අවකලනය (differentiation) - 7

අවකලනය කළ නොහැකි අවස්ථා

සෑම ශ්‍රිතයක්ම අවකලනය (differentiation) කළ හැකි යැයි නොසිතිය යුතුය. සමහර ශ්‍රිතවල සමහර ස්ථාන අවකලනය කළ නොහැකිය. සාමාන්‍යයෙන් යම් ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයක් ඇඳීමේදී එය සතතයෙන් හෙවත් අඛණ්ඩව (continuous) ඇඳිය නොහැකි නම්, එලෙස ඛණ්ඩණය (discontinuity) සිදු වී තිබෙන ලක්ෂ්‍යයේදී අනිවාර්යෙන්ම අවකලනය සිදු කළ නොහැකිය. ඒ කියන්නේ අවකලනය සිදු කිරීමට නම් ප්‍රස්ථාරය/ශ්‍රිතය අඛණ්ඩ වීම අත්‍යවශ්‍ය කොන්දේසියකි. අඛණ්ඩවීම ගණිතමය වශයෙන් පහත ආකාරයට දැක්විය හැකියි.

ඉහත ගණිත ප්‍රකාශනය සරලය. යම් ශ්‍රිතයක x යන ස්වායත්ත විචල්‍යය a යන අගය ගැනීමේදී f(a) යන නිශ්චිතව අගයක් ලැබිය යුතුය. තවද, එම ශ්‍රිතයේම x යන්න a අගය කරා යෑමේදී ලැබෙන නිශ්චිත සීමා අගයක් ලැබිය යුතු අතර, එය පෙර ලැබූ f(a) ට සමාන නම්, එම x=a යන ලක්ෂ්‍යය අඛණ්ඩ බවයි ඉන් කියන්නේ. x යන්න වම් පැත්තෙන් (a^-) හෝ දකුණු පැත්තෙන් (a⁺) ළඟා විය හැකියි. උදාහරණයක් ලෙස f(x) = 3x යන ශ්‍රිතයේ x=8 නම් ලක්ෂ්‍යය අඛණ්ඩද නැද්ද සොයමු. මෙහි x=8 විට, f(8) = (3).(8) = 24 ලැබේ. තවද, f(x) = 3x ශ්‍රිතයේ සීමාව සොයන්න x යන්න 8 කරා යෑමේදී. එම සීමා අගය වන්නේ 3(7.99....9) = 23.99....9 වේ. එම අගය 24 ලෙස සලකයි. ඒ කියන්නේ මෙම ශ්‍රිතය x=8 යන අවස්ථාවේදී අඛණ්ඩ වේ.

තවද, අඛණ්ඩ වීම පමණක් ප්‍රමාණවත් නැත අවකලනයක් සිදු කළ හැකි වීමට; ශ්‍රිත ප්‍රස්ථාරයේ වක්‍රය සුමට (smooth) වීමද අවශ්‍ය වේ. වක්‍රය සුමට වීම යනු වක්‍රයේ ඉතාම ඉතාම ඉතා ළඟින් ඇති යම් ලක්ෂ්‍ය දෙකක බෑවුම් විශාල ලෙස වෙනස් නොවීමයි. මෙය ගණිතමය වශයෙන් පහත ආකාරයට දැක්විය හැකියි.

ඉහත ප්‍රකාශනයද සරලයි. යම් ශ්‍රිතයක සීමාව සොයන්න වම් පැත්තෙන් (x යන්න a කරා යෑමේදී). එලෙසම එම ශ්‍රිතයේම සීමාව සොයන්න දකුණු පැත්තෙන්. දැන් එම අගයන් දෙක සමාන නම්, එම ලක්ෂ්‍යයේදී ප්‍රස්ථාරය සුමටය.

යම් ශ්‍රිතයක යම් ලක්ෂ්‍යයකදී ඉහත අවශ්‍යතා දෙකින් එකක් හෝ සැපිරෙන්නේ නැතිනම්, එම ස්ථානය/ලක්ෂ්‍යය අවකලනය කළ නොහැකිය. මෙලෙස අවකලනය කළ නොහැකි අවස්ථා කිහිපයක් පහසුවෙන් හඳුනා ගත හැකියි.

1. යම් ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය බැලූ විට ප්‍රස්ථාර වක්‍රයේ යම් ස්ථානයක් "අර්ථ දැක්විය නොහැකි" (undefined) නම්, එම ලක්ෂ්‍යය අවකලනය කළ නොහැකියි. පහත රූපය බලන්න. මෙහි x=2 විට, y = 0/0 නම් අගය ගන්නවා. එහෙත් ගණිතයේදී 0/0 යනු ගණනය කළ නොහැකි හා අර්ථ දක්වා නොමැති අවස්ථාවකි. එවැනි අවස්ථාවක් ප්‍රස්ථාරයක හමුවන විට ප්‍රස්ථාරයේ කුඩා o කින් එම ලක්ෂ්‍යය දැක්වේ. මෙම 0 සලකුණින් කියන්නේ එතැන ඛණ්ඩණයක් පවතින බවයි (ඉහතදී සඳහන් කළ කොන්දේසිය අනුව ඛණ්ඩනයක් තිබෙන අවස්ථාව අවකලනය කළ නොහැකියි).

