Sunday, February 28, 2016

සංඛ්‍යා හා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා (complex numbers) - 4

2

ආගන්ඩ් තලය

තාත්වික සංඛ්‍යාවක් තාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව මතද, අතාත්වික සංඛ්‍යාවක් අතාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව මතද නිරූපණය කළ හැකි බව ඔබ දුටුවා. එලෙසම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක්ද රූපමය ආකාරයකින් නිරූපණය කළ හැකියි. ඒ සඳහා ඔබ මීට පෙර දැකපු තාත්වික හා අතාත්වික යන රේඛා දෙකම එකිනකට ලම්භකව පවතින පහත ආකාරයේ නිරූපණයක් අවශ්‍ය කරනවා. මෙම රූපය බැලූ බැල්මටම ඔබ ප්‍රස්ථාර ඇඳීමට භාවිතා කරන කාටිසියානු තලයක් නේද? ඔව්. එහෙත් මෙලෙස සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් (complex number) නිරූපණය කළ හැකි බව මුලින්ම පෙන්වා දුන් ආගන්ඩ් නම් විද්‍යාඥයාට ගරු කිරීමක් ලෙස මෙය කාටිසියානු තලයක් නොකියා ආගන්ඩ් තලය/ප්‍රස්ථාරය/රූපය (Argand diagram/plane) යැයි හඳුන්වනවා.



ආගන්ඩ් තලයේ x අක්ෂය තාත්වික අක්ෂය (real axis) ලෙසද, y අක්ෂය අතාත්වික අක්ෂය (imaginary axis) ලෙසද හඳුන්වනවා. එම අක්ෂ දෙක එකිනෙකට ලම්භකව ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය සුපුරුදු ලෙසම මූලය (origin) ලෙස හඳුන්වනවා.

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක තාත්වික හා අතාත්වික සංඛ්‍යා කොටස් දෙකක් තිබෙනවානෙ. ඉන් තාත්වික කොටස තාත්වික අක්ෂය මතද, අතාත්වික කොටස අතාත්වික අක්ෂය මතද ලකුණු කරන්න. මෙය හරියට ප්‍රස්ථාර ඇඳීමේදී ප්‍රස්ථාරයක ඛණ්ඩාංග ලකුණු කරනවා බඳුය. ඉන්පසු අක්ෂ දෙක මත එසේ ලකුණු කළ ලක්ෂ්‍ය දෙක එකිනෙකට කැපී යන ලෙස ඍජු රේඛා දෙකක් ඇන්ද විට, එම රේඛා දෙක කැපෙන ලක්ෂ්‍යයෙන් නිරූපණය වන්නේ අදාල සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවයි. ඕනෑම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් මෙලෙස ආගන්ඩ් තලයක ලකුණු කළ හැකියි (ඉහත රූපය බලන්න).

මතකයට
යම් තාත්වික සංඛ්‍යාවක් ගන්න. උදාහරණය සඳහා එය 4 යැයි ගමු. දැන් එම සංඛ්‍යාව ආගන්ඩ් තලයේ ලකුණු කළොත් තාත්වික අක්ෂයේ ධන කොටස මත ලකුණු කිරීමට සිදු වෙනවා.

දැන් එම සංඛ්‍යාව i වලින් ගුණ කරන්න. එවිට එය 4i බවට පත් වේ. දැන් එය තාත්වික සංඛ්‍යාවක් නොව, අතාත්වික සංඛ්‍යාවකි. එය ආගන්ඩ් තලයේ ලකුණු කළොත් අතාත්වික අක්ෂයේ ධන කොටස මත ලකුණු කිරීමට සිදු වෙනවා. බලන්න ආගන්ඩ් තලයේ අංශක 90කින් වාමාවර්තව එම ලකුණු කිරීම කැරකුණා නේද?

හරි... නැවතත් එම සංඛ්‍යාව i වලින් ගුණ කරන්න. එවිට එය 4i2 හෙවත් -4 බවට (එනම් නැවතත් තාත්වික සංඛ්‍යාවක් බවට) පත් වේ. එය ආගන්ඩ් තලයේ ලකුණු කරන විට, තාත්වික අක්ෂයේ ඍණ පැත්තේ ලකුණු කිරීමට සිදු වේ. එය රූපමය ආකාරයෙන් බැලුවොත් තිබූ තැන සිට අංශක 90ක් වාමාවර්තව කැරකැවීමක් නේද?

මෙලෙස යම් සංඛ්‍යාවක් නොකඩවා i වලින් ගුණ කරගෙන යන විට, එය මාරුවෙන් මැරුවට තාත්වික හා අතාත්වික සංඛ්‍යාවක් බවට පත් වෙනවා පමණක් නොව, රූපමය ආකාරයෙන් බලන විට (එනම් ආගන්ඩ් තලයක බලන විට), නොකඩවා අංශක 90න් 90ට වාමාවර්තව කරකැවීමක් ලෙසත් සැලකිය හැකියි.



ආගන්ඩ් තලයක සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් ලකුණු කළ විට, තවත් අපූරු දෙයක් ඉන් කර ගත හැකි බව පෙනුනා. එනම් ත්‍රිකෝණමිතිය ආශ්‍රයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කළ හැකි බව සොයා ගත්තා.

මතකයට

ත්‍රිකෝණමිතිය (trigonometry)

ත්‍රිකෝණමිතිය යනු ගණිතයේදී හමුවන තවත් රසවත් කොටසකි. ත්‍රිකෝණයක පාද හා කෝණ අතර තිබෙන යම් සම්බන්ධතාවන් කිහිපයක් මත ගොඩ නඟපු සූත්‍ර කිහිපයක් ඉන් සාදාගෙන ඇත. ත්‍රිකෝණමිතියේදී හමුවන එම ප්‍රධානතම සූත්‍ර කිහිපය පිළිබඳ ඉතා කෙටි විස්තරයක් පමණක් මෙහිදී සිදු කෙරේ.

ඕනෑම ත්‍රිකෝණයක කෝණ (angle) 3ක් හා පාද (side) 3ක් ඇත. ඕනෑම ත්‍රිකෝණයක අභ්‍යන්තර කෝණ 3හි එකතුව අංශක 180කි. මෙම කෝණ තුනෙන් එක් කෝණයක් අංශක 90 ලෙස පවතින ත්‍රිකෝණ ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණ (right-angled triangle) ලෙස හැඳින්වේ.

යම් කෝණයක් සලකන විට, එම කෝණය සෑදීමට පාද දෙකක් අවශ්‍ය වේ. මෙලෙස සලකා බලන කෝණය සෑදීමට හවුල් වන පාද බද්ධ පාද (adjacent side) ලෙස හැඳින්වෙනවා. එවිට, ඉතිරි පාදය කෝණයට මුහුණලා පිහිටනවා. එනිසා, සලකා බලන කෝණයට මුහුණලා පිහිටන පාදය සම්මුඛ පාදය (opposite side) ලෙස හැඳින්වෙනවා. ඍජු කෝණී ත්‍රිකෝණයකදී කර්ණය (hypotenuse) නමින්ද පාදයක් හඳුන්වනවා. එය හැමවිටම අංශක 90 කෝණය හෙවත් ඍජු කෝණයට සම්මුඛව ඇති පාදයයි. ත්‍රිකෝණයේ පාද තුන අතරින් විශාලතම පාදයත් කර්ණය වේ. ඇත්තෙන්ම කෝණයේ විශාලත්වය වැඩි වන විට, ඊට සම්මුඛ පාදයේ විශාලත්වයද වැඩි වෙනවා.
 

