අවකලනය (differentiation) - 1

හැඳින්වීම

අවකලනය (differentiation හෝ differential calculus) යනු ගණිතයේ තිබෙන මනරම්ම ගණිත කර්මයකි. එය හරියට සුන්දර යුවතියක් සේයි මා දකින්නේ. සෑම ගණිත කර්මයක් හා සමග බැඳුණු එහි විලෝම ගණිත කර්මයක් පවතින අතර, අවකලනයෙහි විලෝමය අනුකලනය (integration හෝ integral calculus) වේ.

මතකයට

ගණිත කර්ම (mathematical operations) යනු සංඛ්‍යා/අගයන් මත සිදු කරන විවිධාකාරයේ ක්‍රියාවන්ය. එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, ගුණ කිරීම, බෙදීම, 10⁴ වැනි බලයකට නැංවීම, ලඝු, අවකලනය, අනුකලනය ආදී ලෙස විවිධාකාරයේ ගණිත කර්ම රාශියක් ඇත.

සෑම ගණිත කර්මයක්ම යුගල වශයෙනුයි දක්නට ලැබෙන්නේ. එක් ගණිත කර්මයකින් කරන දේට විරුද්ධ දේ, එනම් විලෝමය තමයි ඒ හා බැඳුණු අනෙක් ගණිත කර්මයෙන් සිදු කරන්නේ. උදාහරණයක් ලෙස, එකතු කිරීම හා අඩු කිරීම යනු එවැනි එකිනෙකට විලෝම ගණිත කර්ම දෙකයි. ගුණ කිරීම හා බෙදීමද එවැනි යුගලකි. අවකලනය හා අනුකලනය යනුද තවත් එවැනි යුගලයකි.

ගණිත කර්මයක් ඇති විට ඉබේම එතැන ගණිත ප්‍රකාශයක් (mathematical expression) සෑදෙනවා. එක් සංඛ්‍යාවක්/පදයක් පමණක් තිබෙන විට එතැන ප්‍රකාශයක් නැත (එහෙත් අවශ්‍යම නම් එම තනි පදය වුවද ප්‍රකාශයක් ලෙස සැලකීමට ඔබට අයිතිය ඇති බවද මතක තබා ගන්න). එහෙත් ගණිත කර්ම යොදා පද කිහිපයක් එකට ලියන විට එතැන ප්‍රකාශයක් සෑදේ. මෙය හරියට සිංහල හෝ වෙනත් භාෂාවක පද/වචන කිහිපයක් ලියා ප්‍රකාශයක් සාදා ගන්නවා වැනිම දෙයකි. උදාහරණ ලෙස පහත දැක්වෙන්නේ එවැනි ගණිතමය ප්‍රකාශ කිහිපයකි.

2+4 x-y a²+a⁴+4 θ+90

අවකලනය සිදු කරන්නේ නිකංම සංඛ්‍යා මත නොව විවිධ ගණිත ප්‍රකාශ හෙවත් ශ්‍රිත මතයි. එනිසා ශ්‍රිත ගැන දළ අදහසක් ඔබට තිබිය යුතුය. ශ්‍රිත ගැන පළමුව සැකෙවින් සලකා බලමු.

ශ්‍රිත

23, 0, 45.53, ¾ ආදිය සංඛ්‍යා බව ඔබ දන්නවා. සංඛ්‍යාවකට යම් නිශ්චිත අගයක් තිබෙනවා. එහෙත් සමහර අවස්ථා තිබෙනවා එකවරම අගයක් ප්‍රකාශ කළ නොහැකි. එහෙත් අවසානයේදී කෙසේ හෝ අගයක් ඒවාටද හිමිවෙනවා (අවසානයේ යම් අගයක් හිමි නොවන කිසිම රාශියක් ගණිතය තුළ තිබිය නොහැකියිනෙ). අවසානයේ යම් නිශ්චිත අගයක් ලැබෙන තුරු එවැනි රාශි පවතින්නේ "අගය තවම නිශ්චිතව නොදන්නා" තාවකාලික තත්වයකයි. එනිසා එවැනි රාශි ඉලක්කම්වලින් නොලියා x, y ආදී ඉංග්‍රිසි අකුරු හෝ π, ρ, Ω, θ වැනි ග්‍රීක අකුරු හෝ වෙනත් සංඛේතවලින් දක්වනවා. යම් අගයක් හිමි වෙන්නට තිබෙන හා මෙලෙස තාවකාලිකව යම් සංඛේතවලින් නිරූපණය කරන රාශින් අඥාත පද (unknowns) හෙවත් විචල්‍ය (variables) ලෙස හැඳින්වෙනවා.

