ත්‍රිකෝණමිතිය (trigonometry) - 6

පයිතගරස් සාම්‍යයන්

ඔබට මතකද පයිතගරස් ප්‍රමේය? පහත රූපයේ එය දැක්වේ.

ඉහත පයිතගරස් සූත්‍රයේ සියලු පද AC² යන පදයෙන් බෙදූ විට පහත ආකාරයේ සම්බන්ධතාවක් මතු කර ගත හැකියි.

මතකයට

sin(x) වැනි අනුපාතයක් යනු නිකංම සංඛ්‍යාවක් සේ සිතිය හැකි බව මුලදිත් මා පැවසුවා. උදාහරණයක් ලෙස sin(30) යනු 0.5 යන සංඛ්‍යාවමයි. ඉතිං සාමාන්‍ය සංඛ්‍යාවකට සිදු කළ හැකි ගණිත කර්ම ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත සමගද සිදු කළ හැකියි. උදාහරණ ලෙස, 10 හෝ 0.5 යන සංඛ්‍යා 10², (0.5)³ වැනි බලයකට නැංවිය හැකි සේම ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතත් බලයකට නැංවිය හැකියි.

ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයක් බලයකට නංවන විට එය (sin(x))⁴, (tan(z))² ආදී ලෙස වරහන් යොදා ලිවිය හැකියි. එහෙත් වරහන් නොදමා ඊටත් වඩා පහසු හා ලස්සන ක්‍රමයක් ඇත. එනම්, sin²(x), cos⁴(y) ආදී ලෙස දර්ශක ඉලක්කම කෙලින්ම අනුපාතයේ නාමයට යෙදීමයි.

ඉහත පයිතගරස් සූත්‍රයම AB² හා BC² යන පදවලින් බෙදූ විටද තවත් සම්බන්ධතා දෙකක් ලබා ගත හැකියි.

පයිතගරස් ප්‍රමේය ආශ්‍රයෙන් සාදාගත් නිසා මෙම සූත්‍ර 3 පයිතගරස් සූත්‍ර/සාම්‍යයන් (Pythagoras identities) ලෙස හැඳින්වේ. එම සූත්‍ර 3 නැවත පහත දැක්වේ. මේවා කටපාඩම් කර ගන්න.

sin²(x) + cos²(x) = 1

1 + tan²(x) = sec²(x)

1 + cot²(x) = csc²(x)

සයින් සූත්‍රය

සයින් සූත්‍රය (sine formula හෝ sine rule හෝ sine law) යනු ඕනෑම ත්‍රිකෝණයක කෝණ හා පාද අතර පහත ආකාරයේ සම්බන්ධතාවකි.

මෙහිදී සයින් අගයට යොදා ගන්නා කෝණයට සම්මුඛ පාදය සමගයි හැමවිටම අනුපාතය සාදා ගන්නේ. පහසුවෙන් මතක තබා ගත හැකියි එමනිසා. සයින් අනුපාත පමණක් යොදා ගෙන අැති බැවින් ඉහත සම්බන්ධතාව සයින් සූත්‍රය ලෙස හඳුන්වනවා.

කොස් සූත්‍රය

කොස් සූත්‍රය (cos formula හෝ cos rule හෝ cos law) යනුද ත්‍රිකෝණයක පාද හා කෝණ අතර පහත ආකාරයේ සම්බන්ධතාවකි. ඉහත ත්‍රිකෝණය ආශ්‍රයෙන් කොස් සූත්‍රය ලියමු.

c² = a² + b² – 2abCos(c)

මෙම සූත්‍රය පහසුවෙන් මතක තබා ගත හැකියි එහි ඇති රටාව හඳුනාගත් විට. ත්‍රිකෝණයක යම් පාදයක් සලකන්න (ඉහත උදාහරණයේ c යන පාදය සලකා ඇත). එය තමයි = ලකුණට වම් පස තිබෙන්නේ (වර්ග පදයක් ලෙස). එවිට එම පාදය සමීකරණයේ = ට දකුණු පස කොටසේ ලියන්නේ නැතිව අනෙක් පාද දෙක සටහන් වේ (වර්ග පද ලෙස). තවද, එම පාදයට සම්මුඛ කෝණයේ කොස් අගය තිබේ.