ප්‍රාථමික වශයෙන් ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර ගොඩනඟා ඇත්තේ ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක් පදනම් කරගෙනයි. ඒ අනුව ඉහත ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණය ඇසුරින් පහත ආකාරයේ මූලික සූත්‍ර 3ක් නිර්මාණය කරගෙන ඇත.

sin(a) = (සම්මුඛ පාදයේ දිග) / (කර්ණයේ දිග)

cos(a) = (බද්ධ පාදයේ දිග) / (කර්ණයේ දිග)

tan(a) = (සම්මුඛ පාදයේ දිග) / (බද්ධ පාදයේ දිග)

ඉහත සූත්‍රවල, = ලකුණට වම් පසින් ඇති සයින්, කොස්, ටෑන් ප්‍රකාශ කරන විට අනිවාර්යෙන්ම යම් කෝණයක් සලකා බලනවා. එම කෝණය තමයි වරහන තුළ ලියා දක්වන්නේ. තවද, = ලකුණට දකුණු පසින් ඇත්තේ යම් පාදයක් එම ත්‍රිකෝණයේම තවත් පාදයකින් බෙදීමකි. එනම් පාද දෙකක් අතර අනුපාතයකි. එනිසාම, ඉහත ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර "ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත" (trigonometric ratios) ලෙසද හැඳින්වෙනවා.

මෙම මූලික ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත 3 පදනම් කරගෙන තවත් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත මෙන්ම වෙනත් වෙනත් වටිනා සූත්‍ර ගණනාවක්ම නිර්මාණය කරගෙන තිබෙනවා. ඒවා වෙනමම ත්‍රිකෝණමිතිය ඉගෙනීමේදී හමු වේවි.

පහත දැක්වෙන ආගන්ඩ් සටහන බලන්න. එහි සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් ලකුණු කර තිබෙනවා. දැන් මෙම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව නිරූපණය කරන ලක්ෂ්‍යයේ සිට අක්ෂ දෙකට ඍජු ලම්භක දෙකක් අඳින්න. තවද, මූලයේ සිට එම සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ලක්ෂ්‍යයටද ඍජු රේඛාවක් අඳින්න. පහත රූපයේ මේ සියල්ල ලකුණු කර ඇත.



බලන්න O, A, B එකතුව යම් ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක් සෑදෙනවා නේද? මූල ලක්ෂ්‍යයේ සිට සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ලක්ෂ්‍යට ඇඳ ඇති OB රේඛාව එම ත්‍රිකෝණයේ කර්ණය බවට පත් වෙනවා. මෙහිදී අප සලකා බලන කෝණය වන්නේ මූල ලක්ෂ්‍යයේදී සෑදෙන කෝණයයි. එය x ලෙස රූපයේ සටහන් කර ඇත. එවිට, මෙම සලකා බලන x කෝණයට සාපේක්ෂව OA යනු බද්ධ පාදය වන අතර, AB යනු සම්මුඛ පාදයයි.

දැන් අපට පුලුවන් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත භාවිතා කරන්නට. කර්ණයේ දිග r ලෙස සංඛේතවත් කරමු. දැන්,

cos(x) = OA/OB = OA/r → OA = rcos(x)
sin(x) = AB/OB = AB/r → AB = rsin(x)

OA යනු ලකුණු කර ඇති සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ තාත්වික කොටසේ අගය හෙවත් a වන අතර, AB යනු එම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේම අතාත්වික කොටසේ අගය හෙවත් b වේ. ඒ අනුව පහත ආකාරයට සාධනයක් සිදු කළ හැකියි.

a+bi = (OA) + (AB)i = (rcos(x)) + (rsin(x))i = r(cos(x)+isin(x))

දැන් අපට සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කළ හැකි තවත් ආකාරයක් ලැබී තිබේ. a+bi යන නිරූපණය ක්‍රමය ඍජුකෝණී ආකාරය (rectangular form) ලෙසත්, r(cos x + isin x) යන නිරූපණය ක්‍රමය ධ්‍රැවීය ආකාරය (polar form) ලෙසත් හැඳින්වෙනවා.

මෙම අලුතින් උගත් r(cos x + isin x) නිරූපණයට ත්‍රිකෝණමිතියද සම්බන්ධ කරගෙන ඇත. තවද, cos(x)+isin(x) යන කොටස පහසුවෙන් මතක තබා ගැනීමට හා පැවසීමට හැකි වනු පිනිස cis යනුවෙන් කෙටිකර දක්වන සිරිතක් තිබෙනවා (c යනු cos , i යනු අතාත්වික බව හඟවන i පදයද, s යනු sin යන්නද හඟවයි). ඒ අනුව ඕනෑම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් rcis (“ආර් සිස්") යනුවෙන් ලිවිය හැකියි.

මෙහි r යනුවෙන් තිබෙන කොටස විශාලත්වය (magnitude හෝ modulus හෝ absolute value) ලෙස හැඳින්වෙන අතර, x කෝණය විස්තාරය (argument හෝ amplitude) ලෙස හැඳින්වේ.

මතකයට
සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් සාමාන්‍යයෙන් z අකුරකින් සංඛේතවත් කෙරේ. සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් දැන් ආකාර දෙකකින් නිරූපණය කරන අයුරු ඔබ දන්නවා. මේ දෙයාකාරයේදීම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව තුළ වෙනස් කොටස් 2ක් බැගින් තිබෙනවා.

z = a+bi ලෙස නිරූපණය කරන විට, එම කොටස් දෙක a හෙවත් තාත්වික (real) කොටස, හා b හෙවත් අතාත්වික (imaginary) කොටස වේ. සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව තුළ තිබෙන තාත්වික කොටස පමණක් උකහා ගැනීමට අවශ්‍ය විට එය Re(z) හෙවත් Re(a+bi) ලෙස ලිවිය හැකියි (re යන්න real යන්නෙන්ද im යන්න imaginary යන්නෙන්ද සාදාගෙන ඇති බව පේනවනෙ). ඒ අනුව,

Re(z) = Re(a+bi) = a

Re() යනු ශ්‍රිතයකි. එලෙසම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව තුළ තිබෙන අතාත්වික කොටස පමණක් එලියට ගැනීමට Im(z) හෝ Im(a+bi) යන ශ්‍රිතය ලිවිය හැකියි.

