අවකලනය (differentiation) - 5

ඉහළ ගණයේ අවකලනය

මෙතෙක් ඔබ ඉගෙන ගත්තේ විවිධාකාරයේ ශ්‍රිත අවකලනය සිදු කරන ආකාරයයි. අවකලනය කළ පසු ලැබෙන පිළිතුර දෙයාකාරයි. එකක් නම්, අවකලනයෙන් පසු එක්කෝ නියත පදයක් නැතහොත් 0 ලැබීමයි. උදාහරණ ලෙස, d(4x)/dx වලින් ලැබෙන්නේ 4 යන නියත පදයයි. d (34)/dx යන්නෙන් ලැබෙන්නේ 0 වේ. දෙවැනි ආකාරයේදී අවකලනයෙන් පසුව ලැබෙන්නේද තවත් ශ්‍රිතයකි. උදාහරණ ලෙස, d(3x⁵)/dx = 15x⁴ වන අතර dsin(x)/dx = cos(x) වේ.

අප මෙම පාඩමේදී සැලකිලිමත් වන්නේ මෙම දෙවැනි ආකාරය ගැනයි. සිතා බලන්න. එක් වරක් අවකලනය කළ පසු නැවත ලැබෙන්නේද ශ්‍රිතයකි. එම ශ්‍රිතය ඇයි බැරි තව පාරක් අවකලනය කරන්න? ඔව්, එය කළ හැකියි. දෙවැනි වර අවකලනය කළ පසු නැවතත් ලැබෙන්නේ ශ්‍රිතයක් නම්, එම ශ්‍රිතය තෙවැනි වරටත් අවකලනය කළ හැකියි. මේ ආකාරයට නොනවත්වා නැවත නැවත අවකලනය කළ හැකියි අවසානයේ ශ්‍රිතය නියත පදයක් හෝ 0 බවට පත් වන තුරාවට. මෙලෙස එකම ශ්‍රිතය මත දෙවැනි වර, තෙවැනි වර, 41වැනි වර ආදී ලෙස නැවත නැවත අවකලනය සිදු කිරීම තමයි ඉහළ ගණයේ (higher order) අවකලනය කියා කියන්නේ. උදාහරණයක් බලමු.

f(x) = 3x⁴ යන ශ්‍රිතය x විෂයෙන් අවකලනය කරන්න.

f'(x) = 12x³ වේ.

මෙලෙස ලැබුණු ප්‍රතිපලය (පළමු ව්‍යුත්පන්නය – first derivative) g(x) ලෙස නම් කරමු. දැන් g(x) නැවත x විෂයෙන් අවකලනය කරන්න.

g(x) = 12x³

g'(x) = 36x² වේ.

බලන්න නැවත ලැබුණේද ශ්‍රිතයක් නේද? ශ්‍රිතයක් ලෙස ලැබුණු දෙවැනි ව්‍යුත්පන්නය (second derivative) h(x) ලෙස නම් කරමු. එය නැවත අවකලනය කරන්න.

h(x) = 36x²

h'(x) = 72x වේ.

මෙම තෙවැනි ව්‍යුත්පන්නය (third derivative) තවමත් පවතින්නේ ශ්‍රිතයක් ලෙසයි. මෙම ශ්‍රිතයද අවකලනය කරමු.

t(x) = 72x

t'(x) = 72 වේ.

ඔන්න අවසානයේ අපට ලැබුණා නියත පදයක්. මෙය සිව්වැනි ව්‍යුත්පන්නයයි. එහෙත් මෙම ව්‍යුත්පන්නය තවදුරටත් ශ්‍රිතයක ආකාරයෙන් නොවේ තිබෙන්නේ. කැමති නම් තව වරක් එය ව්‍යුත්පන්න (අවකලනය) කළ හැකියි. එහෙත් ඔබ දන්නවා නියත පදයක් අවකලනය කළ විට ලැබෙන්නේ 0 වේ.