ඒ අනුව විචල්‍යයක් යනු යම් උත්සවයකට සහභාගී වීමට සිටින අමුත්තෙකු වෙනුවෙන් වෙන් කර තිබෙන ආසනය බඳුය. එම අසුනේ එම අමුත්තාට හෝ සමහරවිට වෙනත් අමුත්තෙකුට වාඩි විය හැකියි. එලෙසම විචල්‍යයකට යම් යම් අගයන්/සංඛ්‍යාවන් ආදේශ කළ හැකියි.

සමහර විචල්‍ය තිබෙනවා ඒවාට ආදේශ කළ හැකි අගයන් තීරණය කරන්නේ අප විසිනුයි. මෙවැනි විචල්‍ය ස්වායත්ත විචල්‍ය (independent variable) ලෙස හැඳින්වෙනවා. තවත් විචල්‍ය තිබෙනවා ඒවායේ අගය තවත් විචල්‍ය හා සාධක මත තීරණය වෙන. මේවා පරායත්ත විචල්‍ය (dependent variable) ලෙස හැඳින්වෙනවා.

ශ්‍රිතයක් (function) යනු විචල්‍ය එකක් හෝ කිහිපයක් එක්ව සාදන ගණිත ප්‍රකාශයකි. ඒ අනුව පහත දැක්වෙන්නේ ශ්‍රිත කිහිපයකි. බලන්න මේවා ගණිත ප්‍රකාශමයි නේද?

x² 3y a⁴-3a²+5

ඉහත දක්වා තිබෙන්නේ කෙටි හා ඉතාම සරල ගණිත ප්‍රකාශ හෙවත් ශ්‍රිත වේ. එහෙත් බලන්නට බය හිතෙන තරම් සංකීරණ ශ්‍රිතත් ඕනෑ තරම් සාදා ගත හැකියි.

x³ යන ප්‍රකාශයේ x යන ස්වායත්ත විචල්‍යයේ වටිනාකම තාම දන්නේ නැති නිසා, එම ප්‍රකාශයේ අවසන් අගය අප නිශ්චිතව දන්නේ නැහැ නේද? එහෙත් x = 2 යැයි සිතුවෙත් දැන් එම ප්‍රකාශයේ අවසන් අගය 2³ හෙවත් 8 ලෙස ගණනය කරගත හැකියිනෙ. ශ්‍රිතයක ස්වභාවය එයයි.

ඉහත ශ්‍රිතවල දක්වා තිබෙන්නේ ස්වායත්ත විචල්‍ය පද පමණි. කෝ පරායත්ත විචල්‍ය? සාමාන්‍යයෙන් ගණිත ප්‍රකාශයක් නිකංම ඉහත ආකාරයට තබන්නේ නැත. එම මුලු ප්‍රකාශයම තවත් විචල්‍යයකට සමාන කරනවා. එය ඇත්තටම යම් ගණිත ප්‍රකාශයකට "නමක් දීමක්" (label) ලෙස සැලකිය හැකියි. පහත දැක්වෙන්නේ මෙලෙස ලේබල් කරපු ශ්‍රිත කිහිපයකි.

y = x³ v = fλ F = ma

මෙන්න මෙම නම හෙවත් ලේබල් එක තමයි පරායත්ත විචල්‍යය ලෙස සලකන්නේ. ඒ අනුව ඉහත ප්‍රකාශවල y, v, F යනු පරායත්ත විචල්‍යන්ය. ප්‍රකාශයේ ඇති ස්වායත්ත විචල්‍යයන්ට සුදුසු අගයන් ලබා දුන් විට එම ප්‍රකාශය අවසානයේ යම් අගයක් ලෙස ලැබෙනවානෙ. දැන් මෙම අගය තමයි පරායත්ත විචල්‍යයේද අවසන් අගය වන්නේ. එහෙත් පරායත්ත විචල්‍යයට අගය ලැබුණේ අප විසින් එයට ඍජුවම එම අගය ලබා දීමෙන් නොව යම් යම් ගණිත ප්‍රකාශයක් සුලු කිරීමක් නිසාය. ස්වායත්ත හා පරායත්ත විචල්‍ය දෙකෙහි එම වෙනස හොඳින් වටහ ගන්න.