Im(z) = Im(a+bi) = b

a+bi යන නිරූපණයේ තිබූ කොටස් දෙක වෙන වෙනම ලබා ගැනීමට Re(), Im() යනුවෙන් ශ්‍රිත දෙකක් අර්ථ දක්වා ඇත්තා සේම, r(cos(x)+isin(x)) යන නිරූපණයේ ඇති r හා x යන කොටස් දෙක උකහා ගැනීමටද ශ්‍රිත දෙකක් පහත ආකාරවලින් අර්ථ දක්වා ඇත.

Arg(z) = Arg(r(cos(x)+isin(x))) = x
Mod(z) = Mod(r(cos(x)+isin(x))) = r

Arg(z) ශ්‍රිතයේ Arg යන අකුරු වෙනුවට Amp යන්නද ආදේශ කළ හැකියි (arg යන්න argument යන වචනයෙන්ද amp යන්න amplitude යන වචනයෙන්ද සෑදී තිබෙන බව ඔබට පේනවානෙ). එවිට,

Amp(z) = Amp(r(cos(x)+isin(x))) = x

Amp() හා Arg() ශ්‍රිත දෙකම සමාන වන අතර, ඒ දෙකෙන්ම ලැබෙන්නේ කෝණයයි. එලෙසම, Mod() ශ්‍රිතය වෙනුවට පහත ආකාරයට එම ශ්‍රිතයම තවත් ආකාරයකින් ලිවිය හැකියි.

|z|

ඔබට මෙම නිරූපණ ක්‍රමය සාමාන්‍ය ගණිතයේදීත් නිතරම දක්නට ලැබේ. යම් සංඛ්‍යාවක් දෙපැත්තෙන් | | ලෙස ඉරි කැබැලි දෙකක් දැමූ විට, ඉන් කියන්නේ එම සංඛ්‍යාවේ නිරපේක්ෂ අගය (absolute value) ඉන් ලැබේ යන්නයි.

මතකයට
යම් සංඛ්‍යාවක නිරපේක්ෂ අගය යනු කුමක්ද? ඇත්තටම ඊට දිය හැකි පිළිතුර සලකා බලනු ලබන සංඛ්‍යාව හෝ සංඛ්‍යා පද්ධතිය අනුව වෙනස්වෙනවා. සාමාන්‍ය තනි සංඛ්‍යාවකදී නිරපේක්ෂ අගය යනු එම සංඛ්‍යාවේ ධන ඍණ භේදය නොසලකා එහි වටිනාකම හෙවත් විශාලත්වය පමණක් සැලකීමයි. ඒ කියන්නේ සාමාන්‍ය සංඛ්‍යාවක නිරපේක්ෂ අගය යනු හැමවිටම එම සංඛ්‍යාවේ ධන අගයයි. උදාහරණයක් ලෙස:

|5| = 5 |-5| = 5

සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයක (square matrix) නිරපේක්ෂ අගය ලෙස එම න්‍යාසයේ නිශ්චායකය (determinant) සැලකිය හැකිය (එය අප විසින් කරනු ලබන හුදු අර්ථ දැක්වීමකි; අපේ කැමැත්ත මත එසේ කර ඇත). න්‍යාස හා නිශ්චායක ගැන දැනුමක් නැතිනම් මේ ගැන දැනට නොසලකා හරින්න.

එලෙසම යම් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක නිරපේක්ෂ අගය යනු කුමක්දැයි සම්මත කර ගෙන ඇත. අපේ අභිමතය පරිදි සම්මත කරගත් එම අදහසට අනුව යම් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක නිරපේක්ෂ අගය යනු එම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ තාත්වික කොටසේ වටිනාකමේ වර්ග පදය අතාත්වික කොටසේ වටිනාකමේ වර්ග පදයට එකතු කර, එම මුලු එකතුවේ වර්ගමූලයයි. එනම්, z = a+bi සඳහා,
 


සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කළ හැකි ආකාර දෙකක් දැන් තිබෙන නිසා, ඒ ආකාර දෙකෙහි කොටස් අතර සම්බන්ධතා දෙකක් ඉහත ආගන්ඩ් සටහන ආශ්‍රයෙන්ම අපට නිර්මාණය කරගත හැකිය. z = a+bi = rcis(x) නම්,



ඉහත සූත්‍ර දෙකෙන් දැන් අපට පුලුවන් a+bi ආකාරයෙන් දී තිබෙන යම් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක්, rcis(x) ආකාරයෙන් ලියන්නට. උදාහරණයක් ගමු. z = 4+3i යන සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව rcis ක්‍රමයට ලියන්න. rcis(x) ක්‍රමයට ලිවීමට නම් r හා x පළමුව දැනගත යුතු වෙනවා. ඉහත සූත්‍ර දෙකෙන් දැන් ඔබට එය පහසුවෙන් සාදා ගත හැකියි. ඒ අනුව,


a+bi ආකාරයෙන් තිබෙන විට rcis ආකාරයට ඉහත සූත්‍ර දෙක ආශ්‍රයෙන් සකස් කර ගැනීමට මෙන්ම අනෙක් පසට, එනම්, rcis ආකාරයට දී ඇති විට a+bi ආකාරයට පත් කර ගැනීමට හැකි විය යුතුය. ඒ සඳහා පහත සරල සූත්‍ර භාවිතා කළ හැකියි. ඉහත හා පහත සූත්‍ර ඇත්තෙන්ම අමුතුවෙන් කටපාඩම් කිරීමට අවශ්‍ය නැත. ඉහත ආගන්ඩ් සටහනට ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත යොදන්නේ කෙලෙසද කියා සිතුවොත් මේ සියලුම සූත්‍ර පහසුවෙන්ම ලැබෙනවා.

a = rcos(x)
b = rsin(x)

එමනිසා
z = a+bi

z = 6cis(45) නම්, මෙම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව a+bi ආකාරයට සකස් කරන්න. පළමුව a හා b දැනගත යුතුයි. ඒ සඳහා ඉහත සූත්‍ර දෙක භාවිතා කරන්න. ඒ අනුව,

a= rcos(x) → 6cos(45) = 6 x 0.707 = 4.24
b = rsin(x) → 6sin(45) = 6 x 0.707 = 4.24
එමනිසා
z=a+bi → 4.24+4.24i

a+bi ස්වරූපයෙන් තිබියදී සංකීර්ණ සංඛ්‍යා එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, ගුණ කිරීම, බෙදීම ආදී ගණිත කර්ම සිදු කළා මෙන්ම, rcis ආකාරයෙන් තිබියදීත් එවැනි ගණිත කර්ම සිදු කර ගැනීමට හැකි විය යුතුය. ඇත්තටම rcis ක්‍රමයේදී ගුණ කිරීම හා බෙදීම ඉතාම පහසුවෙන් කළ හැකි වුවත් එකතු කිරීම හා අඩු කිරීම තරමක් අපහසු වේ. a+bi ක්‍රමයේදී තත්වය මීට විරුද්ධව නේද තිබුණේ? එනම්, එම ක්‍රමයේදී එකතු කිරීම හා අඩු කිරීම ඉතාම පහසු වූ අතර, ගුණ කිරීම හා බෙදීම තරමක් අපහසු වූවා.

rcis ස්වරූපයේ සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ගුණ කිරීම හා බෙදීම

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙක z1= r1cis(x1) හා z2=r2cis(x2) යැයි සිතමු. මෙම සංඛ්‍යා දෙක ගුණ කරන විට r පද දෙක එකිනෙකට වෙනම ගුණ කර, කෝණ දෙක වෙනම එකට එකතු කර rcis ක්‍රමයට ඒවා ලිවීමට පමණයි කරන්නට තිබෙන්නේ. එනම්,

z1 x z2 = r1cis(x1) x r2cis(x2) = r1r2cis(x1+x2)

උදාහරණයක් ලෙස, z1=4cis(30) හා z2=6cis(20) යන සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙක ගුණ කරන්න.

z1 x z2 = r1cis(x1) x r2cis(x2) → (4x6)cis(30+20) = 24cis(50)

ඉහත ගුණ කිරීම ආගන්ඩ් සටහනක මෙසේ ඇඳිය හැකියි.