ඉහතදී ඉහළ ගණයේ ව්‍යුත්පන්නයන්ට මා විසින් g(x), h(x) ආදී ලෙස වෙනස් වෙනස් නම් ලබා දුන්නා. එහෙත් අවකලනයේදී මෙලෙස ඉහළ ගණයේ ව්‍යුත්පන්න නිරූපණය කිරීමට ලස්සන හා පහසු ක්‍රමයක් හඳුන්වා දී තිබෙනවා. ඔබ දන්නවා යම් ශ්‍රිතයක් පළමු වරට අවකලනය කරන විට පහත නිරූපණ ක්‍රම දෙක භාවිතා කරන බව (එකකදී d අකුරු භාවිතා කෙරෙන අතර, අනෙකෙහි ' සලකුණ භාවිතා වෙනවා).

දැන් දෙවැනි ගණයේ ව්‍යුත්පන්නය ඉහත නිරූපණ ක්‍රමයම තවත් විස්තීර්ණ කරමින් පහත ආකාරයට සකස් කර ගන්නවා.

y හෙවත් f(x) නම් ශ්‍රිතය එක් වරක් අවකලනය සිදු කර, එම ප්‍රතිපලය නැවත අවකලනය කරන විට ඉහත දෙවැනි ගණයේ අවකලනය පෙන්වන නිරූපණය ලැබේ. මෙලෙසම තෙවැනි ගණයේ අවකලනය පහත ආකාරයට දැක්විය යුතුය.

සිව්වැනි ගණයේ අවකලනය පහත ආකාරයට දැක්විය හැකියි නේද?

මෙම නිරූපණ ක්‍රමවලින් ' යන සංඛේතය යොදාගෙන නිරූපණය කිරීම ගණය ඉහලට යන්නට යන්නට යෝග්‍ය නොවේ. ඊට එක් හේතුවක් නම් ඉරි කැබැලි ගණන ගණන් කරන්නට අමාරු ගතියක් ඇති වේ. ඊට අමතරව ඉඩද වැඩිපුර යයි. එහෙත් ගණය 3ට අඩු අවස්ථාවලදී එම ක්‍රමය ඉතාම පහසුද වේ. දැන් ඔබට ඕනෑම ගණයක අවකලනය ඉහත ක්‍රමවලින් නිරූපණය කළ හැකියි නේද?

ඉහත උගත් කරුණුද යොදා ගෙන උදාහරණයක් නැවත බලමු. f(t) = 2t³ යන ශ්‍රිතය t විෂයෙන් අවකලනය කරන්න.

f(t) = 2t³

f'(t) = df(t)/dt = d2t³/dt = 6t²

දැන් ඉහත 6t² හෙවත් f'(t) ශ්‍රිතය නැවත t විෂයෙන් අවකලනය කරන්න.

f''(t) = d² f(t)/dt² = d² (2t³)/dt² = d(f'(t))/dt = d 6t²/dt = 12t

තෙවැනි වරටත් එය අවකලනය කරමු.

f³(t) = d³ f(t)/dt³ = d³ (2t³)/dt³ = d(f²(t))/dt = d 12t/dt = 12

සමහර ශ්‍රිත තිබෙනවා කොතරම් අවකලනය දිගින් දිගටම කරගෙන ගියත් නැවත නැවතත් ප්‍රතිපල ලෙස ලැබෙන්නේද ශ්‍රිත වේ. e^x යනු එවැනි ශ්‍රිතයකි. මෙය වරක් අවකලනය කළ විට ලැබෙන්නේද e^x වේ. ඉතිං කොතරම් ඉහල ගණයකට ගියත් e^x ම ලැබේ. එලෙසමයි ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතවල අවකලනයන්. උදාහරණයක් ලෙස සයින් ශ්‍රිතය ගමු. එය වරක් අවකලනය කළ විට කොස් ලැබේ. කොස් අවකලනය කළ විට ඍණ සයින් ලැබේ (මොහොතකට ධන ඍණ භේදය අමතක කරමු). ඒ කියන්නේ දැන් නැවතත් තිබෙන්නේ සයින්ය. එය අවකලනය කළ විට නැවත කොස්ද, එම කොස් අවකලනය කළ විට නැවත සයින්ද ආදී වශයෙන් ඉවරයක් නැතිවම අවකලනය සිදු කළ හැකියි.

