සංඛ්‍යා හා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා (complex numbers) - 1

සංඛ්‍යා

සංඛ්‍යා පිළිබඳ ඉගෙනීම ගණිත විෂයේදී සිදු කරන දෙයක් ලෙස සමහරෙකු සිතුවත්, ඇත්ත වශයෙන්ම එය අපේ එදිනෙදා ජීවිතයේ හමුවන අවස්ථා විසින්ම අපට දායාද කර ඇති සංකල්ප පද්ධතියකි. එක් පැත්තකින් එය ඔබ අප එදිනෙදා භාවිතා කරන සන්නිවේදනයේම හා භාෂාවේම තවත් දිගුවකි. සෑම දෙනාටම තමන්ගේ බස හොඳින් හැසිරවිය හැකියි. එහෙත් ඒ සියලු දෙනාටම හොඳින් කවි හෝ සාහිත්‍ය නිර්මාණ කළ නොහැකියිනෙ මොකද සාහිත්‍ය නිර්මාණය කිරීමට උසස් භාෂා දැනුමක් අවශ්‍ය කෙරේ. අන්න ඒ ආකාරයටම ගණිතය අප සියලු දෙනාටම පහසුවෙන් පරිහරණය කළ හැකි හා නිරන්තරයෙන් යොදා ගන්නා දෙයක් වුවත්, එහි උසස් ගණිත සංකල්ප සෑම දෙනාටම එවැනිම පහසුබවක් ගෙන එන්නේ නැත.

ගණිතයේ පදනම "අගය" (value) හෙවත් “විශාලත්වය" (magnitude) හෙවත් "ප්‍රමාණය" (quantity) වේ. සිතන්න දැනට වසර දසදහස් ගණනකට උඩදී සිටපු මානවයන් ගැන. අද මෙන් දියුණු සමාජයක්, දියුණු සංකල්ප හා දැනුම ඔවුනට නොතිබුණි. අතින් පයින් හා සරල රූප මඟින් ඔවුන් එකිනෙකා සමග අදහස් හුවමාරු කර ගත්තා. ඉන්පසු ක්‍රමිකව වචන ඔස්සේ අදහස් ප්‍රකාශ කිරීමට භාෂාවන් නිර්මාණය කර ගත්තා. අදහස්වලින් හා ක්‍රියාකාරකම්වලින් ඔවුන් නිරන්තරයෙන්ම දියුණු වූවා. සිතන්න එක් ආදී මානවයෙක් තමන් දඩයම් කරපු සතුන් ගැන තවත් අයට විස්තර කිරීමට අවශ්‍යයි කියා. ඔහු මුවන් කී දෙනෙක් දැක්කාද හෝ දඩයම් කළාද කියා ඔහුට පැවසීමට සිදු වුණා. මුවන් ගණන යනු අද අප කවුරුත් දන්නා "අගය" යන සංකල්පයමයි. එහෙත් එදා මානවයාට එය අමුතු සංකල්පයක් නොව, තමන්ට එදිනෙදා සිදුවන දේවල් පිළිබඳ කීම සඳහා සන්නිවේදන ක්‍රියාවලියේම තවත් අවශ්‍යතාවක් පමණි. මෙය තමයි ඉහතදී ගණිතය භාෂාවේම දිගුවක් ලෙස සැලකිය හැකි බව පැවසුවේ. එහෙත් එම සරල භාවිතාවේ සිට මේ වෙන විට අතිසංකීර්ණ ගණිත ක්ෂේත්‍රය බවට එය පරිවර්තනය වී ඇත. ඉහත උදාහරණය ඔස්සේ සංඛ්‍යා විකාශය ගැන කතාන්දරයක් මෙන් ඉගෙන ගත හැකියි.

දැන් එම මානවයන් තමන් දැකපු දේවල්වල අගය/ප්‍රමාණය ගැන පැවසීමට යම් ක්‍රමවේදයක් සාදා ගත්තා. ඔවුන් දකින්නේ යම් යම් තනි තනි දේවල්ය. මුවන් එකක් දෙකක් සියයක් ආදී ලෙස මිසක් මුවන් "භාගයක්", “දහයෙන් එකක්" ආදී ලෙස පැවසීමට ඔවුනට තවම අවශ්‍යතාවක් ඇති වූයේ නැත. ඒ කියන්නේ ඔවුන් මේ සාදාගත් අගය පද්ධතිය අද අප "පූර්ණ සංඛ්‍යා" ලෙස ඉගෙන ගන්නා සංකල්පයේම මුල් අවස්ථාවයි. ඔහු එක් මුවෙක් දැක්කා නම් මුවන් 1 ක් ලෙසද, මුවන් දෙදෙනෙක් දැක්කා නම් මුවන් 2ක් ලෙසද, මුවන් 50ක් දැක්කා නම් 50ක් ලෙසද ආදී ලෙස අගය පිළිබඳ අදහස් ප්‍රකාශ කළා. එහෙත් ඔහුට මුවන් 0ක් දැක්කා යැයි කීමට අවශ්‍යතාවක් නැත. ඒ කියන්නේ අද අප 0 ලෙස ඉගෙන ගන්නා සංකල්පය තවම ඔවුන්ට තේරෙන්නේ නැත. තවද, තිබිය උපරිම හැකි අගය පිළිබඳවද කිසිදු අදහසක්ද තවම ඔවුනට නැත (මෙතරම් දියුණු වර්ථමානයේද උපරිම අගය පිළිබඳ නිශ්චිත අගයක් අපට කිව නොහැකියි). මේ අනුව ඔවුන් මේ සාදා ගෙන තිබෙන්නේ අද අප "ගණින සංඛ්‍යා" (counting numbers) ලෙස ඉගෙන ගන්නා දේය. විවිධ දේවල් ගණන් කිරීමට යොදා ගත් බැවින් එම නම ඊට ලැබී ඇත.

මතකයට

ඒ අනුව, ගණින සංඛ්‍යා යනු 1, 2, 3, 4, 5, ... ආදී සංඛ්‍යා වේ. එහි බිංදුව නැත. ඍණ සංඛ්‍යාද නැත. දශම සංඛ්‍යාද නැත.

ඔබ ඉගෙන ගෙන ඇති රෝම ඉලක්කම් ගැන. එය ගණින සංඛ්‍යා වෙනුවෙන්ම ආදි කාලයේ නිර්මාණය කළ සංඛ්‍යා ක්‍රමයකි. බලන්න එහි 0 නැත. මුල්ම ඉලක්කම i වේ. තවද, රෝම ඉලක්කම්වලින් ඉතා විශාල අගයන් කීමට බැරිය. M (1000 හඟවන සංඛේතය) යනු උපරිම අගය දක්වන සංඛේතය වේ. එමඟින් ඔබට ලබා ගත හැකි උපරිම අගය වන්නේ 4000ට ආසන්න අගයකි. ඒ කියන්නේ ඒ කාලේ කා ගාව හරි හරක් 5000ක් සිටියේ නම්, මෙම සංඛ්‍යා ක්‍රමය මඟින් එය ප්‍රකාශ කළ නොහැකි වන්නට ඇති.