මේ විදියට යම් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් එම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවෙන්ම ගුණ කළ විටද ඉහත සූත්‍රය ඇසුරින් පහසුවෙන්ම එය සුලු කළ හැකියි.

z1 x z1 = (r x r)cis(x+x) = r2cis(2x)

දෙවරක් වැඩි කරනවා වෙනුවට එය තුන් සැරයක්, 10 සැරයක් හෝ ඕනෑම සැරයක් එලෙස එකම සංඛ්‍යාවෙන් දිගටම වැඩි කරගෙන ගියොත් කුමක් වේද? එය තුන් සැරයක් කළොත් පහත ආකාරයට ලැබිය යුතුයි නේද?

z1 x z1 x z1 = r3cis(3x)

මේ විදියට එය n වාරයක් කළොත් පහත ආකාරයේ පොදු සූත්‍රයක් සකස් කර ගත හැකි බව පැහැදිලියි.

(z)n = (rcis(x))n = rncis(nx)

ඉහත සූත්‍රය පළමු වරට සාධනය කර පෙන්වා දුන්නේ ප්‍රංශ ජාතික ගණිතඥයෙකු වන ඩි මොරේ (De Moivre) විසින් නිසා, ඔහුගේ නමින් එය ඩිමොරේ ප්‍රමේය (De Moivre's theorem) ලෙස හැඳින්වේ.

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව තවත් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවකින් බෙදන විට ලවයේ ඇති r හරයේ ඇති r වලින් බෙදා, ලවයේ ඇති කෝණයෙන් හරයේ ඇති කෝණය අඩු කර සුපුරුදු rcis ස්වරූපයෙන් ඒවා තබන්න.


ඉහත උදාහරණයේම z1 සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව z2 න් බෙදන්න.

මෙම බෙදීමද පහත ආකාරයට ආගන්ඩ් සටහනක ඇඳිය හැකියි නේද?

z1=r1cis(x1) හා z2=r2cis(x2) යන සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙක සැලකූ විට පහත ආකාරයට ප්‍රතිපල ලබා ගත හැකියි නේද?

arg(z 1x z2) = x1+x2
arg(z1/z2) = x1-x2
arg(z2/z1) = x2-x1
mod(z1 x z2) = r1r2
mod(z1/z2) = r1/r2
mod(z2/z1) = r2/r1

මතකයට
z යනු සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කරන සංඛේතය නම්, z මඟින් එහි ප්‍රතිබද්ධය නිරූපණය කෙරේ.
Read More »

Saturday, February 27, 2016

සංඛ්‍යා හා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා (complex numbers) - 3

0

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා (complex number)

"සංකීර්ණ" යන වචනය ඇසෙන විට එකවරම ඔබට හැඟෙන්නේ අමාරු බරපතල දෙයක් කියාය. එහෙත් සංකීර්ණ යන්නෙහි සත්‍ය තේරුම සංයුක්ත යන්නයි (සංයුක්ත යන්නෙහි "කොටස් කිහිපයකින් යුතු" තේරුම ඇත). ඔබ අසා ඇති "සාප්පු සංකීර්ණ" (shopping complex) ගැනත්. එකම ගොඩනැඟිල්ලේ සාප්පු ගණනාවක් තිබෙන විට එය සාප්පු සංකීර්ණයකි. දැක්කද එහි තිබෙන්නේ සංකීර්ණ යන වචනය සත්‍ය තේරුමින්.

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා යනුද ඉතා අමාරු බරපතල සංඛ්‍යා වර්ගයක් නොවේ. එහි නියම තේරුම "සංයුක්ත සංඛ්‍යාවක්" යන්නයි. එහෙත් දැනටමත් සංයුක්ත සංඛ්‍යා යන වචනය ගණිතයේදී වෙනත් අවස්ථාවකදී යොදා ගන්නා නිසා එම වචනය භාවිතා කිරීමට නොහැකියිනෙ. මතකද ප්‍රථමක සංඛ්‍යා හා සංයුක්ත සංඛ්‍යා ගැන මොහොතකට පෙර අප කතා කළා?

ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවලට සාපේක්ෂව සංයුක්ත සංඛ්‍යා ගැන කතා කිරීමේදී එම සංයුක්ත සංඛ්‍යා සෑදුණේ ප්‍රථමක සංඛ්‍යා කිහිපයකින් බව ඉගෙන ගත්තා. උදාහරණයක් ලෙස, 2x3x5 යන ප්‍රථමක සංඛ්‍යා තුනෙන් 30 යන සංයුක්ත සංඛ්‍යාව සෑදුණා. එලෙසම "සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව" ලෙස හැඳින්වෙන සංයුක්ත සංඛ්‍යාව සෑදී තිබෙන්නේ කුමනාකාරයේ කොටස්වලින්ද?

සංයුක්ත සංඛ්‍යාවක කොටස් දෙකක් ඇත. එම කොටස් දෙකෙන් එකක් තාත්වික සංඛ්‍යාවකි. අනෙක් කොටස අතාත්වික සංඛ්‍යාවකි. තාත්වික සංඛ්‍යාවක් ලියන විට නිකංම ඉලක්කම්වලින් එය දක්වනවා. අතාත්වික සංඛ්‍යාවක් ලියන විට ඉලක්කම්වලට පිටුපසින් (හෝ ඉදිරියෙන්) i අකුරක් අමතරව යොදනවා. ඉතිං තාත්වික හා අතාත්වික යන සංඛ්‍යා කොටස් දෙකක්ම සංයුක්ත සංඛ්‍යාව තුළ තිබෙන නිසා සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් ලිවීමට සිදු වන්නේ පහත ආකාරයෙනි.

a + bi

මෙහි a වලින් දැක්වෙන්නේ තාත්වික කොටසයි (real part). bi වලින් දැක්වෙන්නේ අතාත්වික කොටසයි (imaginary part).

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා කිහිපයක් සලකා බලමු.

