යයක් හෝ ලක්ෂ්‍ය කිහිපයක් හෝ යම් අගය පරාසයක් පමණකි අවකලනය කළ නොහැකි වන්නේ. එවිට අප සිදු කරන්නේ අවකලනය කළ නොහැකි අවස්ථා මඟ හැර පොදුවේ ශ්‍රිතය අවකලනය කිරීමයි. මීට "කොටස් වශයෙන්" (piece-wise) අවකලනය කරනවා යැයි පැවසිය හැකියි.

Comments

Popular posts from this blog

දන්නා සිංහලෙන් ඉංග්‍රිසි ඉගෙන ගනිමු - පාඩම 1

මෙම පොත (පාඩම් මාලාව) පරිශීලනය කිරීමට ඔබට එදිනෙදා සිංහල භාෂාව භාවිතා කිරීමේ හැකියාව හා සාමාන්‍ය බුද්ධිය පමණක් තිබීම අවම සුදුසුකම ලෙස මා සලකනවා.  තවද, ඇසෙන පරිදි ඉංග්‍රීසි අකුරින් ලිවීමට හැකිවීම හා ඉංග්‍රීසියෙන් ලියා ඇති දෙයක් කියවීමට හැකි නම්, ඔබට මෙතැන් සිට මෙම පාඩම් මාලාව කියවා ඉගෙන ගත හැකිය.  ඔබට එසේ ඉංග්‍රීසි කියවීම හා ලිවීම ගැන දැනීමක් දැනටමත් නොමැත්තේ නම්, කරුණාකර මෙ‍ම පොතෙහි “අතිරේකය - 1 ”  බලා පළමුව එම හැකියාව ඇති කරගන්න.  තවද, හැකි පමණ ඉංග්‍රීසි වචනද පාඩම් කරගන්න. ඔබ හිතවතෙකුගේ නිවසකට හෝ වෙනත් පිටස්තර තැනකට යන විටෙක හැසිරෙන්නේ ඔබට අවශ්‍ය විදියටම නෙමේ නේද?  එනම්, පිට නිවසකට ගිය විට අහවල් පුටුව තිබෙන තැන හරි නැහැ, අහවල් එක මෙහෙම තිබෙන්නට ඕනෑ ආදී ලෙස ඔවුනට පවසන්නේ නැහැ, මොකද අප සිටින්නේ අනුන්ගේ තැනක නිසා.  එලෙසම, ඉංග්‍රීසි භාෂාව යනු සිංහල නොවේ.  ඔබ කැමැති වුවත් නැතත් ඉංග්‍රීසි ඉගෙනීමේදීද අප ඉංග්‍රීසි ව්‍යාකරණ රීති හා රටා එපරිද්දෙන්ම උගත යුතුය.  එනම්, සෑම සිංහල වගන්ති රටාවක්ම ඉංග්‍රීසියට ඔබ්බන්නට නොව, ඉංග්‍රීසියේ ඇති රටා ඔබ දන්නා සිංහල භාෂාව තුළින් ඉගෙනීමට උත්සහ කළ යුතුය. 

කතාවක් කර පොරක් වන්න...