මතකයට

අගය හා සංඛ්‍යාව (number) අතර වෙනසක් ඇත. අගය යනු සංකල්පයකි. සංඛ්‍යාව යනු එම අගය ප්‍රකාශ කරන ක්‍රමවේදයයි. මුවෙක් සිටී. තවත් මුවෙක් එතැන සිටී. තවත් මුවෙක්ද එතැනම සිටී. එතැන සිටින ඕනෑම කෙනෙකුට මෙම මුවන් ටික පෙනේ. මුවන් දුටු නිසා මුවන් ගණන (එනම් අගය) පිළිබඳ දැන් අදහස ඔහුට ඇත. එය අනෙකාට ප්‍රකාශ කිරීමට යම් ක්‍රමවේදයක් ඔහුට අවශ්‍ය කරනවා. එම ක්‍රමවේදය සංඛ්‍යා වේ. එය වාචිකව හෝ ලිඛිතව ප්‍රකාශ කිරීමට ක්‍රමවේද සකස් කර ගෙන ඇත. 1, 2, 641 ආදී ලෙස ලිඛිතව (සංඛේතාත්මකව) ප්‍රකාශ කළ හැකි ක්‍රමවේදය මේ වන විට අප සතුව ඇත. ඒ අනුව 641 යන සංඛ්‍යාව දකින විට, තනි තනි මුවන් "අච්චර ප්‍රමාණයක්" සිතින් මවා ගත හැකියි. ඒ කියන්නේ සංඛ්‍යාවක් ඇසෙන හෝ දකින විට ඉන් අගයක් ඉබේම සිතට නැඟේ.

අගය දක්වන විට හෙවත් සංඛ්‍යාවක් ලියන විට යම් යම් සංඛේත භාවිතයට ගැනෙනවා. මෙම සංඛේත ඉලක්කම් (digit) ලෙස හැඳින්වෙනවා. සම්මතයක් ලෙස ලොව පුරාම 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 යන සංඛේත දහය ඒ සඳහා භාවිතා කෙරෙනවා. අතීතයේදී යම් යම් රටවල වෙනස් වෙනස් සංඛේතද මේ සඳහා භාවිතා කර තිබෙනවා. විශේෂයෙන් චීන, ජපන්, සිංහල, සංස්කෘත, රෝම ආදී භාෂාවල ඉලක්කම් වෙනස්ය. එහෙත් වර්ථමානය වන විට, ලොව පුරාම සම්මතය ලෙස ඕනෑම කෙනෙක් ඉහත ඉලක්කම් තමයි භාවිතා කරන්නේ.

ඉතිං, යම් අගයක් ලිවීමේදී ඉලක්කම් භාවිතා කර, එය සංඛ්‍යාවක් ලෙස දැක්විය යුතුයි. උදාහරණයක් ලෙස, 4301 යන සංඛ්‍යාවේ යම් අගයක් තිබෙනවානෙ (“අච්චර ප්‍රමාණයක්" තිබේ යැයි හැඟීම එහි ඇත). එම අගය සහිත එම සංඛ්‍යාව ලියා ඇත්තේ 4, 3, 0, 1 යන ඉලක්කම්වලිනි. ඉලක්කම්, සංඛ්‍යා, අගය අතර ඇති සම්බන්ධතාව අන්න ඒ ආකාරයට වෙන් වෙන්ව හඳුනා ගැනීමට හැකි විය යුතුය.

ඇත්තටම ගණිතය යනු භාෂාවකි; එහෙමත් නැතිනම් සාමාන්‍ය භාෂාවේම තවත් දිගුවකි. සාමාන්‍ය භාෂාවකදී අප යම් යම් හැඟීම්/සංකල්ප තමයි සන්නිවේදනය කරන්නේ. පුටුව, ආදරය, ගැහැණිය, අහස ආදී දේවල් අපේ මනස විසින් හඳුනාගන්නා සංකල්පයි. අගය යනුද සංකල්පයි.

මනසේ ඇති සංකල්ප අනෙක් මානවයන් හා සන්නිවේදනය කර ගැනීමට වචන/පද භාවිතා කරනවා. “බල්ලා", “dog” ආදී ලෙස විවිධ භාෂාවල මෙම පද විවිධ ශබ්ද හා විවිධ අකුරු යොදා සංඛේතවත්/සන්නිවේදනය කරනවා. සංකල්ප පද වලින් සන්නිවේදනය කරන්නාක් සේම, අගයන් සංඛ්‍යා විසින් සන්නිවේදනය කරනු ලබනවා.

පද/වචන ලියන්නේ අකුරුවලින්. එලෙසම සංඛ්‍යා ලියන්නේ ඉලක්කම්වලින්. අකුරු ලිවීමට ඒ ඒ භාෂාවන්වල වෙනස් වෙනස් අකුරු පද්ධතියක් හෙවත් හෝඩියක් භාවිතා කරනවා. උදාහරණයක් ලෙස, ඉංග්‍රිසි බසෙහි ඒ සඳහා අකුරු 26ක් තිබෙනවා. එලෙසම ඉලක්කම්වලටද හෝඩියක් තිබෙනවා (එම හෝඩියේ ඉහත පෙන්නූ ලෙසට 0 සිට 9 දක්වා ඉලක්කම් 10ක් තිබෙනවා).

අනෙක් භාෂාවන් හා ගණිත භාෂාව අතර ඇති ප්‍රධානතම වෙනස නම්, ගණිත භාෂාව ලොව පුරා සිටන කාටත් එක ලෙස තේරෙනවා. එනම් එය ලෝක සම්මතයක්. බොහෝ අය කියනවා සංගීතය යනු විශ්ව භාෂාවක් කියා (මොකද ලෝකයේ කොහේ සංගීතයක් ඇසුණත් දළ වශයෙන් එකම සංගීත ස්වර එහි පවතින නිසා). එහෙත් මීටත් වඩා ගණිතය යනු විශ්ව භාෂාවක් ලෙස දැක්වීමට හැකියි නේද? සංගීතය හැම කෙනාම දන්නේ නැති වූවාට, ඉලක්කම් හැම කෙනාම දන්නවා. හැම අතින්ම එය විශ්ව භාෂාවක්.