2 + 4i 9.32 + 5i
3 + 9.2143214i 0.0002 + 4.22i
-42 + 3i -432.99 + 3.42i
5 – 3i (මෙය ලැබෙන්නේ 5 + (-3i) = 5 – 3i ලෙස සුලු කළ හැකි නිසාය)
-2 – 4i

දැන් තාත්වික කොටස හෝ අතාත්වික කොටස ශූන්‍ය නම් කුමක් සිදු වේද? සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ තාත්වික කොටස 0 නම්, සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව නිකංම අතාත්වික සංඛ්‍යාවක් බවට පත් වේ. එලෙසම, සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ අතාත්වික කොටස 0 නම් (0i නම්), එවිට සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව ඉබේම තාත්වික සංඛ්‍යාවක් බවට පත් වේ.

0 + 3i → 3i 0 – 4.2i → -4.2i

24 + 0i → 24 2.421 – 0i → 2.421

මේ අනුව, සංකීර්ණ සංඛ්‍යා යනු තාත්වික හා අතාත්වික සංඛ්‍යා දෙකෙහිම මව් හෙවත් මූලික ස්වරූපය ලෙස සැලකිය හැකියි නේද? ඊට හේතුව සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවෙන්ම ඉහත පෙන්වූ විදියට තාත්වික මෙන්ම අතාත්වික සංඛ්‍යා දෙවර්ගයම ව්‍යුත්පන්න කරගත හැකි වීමයි.

අතාත්වික සංඛ්‍යා පාඩමේ අවසානයේ මා ප්‍රශ්නයක් ඇසුවා තාත්වික හා අතාත්වික සංඛ්‍යා දෙකක් එකතු කළ විට හෝ අඩු කළ විට කුමක් සිදු වේද කියා. එහි පිළිතුර සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් බව දැන් ඔබට පැහැදිලි විය යුතුයි. අවශ්‍ය නම් තවදුරටත් එය වඩාත් පැහැදිලි වනු පිනිස මෙසේ ලියා පෙන්විය හැකියි.


ඇත්තටම මෙය තේරුම් ගැනීමට එතරම් අපහසු නැත. තාත්වික හා අතාත්වික කොටස් දෙක නිකංම + වලින් එක් තැන් කර ලිවීමට පමණයි සිදු වන්නේ. උදාහරණයක් ලෙස, 4 යන තාත්වික සංඛ්‍යාවට 9i යන අතාත්වික සංඛ්‍යාව එකතු කරන විට, නිකංම 4+9i ලෙස එය ලියන්න. එලෙසම 3 යන තාත්වික සංඛ්‍යාවෙන් 8i යන අතාත්වික සංඛ්‍යාව අඩු කරන්න යැයි කී විට, එය 3-8i ලෙස ලිවිය හැකියි නේද (මොකද 3 + (-8i) = 3-8i නිසා)?

5i යන අතාත්වික සංඛ්‍යාවට 4 යන තාත්වික සංඛ්‍යාව එකතු කරන්න යැයි කී විට, එය 5i+4 ලෙස ලිවිය හැකියි. එහෙත් අප සම්මතයක් ලෙස පළමුව තාත්වික කොටස දෙවනුව අතාත්වික කොටසයි ලියන්නේ. එනිසා එය 4+5i ලෙස ලිවිය යුතුය. එලෙසම 8i යන අතාත්වික සංඛ්‍යාවෙන් 2 යන තාත්වික සංඛ්‍යාව අඩු කිරීම ලියා දක්වන්නේ 8i – 2 ලෙසයි. එහෙත් සම්මත ආකාරයට එය හරවන විට, -2+8i ලෙස ලිවිය යුතුය.

දැන් බලමු සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සමග ගණිත කර්ම සිදු කරන අයුරු. තාත්වික හා අතාත්වික සංඛ්‍යා සමග ගණිත කර්ම සිදු කරන අයුරු දැන් ඔබ දන්නා නිසා, සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සඳහා අමුතුවෙන් බොහෝ දේවල් දැන ගැනීමට අවශ්‍ය වන්නේ නැත.

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා එකතු කිරීම හා අඩු කිරීම

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවකට තවත් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් එකතු කරන විට, තාත්වික කොටස් දෙක හා අතාත්වික කොටස් දෙක වෙන වෙනම එකතු කරන්න. අඩු කරන විටද එසේ වෙන වෙනම කොටස් දෙක සලකා සාමාන්‍ය පරිදි සුලු කිරීම කරන්න.


තවත් උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

(2.43+5i) + (5+21.1i) = 7.43+26.1i
(3+8i) – (5+3i) = -2+5i
(4+2i) – (1+5i) = 3-3i
(5-9i) + (2+8i) = 7-1i
(5.21-4.4i) + (2-2i) = 7.21-6.4i

තාත්වික හා අතාත්වික සංඛ්‍යා යනුද සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවල සුවිශේෂී ආකාර දෙකක් බැවින් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවකට තාත්වික හා අතාත්වික සංඛ්‍යාද එකතු කිරීමට හා අඩු කිරීමට හැකියි. සුපුරුදු ලෙසම එකම ජාතියේ කොටස් එකට සුලු කරන්න.

(4+8i) + 4 = 8+8i
(-2+4i) + 5 = 3+4i
(4+2i) – 9 = -5+2i

(4+2i) + 3i = 4+5i
(1+2i) – 4i = 1-2i

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ගුණ කිරීම

මෙහිදී ඔබට වීජ ගණිතයේ හමුවන

a(x+y) = ax+ay හා
(a+b)(x+y) = (ax+ay+bx+by)

යන සරල සුලු කිරීමේ උපක්‍රම දෙක භාවිතා කිරීමට සිදු වෙනවා.

පළමුව බලමු සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් තාත්වික සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කරන අයුරු.

3 x (2+9i) = 6+27i
8 x (-2+2i) = -16+16i
2 x (5-2i) = 10-4i
-4 x (2+7i) = -8-28i
2.5 x (2+i) = 5+2.5i

දෙවනුව බලමු සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් අතාත්වික සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කරන විදිය. මෙවිටද ඉහත ලෙසටම a(x+y) යන සුලු කිරීමේ උපක්‍රමයමයි යොදන්නට සිදු වන්නේ.

2i x (4+8i) = 8i+16i2 = 8i-16 → -16+8i
4i x (-4-2i) = -16i-8i2 = -16i -(-8) = -16i+8 → 8-16i
2.5i x (2+2i) = 5i-5 → -5+5i

දැන් අපි බලමු සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් තවත් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කරන අයුරු. (a+b) x (c+d) = (ac+ad+bc+bd) යන සුලු කිරීමේ උපක්‍රමයයි යොදන්නේ.


 
(2+2i)x(7-4i) = 14 – 8i + 14i – 8i2 = 14 + 6i + 8 = 22+6i
(4-2i)x(2-3i) = 8 – 12i – 4i -6 = 2-16i
(-1-2i)x(2.5+3i) = -2.5 – 3i – 5i + 6 = 3.5-8i

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා බෙදීම

පළමුව බලමු සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් තාත්වික සංඛ්‍යාවකින් බෙදන අයුරු. කිසිම අමුතු විදියක් නැත. සාමාන්‍ය විදියටම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ තාත්වික හා අතාත්වික කොටස් වෙන වෙනම බෙදා දක්වන්න.