පාර්ශ්වීය අවකලනය

මෙතෙක් අප සලකා බැලුවේ එක් ස්වායත්ත විචල්‍යයක් පමණක් ඇති ශ්‍රිතයක අවකලනයයි. එහෙත් මුලිනුත් පැවසුවා ශ්‍රිතයක තිබිය හැකි ස්වායත්ත විචල්‍යයන් ගණන වෙනස් විය හැකියි කියා. ස්වායත්ත විචල්‍යයන් 2ක් හෝ 3ක් හෝ වෙනත් ඕනෑම ගණනක් තිබෙන ශ්‍රිත තිබේ. මේවාද අවකලනය කළ හැකියි.

මෙවැනි ශ්‍රිත සඳහාද මෙතෙක් උගත් රීති, සාම්‍යයන්, හා සූත්‍ර වලංගු වේ. එහෙත් ඊට අමතරව දැනගත යුතු කරුණු කිහිපයක්ද ඇත. දැන් එම කරුණු ගැන විමසමු.

ඔබ දන්නවා යම් ශ්‍රිතයක් අවකලනය කරන්නේ එම ශ්‍රිතයේ ස්වායත්ත විචල්‍යයට සාපේක්ෂවයි. එම ස්වායත්ත විචල්‍යය වෙනස් වන විට පරායත්ත විචල්‍යයේ හැසිරීම (එනම් සීඝ්‍රතාව) කෙබඳුදැයි අවකලනයෙන් අපට පෙන්වා දෙනවා. ඉතිං එක ස්වායත්ත විචල්‍යයක් පමණක් තිබෙන විට කිසිදු ගැටලුවක් මතු වන්නේ නැති වුවත් ස්වායත්ත විචල්‍යයන් කිහිපයක් ඇති විට ගැටලුවක් මතු වේ. දැන් එම ගැටලුව හා ඊට යොදා ගත් පිළියම ගැන සලකා බලමු.

දැන් ශ්‍රිතය තුල ස්වායත්ත විචල්‍යයන් කිහිපයක් තිබෙන නිසා, ඒ සියලු ස්වායත්ත විචල්‍යයන් එකම වෙලාවේදී විචලනය වන විට පරායත්ත විචල්‍යය වෙනස් වන්නේ කෙබඳු සීඝ්‍රතාවකින්ද? මෙය මා උපමාවකින් දක්වන්නම්. ඔබ ඉදිරියන් ඔබට ගුටි දීමට සතුරෙකු සිටිනවා යැයි සිතන්න. දැන් ඔබ ඔහුට මුහුණ දීමට සූදානම්. ඔහු දක්වන ඕනෑම ඉරියව්වකට ප්‍රතිචාර දීමට ඔබ ඔහු දෙසම බලාගෙන සිටිනවා. මෙම අවස්ථාව හරියටම එක ස්වායත්ත විචල්‍යයක් තිබෙන ශ්‍රිතය වගෙයි. දැන් එක සතුරෙකු වෙනුවට ඔබ වටේට සතුරන් කිහිප දෙනෙකුම සිටිනවා යැයි සිතන්න. මෙවිට ඔබට තිබෙන අභියෝගය වැඩිය. එකවර කිහිප දෙනෙකුට ප්‍රතිචාර දැක්වීමට සිදු වෙනවා. එය අර තරම් පහසු වැඩක් නෙමෙයිනෙ. මෙන්න මේ වගේ තමයි ස්වයත්ත විචල්‍යයන් කිහිපයක් සහිත ශ්‍රිත සමග වැඩ කරන විට. විචල්‍යයන් කිහිපයක් එකවර විචලනය වන විට පරායත්ත විචල්‍යය විචලනය විය හැකි ක්‍රම අතිවිශාලය.

ඇත්තටම එකවරම ස්වායත්ත විචල්‍යයන් සියල්ලම විචලනය කරවා එවිට පරායත්ත විචල්‍යය විචලනය වන සීඝ්‍රතාව සෙවීමට බැරිය. ඒ වෙනුවට අප කරන්නේ යම් "කපටි" වැඩකි. එනම්, ස්වායත්ත විචල්‍ය කොතරම් ගණනක් තිබුණත් ඉන් එකක් පමණක් වරකට විචලනය වෙනවා යැයි සිතා පරායත්ත විචල්‍යයේ වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව සොයන්න සාමාන්‍ය ක්‍රමයටම. එවිට අනෙක් විචල්‍යයන් සියල්ලම නියත පද සේ සැලකිය යුතුයි!