එවැනි "අර්ථ දක්වා නොමැති" ලක්ෂ්‍යයක් අවකලනය කළ නොහැකියි (මොකද අර්ථ දක්වා නැතැයි කියන්නේ එවැනි අගයක් පවතින්නේ නැහැ කියන එකයි; ඉතිං පවතින්නේ නැති දෙයක අවකලනය සිදු කරන්නට බැහැනෙ).

ඕනෑම ශ්‍රිතයක යම් x අගයකදී සුලු කළ විට y = 0/0 ලෙස හෝ y = ∞/∞ හෝ අර්ථ දක්වා නොමැති වෙනත් ඕනෑම අවස්ථාවක් ලැබේ නම්, එම ලක්ෂ්‍ය අවකලනය කළ නොහැකියි. (ගණිතයේදී ශූන්‍යය ශූන්‍යයෙන් බෙදීම සේම අනන්තය අනන්තයෙන් බෙදීමද අර්ථ දක්වා නැත.)

එහෙත් අර්ථ දැක්විය නොහැකි ලක්ෂ්‍ය තිබෙන ශ්‍රිතයක් අවකලනය කිරීමට පෙර, එම ශ්‍රිතයම අර්ථ දැක්විය නොහැකි අවස්ථාව ඉවත් වන පරිදි සකස් කර ගැනීමට සමහර වෙලාවට හැකිය. ඒ කියන්නේ ඛණ්ඩණය ඉවත කළ හැකි වීමට පුලුවන්. එවිට එලෙස අලුතින් සකස් කළ ශ්‍රිතය අවකලනය කළ හැකියි. බොහෝ විට ශ්‍රිතය භාග ස්වරූපයෙන් නම් තිබෙන්නේ, එම භාගයේ හරය 0 වන අවස්ථා තමයි මෙලෙස කරදර කරන්නේ. ඉතිං යම් කිසි සුලු කිරීමකින් එලෙස හරය ශූන්‍ය විය හැකි අවස්ථාව ඉවත් කළ හැකි නම් එම කරදරයෙන් බොහෝවිට මිදේ.

උදාහරණයක් ලෙස, f(x) = (x² – 4)/(x – 2) ශ්‍රිතය සලකන්න. මෙම ආකාරයෙන් තැබූ විට මෙම ශ්‍රිතය x=2 යන අවස්ථාවේදී අර්ථ දැක්විය නොහැකි අවස්ථාව මතු වේ. එහෙත් එම ශ්‍රිතය මත අවකලනය සිදු කිරීමට පෙර, එය තවදුරටත් සුලු කළ හැකියි f(x) = [(x-2)(x+2)]/(x-2) = x+2 ලෙස. දැන් ඔබට f(x) = x+2 යන ශ්‍රිතයේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් අවකලනය කළ හැකියි. ඒ කියන්නේ අර්ථ දැකිවිය නොහැකි අවස්ථාව ඉවත්ව ගොස් තිබෙනවා සුලු කිරීමෙන් පසුව. එම කරුණත් හොඳින් සිහි තබා ගන්න.

2. යම් x අගයකදී y අනන්තය කරා යනවා නම්, එම අවස්ථාවත් අවකලනය කළ නොහැකිය. ඉහත විස්තරය තුළත් මා පැවසුවා භාග ස්වරූපයෙන් පවතින ශ්‍රිතයක හරය ශූන්‍ය විය හැකි අවස්ථා පවතින විට ඉන් කරදර ඇති විය හැකි බව. හරය ශූන්‍ය බවට පත් වන විට එක්කෝ 0/0 යන අවස්ථාව හෝ (ඕනෑම අගයක්)/0 යන අවස්ථාව ලැබේ. මේ අවස්ථා දෙකම අවකලනය කළ නොහැකියි නේද? අනන්තය යනු නිශ්චිත අගයක් නොවේ. ඉතිං නිශ්චිත නැති අගයක අවකලනය කෙසේ නිශ්චිත වන්නද? උදාහරණයක් ලෙස, y = 1/x යන ශ්‍රිතය සලකන්න. එහි x=0 විට, ප්‍රස්ථාරය (එනම් y අගය) අනන්තය දක්වා ගමන් කරනවා.