ඇත්තටම ගණිතය යනු විද්‍යාවේද භාෂාවයි. විද්‍යාත්මක සංකල්ප/කරුණු නිරවුල්ව කිව හැකි භාෂාව ගණිතයයි. එමනිසයි විද්‍යාව හා ගණිතය හැමවිටම එකට ගමන් කරන්නේ. ගණිතය මඟින් විද්‍යාත්මක දේවල් පහසුවෙන් හා නිරවුල්ව දක්වනවා සේම, නවීන විද්‍යාත්මක දේවල් පැහැදිලි කිරීමට දැනට පවතින ගණිතය අපොහොසත් වන විට, නව ගණිත ක්‍රම/සංකල්ප අලුතින් ගණිතයට හඳුන්වා දෙනවා. ඇත්තටම අද පවතින සංකීරණ උසස් ගණිත සංකල්පවලට හේතුවත් එයයි. මේ අනුව ගණිතය හා විද්‍යාව එකිනෙකාට පෝෂණය කර ගන්නවා ලෙස පෙනෙනවා නේද?

දැන් යම් ආදී මානවයෙකු සතුව ගවයන් දස දෙනෙකු සිටියා යැයි සිතමු (ඔහුගේ නම් සැග් යැයි සිතමු). ටික කලෙකින් පැටව් දැමීම නිසා එම ගවයන් ගණන වැඩි වේ. තවද, වෙනත් අයගෙන් හා කැලෙන් අල්ලාගත් ගවයන්ද ඊට එකතු වේ. ඒ කියන්නේ අගයන්/ඉලක්කම් වෙනස් නොවී (එනම් ස්ථිතිකව) පවතින්නේ නැත. ඒ කියන්නේ සංඛ්‍යා කොතැනද ඇත්තේ එතැන ඉබේම එම සංඛ්‍යා මත සිදු කළ හැකි "ක්‍රියාවන්" සමූහක් පවතී. ඉහත උදාහරණයේදී තමන් ළඟ තිබූ (හරක්) ගණනට අලුතින් තවත් හරක් "එකතු" විය. මෙවැනි සංඛ්‍යා/අගය මත සිදු කරන ක්‍රියාවන්ට "ගණිත කර්ම" (mathematical operations) යැයි පවසනවා.

ඉහතදීත් පෙන්වා දුන් පරිදි මූලිකම ගණිත කර්මය එකතු කිරීම (addition හෝ sum) වේ. හරක් එකතු වෙනවා වගේම සිටින හරක් අඩු වෙනවා උන් මැරෙන විට හෝ වෙන අය විසින් හොරකම් කරගත් විට. තමන් සතුව හරක් 12ක් සිටියා නම්, ඉන් එකෙක් මළා නම්, එය එම ආදි මානවයා තේරුම් ගත්තේ කෙසේද? මෙය තමයි අඩු කිරීම (subtraction) යන ගණිත කර්මයේ උපත. දැන් අපට එකතු කිරීම හා අඩු කිරීම යන ගණිත කර්ම දෙකක් ඇත.

ඉහත අඩු කිරීම යන ගණිත කර්මය නිසා ඍණ සංඛ්‍යා නිර්මාණය විය. ඒ කෙසේද? සිතන්න සැග් නම් ආදී මානවයා රෝග් නම් තම යාලුවාට තමන්ගේ හරක් 10ක රංචුව භාර දී ගමනක් ගියා කියා. ඔහු ආපසු එන විට, රෝග් විසින් ඉන් හරක් 3ක් නැති කරගෙන සිටී. දැන් සැග්ට හමුවන්නේ හරක් 7ක් පමණි. එහෙත් සැග්ට හරක් 10ක හිමිකමක් තිබෙනවා නේද? ඒ අනුව සැග් සිතන්නේ තවමත් තමන්ගේ හරක් 10 දෙනා තමන් සතුව ඇතැයි කියා. ඉන් 7ක් තමන් ඉදිරියේම සිටී. අනෙක් තිදෙනා රෝග් විසින් කෙසේ හෝ ඔහුට ලබා දිය යුතු යැයි සැග් සිතනවා. ඒ කියන්නේ රෝග් දැන් හරක් 3ක් ණයයි. සැග්ගේ දෘෂ්ඨි කෝණයෙන් එම හරක් තිදෙනා තමන් ඉදිරියේ දැනටමත් සිටින හරක් 7 දෙනාගෙන් වෙන් කර හඳුනා ගැනීමට ඔහු "ණය හරක් තිදෙනා" ලෙස පැවසිය හැකියි. එයම ඔහුට "ඍණ හරක් තිදෙනා" යැයි පවසිය හැකියි. (ඍණ යන්නෙහි සැබෑ තේරුමමත් ණය යන්නයි.)

දැන් ඍණ අගයන්/සංඛ්‍යාවන් බිහිවී ඇත. ඊටද ගණිත කර්ම සිදු කළ හැකියි. හරක් 2ක් ණය කෙනාම තවත් හරකෙක් ණය වුණාම ඔහු දැන් හරක් 3ක් ණයයි. එය -2 + -1 = -3 ලෙස ලිවිය හැකියිනෙ. ඒ විතරක්ද නොවේ; දැන් ඍණ සංඛ්‍යා (negative number) ලෙස සංඛ්‍යා වර්ගයක් තිබෙන නිසා, ධන හෝ ඍණ යන විශේෂණය නොමැතිව මුලින්ම පැවති සංඛ්‍යා ධන සංඛ්‍යා (positive number) ලෙස හඳුන්වන්නට සිදු වෙනවා.

ධන හා ඍණ යන සංඛ්‍යා දෙකම එකට ගණිත කර්මවලට ලක් කළ හැකියි. උදාහරණයක් ලෙස, ධන සංඛ්‍යාවක් හා ඍණ සංඛ්‍යාවක් එකතු කළ හැකියි. උදාහරණයක් ලෙස, දැනටමත් හරක් තිදෙනෙක් ණය කෙනා, ඉන් එක ණයක් බේරූ විට තවත් හරක් දෙදෙනකු තවමත් ණයයි. එය (-3) + (+1) = (-2) ලෙස ලිවිය හැකියිනෙ.

සමහර ධන හා ඍණ සංඛ්‍යා දෙකක එකතු/අඩු කිරීමේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස 0 යන සංඛ්‍යාව බිහි විය. ඊට හේතුව ඉහත ආකාරයට ධන හා ඍණ සංඛ්‍යා දෙකක් ගණිත කර්මයකට ලක් කළ විට, ඉන් ධන හෝ ඍන හෝ නොවන "යමක්" ලැබේ. එය උදාසීන තත්වයකි. උදාහරණයක් ලෙස, හරක් 3ක් ණය තිබූ රෝග් තම ණය පියවූවා යැයි සිතන්න හරක් 3ක් සැග්ට ලබා දීමෙන්. දැන් රෝග් කිසිවක් ණය නැත. “කිසිවක් නැති" එම අවස්ථාව ශූන්‍ය අවස්ථාවයි. එය 0 යි. එනම් (+3) + (-3) = 0 ලෙස ලිවිය හැකියි.

