Skip to main content

Posts

Showing posts from February, 2016

Dark clouds and silver linings

Today I heard about a grand wedding of an Indian tycoon (Ambani's son) from a friend of mine, and he showed me some videos of it too. He said famous and powerful people from around the world have been invited to it, and the cost of the event was going to be several Billions (of Indian Rupees or USD, I don't know). If you think about it, India is a country with a higher population of substandard living conditions. There are innocent and miserable children who are forced to work for a mere subsistence, being deprived of education, health facilities, and food and water. I remember a movie based on a true story in which Akshey Kumar was playing the leading role where he makes sanitary towels (pads) for poor women who could not afford it. In such a country, a single wedding event spends billions of money. What a crappy world we are living! You could imagine how much wealth this family has amassed. On the other, this "mental disease" of exorbitant spending must be highly we

සංඛ්‍යා හා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා (complex numbers) - 4

ආගන්ඩ් තලය තාත්වික සංඛ්‍යාවක් තාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව මතද , අතාත්වික සංඛ්‍යාවක් අතාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව මතද නිරූපණය කළ හැකි බව ඔබ දුටුවා . එලෙසම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක්ද රූපමය ආකාරයකින් නිරූපණය කළ හැකියි . ඒ සඳහා ඔබ මීට පෙර දැකපු තාත්වික හා අතාත්වික යන රේඛා දෙකම එකිනකට ලම්භකව පවතින පහත ආකාරයේ නිරූපණයක් අවශ්‍ය කරනවා . මෙම රූපය බැලූ බැල්මටම ඔබ ප්‍රස්ථාර ඇඳීමට භාවිතා කරන කාටිසියානු තලයක් නේද ? ඔව් . එහෙත් මෙලෙස සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් (complex number) නිරූපණය කළ හැකි බව මුලින්ම පෙන්වා දුන් ආගන්ඩ් නම් විද්‍යාඥයාට ගරු කිරීමක් ලෙස මෙය කාටිසියානු තලයක් නොකියා ආගන්ඩ් තලය / ප්‍රස්ථාරය / රූපය (Argand diagram/ plane) යැයි හඳුන්වනවා . ආගන්ඩ් තලයේ x අක්ෂය තාත්වික අක්ෂය (real axis) ලෙසද , y අක්ෂය අතාත්වික අක්ෂය (imaginary axis) ලෙසද හඳුන්වනවා . එම අක්ෂ දෙක එකිනෙකට ලම්භකව ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය සුපුරුදු ලෙසම මූලය (origin) ලෙස හඳුන්වනවා . සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක තාත්වික හා අතාත්වික සංඛ්‍යා කොටස් දෙකක් තිබෙනවානෙ . ඉන් තාත්වික කොටස තාත්වික අක්ෂය මතද , අතාත්වික කොටස අතාත්වික අක්ෂය මතද ලකුණු කරන්න . මෙය

සංඛ්‍යා හා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා (complex numbers) - 3

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා (complex number) " සංකීර්ණ " යන වචනය ඇසෙන විට එකවරම ඔබට හැඟෙන්නේ අමාරු බරපතල දෙයක් කියාය . එහෙත් සංකීර්ණ යන්නෙහි සත්‍ය තේරුම සංයුක්ත යන්නයි ( සංයුක්ත යන්නෙහි " කොටස් කිහිපයකින් යුතු " තේරුම ඇත ). ඔබ අසා ඇති " සාප්පු සංකීර්ණ " (shopping complex) ගැනත් . එකම ගොඩනැඟිල්ලේ සාප්පු ගණනාවක් තිබෙන විට එය සාප්පු සංකීර්ණයකි . දැක්කද එහි තිබෙන්නේ සංකීර්ණ යන වචනය සත්‍ය තේරුමින් . සංකීර්ණ සංඛ්‍යා යනුද ඉතා අමාරු බරපතල සංඛ්‍යා වර්ගයක් නොවේ . එහි නියම තේරුම " සංයුක්ත සංඛ්‍යාවක් " යන්නයි . එහෙත් දැනටමත් සංයුක්ත සංඛ්‍යා යන වචනය ගණිතයේදී වෙනත් අවස්ථාවකදී යොදා ගන්නා නිසා එම වචනය භාවිතා කිරීමට නොහැකියිනෙ . මතකද ප්‍රථමක සංඛ්‍යා හා සංයුක්ත සංඛ්‍යා ගැන මොහොතකට පෙර අප කතා කළා ? ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවලට සාපේක්ෂව සංයුක්ත සංඛ්‍යා ගැන කතා කිරීමේදී එම සංයුක්ත සංඛ්‍යා සෑදුණේ ප්‍රථමක සංඛ්‍යා කිහිපයකින් බව ඉගෙන ගත්තා . උදාහරණයක් ලෙස , 2x3x5 යන ප්‍රථමක සංඛ්‍යා තුනෙන් 30 යන සංයුක්ත සංඛ්‍යාව සෑදුණා . එලෙසම " සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව " ලෙස හැඳින්වෙන සංයුක්ත

සංඛ්‍යා හා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා (complex numbers) - 2

අතාත්වික සංඛ්‍යා (imaginary numbers) නැවතත් ඉහත සලකා බැලූ එහෙත් විසඳීමට අපහසු ගණිත ගැටලුව බලමු . -4 හි වර්ගමූලයයි සොයන්නට තිබෙන්නේ . -4 යන සංඛ්‍යාව -1x4 ලෙස ලිවිය හැකියි නේද ? එවිට පහත ආකාරයට තරමක් දුරට එම ගැටලුව සුලු කරගෙන යා හැකියි . මෙහිදී කිසිසේත් සුලු කර ගත නොහැකි වූ විශාල තනි සංඛ්‍යාව තරමක් දුරට සුලු කර ගත හැකි වෙනවා . දැන් සුලු කර ගැනීමට බැරි කොටස වන්නේ -1 හි වර්ගමූල පදයයි . මෙයත් තරමක ජයග්‍රහණයකි . මේ ආකාරයට ඕනෑම ඍණ සංඛ්‍යාවක වර්ගමූලය ඉහත පෙන්වූ විදියට සුලු කර ගත හැකියි . එවිට -1 හි වර්ගමූල පදයක් සුලු කර ගත නොහැකිව ඉතිරි වේ . ඇත්තටම කිසිම කෙනෙකු අදටත් දන්නේ නැහැ මෙම -1 හි වර්ගමූලය විසඳන අයුරු . තවද , මෙම -1 හි වර්ගමූලය විසඳන තුරු තවමත් විශාල ප්‍රකාශයට හරි නිවැරදි හැඟීමක් ලැබෙන්නේද නැත . ඒ කියන්නේ -4 හි වර්ගමූල පදයේ සත්‍ය වටිනාකම / අගය කුමක්දැයි තවම අපට සිතා ගත නොහැකියි . -1 හි වර්ගමූලය ලිවීම තවදුරටත් පහසු කිරීමට “ -1 හි වර්ගමූලය " වෙනුවට i යන ඉංග්‍රිසි අකුර ආදේශ කරන්නට සම්මත කරගෙන ඇත . ඒ අනුව : මෙලෙස i අකුරක් සහිත සංඛ්‍යා අලුත් සංඛ්‍යා වර්ගය