මෙවිට ඔබට සිතෙනවා නම් ඉහත ක්‍රමයෙන් පරායත්ත විචල්‍යයේ සම්පූර්ණ හැසිරීම දැනගත නොහැකියි නේද කියා, ඔබ නිවැරදියි. ඉහත ක්‍රමයෙන් අවකලනය කළ විට එම ශ්‍රිතයේ පරායාත්ත විචල්‍යයේ හැසිරීමෙහි එක් පැතිකඩක් පමණයි අපට දැන ගත හැකි වන්නේ. සම්පූර්ණ හැසිරීම දැන ගැනීමට නම් කළ යුත්තේ අනෙක් ස්වායත්ත විචල්‍යයන්ද වරකට එක බැඟින් ගෙන වෙන වෙනම අවකලනයන් සිදු කිරීමයි.

ඉහත විස්තර කළ ආකාරයට, ස්වායත්ත විචල්‍යයන් කිහිපයක් ඇති ශ්‍රිතයක් ගෙන, එම ශ්‍රිතයේ එක් ස්වායත්ත විචල්‍යයකින් පමණක් අවකලනය කිරීම පාර්ශ්වික අවකලනය (partial differentiation) ලෙස හැඳින්වෙනවා.

උදාහරණයක් බලමු. f(x,y) = x²+y²+2xy යන ශ්‍රිතය අවකලනය කරන්න. ඇත්තටම එසේ ප්‍රකාශ කිරීම ප්‍රමාණවත් නැත. ඊට හේතුව ඔබට කිව යුතුයි x හා y යන ස්වායත්ත විචල්‍ය දෙකෙන් කුමකට සාපේක්ෂව අවකලනය කරන්නද කියා. හරි... x විෂයෙන් අවකලනය සිදු කරන්න. අවකලන රීති/සූත්‍ර/සාම්‍යයන් වෙනස් නොවේ. පහත ආකාරයට එය සිදු කරමු.

ඉහත ගණනය කිරීම බලන විට නුපුරුදු සංඛේතයක් තිබෙනවා නේද? ඔව්, පාර්ශ්වීය අවකලනය නිරූපණය කරන්නට d යන සංඛේතය වෙනුවට ආදේශ කරන්නේ එම ∂ යන සංඛේතයයි. මෙම සංඛේතය "ඩැබා" ලෙස ශබ්ද කරනවා. ඒ අනුව ∂y/∂x යන්න ශබ්ද කරනුයේ "ඩැබා වයි ඩැඩා එක්ස්" ලෙසයි. එහෙත් මෙම ප්‍රකාශය ඉතාම නිවැරදි විදියට කිව යුත්තේ "y ශ්‍රිතය x විෂයෙන් පාර්ශ්වීය අවකලනය කරන්න" යනුවෙනුයි. එහෙත් එය දිග වැඩි නිසා කෙටියෙන් "ඩැබා වයි ඩැබා එක්ස්" ලෙස ශබ්ද කරන සිරිතක් තිබෙනවා. සමහරුන් ඩැබා වෙනුවට "ඩී" යනුවෙන්ද ∂ සංඛේතය ශබ්ද කරනවා. එවිට ∂y/∂x යන්න "ඩී වයි ඩී එක්ස්" යනුවෙනුයි ශබ්ද කරන්නේ. එහෙත් මා පෞද්ගලිකව මෙම ඩී ක්‍රමයට ශබ්ද කරන එකට විරුද්ධයි මොකද අප ඩී ක්‍රමයට ශබ්ද කරන්නේ සාමාන්‍ය අවකලනයයි.

මීට අමතරව පාර්ශ්විය අවකලනය පෙන්වන තවත් ප්‍රචලිත ආකාරයක් ඇත. f(x,y) නම් ශ්‍රිතය y විෂයෙන් පාර්ශ්විය අවකලනය සිදු කරන්න යන්න f_y(x,y) ලෙස ලිවිය හැකියි. එම ශ්‍රිතයම x විෂයෙන් පාර්ශ්විය අවකලනය කරන්න යන්න f_x(x,y) ලෙස ලිවිය හැකියි.