විවිධාකාරයේ ශ්‍රිත වර්ග තිබෙනවා (මේ ගැන වෙනමම ඉගෙන ගැනීමට අවශ්‍යයි). සමහර ශ්‍රිතවල තිබෙන්නේ එක් ස්වායත්ත විචල්‍යයක් පමණි (අප මෙම පොතෙහි මූලිකව සලකා බලන්නේද මෙවැනි එක් ස්වායත්ත විචල්‍යයක් පමණක් තිබෙන ශ්‍රිතයි). එම තනි විචල්‍යය විවිධ ස්වරූපවලින් ශ්‍රිතය තුළ තිබිය හැකියි. උදාහරණ ලෙස පහත ශ්‍රිත කිහිපයම එක් ස්වායත්ත විචල්‍යයක් පමණක් සහිත ශ්‍රිතයි.

y = 2x y = x³ y = x⁵+3x²+4

ඉහත ශ්‍රිත තුනෙහිම ඇත්තේ x ලෙසින් දක්වා ඇති තනි විචල්‍යයක් පමණයි. පහත දැක්වෙන්නේ විචල්‍යයන් දෙකක් සහිත ශ්‍රිත කිහිපයකි.

y = a+b f = ma s = 0.5at²

ශ්‍රිතයක් (එනම් ශ්‍රිතයේ පරායත්ත විචල්‍යය) බහුලවම දක්වන තවත් නිරූපණ ක්‍රමයක් තිබෙනවා. මෙහිදී පරායත්ත විචල්‍ය f, g ආදී සංඛේතයකින් දක්වනවා. එහෙත් මේ සමගම වරහනක් තුළ ස්වායත්ත විචල්‍යයද ලියනවා. මෙම නිරූපණ ක්‍රමයේ ඇති වාසිය නම් පරායත්ත විචල්‍ය තුලම ස්වායත්ත විචල්‍යයන් මොනවාද යන්න සටහන් වීමයි. උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

f(x) = 2x⁴ + 9x g(t) = 3t f(a,b) = a²+b²

ඇත්තෙන්ම ස්වායාත්ත හා පරායත්ත යන විචල්‍ය වර්ග දෙක සඳහා ලියනු ලබන සංඛේතයේ අමුතු වැදගත් කමක් නැත. එය නිකංම සංඛේත පමණි. යම් ගණිත ප්‍රකාශයක් a+b නම්, එයම x+y හෝ this + that හෝ ආදී ලෙස ලිවිය හැකියි. අවශ්‍ය වන්නේ එකිනෙකට වෙන් කොට හඳුනා ගැනීමට හැකි වීම පමණි.

ස්වායත්ත විචල්‍යයන් එකක් පමණක් තිබෙන ශ්‍රිත ගැන මෙතැන් සිට අවධානය යොමු කරමු. මෙවැනි ශ්‍රිතයක දැන් විචල්‍යයන් දෙකක් තිබෙනවා - එකක් ස්වායත්ත විචල්‍යයි; අනිත් එක පරායත්ත විචල්‍යයි.

සාමාන්‍යයෙන් ශ්‍රිතයක් අපට රූපමය වශයෙන් නිරූපණය (graphical representation) කිරීමටද හැකියි. එවිට එම රූප ප්‍රස්ථාර (graph) ලෙස හැඳින්වෙනවා. ඔබ දන්නවා ඕනම දෙයක් රූප ආශ්‍රයෙන් තේරුම් ගැනීම පහසුයිනෙ. එහෙත් විචල්‍යයන් ගණන 3 ඉක්මවා යන විට එවැනි ශ්‍රිත රූපමය වශයෙන් ඉදිරිපත් කිරීමද බැරි වෙනවා. ප්‍රස්ථාරවල මේ සියලු විස්තර ගැන දැන් කෙටියෙන් සොයා බලමු.