මතකයට

මිනිසා සතු වටිනා චින්තන රටාවන් ඇත. ඉන් එකක් නම්, යම් දෙයක් කළ විට හෝ දකින විට, එහි ප්‍රතිවිරුද්ධ ක්‍රියාවලිය (එනම් විලෝමය) ගැනත් සිතීමයි. සමමිතය (symmetry) ගැන ඔහු විශ්වාස කරනවා. බලන්න ඉහත එකතු කිරීම නම් ගණිත කර්මයේ විරුද්ධ දේ අඩු කිරීමයි. මෙලෙස සිතීම නිසාම විද්‍යා ගණිත ක්ෂේත්‍රය තුළ බොහෝ විටිනා දේවල් මිනිසාට සොයා ගත හැකි විය (ප්‍රතිපදාර්ථ (antimatter) ඒ සඳහා දිය හැකි හොඳම උදාහරණයයි).

සැග්ගේ පවුලේ සාමාජිකයන් 8 දෙනෙක් සිටිනවා යැයි සිතන්න. ඔහු පළතුරු කඩාගෙන එන විට, ඒ සියලු දෙනාටම සමාන ගෙඩි ගණනක් රැගෙන එයි. කෙනෙකුට ගෙඩි 4 බැගින් 8 දෙනාටම ගෙඩි කීයක් අවශ්‍ය කෙරේ? එය 4+4+4+4+4+4+4+4 ලෙස ඔහු මුලින් ගණනය කරන්නට ඇති. එහෙත් මෙය තරමක දිගු ක්‍රමයකි. ඊට කෙටි ක්‍රමයක් ගැන කල්පනා කරන විට, ගුණ කිරීම (multiplication) යන ගණිත කර්මය නිර්මාණය විය. දැන් කෙටියෙන් 4x8 ලෙස ඔහුට එය සිදු කළ හැකියි. ධන හා ඍණ යන දෙවර්ගයේම සංඛ්‍යා සඳහා එය සිදු කරන හැටි ඔවුන් සිතා බැලුවා (හා රීතින් සෑදුවා). ඒ අනුව, ඔබ පාසලේ ඉගෙන ගන්නා "එකම සලකුණ සහිත ඉලක්කම් දෙකක් ගුණ කළ විට ධනද, විෂම සලකුණු සහිත ඉලක්කම් දෙකක් ගුණ කළ විට ඍණද ලැබේ" යන රීතිය ඔවුන් විසින් සොයා ගත් දෙයකි.

ඕනෑම දේක ප්‍රතිවිරුද්ධ ක්‍රියාව (විලෝමය) සොයන මානවයා ඉහත ගුණ කිරීමේ විලෝමය ගැනත් කල්පනා කළා. බෙදීම (division) යන ගණිත කර්මය ගුණ කිරීමේ විලෝමය ලෙස ඔවුන් නිර්මාණය කළා. උදාහරණයක් ලෙස, 4 යන අගය 8න් ගුණ කළ විට ලැබෙන අගය 32 නිසා, 32 අගය 4න් බෙදූ විට 8 ලැබිය යුතු බවද, 32 යන්න 8න් බෙදූ විට 4 යන්න ලැබිය යුතු බවද ඔවුන් නිගමනය කළා. එහෙත් එය තමන් මෙතෙක් දැන සිටි ක්‍රමවලට වඩා අමාරු අමුතු බවක් ඔවුන්ට පෙනුනා. එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, ගුණ කිරීම යන ගණිත කර්ම නිසා අපට හැමවිටම ප්‍රතිපල ලෙස ලැබුණේ තවත් "සාමාන්‍ය" ධන හෝ ඍන සංඛ්‍යාවකි. දැන් සැග් කරන්නේ පළතුරු 32ක් කඩා ගෙන විත්, එය 8න් බෙදා සෑම කෙනාටම 4 බැගින් ලබා දීමයි. ටික දවසකින් සැග්ගේ පවුලට තවත් සාමාජිකයකු එකතු වූවා. ඔහු වෙනදා පුරුද්දටම ගෙඩි 32ක් කඩා ගෙන ආවා. එහෙත් දැන් 9 දෙනෙකු සිටිනවා. ඉතිං එම ගෙඩි ටික එම 9 දෙනා අතරේ සම සමව බෙදන්නට ඔහු උත්සහ කළා. එහෙත් එය කෙසේවත් කළ නොහැකි බව ඔහුට පෙනුනා. ඒ කියන්නේ බෙදීම යන ගණිත කර්මය ඔහු මෙතෙකු දැන සිටි සංඛ්‍යා සමග වැඩ කරන්නේ නැහැ. මෙය තමයි භාග සංඛ්‍යා (fractional numbers හෝ fractions) වල උපත. අවශ්‍ය නම් දශම සංඛ්‍යා (decimal numbers) ලෙසත් මෙම නව සංඛ්‍යා හැඳින්විය හැකියි.

ඉහත උදාහරණයම ගත් විට, 32 යන්න 9න් බෙදූ විට (32/9) 3.555 යන භාග/දශම සංඛ්‍යාව ලැබුණි. මෙම නව සංඛ්‍යා මෙතෙක් දැන සිට සංඛ්‍යාවලට වඩා වෙනස් හා අමාරුය. ඒ අනුව දශම නොවන සංඛ්‍යා පූර්ණ සංඛ්‍යා (whole numbers) හෙවත් නිඛිල (integer) ලෙස හඳුන්වන්නට සිදු වූවා.

මතකයට

දශම සංඛ්‍යාවක් ලැබෙන්නේ බොහෝවිට භාග සංඛ්‍යාවක් සුලු කිරීමෙන්ය. උදාහරණයක් ලෙස, 5 යන්න 2න් බෙදූ විට 2.5 යන දශම සංඛ්‍යාව ලැබේ. මීට අමතරව මූල සෙවීම වැනි වෙනත් ගණිත කර්ම සිදු කරන විටද දශම සංඛ්‍යා ලැබේ. දශම සංඛ්‍යා ආකාර 3කින් පවතින බව ඔබ දන්නවා.

1. අන්ත දශම (terminating decimal) - මෙහිදී දශම තිතට පසුව ඇති දශම ඉලක්කම් ගණන නිශ්චිතය. උදාහරණයක් ලෙස, 5/2 විට, පිළිතුර 2.5 වේ. මෙහි දශම ඉලක්කම් ඇත්තේ එකක් පමණි.