 

අනන්ත අගයක් ලැබිය හැකි එකම ආකාරය හරයේ 0 ක් තිබීමම නොවේ. y අගය අනන්තය විය හැකි තවත් ආකාර පවතී නම්, එවැනි අවස්ථාවලදීත් අවකලනය සෙවිය නොහැකියි. උදාහරණයක් ලෙස f(x) = 10^1/x නම් ශ්‍රිතය සලකන්න. එහි x=0 දී, y අගය අනන්තය කරා යයි. මේ ප්‍රස්ථාරයද ඉහත ප්‍රස්ථාරය මෙනි; එහෙත් ඊට වඩා ඉතා විශාල වක්‍රතාවක් පවතී (වක්‍රතාව ඉතාම වැඩි නිසා y අක්ෂය ලඝු පරිමාණයටයි ඇඳ තිබෙන්නේ).

 

3. සමහර ශ්‍රිතවල යම් x අගයකදී එකවර y අගය වෙනත් අගයකට පනිනවා (jump). පහත රූපයේ එවැනි පැනීමක් දැක්වේ. පැනීම සිදුවන x අගයට දැන් y අගයන් දෙකක් ඇත. අප උදාහරණයට ගත් ශ්‍රිතයේදී x=1දී, y සඳහා 3 හා 2 යන අගයන් දෙකක් ලැබේ. ඉතිං අවකලනයේදී මේ අවස්ථා දෙකෙන් කුමක් තෝරාගත යුතුදැයි කිසිවෙකුට නිශ්චය කළ නොහැකියිනෙ. ඒ කියන්නේ අවකලනයක් එම අවස්ථාවේදී සිදු කළ නොහැකියි.

4. ශිඛරයක් (cusp) සහිත ශ්‍රිතයක ශිඛරයේදී අවකලනයක් සිදු කළ නොහැකිය. ශිඛරයක් යනු ප්‍රස්ථාර වක්‍රය තියුණු නැම්මක් පවතින අවස්ථාවයි. එනම් ප්‍රස්ථාරය සුමට නොවන අවස්ථාවකි. y = |x| යන ශ්‍රිතයට අදාල පහත ප්‍රස්ථාරය බලන්න.

මෙම ප්‍රස්ථාරයේ x=0 අවස්ථාවේදී ඉතාම තියුණු නැම්ම (ශිඛරය) පේනවා නේද? මෙම නිශ්චිත අවස්ථාව තෙක් වම් පැත්තෙන් ගමන් කරන විට ප්‍රස්ථාරයේ සුමටව බෑවුම් ස්වභාවයක් ඇත. එලෙසම මෙම ශිඛරය තෙක් දකුණු පැත්තෙන් ගමන් කරන විටද සුමට බෑවුම් ස්වභාවයක් ඇත. ශිඛරය දෙපැත්තෙන් මෙලෙස පවතින බෑවුම් දෙක එකිනෙකට වෙනස්ය. දැන් එකවරම ශිඛරය හමු වේ. ශිඛරයේ බෑවුම එකවර කිව නොහැකියි. ඒ කියන්නේ වම් පැත්තෙන් ගත් සීමා අගය හා දකුණු පැත්තෙන් ගත් සීමා අගය එකිනෙකට අසමාන වේ; එනම් වක්‍රය සුමට නොවේ.

5. යම් ශ්‍රිතයකට යම් ලක්ෂ්‍යකදී ඇඳිය හැකි ස්පර්ශකය සිරස් (vertical tangent) නම්, එවැනි ලක්ෂ්‍යයක අවකලනය සෙවිය නොහැකිය. සිරක් ස්පර්ශකයක් යනු අවකලනයෙන් ලැබෙන අගය අනන්තය වීමයි. එම අගය අර්ථ දක්වා නැත. මෙම අවස්ථාව පැහැදිලි කිරීමට කදිමම උදාහරණය පහත රූපයේ දැක්වේ.

මෙම ප්‍රස්ථාරයේ 0 ට දකුණු පැත්තේ ප්‍රස්ථාර වක්‍රය බලන්න. දකුණු පැත්තේ සිට වමට (0 ආසන්නයට) එන විට බෑවුම ක්‍රමයෙන් වැඩි වේ (සිරස් වේ). තවද, 0 සිට වම් පැත්තට බෑවුම අඩු වේ. ඒ කියන්නේ 0 දී තමයි උපරිම බෑවුම තිබෙන්නේ. උපරිම බෑවුම යනු රේඛාව සිරස් වීමයි. ඒ කියන්නේ x=0 දී ස්පර්ශකය සිරස් වේ. එනිසා එම ලක්ෂ්‍යයේදී අවකලනය සිදු කළ නොහැකියි.