ත්‍රිකෝණය ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක් වන විට, 2abcos() කොටස අහෝසි වී ගොස් සුපුරුදු පයිතගරස් ප්‍රමේය ලැබේ. ඒ කෙසේද? c යනු කර්ණය නම්, ඊට සම්මුඛ කෝණය අංශක 90 වේ. එවිට cos(90) = 0 නිසා 2abcos(90) කොටසම ශූන්‍ය වේ. ඒ අනුව කොස් සූත්‍රය යනු පයිතගරස් ප්‍රමේයයේම නෑදෑයෙකි. ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණයකට පයිතගරස් ප්‍රමේය යොදන අතර, වෙනත් ඕනෑම ත්‍රිකෝණයකට කොස් සූත්‍රය යෙදිය හැකියි.

ආකලන හා ව්‍යාකලන සාම්‍යයන්

ආකලනය (sum) යනු එකතු කිරීමයි. ව්‍යාකලනය (difference) යනු අඩු කිරීමයි. එනිසා මෙම සූත්‍රවලින් දක්වන්නේ කෝණ දෙකක එකතුව හා කෝණ දෙකක වෙනස සඳහා සාදනු ලබන ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයි. ආකලන හා ව්‍යාකලන සූත්‍ර පහත දැක්වේ.

sin(A+B) = sinA.cosB + cosA.sinB

sin(A-B) = sinA.cosB – cosA.sinB

cos(A+B) = cosA.cosB – sinA.sinB

cos(A-B) = cosA.cosB + sinA.sinB

 

මතකයට

ඉහත සයින් ආකලන සූත්‍රයේ = ට වම් පස කොටසේ හා දකුණු පස කොටසේ දෙකෙහිම තිබෙන්නේ + ලකුණ වන අතර, සයින් ව්‍යාකලන සූත්‍රයේ දෙපසම තිබෙන්නේ - ලකුණයි. ඒ කියන්නේ දෙපැත්තේම ලකුණු සමාන වේ. එම සූත්‍ර දෙකම එකට පොදු තනි සූත්‍රයක් ලෙස පහත ආකාරයට ලිවිය හැකියි.

sin(A±B) = sinA.cosB ± cosA.sinB

ඉහත සූත්‍රය විග්‍රහ කළ යුත්තේ මෙසේය. දෙපැත්තේම ලකුණු තීරණය කරන විට එකම පේලියේ තිබෙන අනුරූප ලකුණු යෙදිය යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස, එක්කෝ = ට දෙපස තිබෙන ± හි උඩ ලකුණ වන + ගත යුතුය; නැතහොත් දෙපසම - ලකුණ ගත යුතුය.

එහෙත් කොස්වල ආකලන හා ව්‍යාකලන සූත්‍ර දෙක බලන්න. එහි = ට වම්පස තිබෙන ලකුණට විරුද්ධ ලකුණයි දකුණු පස තිබෙන්නේ. එනිසා, එම කොස් සූත්‍ර දෙකම පොදු තනි සූත්‍රයක් ලෙස ලියන විට පහත ආකාරයට ලිවිය යුතු වෙනවා. මෙහිදී ලකුණුවල පේලි මාරු වී තිබෙනවා පේනවද?

එලෙසම ටෑන් හි ආකලන හා ව්‍යාකලන සූත්‍ර දෙකත් පොදු තනි සූත්‍රයක් ලෙස පහත ආකාරයට ලිවිය හැකියි.

ඉහත ආකලන හා ව්‍යාකලන සූත්‍රවලින්ම තවත් ස්වරූපයක සූත්‍ර සාදා ගත හැකියි. එය සිදු කරන්නේ ඉහත A හා B ලෙස වෙනස් කෝණ දෙකක් ලෙස දක්වපු කෝණ දෙකම සමාන කෝණ ලෙස සැලකීමයි. එනම්, A = B ලෙස සලකා ඉහත සූත්‍ර නැවත ලියන්න.

sin(A+A) = sinA.cosA + cosA.sinA

sin(2A) = 2sinAcosA

cos(A+A) = cosA.cosA – sinA.sinA

cos(2A) = cos²A – sin²A

ඉහත සූත්‍රයට sin²A + cos²A = 1 යන පයිතගරස් සාම්‍යය ආදේශ කර නැවත පහත දැක්වෙන සේ දෙයාකාරයකම සූත්‍ර නිර්මාණය කර ගත හැකියි.