කෙනෙකුගේ ජීවිතය තුල අඩුම වශයෙන් එක් වතාවක් හෝ කතාවක් පිරිසක් ඉදිරියේ කර තිබෙනවාට කිසිදු සැකයක් නැත. පාසැලේදී බලෙන් හෝ යම් සංගම් සැසියක හෝ රැස්වීමක හෝ එම කතාව සමහරවිට සිදු කර ඇති. පාසලේදී කතා මඟ හැරීමට ටොයිලට් එකේ සැඟවුනු අවස්ථාද මට දැන් සිහිපත් වේ. එහෙත් එදා එසේ කතා මඟ හැරීම ගැන අපරාදේ එහෙම කළේ යැයි අද සිතේ. යහලුවන් ඉදිරියේ "පොර" වෙන්න තිබූ අවස්ථා මඟ හැරුණේ යැයි දුකක් සිතට නැඟේ. ඇත්තටම කතාවක් කිරීම "පොර" කමකි. දක්ෂ කතිකයන්ට සමාජයේ ඉහල වටිනාකමක් හිමි වේ. පාසැලේදී වේවා, මඟුලක් අවමඟුලක් හෝ වෙනත් ඕනෑම සමාජ අවස්ථාවකදී වේවා දේශපාලන වේදිකාව මත වේවා කතාවක් කිරීමේදී පිලිපැදිය යුත්තේ සරල පිලිවෙතකි. එහෙත් එම සරල පිලිවෙත තුල වුවද, තමන්ගේ අනන්‍යතාව රඳවන කතාවක් කිරීමට කාටත් හැකිය. පුද්ගලයාගෙන් පුද්ගලයා වෙනස් වේ. එම වෙනස ප්‍රසිද්ධ කතා (public speaking) තුලද පවත්වාගත හැකිය. මේ ගැන මට ලිපියක් ලියන්නට සිතුනේ මාගේ මිතුරෙකුට ප්‍රසිද්ධ කතාවක් කිරීමට අවශ්‍ය වී, ඒ ගැන මේ ළඟ දවසක අප පැයක් පමණ සිදු කළ සංවාදයක් නිසාය. මා ප්‍රසිද්ධ දේශකයකු නොවුණත් මේ විෂය සම්බන්දයෙන් පාසැල් කාලයේ සිටම පත

දන්නා සිංහලෙන් ඉංග්‍රිසි ඉගෙන ගනිමු - අතිරේකය 1

මූලික ඉංග්‍රීසි ලිවීම හා කියවීම ඉංග්‍රීසියෙන් ලියන්නේ හා ඉංග්‍රීසියෙන් ලියා ඇති දෙයක් කියවන්නේ කෙසේද?  ඉංග්‍රීසිය ඉගෙනීමට පෙර ඔබට මෙම හැකියාව තිබිය යුතුමය.  එය එතරම් අපහසු දෙයක්ද නොවේ.  ඔබේ උනන්දුව හොඳින් ‍තිබේ නම්, පැය කිහිපයකින් ඔබට මෙම හැකියාව ඇති කර ගත හැකිය.  මුල සිට පියවරෙන් පියවර එය උගන්වන්නම්.   මුලින්ම මිනිසා භාෂාවක් භාවිතා කළේ ශබ්දයෙන් පමණි.  එනම් ලිඛිත භාෂාව ඇති වූයේ පසු කාලයකදීය.  කටින් නිකුත් කරන ශබ්ද කනින් අසා ඔවුන් අදහස් උවමාරු කර ගත්තා.  පසුව ඔවුන්ට වුවමනා වුණා මෙම ශබ්ද කොලයක හෝ වෙනත් දෙයක සටහන් කර ගන්නට.  ඒ සඳහායි අකුරු නිර්මාණය කර ගත්තේ.  එම අකුරු නියෝජනය කරන්නේ ශබ්දයි .  මෙසේ මූලික අකුරු කිහිපයක් ඔවුන් එක එක භාෂාව සඳහා නිර්මාණය කර ගත්තා.  ඉංග්‍රීසියේදී මෙලෙස මූලික අකුරු 26ක් ඇත.   එය ඉංග්‍රීසි හෝඩිය ලෙස හැඳින් වෙනවා. අප ඉගෙන ගත යුත්තේ මෙම අකුරු මඟින් නියෝජනය කෙරෙන ශබ්ද මොනවාද යන්නයි.  එවිට ඔබට ඉංග්‍රීසි ලිවීමට හා කියවීමට හැකි වෙනවා.  ඊට පෙර අප අකුරු 26 දැනගත යුතුයි.  එම අකුරු 26 පහත දක්වා ඇත.  ඉංග්‍රීසියේදී සෑම අකුරක්ම “සිම්පල්” හා “කැපිටල්” ලෙස දෙයාකාර