(4+5i)/2 = (4/2) + (5i/2) = 2+2.5i
(6-4i)/2 = 3-2i
(-9+3i)/-3 = 3-i

දෙවනුව බලමු සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් අතාත්වික සංඛ්‍යාවකින් බෙදන විදිය. මෙහිදීත් අතාත්වික සංඛ්‍යා යටතේ උගත් රීති එලෙසම යොදා සුලු කරන්න.

(3+3i)/3i = (3/3i) + (3i/3i) = -1i + 1 → 1-i
(5-2i)/2i = -2.5i - 1 → -1 - 2.5i
(9+6i)/-3i = 3i-2 → -2+3i

දැන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් තවත් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවකින් බෙදන අයුරු බලමු. ඉහත අවස්ථා දෙකෙහි මෙන් එක්වරම මෙය සුලු කළ නොහැකිය. මෙය පහසුවෙන් කර ගත හැකියි හරයේ තිබෙන සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව තාත්වික සංඛ්‍යාවක් බවට පළමුව පත් කර ගත හැකි නම්. එය කිරීමට ක්‍රමයක් ඇත. හරයේ ඇති සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ ප්‍රතිබද්ධය (complex conjugate) ඒ සඳහා උපකාරි කර ගනී.

සංකීර්ණ ප්‍රතිබද්ධය

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ප්‍රතිබද්ධය හෙවත් සංකීර්ණ ප්‍රතිබද්ධය යනු ඉතාම පහසුවෙන් සාදා ගත හැකි දෙයකි. දී තිබෙන සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ මැද තිබෙන සලකුණ විරුද්ධ සලකුණ බවට පත් කිරීමට පමණි සිදු කිරීමට තිබෙන්නේ. උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

9+2i හි ප්‍රතිබද්ධය 9-2i වේ.
5-4i → 5+4i
-5+2i → -5-2i

මතකයට
තාත්වික සංඛ්‍යාවක් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ස්වරූපයෙන් ලිවිය හැකියිනෙ. උදාහරණයක් ලෙස, 5 යන තාත්වික සංඛ්‍යාව 5+0i ලෙස ලිවිය හැකියි. එවිට, 5+0i යන සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ ප්‍රතිබද්ධය 5-0i වේ. එහෙත් 0i යනු නිකංම 0 නිසා, +0i වුවත් -0i වුවත් වෙනසක් නැත. ඒ කියන්නේ තාත්වික සංඛ්‍යාවක ප්‍රතිබද්ධය හැමවිටම එම සංඛ්‍යාවමයි.

අතාත්වික සංඛ්‍යාවක්ද සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ස්වරූපයෙන් ලිවිය හැකියි. උදාහරණයක් ලෙස, 5i යන අතාත්වික සංඛ්‍යාව 0+5i ලෙස ලිවිය හැකියි. එවිට, එම සංඛ්‍යාවේ ප්‍රතිබද්ධය 0-5i වේ. 0න් ප්‍රයෝජනයක් නැති නිසා 0 ඉවත් කළ විට, -5i ලැබේ. එලෙසම -3i යන අතාත්වික සංඛ්‍යාවේ ප්‍රතිබද්ධය ලෙස 3i වන බවත් පැහැදිලියිනෙ. ඒ කියන්නේ අතාත්වික සංඛ්‍යාවක ප්‍රතිබද්ධය සාදන්නේ එම සංඛ්‍යාවට ඉදිරියෙන් ඇති ලකුණ මාරු කිරීමෙනි.

ඔබ දන්නවා

(a+b) x (a-b) = a2-b2

බව. සංකීර්ණ ප්‍රතිබද්ධය අප යොදා ගන්නේ ඉහත ආකාරයේ සුලු කිරීමක් සිදු කිරීම පිනිසයි. එවිට සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ i අකුර අතුරුදහන් වී සාමාන්‍ය තාත්වික සංඛ්‍යාවක් බවට එය පත් වේ. උදාහරණයක් බලමු.

(4+2i) x (4-2i) = 42 – (2i)2 = 16 – 4(-1) = 16+4 = 20

දැක්කද (4+2i) යන සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ ප්‍රතිබද්ධය වන (4-2i) වලින් ගුණ කළ විට එම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව තාත්වික සංඛ්‍යාවක් බවට පත් විය. මෙන්න මෙම ගතිගුණය තමයි අප සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් තවත් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවකින් බෙදන විට යොදා ගන්නේ.

බෙදීමේ හරයේ (එනම් යට) ඇති සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ ප්‍රතිබද්ධයෙන් හරය හා ලවය වෙන වෙනම ගුණ කරන්න (ඔබ දන්නවා යම් භාගයක හරයට හා ලවයට එකම ගණිත කර්මය සිදු කරන විට එම භාගයේ අගයේ වෙනසක් සිදු නොවන බව). ඉන්පසු ලවය සුලු කළ විට අවසානයේ යම් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක්ද, හරය සුලු කළ විට ඉහත පෙන්වා දුන් ලෙස යම් තාත්වික සංඛ්‍යාවක්ද ලැබේ. එවිට, ඔබට අවසාන වශයෙන් සිදු කරන්නට තිබෙන්නේ සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් තාත්වික සංඛ්‍යාවකින් බෙදා අවසන් කිරීමයි.



දැන් ඔබට හැකියි තාත්වික, අතාත්වික, හා සංකීර්ණ යන සියලුම ආකාරයේ සංඛ්‍යා සමග ගණිත කර්ම සිදු කරන්නට. සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙකක් ගුණ කිරීමේදී හා බෙදීමේදී තරමක් වැඩි කාලයක් ගත වුවත්, එකතු කිරීම හා අඩු කිරීම ඉතා පහසුවෙන්ම සිදු කළ හැකියි නේද?

Read More »

සංඛ්‍යා හා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා (complex numbers) - 2

0

අතාත්වික සංඛ්‍යා (imaginary numbers)

නැවතත් ඉහත සලකා බැලූ එහෙත් විසඳීමට අපහසු ගණිත ගැටලුව බලමු. -4 හි වර්ගමූලයයි සොයන්නට තිබෙන්නේ. -4 යන සංඛ්‍යාව -1x4 ලෙස ලිවිය හැකියි නේද? එවිට පහත ආකාරයට තරමක් දුරට එම ගැටලුව සුලු කරගෙන යා හැකියි. මෙහිදී කිසිසේත් සුලු කර ගත නොහැකි වූ විශාල තනි සංඛ්‍යාව තරමක් දුරට සුලු කර ගත හැකි වෙනවා. දැන් සුලු කර ගැනීමට බැරි කොටස වන්නේ -1හි වර්ගමූල පදයයි. මෙයත් තරමක ජයග්‍රහණයකි.