cos(2A) = cos²A – sin²A = cos²A – (1 – cos²A) = 2cos²A – 1

cos(2A) = cos²A – sin²A = (1 – sin²A) – sin²A = 1 – 2sin²A

තවද, ඉහත cos(2A) = cos²A – sin²A = 2cos²A – 1 = 1 – 2sin²A යන සම්බන්ධතාවෙන් අපට ඉතා වැදගත් ප්‍රතිඵලයක් ලඟා කරගත හැකියි. එනම්, ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයක වර්ගය ඉවත් කිරීමට මෙම සූත්‍ර යොදා ගත හැකියි. මේ ගැන සොයා බලමු.

cos(2A) = 2cos²A – 1 → cos²A = [1 + cos(2A)]/2

දැන් යම් ගණිත ප්‍රකාශයක ඔබට cos²A වැනි කොස් අනුපාතයක වර්ග පදයක් ඇති විට, එම වර්ග පදය වෙනුවට වර්ග පද නැති සාමාන්‍ය [1+cos(2A)]/2 කොටස ආදේශ කළ හැකියි නේද? එලෙසම sin²A යන වර්ග පදය වෙනුවට ආදේශ කළ හැකි ප්‍රකාශය බලමු.

cos(2A) = 1 – 2sin²A → sin²A = [1 – cos(2A)]/2

sin²A/cos²A = tan²A වේ. ඒ අනුව ටෑන්²A යන වර්ග පදය සඳහාත් පහත ආකාරයට වර්ග පද නොමැති සූත්‍රය සාදා ගත හැකියි.

ආකලන හා ව්‍යාකලන සූත්‍රවලින්ම තවත් වැදගත් ත්‍රිකෝණමිතික සම්බන්ධතා කිහිපයක් සාදා ගත හැකි බව පේනවා. කාණ්ඩ 3ක් යටතේ එලෙස සාදා ගන්නා සම්බන්ධතා වර්ග කළ හැකියි. ඉහත පෙන්නුවේ ඉන් පළමු කාණ්ඩයයි (එනම් යම් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයක වර්ග පදයක් වෙනුවට (වර්ග පද නැති) සාමාන්‍ය පදයක් ආදේශ කිරීම).

දෙවැනි කාණ්ඩය දැන් සොයා බලමු. යම් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත දෙකක එකතුව හෝ වෙනස ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතවල ගුණිතයක් ලෙස දැක්වීමයි (sum to product rules) මෙහිදී සිදු වන්නේ. පහත දැක්වෙන්නේ එම සූත්‍රයි.

බලන්න ඉහත සූත්‍ර දෙස. එහි = ලකුණට වම් පැත්තේ තිබෙන්නේ අනුපාත දෙකක එකතුවක්; නැතහොත් වෙනසක්. එහෙත් = ට දකුණු පස තිබෙන්නේ අනුපාත දෙකක ගුණිතයක්.

දැන් බලමු තෙවැනි කාණ්ඩය ගැන. මෙහිදී අනුපාත දෙකක ගුණිතයක් අනුපාතවල එකතුවක් බවට පරිවර්තනය කරයි (product to sum rules).

ඉහත සූත්‍ර 8 සාධනය කිරීම පහසුය. ඒ සඳහා ආකලන හා ව්‍යාකලන සූත්‍රයි උපයෝගි කර ගන්නේ. කිහිපයක් සාධනය කරමු.

sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB -------- (1)

sin(A-B) = sinAcosB – cosAsinB -------- (2)

දැන් ඉහත (1) හා (2) සමීකරණ දෙක එකතු කරන්න. එවිට,

sin(A+B) + sin(A-B) = 2sinAcosB

sinA.cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)]/2

යන්න ලැබේ. ඉහත සාධනය කරපු සමීකරණය ඔස්සේම තවත් සූත්‍රයක් සාධනය කළ හැකියි. එම සූත්‍රයේ A+B = x හා A-B = y ලෙස සලකමු. එවිට, A = (x+y)/2 හා B = (x-y)/2 ලැබේ. මෙම අගයන් ඉහත සමීකරණයට ආදේශ කරමු. එවිට,

ලැබේ. මේ අකාරයට ආකලන හා ව්‍යාකලන සූත්‍ර එකිනෙකට එකතු කරමින් හා අඩු කරමින්ද, ඉන්පසු ඉහත ආකාරයට සුදුසු ආදේශයන් සිදු කරමින්ද එම සූත්‍ර 8ම පහසුවෙන් සාධනය කළ හැකියි.