මෙවැනි දශම සංඛ්‍යාවක් ඉතා පහසුවෙන්ම භාගයක් ආකාරයටද දැක්විය හැකියි. ඒ සඳහා කිරීමට ඇත්තේ, දශම සංඛ්‍යාව ලියා, ඊට යටින් 1 ලියන්න (හරය ලෙස). දැන් ලවයේ ඇති දශම ඉලක්කම් ඉවත් වන තුරුම 10න් 10 දිගටම හරයයි ලවයයි ගුණ කරගෙන යන්න ලවයේ දශම ඉලක්කම් සියල්ලම ඉවත් වන තෙක්ම. උදාහරණයක් ලෙස, 2.351 යන දශම සංඛ්‍යාව ගමු.

අවසානයේ භාගයක ස්වරූපයෙන් දශම සංඛ්‍යාව ලැබී ඇත. අවශ්‍ය නම්, හරය හා ලවය සුලු කළ හැකි නම්, එසේ තවත් සරල/සුලු කර එම භාග සංඛ්‍යාව ලිවිය හැකියි.

2. අනන්ත දශම (non-terminating decimal) - මෙහිදී දශම තිතට පසුව දශම ඉලක්කම් ලියා ඉවරයක් කළ නොහැකිය. දශමස්ථාන අනන්ත ගණනක් මෙහිදී හමු වේ. එහෙත් ප්‍රායෝගිකව දශම ඉලක්කම් අනන්ත ගණනක් ලියන්නට බැරිය. එනිසා අපට අවශ්‍ය නිරවද්‍යතාවක් දක්වා පමණක් දශම ඉලක්කම් දමා අගට ... ලෙස ලිවිය හැකියි. ගණිතයේ අපරිමිත සංඛ්‍යා යනුවෙන් හඳුන්වන්නේද මෙවැනි අනන්ත දශම සංඛ්‍යාම තමයි. මේවා භාග සංඛ්‍යාවක් ලෙස ලිවිය නොහැකියි ඉහත අන්ත දශමවල මෙන්. ඊට හේතුව හිතා ගත හැකියිනෙ. ලවයේ ඇති දශම ඉලක්කම් කොතෙක් 10න් වැඩි කරගෙන ගියත් ඉවරයක් වෙන්නේ නැතිය.

3. සමාවර්ථ දශම (recurring decimal) - මෙයත් තරමක් දුරට අනන්ත දශමවලට සමාන බවක් දක්වයි. එනම් දශම ඉලක්කම් ඉවරයක් නැත. එහෙත් මෙහි යම් සුවිශේෂිත්වයක් තිබේ. එනම්, එකම ඉලක්කම හෝ "ඉලක්කම් සෙට් එකයි" නැවත නැවත දශම කොටසේ පවතින්නේ. “නැවත නැවත එකම ඉලක්කම් සෙට් එක මතුවන" යන අර්ථය තමයි "සමාවර්ථ" (සම + ආවර්ථ) යන වචනයෙන් කියවෙන්නෙත්.

1.333333, 3.232323, 5.2714545454 ආදී ලෙස සමාවර්ථ දශම කිහිපයක් උදාහරණ ලෙස දැක්විය හැකියි. බලන්න එහි යටින් ඉරි ගසා ඇති කොටස තමයි එම සංඛ්‍යාව තුළ සමාවර්ථ වන්නේ. මෙවැනි සමාවර්ථ දශම සංඛ්‍යා ලියන සම්මත ක්‍රමයක් ඇත. එනම් සමාවර්ථ වන කොටසක් පමණක් ලියා, එම කොටස උඩින් ඉරි කැබැල්ලක් (bar) ඇඳිය යුතුය. ඒ අනුව ඉහත සංඛ්‍යා තුන එම සම්මතයට අනුව ලියූ විට, 1.3, 3.23, 5.27145 ලෙස ලිවිය හැකියි.

සමාවර්ථ දශමද අවශ්‍ය නම් භාග සංඛ්‍යාවක් ලෙස ලිවිය හැකියි. ඒ කියන්නේ මේවා අපරිමේය සංඛ්‍යා නොවේ. භාග සංඛ්‍යාවක් ලෙස එය සකස් කරන අන්දම උදාහරණයක් ඇසුරින් බලමු. 3.3 යන සමාවර්ථ දශම සංඛ්‍යාව භාගයක් ලෙස සකස් කරන්න. පළමුව මෙම දශම සංඛ්‍යාව X ට සමාන කරන්න. ඉන්පසුව එම සමීකරණයේ දෙපසම 10න් ගුණ කරන්න.

X = 3.3 --------------------------------- (1)

10X = 33.3 --------------------------------- (2)

සංඛ්‍යාව සමාවර්ත දශමයක් නිසා, 10න් ගුණ කළ පසුව නැවත සමාවර්ථ කොටසක් ලියන්නට සිදු වෙනවා (කපන්න කපන්න දළු දාන ගසක් බඳුයි). ඇත්තටම මෙහිදී 10න් ගුණ කළේ සමාවර්ත කොටසේ ඉලක්කම් 1ක් හෙවත් දශමස්ථාන 1ක් තිබෙන නිසාය. සමාවර්ථ කොටසේ තිබෙන ඉලක්කම් ගණනට සමාන බිංදු ගණනක් තිබෙන 10 ගුණාකාරයකිනුයි මෙම වැඩි කිරීම සිදු කළ යුත්තේ. උදාහරණයක් ලෙස සමාකාර දශම සංඛ්‍යාව 2.145 නම් ගුණ කළ යුත්තේ 10න් නොව, 1000න්ය.

දැන් 2 වැනි සමීකරණයෙන් 1 වැනි සමීකරණය අඩු කර X උක්ත වන සේ සුලු කරන්න. එවිට,

10X – X = 33.3 – 3.3 → 9X = 30.0 → X = 30/9

බලන්න එය සුලු කළ විට අවසානයේ ලැබී තිබෙන්නේ 30/9 යන භාග ස්වරූපය නේද? X යන්න සමාවර්ථ දශමයට සමානයි; එනිසා මෙම භාගය එම සමාවර්ථ දශම සංඛ්‍යාවේ භාග ස්වරූපයයි. ඉහත සමීකරණ දෙක එකිනෙකට අඩු කරන විට, සමාවර්ථ දශම සංඛ්‍යා දෙකෙහිම දශම තිතට පසුව ඇති සමාවර්ථ දශම කොටස් දෙක සමානය. යම් අගයකින් එම අගයම අඩු කළ විට එම අගය ශූන්‍ය වෙනවානෙ (එනම්, අහෝසි වෙනවානෙ). දැන් අවශ්‍ය නම්, ඉහත භාග සංඛ්‍යාව තවදුරටත් 10/3 ලෙස සුලු කළ හැකියි නේද?