ඉහත සූත්‍රවල තවත් ලක්ෂණයක් දක්නට ලැබෙනවා. ∂ x²/∂x යන්න dx²/dx ලෙස දක්වා තිබෙනවා. ඊට හේතුව කුමක්ද? කොහොමද පාර්ශ්විය අවකලනයක් සාමාන්‍ය අවකලනයක් බවට පත් වූයේ? හේතුව සරලයි. ස්වායත්ත විචල්‍යන් කිහිපයක් ඇති ශ්‍රිතයකට යම් අවකලනයක් සිදු කරන්නේ නම්, එය අනිවාර්යෙන්ම පාර්ශ්විය අවකලනයක්ම විය යුතුයිනෙ. එහෙත් ඉතහදී මා පැවසුවා එවැනි ශ්‍රිතයක් සුලු කරන විට, එක් ස්වායත්ත විචල්‍යයක් පමණක් විෂය ලෙස සලකා අනෙක් සියලු විචල්‍යයන් නියත පද ලෙස සලකන්නට කියා. ඉතිං මෙම රීතිය යොදාගත් විට, ඉබේම පාර්ශ්විය අවකලනය සාමාන්‍ය අවකලනයක් බවට පත් වෙනවා නේද? සුලු කරන විට සාමාන්‍ය අවකලනයක් සේ සිතා සුලු කළද, තවමත් අප මේ සිදු කරන්නේ පාර්ශ්විය අවකලනයක් බවද මතක තබා ගන්න. ඒ කියන්නේ අවසානයේ අපට ලැබෙන පිළිතුර සාමාන්‍ය ව්‍යුත්පන්නය නොව පර්ශ්විය ව්‍යුත්පන්නයයි.

මතකයට

පාර්ශ්විය අවකලනය ප්‍රමූලධර්මවලින් විසඳන විට පහත ආකාරයේ සීමා නිරූපණ ක්‍රමයක් යොදා ගැනේ. මෙහිදී විෂය නොවන ස්වායත්ත විචල්‍ය පදය නිකංම තිබේ (එය එතැන නැතැයි සිතන්න).

මෙම ගණනය කිරීමේදී පාර්ශ්විය අවකලනය කිරීමට භාවිතා කළ විෂය x බැවින්, අනෙක් ස්වායත්ත විචල්‍යය වන y දැන් සැලකිය යුත්තේ නියත පදයක් ලෙසයි. එය නියත පදයක් ලෙස සිතා අවකලනය කරපු විදිය ඉහත සුලු කිරීම තුල පෙනේ. y² පදය නියත පදයක් නිසා එය අවකලනය කරන විට 0 ලැබේ. 2xy යන්නෙහිද y නියත පදයක් ලෙස සලකන නිසා එය අවකලනය කළ පසු 2y ලැබේ. එවිට අවසාන පිළිතුර 2x+2y ලෙස ලැබේ.

ඉහත ශ්‍රිතයම y විෂයෙන් අවකලනය කරන්න.

∂f(x,y)/∂y = ∂(x²+y²+2xy) / ∂x = 0 + 2y + 2x = 2y + 2x

තවත් උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

f(x,t) = (3x²+xt)³ යන ශ්‍රිතය x විෂයෙන් පාර්ශ්විය අවකලනය කරන්න. මෙය ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක් ලෙස සිතන්න. t යන්න නිකංම නියත පදයක් කියා සිතන්න (එවිට ඔබට පහසු වේවි).

භාහිර ශ්‍රිතය අවකලනය කළ විට 3(3x²+xt)² ලැබේ. දැන් අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතය අවකලනය කළ විට 6x + t ලැබේ. දාම රීතිය අනුව පිළිතුර වන්නේ මේ ප්‍රතිපල දෙකෙහි ගුණිතය වන 3(3x²+xt)²(6x+t) වේ.

ඉහත ශ්‍රිතයම දැන් y විෂයෙන් අවකලනය කරමු. භාහිර ශ්‍රිතයේ අවකලනයෙහි කිසිදු වෙනසක් වන්නේ නැත. එහෙත් දැන් අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතය අවකලනය කළ විට x ලැබේ. එවිට දාම රීතිය අනුව අවසන් පිළිතුර වන්නේ 3x(3x²+xt)² වේ.

g(a,b,c) = a³ + 2b - ac² + 5 යන ශ්‍රිතය a විෂයෙන් අවකලනය කරන්න.