 

6. සමහර ශ්‍රිතවලදී x අගය යම් නිශ්චිත සීමාකාරි අගයක් කරා යෑමේදී y අගය සීඝ්‍රයෙන් දෝලනය වන්නට පටන් ගන්නවා. එම සීමාකාරි අගයට ළං වන්නට වන්නට දෝලනය සිදු වීමද වැඩි වේ. හරියටම සීමා අගයට ළං වත්ම දෝලන අනන්ත ගණනක් සිදු වේ. ඒ කියන්නේ සීමාකාරි අගයේදී y අගය නිශ්චිත නැත. ඒ කියන්නේ එම අවස්ථාවේ අවකලනය සිදු කළ නොහැකියි. උදාහරණයක් ලෙස y = sin(1/x) ශ්‍රිතය ගමු. එම ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය දළ වශයෙන් පහත ඇඳ තිබේ (දළ වශයෙන් යැයි කීවේ 0 අසලදී දෝලන අනන්ත සංඛ්‍යාවක් අඳින්නට ක්‍රමයක් ප්‍රායෝගිකව නැති නිසයි).

 

මතකයට

ඉහත y=sin(1/x) ශ්‍රිතයට ඉහත රූපයේ ආකාරයට "විකාර" ප්‍රස්ථාරයක් ලැබුණේ කෙසේදැයි සමහරවිට ඔබ කල්පනා කරනවා ඇති. මෙසේ තර්ක කර බලන්න.

ඕනෑම සයින් ශ්‍රිතයක් x අක්ෂය කපන්නේ කුමන කෝණවලදීද? පිළිතුර

sin(?) = …, -3π, -2π, -π, 0, π, 2π, 3π, …

එ් අනුව sin(1/x) වලද එලෙසම සිදු විය යුතුය මොකද ඉහත පෙන්වා දුන් ලෙස ඕනෑම සයින් ප්‍රස්ථාරයක් x අක්ෂය කපන්නේ ඉහත කෝණ අගයන්හිදිය. එ් අනුව,

1/x = …, -3π, -2π, -π, 0, π, 2π, 3π, …

ඉහත 1/x යන ස්වරූපය x යන ස්වරූපයට හරවා ගන්න. (1/0 යන්න ගණන කළ නොහැකි නිසා එය නොසලකා හරින්න.) එවිට,

x = …, -1/3π, -1/2π, -1/π, 1/0, 1/π, 1/2π, 1/3π, …

ඉහත ප්‍රකාශනයෙන් කියවෙන්නේ කුමක්ද? ඍණ පැත්තේ සිට හා ධන පැත්තේ සිට 0 ට ආසන්න වන්නට වන්නට වැඩි වැඩියෙන් x අක්ෂය කපන බවයි. එනම් දෙපැත්තෙන්ම 0 ට ළං වන විට, x අක්ෂය කපන වාර ගණන වැඩි වේ; දෝලන ගණන වැඩි වේ.

7. සමහර අවස්ථා තිබෙනවා ශ්‍රිතය සමගම කොන්දේසියක් ලෙස එනවා අහවල් අගයට හෝ අගය පරාසයට මෙම ශ්‍රිතය වලංගු නොවේ කියා. එවිට, එම අවලංගු පරාසය තුළද අවකලනයක් සිදු කළ නොහැකියි. මීට හොඳම උදාහරණය තමයි y = √x යන ශ්‍රිතය. ඍණ අගයක වර්ගමූලයක් සෙවිය නොහැකියි. ඉතිං, ප්‍රස්ථාරය ඇඳීමේදී 0 සිට වම් පැත්ත හෙවත් ඍණ පැත්තේ කිසිවක් ඇඳෙන්නේ නැත. ඉතිං එම පැත්තේ අවකලනයක් සෙවිය නොහැකියි.

ඉහත අවස්ථා ගැන කල්පනා කර බලන්න. හොඳින් ඒවා තේරුම්ගත් පසු අවකලනය කළ නොහැකි අවස්ථා ඔබට පහසුවෙන් හඳුනාගත හැකි වේවි. යම් ශ්‍රිතයක් සම්පූර්ණයෙන්ම අවකලනය කළ නොහැකි වන්නේ නැත. ශ්‍රිතයේ යම් එක් ලක්ෂ්‍යයක් හෝ ලක්ෂ්‍ය කිහිපයක් හෝ යම් අගය පරාසයක් පමණකි අවකලනය කළ නොහැකි වන්නේ. එවිට අප සිදු කරන්නේ අවකලනය කළ නොහැකි අවස්ථා මඟ හැර පොදුවේ ශ්‍රිතය අවකලනය කිරීමයි. මීට "කොටස් වශයෙන්" (piece-wise) අවකලනය කරනවා යැයි පැවසිය හැකියි.