මේ ආකාරයට ඕනෑම ඍණ සංඛ්‍යාවක වර්ගමූලය ඉහත පෙන්වූ විදියට සුලු කර ගත හැකියි. එවිට -1හි වර්ගමූල පදයක් සුලු කර ගත නොහැකිව ඉතිරි වේ. ඇත්තටම කිසිම කෙනෙකු අදටත් දන්නේ නැහැ මෙම -1 හි වර්ගමූලය විසඳන අයුරු. තවද, මෙම -1 හි වර්ගමූලය විසඳන තුරු තවමත් විශාල ප්‍රකාශයට හරි නිවැරදි හැඟීමක් ලැබෙන්නේද නැත. ඒ කියන්නේ -4හි වර්ගමූල පදයේ සත්‍ය වටිනාකම/අගය කුමක්දැයි තවම අපට සිතා ගත නොහැකියි.

-1හි වර්ගමූලය ලිවීම තවදුරටත් පහසු කිරීමට “-1හි වර්ගමූලය" වෙනුවට i යන ඉංග්‍රිසි අකුර ආදේශ කරන්නට සම්මත කරගෙන ඇත. ඒ අනුව:



මෙලෙස i අකුරක් සහිත සංඛ්‍යා අලුත් සංඛ්‍යා වර්ගයක් ලෙස සැලකීමට සම්මත කරගෙන ඇත. මීට හේතුව -1හි වර්ගමූලයේ සත්‍ය තේරුම/වටිනාකම අපට සිතා ගත නොහැකි වීමයි. මෙවිට තිබෙන හොඳ ප්‍රායෝගික විසඳුම වන්නේ අලුත් ජාතියක අගයක්/සංඛ්‍යාවක් ලෙස එය සැලකීමයි. මෙම අමුතු ජාතියේ සංඛ්‍යා අතාත්වික සංඛ්‍යා (imaginary numbers) ලෙස හැඳින්වෙනවා.


අතාත්වික යන්නෙහි තේරුම "තාත්වික නොවන" හෙවත් "සත්‍ය ලෙසම නොපවතින" යන්නයි. එම යෙදුම සාධාරණයි නේද? -1 හි වර්ගමූල පදයේ හෙවත් i පදයේ තේරුම/අගය හරියටම අප දන්නේ නැත. තවද මෙම අතාත්වික සංඛ්‍යා කිසිසේත් තාත්වික සංඛ්‍යා ගොඩට දැමිය නොහැකියි. ඇත්තටම අතාත්වික සංඛ්‍යා ලෙස මෙලෙස සංඛ්‍යා වර්ගයක් සම්මත කර ගැනීමට අවශ්‍යතාවක් මතු වෙන්නේ මෙවැනි සංඛ්‍යාවලින් යම් ප්‍රයෝජන ගත හැකි නම්ය. ප්‍රයෝජනයක් නැති කොතෙකුත් දේවල් සම්මත කර ගත හැකිය. එහෙත් වැඩක් නැත. අතාත්වික සංඛ්‍යාවල ප්‍රයෝජන (applications) ඇත. එනිසා අතාත්වික සංඛ්‍යා ගැන ඉගෙනීමට අවශ්‍ය වේ.

ධන සංඛ්‍යාවකින් ඍණ සංඛ්‍යාවක් වෙන් කොට හඳුනා ගන්නේ ඍණ සංඛ්‍යාවට ඉදිරියෙන් තිබෙන - යන සංඛේතය නිසාය. එලෙසම සාමාන්‍ය තාත්වික සංඛ්‍යාවකින් අතාත්වික සංඛ්‍යාවක් වෙන් කොට හඳුනාගන්නේ සංඛ්‍යාවට ඉදිරියෙන් හෝ පිටුපසින් i අකුරක් යෙදීමෙනි.

අතාත්වික සංඛ්‍යාද ඍණ අනන්තයේ සිට ධන අනන්තය දක්වා පරාසයක විහිදී පවතී. තවද, පූර්ණ අතාත්වික සංඛ්‍යා මෙන්ම දශම/භාග අතාත්වික සංඛ්‍යාද පවතිනවා. පරිමේය අපරිමේය යන භේදයත් මෙම සංඛ්‍යාවල පවතිනවා. ඔත්තේ ඉරට්ටේ යන භේදයද පවතිනවා. මෙලෙස තාත්වික සංඛ්‍යාවල තිබූ සියලු භේදයන් අතාත්වික සංඛ්‍යාවල පවතිනවා. මීට අමතරව ශූන්‍යයද (0i) මෙහි පවතිනවා.


තාත්වික සංඛ්‍යාවලට තාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාවක් තිබෙන්නා සේම, අතාත්වික සංඛ්‍යාවලටද අතාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාවක් පවතිනවා. තාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව තිරස්ව අඳිනු ලබන අතර, අතාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව සිරස්ව අඳිනු ලබනවා. සියලුම අතාත්වික සංඛ්‍යා මෙම අතාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව මත නිරූපණය කළ හැකියි.


 
ඇත්තටම 0i යන්න තාත්වික සංඛ්‍යාවල පවතින සාමාන්‍ය 0ට සර්වප්‍රකාරයෙන්ම සමානයි. ඒ කියන්නේ තාත්වික හා අතාත්වික යන සංඛ්‍යා වර්ග දෙකෙහිම පවතින ශූන්‍යයන් දෙකම එකිනෙකට සමානයි. මෙය සුවිශේෂි අවස්ථාවකි.

මෙම තත්වයත් ඔබට පහසුවෙන් තේරුම්ගත හැකියි. තාත්වික හෝ අතාත්වික හෝ වෙනත් ඕනෑම ආකාරයක ශූන්‍යය යනු කිසිත් නොමැති අවස්ථාවයි. උපමාවකින් එය තවදුරටත් බලමු. යම් බෝතලයක ඇත්තේ වතුර යැයි සිතන්න. දැන් එම වතුර ටික ඉවත් කළ විට, බෝතලය "ශූන්‍ය" වේ (රික්තකයක් බවට පත් වේ). දැන් එම බෝතලයම පොල් තෙල්වලින් පුරවා ඇතැයි සිතමු. එම තෙල් බෝතලයෙන් ඉවත් කළ විට නැවත බෝතලය "ශූන්‍ය" වේ. මේ ආකාර දෙකෙන්ම ලැබුණු "ශූන්‍යබව" සර්වප්‍රකාරයෙන්ම සමානයි නේද? තාත්වික සංඛ්‍යා හා අතාත්වික සංඛ්‍යා යනු එකිනෙකට වෙනස් සංඛ්‍යා කාණ්ඩ දෙකක් බව පෙරත් පැවසුවා. එහෙත් පෙර මතු කළ තර්කය අනුව, මෙම සංඛ්‍යා කාණ්ඩ දෙකටම පොදු එකම සංඛ්‍යාව/අගය 0 වේ. මෙම හේතුව නිසා පහත ආකාරයට තාත්වික හා අතාත්වික යන සංඛ්‍යා රේඛා දෙකම එකට ඇඳිය හැකියි (මේ දෙකටම 0 පොදු නිසා, රේඛා දෙක 0 දී එකිනෙකට ඡේදනය වේ).