∂ g(a,b,c) / ∂a = ∂ (a³ + 2b – ac² + 5) / ∂a = 3a² + 0 – c² = 3a² – c²

ඉහල ගණයේ පාර්ශ්විය අවකලනය

එක් ස්වායත්ත විචල්‍යයක් සහිත ශ්‍රිත සඳහා ඉහල ගණයේ අවකලනයන් තිබෙන්නා සේම ස්වායත්ත විචල්‍යයන් ගණනාවක් තිබෙන ශ්‍රිතයන් සඳහා ඉහළ ගණයේ පාර්ශ්විය අවකලනය තිබේ. එනම්, එක වරක් පාර්ශ්විය අවකලනය කළ ශ්‍රිතයක් නැවත වරක් පාර්ශ්විය අවකලනය සිදු කළ හැකියි. ඉහළ ගණයේ අවකලනයන් ගැන උගත් කරුණු එලෙසම මෙහිදීද වලංගු වේ.

එහෙත් මෙහිදී මීට පෙර හමු නොවූ යම් අමුතු තැනක්ද මතු වේ. ස්වායත්ත විචල්‍යයන් කිහිපයක් ඇති ශ්‍රිතයක් වරක් එහි එක් විචල්‍යයකින් අවකලනය කළ පසු, ඉන් ලැබූ ප්‍රතිපලය (පාර්ශ්විය ව්‍යුත්පන්නය – partial derivative) නැවත පාර්ශ්විය අවකලනයට ලක් කරන විට, ඊට පෙර අවකලනය කළ විෂයම හෝ වෙනත් විෂයක් ගත හැකියි. එම අවස්ථා දෙකෙහිම පිළිපැදිය යුතු රීතිවල අමුත්තක් නැත; සුපුරුදු ලෙසම විෂය නොවන විචල්‍යයන් නියත පද ලෙස සැලකීමට විතරයි තිබෙන්නේ. එහෙත් එම අවස්ථා දෙක නිරූපණය කරන විදිය හොඳින් නිරීක්ෂනය කර ඉගෙන ගන්න.

උදාහරණයකින් මේ ගැන වැඩිපුර විමසා බලමු. f(s,t) = 3s⁵ + 2s³t² – 5t²) යන ශ්‍රිතය පළමුව s විෂයෙන් අවකලනය කරන්න.

∂f(s,t) /∂s = 15s⁴ + 6t²s²

දැන් ඉහත ප්‍රතිපලය නැවත s විෂයෙන් දෙවන වරටත් අවකලනය කරන්න.

බලන්න සාමාන්‍ය අවකලනයේදී අනුගමනය කළ ක්‍රමයමයි මෙහිදීත් අනුගමනය කර තිබෙන්නේ (එකම වෙනස d වෙනුවට ∂ භාවිතා කිරීමයි).

දැන් දෙවැනි වර අවකලනය කිරීම t විෂයෙන් සිදු කරන්න.

බලන්න ∂t∂s ලෙසයි දැන් හරයේ පවතින්නේ. ඉතිං එසේ ලිවීම හරිනෙ. ඉන් කියන්නේ පළමුව s විෂයෙන් පාර්ශ්විය අවකලනය කරපු ශ්‍රිතය දෙවැනි වර t විෂයෙන් පාර්ශ්විය අවකලනය කරන්න කියායි. විෂයන් දෙකක් වුවත්, එකම ශ්‍රිතයට දැන් දෙවරක්ම අවකලනය සිදු කර තිබෙනවා. එනිසා හරය ∂²f(s,t) ලෙස වර්ග පදයක් සේ ලිවිය යුතුයි.

තවත් උදාහරණයක් බලමු. f(x,y,z) = x² + 3xy + y⁴ + z³ + 4xz²y + 5yz) යන ශ්‍රිතය පළමුව x විෂයෙන්ද, දෙවනුව y විෂයෙන්ද, තෙවනුව z විෂයෙන්ද අවකලනය කරන්න.