තවද, 2.4312 ලෙස පවතින සමාවර්ථ දශමයක් ඉහත ආකාරයට එකවරම භාගයක් බවට පත් කළ නොහැකියි. සුලු වෙනස්කමක් සිදු කළ යුතු වෙනවා. එනම්, මෙහි සමාවර්ථ නොවන කොටස පමණක් ඉවත් වන ආකාරයට සුදුසු 10 ගුණාකාරයකින් පළමුව වැඩි කරන්න. දෙවනුව සාමාන්‍ය ආකාරයට10 ගුණාකාරයකින් එය වැඩි කළ යුතු වෙනවා. ඉන්පසු අවසන් සමීකරණයෙන් ඊට උඩ සමීකරණය සුපුරුදු ඉහත ආකාරයට අඩු කර සුලු කළ විට භාග සංඛ්‍යාව ලැබෙනවා.

X = 2.4312 ---------------------- (1)

100X = 243. 12 ---------------------- (2)

10000X = 24312.12 ---------------------- (3)

(3) – (2) → 10000X – 100X = 24312.12 – 243.12 → 9900X = 24069 → X = 24069/9900

ඉහත ආකාරයටම විවිධ ප්‍රායෝගික අවස්ථාවන්ට මුහුණ දෙමින් අලුත් අලුත් සංඛ්‍යා, ගණිත කර්ම, හා සංකල්ප බිහි වූවා. සමහර සංඛ්‍යා දෙකෙන් බෙදන විට ඉතිරි නැතිව බෙදෙන බවත් සමහර ඒවායේ එසේ බෙදන විට හැමවිටම 1ක් ඉතිරි වන බවත් ඔවුන් දැනගත්තා. ඔත්තේ (odd) හා ඉරට්ටේ (even) සංඛ්‍යා ලෙස ඒවා හැඳින්වූවා.

මතකයට

දෙකෙන් බෙදූ විට ඉතිරි නැතිව බෙදෙන සංඛ්‍යා ඉරට්ටේ වේ. එය 2n ලෙස ලිවිය හැකියි (n යනු ඕනෑම නිඛිලයකි). උදාහරණයක් ලෙස, n=5 නම්, 2n = 2x5=10 වේ. 10 යනු ඉරට්ටේ සංඛ්‍යාවකි.

දෙකෙන් බෙදූ විට 1ක් ඉතිරිවන සංඛ්‍යා ඔත්තේ වේ. එය 2n+1 ලෙස ලිවිය හැකියි. උදාහරණයක් ලෙස, n=4 නම්, 2n+1=2x4+1 = 9 වේ. 9 යනු ඔත්තේ සංඛ්‍යාවකි.

ඇත්තටම ඔත්තේ ඉරට්ටේ ලෙස දෙවර්ගයක් පමණක් නිර්වචනය කරගෙන ඇත්තේ අපගේ කැමැත්ත මත මිසක් එය සුවිශේෂී ගණිතමය අවශ්‍යතාවක් හෝ සංකල්පයක් නොවේ. යම් සංඛ්‍යාවක් 2න් බෙදන විට අනිවාර්යෙන්ම බෙදූ පසු ඉතිරි විය හැක්කේ එක්කෝ 0 නැතහොත් 1 වේ. 0 ඉතිරි වෙනවා යනු කිසිවක් ඉතිරි නොවේ යන තත්වයයි; එනම් ඉරට්ටේ සංඛ්‍යායි.

කෙනෙකුට තර්ක කළ හැකියි 2න් වෙනුවට 3න් බෙදිය නොහැකිද කියා. එලෙසම 4න්, 30න්, සියයයෙන් ආදී ලෙස වෙනත් සංඛ්‍යාවකින් බෙදිය නොහැකිද? හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, 3න් බෙදූ විට ඉතිරි විය හැක්කේ 0, 1, හෝ 2 වේ (හැමවිටම බෙදන සංඛ්‍යාවට වඩා 1ක් අඩුවෙන් උපරිමව ඉතිරි වේවි). මෙවිට, ඒවා ඔත්තේ හෝ ඉරට්ටේ ලෙස හැඳින්වෙන්නේ නැති අතර, වෙන් කර හැඳින්වීමට අවශ්‍යම නම් දැන් ඔත්තේ ඉරට්ටේ යන නම් දෙක වෙනුවට නම් 3ක් අවශ්‍ය වනු ඇත. 20න් බෙදූ විට, බිංදුවේ සිට 19 යන උපරිම අගය දක්වා යම් සංඛ්‍යාවක් ඉතිරි වේවි. මෙවිට නම් 20ක් අවශ්‍ය වනු ඇත. එහෙත් 2න් බෙදූ විට ලැබෙන අවස්ථා දෙකට පමණි නම් ලබා දී ඇත්තේ. එනිසයි මා පැවසුවේ ඔත්තෙ ඉරට්ටෙ යනු යම් තෝරාගත් අවස්ථා දෙකක් සඳහා අප විසින් නිකංම ලබා දුන් නම් දෙකක් පමණි කියා.

එහෙත් ඊට සාපේක්ෂව ධන හා ඍණ යනු එවැනි අපගේ හුදු කැමැත්ත නිසා ඇති වූ සංඛ්‍යා දෙවර්ගයක් නොව, එය ගණිතමය වශයෙන් ලෝක ස්වභාවය පෙන්නුම් කරන අවස්ථා දෙකකි.

ඇත්තටම ඉහත විස්තර කළ ක්‍රියාවලිය තුළ තවත් ගණිත කර්මයක් ඇත. එය මොඩ්‍යුලෝ (modulo) හෙවත් මොඩ්‍යුලස් (modulus) ලෙස හැඳින්වෙනවා. පරිගණක හා ඉලෙක්ට්‍රොනික්ස් තාක්ෂණය තුල මෙම ගණිත කර්මය බහුලව දක්නට ලැබෙනවා. එහි සංඛේතය % හෝ mod වේ. උදාහරණ ලෙස:

3 % 2 = 3 mod 2 = 1

4 % 2 = 4 mod 2 = 0

5 % 3 = 2

100 % 80 = 20

100 % 101 = 100

සරලව කිවහොත් මෙම ගණිත කර්මයෙන් සිදු කරන්නේ යම් සංඛ්‍යාවක් තවත් සංඛ්‍යාවකින් බෙදූ විට, ඉතිරි වන සංඛ්‍යාව කීයද කියා පැවසීමයි. මොඩ්‍යුලස් ගණිත කර්මය යොදා ගෙන ඔත්තේ හා ඉරට්ටේ මෙසේ දැක්විය හැකියි නේද?

N % 2 විට උත්තරය 1 නම්, එය ඔත්තේ වේ; 0 නම් ඉරට්ටේ වේ.