මතකයට

කෙනෙකුට ගැටලුවක් ඇති වන්නට පුලුවන් පහසුවෙන්ම වගු හා කැල්ක්‍යුලේටර් මඟින් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත ගණනය කළ හැකිව තිබියදී මොකටද අනුපාතවල එක් ස්වරූපයක් තවත් ස්වරූපයක් බවට පරිවර්තනය කරන්නේ කියා. උදාහරණයක් ලෙස, sin²A පදයක් ඇයි වර්ගය නැති ස්වරූපයකට හරවන්නේ? sinA.sinB වැනි ප්‍රකාශයක් ඇයි අනුපාත අතර එකතුවක ස්වරූපයකට පත් කරන්නේ?

සමහරවිට ඉහත පරිවර්තන සිදු කර ගණනය කිරීම් කරන විට පහසුවක්ද ඇති නොවේ (ඒ වෙනුවට පහසුවෙන් පිළිතුර ලබා ගත හැකිව තිබූ සරල ප්‍රකාශය තරමක සංකීර්ණ ස්වභාවකයටත් පත් විය හැකියි). එහෙත් එසේ එක් අනුපාත ස්වරූපයක් තවත් ස්වරූපයකට පත් කිරීමට ඉතාම හොඳ හේතුවක් තිබේ.

ඉහත පෙන්වා දුන් සාම්‍යයන් උපයෝගී කොට ගන්නේ අවසන් පිළිතුරක් ලබා ගැනීම පහසු කරනු පිණිස නොවේ. විවිධ විද්‍යාත්මක න්‍යායන් ඉදිරිපත් කරන්නේ ගණිත සූත්‍රවලින් බව ඔබ දන්නවා. උදාහරණයක් ලෙස F=ma යන නිව්ටන්ගේ සරල චලනය පිළිබඳ සූත්‍රය බලන්න. එම සූත්‍රයෙන් කියවෙන්නේ භෞතික විද්‍යාත්මක අදහසක් වුවත්, එය ගණිතය පැත්තෙන් බැලූ විට නිකංම ගණිත සූත්‍රයකි.

ඉතිං විද්‍යාව හා තාක්ෂණය තුල මෙවැනි වටිනා (හා කට පාඩම් කළ යුතු) සූත්‍ර අතිවිශාල ගණනක් බිහි වෙනවා (බොහෝ ඒවා විශාල සංකීර්ණ සූත්‍රය). ඉතිං මෙම සූත්‍ර පුලුවන් තරම් සරල කරන්නට විද්‍යාඥයන් උත්සහ කරනවා. එහෙමත් නැතිනම් යම් විද්‍යාත්මක සූත්‍රයක් ගෙන ඊට විවිධාකාරයේ ගණිත කර්ම සිදු කර වෙනත් වටිනා සූත්‍ර (සංකල්ප) බිහි කිරීමට ඔවුන් උත්සහ දරනවා. මෙන්න මෙම වැඩේට තමයි ඉහත ආකාරයේ ත්‍රිකෝණමිතික සාම්‍යයන් භාවිතා වන්නේ.

මෙවිට යම් ගණිත සූත්‍රයකට ඉහත සඳහන් කරපු සූත්‍ර (හා සඳහන් නොකරපු වෙනත් සූත්‍රත්) ආදේශ කරමින් එක්කෝ සංකීර්ණ සූත්‍රයක් සරල කර ගන්නවා; නැතිනම් වෙනත්ම ආකාරයක සූත්‍රයක් බිහි කර ගන්නවා. උදාහරණයක් ලෙස, සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් Re^ix ස්වරූපයෙන් ලිවිය හැකියි යැයි සාධනය කරන්නේ මෙවැනි උපක්‍රමයකිනි.

සමහරවිටක මෙලෙස සූත්‍රය විවිධ පරිවර්තනවලට ලක් කරන විට එම සූත්‍රය (සංකල්පය) මීට පෙර වෙනත් ස්වරූපයකින් සොයා ගෙන ඇති බවද ඔවුන්ට දකින්නට ලැබෙනවා. මෙන්න මෙවැනි වාසියි තිබෙන්නෙ.

trigonometry ...