∂f(x,y,z)/∂x = 2x + 3y + 0 + 0 + 4z²y + 0 = 2x + 3y + 4z²y

∂²f(x,y,z)/∂y∂x = ∂(2x + 3y + 4z²y)/∂y = 0 + 3 + 4z² = 3 + 4z²

∂³f(x,y,z)/∂z∂y∂x = ∂(3 + 4z²)/∂z = 8z

ඉහත ශ්‍රිතයම දෙවැනි වර z විෂයෙන් අවකලනය කර තෙවැනි වර y විෂයෙන් අවකලනය කරන්න.

∂²f(x,y,z)/∂z∂x = ∂(2x + 3y + 4z²y)/∂z = 0 + 0 + 8yz = 8zy

∂³f(x,y,z)/∂y∂z∂x = ∂(8zy)/∂y = 8z

බලන්න ඉහතදී එකම ශ්‍රිතය පාර්ශ්විය අවකලනය සිදු කරන විට, අවකලනය සිදු කිරීමට යොදා ගන්නා විෂය පිළිවෙල වැදගත් නැත. අවසානයේ ලැබෙන පිළිතුර එකම වේ. ස්වායත්ත විචල්‍ය දෙකක් ඇති ශ්‍රිතයක් සඳහා පහත ආකාරයේ සම්බන්ධතාවක් ඇත.

ස්වායත්ත විචල්‍යයන් 3ක් ඇති ශ්‍රිතයක් සඳහා ඉහත සම්බන්ධතාව පහත ආකාරයට විස්තාරණය කළ හැකියි.

ඔබට දැන් මෙහි ඇති රටාව පෙනෙනවා ඇති. යම් ශ්‍රිතයක ස්වායත්ත විචල්‍ය කිහිපයක් ඇති විට, එම ස්වායත්ත විචල්‍යය ගණනට සමාන ගණයක් සහිත පාර්ශ්විය අවකලනයන් ඇති අතර, එම අවකලනයන් සියල්ලම අවසානයේ ලබා දෙන්නේ එකම ප්‍රතිපලයම වේ. අවකලනය කරන්නට යොදා ගත් විෂය පිලිවෙල වැදගත් නැත. ස්වායත්ත විචල්‍ය ගණන වැඩි වන විට එකිනෙකට වෙනස් වෙනස් ආකාරවලින් සාදා ගත හැකි පිළිවෙල ගණනද වැඩි වෙන බව පේනවා නේද? (විචල්‍යයන් 2ක් ඇති විට පිලිවෙලවල් 2ක් ඉහත ලැබුණා; විචල්‍යයන් 3ක් ඇති විට පිලිවෙලවල් 6ක් ඉහත ලැබුණා.)

මුලු ව්‍යුත්පන්නය

f(x,y) යනු xහා y ස්වායත්ත විචල්‍ය ලෙස පවතින ශ්‍රිතයකි. තවද, මෙහි x හා y යනු නිකංම ස්වායත්ත විචල්‍ය පද නොව t නම් වෙනමම ස්වායත්ත විචල්‍යයක ශ්‍රිත දෙකක් යැයිද සිතන්න. එනිසා, x = g(t) හා y = h(t) ලෙස ලියමු. ඒ කියන්නේ f(x,y) යනු පෙර ඔබ ඉගෙන ගෙන ඇති පරිදි ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයකි (එහෙත් මෙහි ඇති වෙනස නම් භාහිර ශ්‍රිතය තුළ වෙනස් ශ්‍රිත දෙකක්ම තිබීමයි).

භාහිර ශ්‍රිතය තුල පැවතියේ එක් අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතයක් නම්, සුපුරුදු දාම රීතිය යෙදිය හැකියිනෙ. එහෙත් දැන් අභ්‍යන්තර ශ්‍රිත දෙකක් තිබෙන නිසා, දාම රීතිය එලෙසම යෙදිය නොහැකියි. ඒ වෙනුවට එම දාම රීතිය පහත ආකාරයට වෙනස් වේ.