මොඩ්‍යුලෝ ගණිත කර්මය හා බැඳුණු තවත් ගණිත කර්මයක් අර්ථ දැක්විය හැකියි. එය නිඛිල බෙදීම (integer division) ලෙස හැඳින්විය හැකියි. නිඛිල බෙදීම යනු යම් සංඛ්‍යාවක් තවත් සංඛ්‍යාවකින් බෙදූ විට ලැබෙන පූර්ණ සංඛ්‍යා පිළිතුරයි. හැමවිටම නිඛිල බෙදීමකින් පිළිතුර ලෙස ලැබෙන්නේ නිඛිලයකි (නිඛිල බෙදීම යන නම ලැබීමට හේතුවත් එයයි). එහි සංඛේතය ලෙස \ යන්න භාවිතා කළ හැකියි. උදාහරණ ලෙස:

6 \ 2 = 3

5 \ 2 = 2

100 \ 30 = 3

ඕනෑම පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් ගන්න. එවිට එම සංඛ්‍යාව ඉතිරි නැතිව තවත් සංඛ්‍යාවකින් බෙදිය හැකිය; නැතහොත් එම සංඛ්‍යාව වෙනත් කිසිම සංඛ්‍යාවකින් ඉතිරි නැතිව බෙදිය නොහැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, 12 ගන්න. එය ඉතිරි නැතිව 2නුත් 3නුත් 4නුත් බෙදිය හැකියි නේද? එහෙත් 13 ගන්න. එය 1න් බෙදිය හැකිය; ඊට අමතරව එම සංඛ්‍යාවෙන්ම බෙදිය හැකියි (ඉතිරි නැතිව). මේ හැරුණහම වෙනත් සංඛ්‍යාවකින් එය ඉතිරි නැතිව බෙදිය නොහැකියි.

යම් සංඛ්‍යාවක් 1නුත් එම සංඛ්‍යාවෙනුත් පමණක් බෙදිය හැකි නම් (ඉතිරි නැතිව) එම සංඛ්‍යාව ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවක් (prime number) ලෙස හැඳින්වේ. ඒ අනුව 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 යනු 1 සිට 20 දක්වා ඇති ප්‍රථමක සංඛ්‍යා ටිකයි. ප්‍රථමක නොවන අනෙක් පූර්ණ සංඛ්‍යා සියල්ලම සංයුක්ත සංඛ්‍යා (composite number) ලෙස හැඳින්වෙනවා.

ඕනෑම සංයුක්ත සංඛ්‍යාවක් සෑදී තිබෙන්නේ ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවක හෝ ප්‍රථමක සංඛ්‍යා කිහිපයක ගුණිතයක් ලෙසයි. උදාහරණයක් ලෙස 20 ගන්න. එය 2x2x5 වේ. තවද, 120 = 2x2x2x3x5 වේ. ගණිතයේදී යම් සංඛ්‍යාවක සාධක (factors) සොයනවා යැයි පවසන්නේ මෙලෙස යම් සංයුක්ත සංඛ්‍යාවක් සෑදී ඇති ප්‍රථමක සංඛ්‍යා ටික සෙවීමයි. ඒ අනුව 20 හි සාධක වන්නේ 2 හා 5 වේ.

මතකයට

ආදී කාලයේ 1 යන්නද ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවක් ලෙස සැලකුවා. එහෙත් පසු කාලයේ යම් යම් දෝෂ ඉන් ඇති වන නිසා, 1 යන්න ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවක් නොවේ යැයි අර්ථ දක්වා තිබෙනවා. ඒ අනුව කුඩාම ප්‍රථමක සංඛ්‍යාව 2 වේ. ඇත්තටම ඉරට්ටේ ස්වරූපයෙන් පවතින එකම ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවත් 2 වේ. අනෙක් සියලුම ප්‍රථමක සංඛ්‍යා ඔත්තේ ස්වරූපයෙනුයි පවතින්නේ.

යම් සංඛ්‍යාවක් ප්‍රථමකද නැද්ද කියා සෙවීමට කෙටි හෝ පහසු ක්‍රමයක් හෝ සූත්‍රයක් නැත. ඇත්තටම කිසිම ක්‍රමයක් හෝ සූත්‍රයක් ඒ සඳහා නොමැත. ගණිතයේ එදා සිටම මේ මොහොත දක්වාම ඕනෑම ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවක් හඳුනාගැනීමට ක්‍රමයක් ගණිතඥයන් දන්නේ නැත. එහෙත් 1 සිට 100 හෝ 1000 හෝ එවැනි කුඩා පරාසයක් තුළ පවතින ප්‍රථමක සංඛ්‍යා හඳුනා ගැනීමට යම් ක්‍රමයක් ඇත. එය සිදු කරන්නේ මෙසේය. තමන්ට කැමති සංඛ්‍යා පරාසය 1 සිට ලියන්න. උදාහරණයක් ලෙස තමන්ට අවශ්‍ය පරාසය 1 සිට 100 දක්වා නම්, 1 සිට 100 දක්වා ඉලක්කම් පිළිවෙළින් කොලයක ලියන්න. මා උදාහරණය සඳහා ගන්නේ 1 සිට 20 දක්වා පමණි.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19 20

දැන් කරන්නට තිබෙන්නේ මෙයයි. ඉන් 1 කපා දමන්න (මොකද ප්‍රථමක සංඛ්‍යා අර්ථ දක්වන විටම තීරණය කර තිබෙනවානෙ 1 යන්න ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවක් නොවේ කියා). ඉන්පසු හමුවන සංඛ්‍යාව ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවකි (2 යනු ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවක් කියා කොහොමත් ඔබ දන්නවනෙ). මෙම 2 හා එම ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවෙන් බෙදෙන සංඛ්‍යා දැන් කපා දමන්න. 2න් බෙදෙන සංඛ්‍යා කපනවා යනු 2ට පසුව ඇති සියලුම ඉරට්ටේ සංඛ්‍යා කවදාවත් ප්‍රථමක විය නොහැකියි යන්නයි. ඒ කියන්නේ මෙම මුල් අවස්ථාවේදීම ඉදිරියට ඇති සංඛ්‍යා වලින් හරි අඩකට ප්‍රථමක සංඛ්‍යා වීමේ වරය අහිමි වී යනවා නේද?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19 20

දැන් මීට පෙර ලැබූ ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවට පසුව හමුවන නොකැපූ පළමු ඉලක්කම ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවකි. මෙම නව ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවෙන් බෙදෙන සංඛ්‍යාද පෙර සේම කපා දමන්න.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19 20