අතාත්වික සංඛ්‍යාවලටද සුපුරුදු ගණිත කර්ම සියල්ලම සිදු කර ගත හැකියි. අතාත්වික සංඛ්‍යා තවත් අතාත්වික සංඛ්‍යා සමග සිදු කරන ගණිත කර්ම ගැන සොයා බලමු.

අතාත්වික සංඛ්‍යා එකතු කිරීම හා අඩු කිරීම

සාමාන්‍යයෙන් තාත්වික සංඛ්‍යා එකතු කිරීමේදී පිළිපැද්ද රීතින් එලෙසම පිළිපදින්න. අමුතුවෙන් ඉගෙනීමට දෙයක් මෙහි නැත.

1. 4i + 3i = 7i
2. 1i + 0i = 1i
3. 23.5i + 10.12i = 33.62i

4. 5i – 2i = 3i
5. 51.43i – 0.2i = 51.23i
6. 3i – 5i = -2i

7. 2i + (-3i) = -1i = -i
8. (-4i) + (-i) = -5i

අතාත්වික සංඛ්‍යා දෙකක් ගුණ කිරීම හා බෙදීම

අතාත්වික සංඛ්‍යා දෙකක් ගුණ කරන විට හා බෙදන විට කරුණු දෙකක් පිළිපදින්න.

1. තාත්වික සංඛ්‍යාවල පිළිපැද්ද "ධනයි ධනයි හෝ ඍණයි ඍණයි වැඩි කළ විට (හෝ බෙදූ විට) ධන, හා ධනයි ඍණයි වැඩි කළ විට (හෝ බෙදූ විට) ඍණද ලැබේ" යන සුපුරුදු රීතිය පිළිපදන්න. "සමාන ලකුණු වැඩි කළ විට ධනද, අසමාන ලකුණු වැඩි කළ විට ඍනද ලැබේ" යනුවෙන්ද මෙම රීතිය මතක තබා ගත හැකියි.

එහෙත් පහත දෙවැනි රීතිය නිසා, ගුණ කිරීමෙන් ලැබෙන -1න් හා බෙදීමෙන් ලැබෙන +1න් අවසාන පිළිතුර නැවත ගුණ වෙන බවද මතක තබා ගන්න.

2. තාත්වික සංඛ්‍යා දෙකක් ගුණ කළ විට හෝ බෙදූ විට ලැබෙන පිළිතුර හැමවිටම තාත්වික සංඛ්‍යාවකි. ඇත්තටම මෙය නම් ඉතාම අපූරු ප්‍රතිඵලයක්. එහෙත් මෙසේ සිදු වීම හාස්කමක් නොවේ. එය සිදු වන්නේ පහත ආකාරයේ සාමාන්‍ය සුලු වීමක් එහි සිදුවන නිසාය.




උදාහරණ ලෙස;

1. 5i x 4i = 5x4i2 = 20x(-1) = -20
2. 2i x 0i = 2i x 0 (හෝ 0i2)= 0i (හෝ 0 x -1) = 0
3. 3i x -3i = -9i2 = -9 x -1 = 9
4. -5i x -3i = 15i2 = 15 x -1 = -15

5. 4i / 2i = 2
6. 5i/2i = 2.5
7. -6i/3i = -2
8. -8i/-2i = 4

අතාත්වික සංඛ්‍යාවක හා තාත්වික සංඛ්‍යාවක ගුණ කිරීම හා බෙදීම

අතාත්වික සංඛ්‍යාවක් තාත්වික සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කරන විට හෝ බෙදන විට, i අකුර නැතැයි සිතාගෙන එය සිදු කරන්න; පිළිතුර අගට ඉන්පසු i දමන්න. උදාහරණ:

1. 4i / 2 = 2i
2. -6i / 3 = -2i
3. -5i/-2 = 2.5i

4. 4i x 2 = 8i
5. -3i x -3 = 9i

අතාත්වික සංඛ්‍යාවක් භාග සංඛ්‍යාවේ හරය ලෙස පවතින විටද සාමාන්‍ය සුලු කිරීමේ ක්‍රම ඔස්සේ සුලු කළ හැකියි. උදාහරණයක් 4/2i සුලු කරන හැටි බලමු.

පළමුව හරයේ තිබෙන i පදය ඉවත් කළ යුතුය. එය කිරීමට හරය හා ලවය යන දෙකම i වලින් ගුණ කරන්න. එවිට හරයේ තිබෙන i ලවයට යයි (ඍණ ලකුණකුත් සමග). ඉන්පසු සාමාන්‍ය පරිදි සුලු කරන්න.


ඇත්තටම ඉහත ආකාරයට දීර්ඝ ලෙස සුලු කරන්නේ නැතිව කෙටි ක්‍රමයට මෙසේ එය සිදු කළ හැකියි. භාගයක හරයේ (යට කොටසේ) i පදයක් ඇති විට, එම i ලවයට ගෙන යන්න; එවිට එය -i ලෙස ළවයේ ලියන්න. උදාහරණයක් ලෙස ඉහත උදාහරණයම කෙටියෙන් මෙසේ සුලු කළ හැකියි.

4/2i = 4(-i)/2 = -4i/2 = -2i

මෙතෙක් උගත් කරුණු එකට යොදා ගෙන විවිධාකාරයේ සුලු කිරීම් කළ හැකියි. උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

1. 4i x 2i x 3i = (4i x 2i) x 3i = -8 x 3i = -24i හෝ 24i3 = 24 x (i2 x I) = 24 x -1 x i = -24i
2. 6i x 3i / 9i = 18i2/9i = -18/9i = (-18 x -i)/9 = 18i/9 = 2i

තාත්වික සංඛ්‍යාවක් හා අතාත්වික සංඛ්‍යාවක් සමග ගුණ කරන හා බෙදන අයුරු දැන් ඔබ දන්නවා. තාත්වික සංඛ්‍යාවක් හා අතාත්වික සංඛ්‍යාවක් එකට එකතු කිරීම හා අඩු කිරීම සිදු කරන්නේ කෙලෙසද? තාත්වික සංඛ්‍යා එකිනෙකට ගණිත කර්මවලට ලක් කරන විට, අවසානයේ තනි පිළිතුරක් ලැබුණි. එලෙසම අතාත්වික සංඛ්‍යා දෙකක් එකිනෙකට ගණිත කර්මවලට ලක් කරන විට, අවසානයේ තනි පිළිතුරක් ලැබුණි. තවද, තාත්වික හා අතාත්වික සංඛ්‍යා දෙකක් එකිනෙකට ගුණ කරන විට හා බෙදන විට, අවසානයේ තනි පිළිතුරක් ලැබුණි. එහෙත් තාත්වික හා අතාත්වික සංඛ්‍යා දෙකක් එකතු කරන විට හා අඩු කරන විට, අවසානයේ තනි තාත්වික හෝ අතාත්වික සංඛ්‍යාවක් ලැබෙන්නේ නැත. ඒ වෙනුවට ලැබෙන්නේ සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවකි (complex number).
Read More »

InnoCentive > Challenges & Rewards