ඉහත ප්‍රකාශය ගැන ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක් අවකලනය කිරීම යන අදහසින් නැතිව, මෙහෙමත් කල්පනා කළ හැකියි. යම් (භාහිර) ශ්‍රිතයක් තවත් (අභ්‍යන්තර) ශ්‍රිත දෙකකින් නම් යුක්ත වන්නේ, එම භාහිර ශ්‍රිතය අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතවල ඇති ස්වායත්ත විචල්‍යයෙන් අවකලනය කරන අන්දමයි ඉහත සූත්‍රයෙන් පෙන්වා දෙන්නේ. උදාහරණයක් ලෙස, භාහිර f ශ්‍රිතයේ විචල්‍ය 2 වූයේ x හා y වුවත්, දැන් එම f ශ්‍රිතය අවකලනය කර තිබෙන්නේ x හෝ y විෂයෙන් නොව, අභ්‍යන්තර ශ්‍රිත දෙකෙහි ස්වායත්ත විචල්‍යය වූ t විෂයෙනි.

ඉහත ආකාරයට යම් ශ්‍රිතයක් තමන්ගේ අභ්‍යන්තර ශ්‍රිතවල තිබෙන ස්වායත්ත විචල්‍යයෙන් අවකලනය කරන විට, ලැබෙන ව්‍යුත්පන්නයටයි "මුලු ව්‍යුත්පන්නය" (total derivative) කියා කියන්නේ. මෙම නම ලැබීමට හේතුව ඔබට සිතා ගත හැකියි පහසුවෙන්. t විෂයෙන් අවකලනය කරන විට, භාහිර ශ්‍රිතයේ අභ්‍යන්තර ශ්‍රිත දෙකම අහෝසි වී යයි. ඒ කියන්නේ දැන් එම භාහිර ශ්‍රිතයේ තිබෙන්නේ එකම එක ස්වායත්ත විචල්‍යයක් පමණි. ඉතිං යම් ශ්‍රිතයක තිබෙන්නේ එක ස්වායත්ත විචල්‍යයක් පමණයි නම්, එතැන පාර්ශ්විය අවකලනයක් කියා දෙයක් නැහැනෙ. එනිසා "පාර්ශ්විය ව්‍යුත්පන්න" අහෝසි වී ගොස් "පූර්ණ" හෙවත් "මුලු" ව්‍යුත්පන්නයකුයි එතැන තිබෙන්නේ.

භාහිර ශ්‍රිතය තුළ අභ්‍යන්තර ශ්‍රිත ඕනෑම ගණනක් තිබිය හැකියි. අභ්‍යන්තර ශ්‍රිත 3ක් තිබෙන විට මුලු ව්‍යුත්පන්නය සොයන සූත්‍රය ඉහත සූත්‍රය විමසා බැලූ විට විස්තීර්ණ කර පහත ආකාරයට ලබා ගත හැකියි.

ඉහත සූත්‍රවල රටාව තේරුම් ගන්න. උදාහරණයක් බලමු. f(x,y) = 2x + y² යැයිද, x = t² හා y = 4t යැයිද සිතමු. පළමුව ඉහත මුලු ව්‍යුත්පන්නය සොයන දාම රීතිය යොදා ගෙන සුලු කරමු.

 

එම ශ්‍රිතය ඉහත දාම සූත්‍රය ආශ්‍රයෙන් සුලු කිරීම කොතරම් පහසුද කියා බලන්න. දැන් එයම තවත් ආකාරයකින් සුලු කර බලමු. f ශ්‍රිතය t විචල්‍යයේ පමණක් ශ්‍රිතයක් බවට පත් කර ගෙන ඉන්පසු කෙලින්ම f ශ්‍රිතය t විෂයෙන් අවකලනය කරමු.

f(x,y) = 2x + y² = 2(t²) + (4t)² = 2t² + 16t² = 18t²

d 18t²/dt = 36t

බලන්න මෙවිටත් අවසානයේ ලැබුණේ මුලින් ලැබූ පිළිතුරම නේද? මෙම උදාහරණය සරල නිසා දෙවැනි ක්‍රමයත් එතරම් අපහසු බවක් දැනුනේ නැති වෙන්නට පුලුවන්. එහෙත් සංකීර්ණ අවස්ථාවලදී ඉහත පළමුව පෙන්වූ දාම රීතිය යෙදූ ක්‍රමය තමයි පහසු වන්නේ.