ප්‍රස්ථාර ඇඳීම

ප්‍රස්ථාරයක් යනු යම් රාශියක විචලනය හෝ හැසිරීම පෙන්වන රූපමය උපක්‍රමයකි. උදාහරණයක් ලෙස, f(x) = x² යන ශ්‍රිතයෙහි x නම් රාශිය හැසිරෙන හැටි ඔබට සිතෙහි ඇඳගත හැකිද? ශ්‍රිතය බැලූ විට එකවරම එවැනි චිත්‍රයක් ඔබේ සිතේ නොඇඳේවි. එහෙත් එය ප්‍රස්ථාර ගත කළ විට පහසුවෙන්ම x හි හැසිරීම දැකගත හැකියි (පහත රූපයේ කෝප්පයක හැඩයෙන් නිල් පාටින් පෙන්වන්නේ ප්‍රස්ථාරයයි).

 

ප්‍රස්ථාරයක් ඇඳීමේදී ශ්‍රිතයක තිබෙන පද/විචල්‍යයන් ප්‍රස්ථාරය තුළ කෙසේ නිරූපණය කළ යුතුදැයි තීරණය කළ යුතු වෙනවා පළමුවෙන්ම. ඒ සඳහා ගණිතඥයන් තීරණය කරගත් පොදු සම්මතය තමයි ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය (coordinates system) ලෙස හැඳින්වෙන්නේ. කාටිසියානු (Cartesian), ධ්‍රැවීය (polar), සිලින්ඩර් (cylinder), වෘත්ත (spherical) ආදී ලෙස ඛණ්ඩාංක පද්ධති කිහිපයක්ම ඔවුන් සම්මත කර ගෙන තිබෙනවා. මින් පහසුම හා සරලතම ඛණ්ඩාංක ක්‍රමය තමයි කාටිසියානු ක්‍රමය. එනිසා එම ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය පමණක් අපේ පැහැදිලි කිරීම්වල යොදා ගමු.

කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක තලයක් පහත රූපයේ දැක්වේ (මෙය ඔබ ඉතාම දැක පුරුදු එකකි). මෙහි එකිනෙකට ලබ්භකව කැපී යන x හා y අක්ෂ දෙකක් ඇත. x අක්ෂයේ යම් තැනක් 0 ලෙස ලකුණු කරන අතර, එම 0 සිට දකුණු අත පැත්තට ක්‍රමයෙන් ධන සංඛ්‍යා අගය වැඩි වන පිළිවෙලට සටහන් කෙරේ. එම 0 සිට වම් අත පැත්තට ඍණ අගයන් සටහන් කෙරේ. y අක්ෂයේද එලෙස 0ක් ලකුණු කර එම 0 සිට ඉහලට ධන ලෙසද, පහළට ඍණ ලෙසද සැලකේ. දැන් මෙම අක්ෂ දෙකෙහිම 0 ලක්ෂ්‍ය එකිනෙකට සමපාත වන සේ ලම්භකව තැබූ විට පහත ආකාරයේ කාටිසියානු තලයක් ලැබේ.

සම්මතය අනුව කරන්නට තිබෙන්නේ මෙයයි. ස්වායත්ත විචල්‍යය x අක්ෂය මඟින් නිරූපණය කරන අතර, පරායත්ත විචල්‍යය y අක්ෂය මඟින් නිරූපණය කරනවා. බලන්න මෙම ක්‍රමය කොච්චර පහසු හා සරල ක්‍රමයක්ද කියා ශ්‍රිතයක් රූපයක් බවට පරිවර්තනය කිරීමට. මෙම ක්‍රමය මුලින්ම පෙන්වා දුන්නේ ඩෙකාර්ට්ස් නම් ගණිතඥයා විසින් නිසයා ඔහුගේ නමින් මෙම ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක ලෙස නම් කර තිබෙන්නේ.

ප්‍රායෝගිකව මෙය සිදු කරන්නේ මෙසේය. උදාහරණය සඳහා y = x² යන ශ්‍රිතය සලකමු. ශ්‍රිතයේ ස්වායත්ත විචල්‍යයට ඔබ විසින් සුදුසු අගයන් කිහිපයක් ලබා දෙන්න (කුමන කුමන අගයන් ලබා දෙනවාදැයි තීරණය කරන්නේ ඔබයි; ඔබට පහසුවෙන් ප්‍රස්ථාරය ඇඳීමට හැකි වනු පිණිස මෙම අගයන් තීරණය කරන්නට ඔබට ඉබේම හැකියාව ලැබෙනවා ප්‍රස්ථාර කිහිපයක් ඇඳ පුරුදු වූවාට පසුව). දැන් ඔබ විසින් ලබා දුන් ඒ එක් එක් අගය ආදේශ කර පරායත්ත විචල්‍යය ගණනය කරන්න. එය පහත ආකාරයට වගුවක් සේ සකස් කරන්න.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	(-3)2= 9	(-2)2= 4	(-1)2= 1	02= 0	12= 1	22= 4	32= 9