දෛශික (vectors) - 1

එදිනෙදා ජීවිතයේදිත් විද්‍යාවේදිත් අපට විවිධාකාරයේ අගයන් සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදු වෙනවා . ඉන් සමහරක් නිකංම සංඛ්‍යාවකින් ප්‍රකාශ කළ හැකි අගයන්ය . අඹ ගෙඩි 4 ක් , ළමයි 6 දෙනෙක් ආදී ලෙස ඒවා ප්‍රකාශ කළ හැකියි . තවත් සමහර අවස්ථාවලදී නිකංම අගයකින් / සංඛ්‍යාවකින් පමණක් ප්‍රකාශ කළ නොහැකි දේවල් / රාශි (quantity) හමු වේ . මෙවිට “මීටර්” , “ තත්පර” , “ කිලෝග්‍රෑම්” වැනි යම් ඒකකයක් (unit) සමඟ එම අගයන් පැවසිය යුතුය ; නැතිනම් ප්‍රකාශ කරන අදහස නිශ්චිත නොවේ . උදාහරණයක් ලෙස , “ මං 5 කින් එන්නම්” යැයි කී විට , එම 5 යනු තත්පරද , පැයද , දවස්ද , අවුරුදුද ආදි ලෙස නිශ්චිත නොවේ . මේ දෙවර්ගයේම අගයන් අදිශ (scalar) ලෙස හැඳින්වේ . අදිශයක් හෙවත් අදිශ රාශියක් යනු විශාලත්වයක් පමණක් ඇති දිශාවක් නැති අගයන්ය . ඔබේ වයස කියන විට , “ උතුරට 24 යි , නැගෙනහිරට 16 යි” කියා කියන්නේ නැහැනෙ මොකද දිශාව යන සාධකය / කාරණය වයස නමැති රාශියට වැදගත්කමක් නැත . එහෙත් සමහර අවස්ථා තිබෙනවා අගයක් / විශාලත්වයක් (magnitude) මෙන්ම දිශාවක්ද (direction) පැවසීමට සිදු වන . මෙවැනි රාශි දෛශික (vector) ලෙස හැඳින්වේ . උදාහරණයක් ලෙස , ඔබ යම් “බලයක්

දැනගත යුතු ඉංග්‍රිසි වචන -1

ඉංග්‍රිසි බස ඉගැනීමේදී වචන කොපමණ උගත යුතුද, එම වචන මොනවාදැයි බොහෝ දෙනෙකුට මතුවන ගැටලුවක් වන අතර, බොහෝ දෙනා ඊට විවිධ පිලිතුරුද සපයා ඇත. මේ ගැන හොඳින් පරීක්ෂණය කර ඇමරිකානු ආයතනයක් විසින් වචන 5000ක ලැයිස්තුවක් ඉදිරිපත් කර ඇත. එම ලැයිස්තුව මා කෙටස් දෙකකට (දිගු වැඩි නිසා) සිංහල තේරුම්ද සහිතව ඉදිරිපත් කර ඇත. (මේවා සැකසුවත් සෝදුපත් බලා නැති නිසා සුලු සුලු දෝෂ සමහරවිට තිබිය හැකිය). පහත ලැයිස්තුවේ වචන 2500ක් ඇත.    Word    තේරුම        be    ඉන්නවා    and    හා    of    ගේ    in    තුල    to    ට    have    තියෙනවා    to    ට    it    ඒක, ඌ    I    මම    that    ... කියලා, ඒ/අර, ඒක/අරක    for    සඳහා    you    ඔබ, ඔබලා    he    ඔහු    with    සමඟ    on    මත    do    කරනවා, "මෙව්ව කරනවා"    say    කියනවා    this    මේ, මේක    they    උන්, ඒවා, ඒගොල්ලෝ    at    දෙස, අසල    but    නමුත්    we    අපි    his    ඔහුගේ    from    සිට, ගෙන්    not    නැහැ    by    විසින්, මඟින්    she    ඇය    or    හෝ, හෙවත්    as    විට, නිසා, වශයෙන්    what    මොකක්ද,