දැන් කරන්නට තිබෙන්නේ ඉහත වගුවෙන් උඩ සිට යටට ඇති තීරු දිගේ (x,y) යුගලය බැගින් ගෙන, ඛණ්ඩාංක තලයේ ලකුණු කරන එකයි. උදාහරණයක් ලෙස, (-3,9) යන යුගලය සලකමු. මෙහි -3 යන්න x අක්ෂයේ -3 යන තැන ලකුණු කරන්න. 9 යන්න y අක්ෂයේ 9 තිබෙන තැන ලකුණු කරන්න. එම ස්ථාන දෙක එකිනෙකට ඡේදනය වන ස්ථානය ඩොට් එකකින් ලකුණු කරන්න (ඉහතදී පෙන්වා ඇති ප්‍රස්ථාරයේ රතු පාට ඉරි දෙක කැපෙන තැන). මෙලෙස සියලු අගයන් සලකුණු කර, එම ඩොට් සියල්ල යා කළ විට ලැබෙන්නේ ප්‍රස්ථාරයයි (ඉහත දක්වා ඇති y=x² ප්‍රස්ථාරය බලන්න).

මේ ආකාරයට ඉතා ලස්සනට විචල්‍යයන් දෙකක් තිබෙන ශ්‍රිත ඇඳිය හැකිය. ස්වායත්ත විචල්‍යයන් දෙකක් හා පරායත්ත විචල්‍යය තිබෙන (එනම් ඔක්කොම විචල්‍යයන් 3ක් තිබෙන) ප්‍රස්ථාරයක් ඇඳීමට අක්ෂ 3ක් අවශ්‍ය වේ. එවිට x, y, z ලෙස අක්ෂ 3ක් සහිත ප්‍රස්ථාරයක් නිර්මාණය කර ගත හැකියි. එහෙත් ඔබ දන්නවා එවැනි ප්‍රස්ථාරයක් සිතෙහි ඇඳ ගත හැකි වුවද කොලයක එය අඳින්නට යන විට ඉතාම අපහසු බව මොකද කොලය යනු ද්විමාන (දිගක් හා පලලක් පමණක් ඇති) දෙයකි. එහෙත් x, y, z යන අක්ෂ 3 එකිනෙකට ලම්භකව ඇඳිය යුතු නිසා එම පද්ධතිය ඉබේම ත්‍රිමාණ වේ. එනම් දිග හා පලලට අමතරම ගැඹුරක්ද අවශ්‍ය කෙරේ. එනිසා ත්‍රිමාණ ප්‍රස්ථාරයක් ද්විමාන කොලයක ඇඳීම ඉතාම අපහසුය. අමාරුවෙන් හෝ එය ඇන්ද විට පෙනෙන්නේ පහත ආකාරයටයි.

ඉහත ත්‍රිමාණ ප්‍රස්ථාරය ඝනකාභයකි. අක්ෂ 3ක් ඇති නිසා (x,y,z) ලෙස අගයන් 3ක් අවශ්‍ය වෙනවා එක ඩොට් එකක් ඇඳීමට. ඉතාම අපහසුවෙන් හෝ ත්‍රිමාණ ප්‍රස්ථාරයක් කොලයක ඇඳිය හැකි වුවත්, විචල්‍යයන් 4ක් හෝ ඊට වැඩි විචල්‍යයන් කිසිසේත් ඇඳිය නොහැකිය. ඇඳිය නොහැකියි පමණක් නොව, ඒවා සිතින් පවා සිතා ගැනීමට නොහැකිය. ඊට හේතුව අපගේ ලෝකය ත්‍රිමාණ ලෝකයක් වීමයි. ප්‍රස්ථාර ඇඳීමේ ප්‍රායෝගික සීමාව මේ අනුව වටහ ගන්න.

ශ්‍රිත හා ප්‍රස්ථාර ගැන මූලික දැනුමක් ලබා දුන්නේ අවකලනය පැහැදිලි කිරීමට මේ දෙක අත්‍යවශ්‍ය නිසාය. දැන් අපි බලමු අවකලනය යනු කුමක්ද හා එය සිදු කරන්නේ කෙසේද කියා.