ඉහත ක්‍රියාවලිය දිගටම කරගෙන යන්න. මී ළඟට හමුවන නොකැපූ සංඛ්‍යාව 5 වේ. ඒ කියන්නේ එය ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවකි. එවිට 5න් බෙදෙන සංඛ්‍යා කපාගෙන යන්න. ඉන්පසු 7 යන්න ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවක් ලෙස හමු වේවි. මේ ලෙසට පහත ආකාරයට අවසානයේ ඉලක්කම් සියල්ල කැපී යන තෙක්ම සිදු කළ විට, එම සංඛ්‍යා පරාසය තුළ තිබෙන ප්‍රථමක සංඛ්‍යා (වර්ණ කර ඇති) සොයා ගත හැකියි. මෙය තරමක එපාවන වැඩක් වුවත්, කුඩා සංඛ්‍යා පරාසයක් තුළ තිබෙන ප්‍රථමක සංඛ්‍යා ඉතාම නිවැරදිව හඳුනාගත හැකි එකම ක්‍රමය මෙය වේ.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19 20

මෙලෙස යම් සංඛ්‍යාවක් එම සංඛ්‍යාවෙන්ම ගුණ කළ හැකියිනෙ. එය ඔබට ඕනෑම වාර ගණනක් ගුණ කළ හැකියි. උදාහරණයක් ලෙස, 5 x 5 x 5 x 5 ලෙස 5 සංඛ්‍යාව හතර සැරයක් එම සංඛ්‍යාවෙන්ම ගුණ කළ හැකියි. යම් සංඛ්‍යාවක් කිහිප වතාවක්ම එම සංඛ්‍යාවම එකතු කර ගෙන යෑම සරල කිරීම සඳහා ගුණ කිරීම යන ගණිත කර්මය හඳුන්වා දුන්නා සේම, මෙහිදිත් නව ගණිත කර්මයක් හඳුන්වා දුන්නා. එය 5⁴ ලෙස ලියා දක්වනවා. මෙවැනි සංඛ්‍යා "බලයකට නැංවූ සංඛ්‍යා" (exponentiated numbers හෝ raised numbers) ලෙස හැඳින්වෙනවා. මෙම ගණිත කර්මය "බලයට නැංවීම" (exponentiation) ලෙස හැඳින්වෙනවා.

මතකයට

10³ ආදී ලෙස ඇති බලයට නැංවූ සංඛ්‍යාවක් ගන්න. එහි කුඩාවට උඩට ඔසවා ඇති ඉලක්කම දර්ශකය (index) ලෙස හැඳින්වෙන අතර, සාමාන්‍ය ප්‍රමාණයෙන් ඇති සංඛ්‍යාව පාදය (base) ලෙසද හැඳින්වෙනවා. මෙවැනි සංඛ්‍යා සමග සුලු කිරීම් කිරීමේදී දර්ශක රීති (index rules) අර්ථ දක්වා තිබෙනවා. පහත දැක්වෙන්නේ එම දර්ශක රීති වේ. දර්ශක රීති පිළිපදින මෙම බලයට නැංවූ සංඛ්‍යා දර්ශක සංඛ්‍යා ලෙසද හැඳන්විය හැකියි.

දර්ශක සංඛ්‍යාවල විශේෂ අවස්ථා කිහිපයක් ඇත. යම් සංඛ්‍යාවක් එම සංඛ්‍යාවෙන්ම ගුණ කළ විට, එම සංඛ්‍යාව X² ලෙස ලිවිය හැකියිනෙ. එවිට එම බලයට නැංවීමේ ගණිත කර්මය "වර්ග කරනවා" (square) ලෙස විශේෂ නමිකින් හඳුන්වනවා. එවිට X² යන සංඛ්‍යාව "වර්ග සංඛ්‍යාවක්" (squared number) ලෙස හැඳින්වෙනවා. මෙලෙසම යම් සංඛ්‍යාවක් තෙවරක් එම සංඛ්‍යාවෙන්ම ගුණ කළ විට, “ඝන සංඛ්‍යාවක්" (cubed number) ලෙස හැඳින්වෙනවා (X³).

දැන් සුපුරුදු ලෙසම මානවයා මෙම බලයට නැංවීමේ ගණිත කර්මයේ විලෝමය ගැනද සිතුවා. එවිට ඔහුට "මූල සෙවීම" (root) නම් ගණිත කර්මය හමු වූවා. උදාහරණයක් ලෙස, 2x2 = 4 නිසා, 4 යන සංඛ්‍යාව ලැබෙන්නේ 2x2 ලෙස බව ඔවුන්ට පෙනුනා. තවද, -2x-2 = 4 බවද ඔවුන් දන්නවා. ඒ අනුව 4 යන සංඛ්‍යාව ලැබිය හැකි අනෙක් ආකාරය නම් -2x-2 ලෙසත් ඔවුන් තීරණය කළා.

මතකයට

මෙලෙස යම් සංඛ්‍යාවක් (Y) ලැබෙන්නේ තවත් සංඛ්‍යාවක් (X) කිහිප වාරයක් ගුණ කිරීමෙන් නම්, එම X සංඛ්‍යාව මූලය (root) ලෙස හැඳින්වෙනවා. මෙම ගණිත කර්මය මූල සෙවීම ලෙස හැඳින්වෙන්නේද එනිසාය.

මූලය සොයන ගණිත කර්මයද විවිධාකාරයි. දෙවැනි මූලය (square root), තෙවැනි මූලය (cubic root), හතරවැනි මූලය (fourth root), පනස් එක් වැනි මූලය (fifty first root) ආදී ලෙස මෙම මූල නම් කෙරේ. උදාහරණයක් ලෙස, 16 හි දෙවැනි හෙවත් වර්ග මූලය 4 හෝ -4 වේ. ඊට හේතුව 4x4 = -4x-4 = 16 වීමයි. 16හිම හතරවැනි මූලය 2 හෝ -2 වේ. ඊට හේතුව 2x2x2x2 = -2x-2x-2x-2 = 16 වීමයි.

දැන් මෙලෙසම 2හි වර්ගමූලය කුමක්ද? ඒ කියන්නේ 2 ලැබීමට නම් කුමන සංඛ්‍යාව එම සංඛ්‍යාව මඟින්ම ගුණ කළ යුතුද? ඉහත ආකාරයට එය පහසුවෙන් කිව නොහැකි බව ඔබ දන්නවා. එය ගුණ කරන ආකාරය කියා දීමට නොව මට මෙහිදී අවශ්‍ය වන්නේ. මෙම ගණිත කර්මය සිදු කිරීම නිසා දැන් අපට ලැබෙන්නේ මෙතෙක් අප කතා කළ කිසිම ආකාරයක සංඛ්‍යාවක් නොව අලුත්ම ජාතියේ සංඛ්‍යාවකි. අනිවාර්යෙන්ම එය නිඛිලයක් නොවේ; එය දශම සංඛ්‍යාවකි. එහෙත් මෙහි විශේෂත්වය වන්නේ මෙම දශම සංඛ්‍යාව නිශ්චිතව දැක්විය නොහැකි වීමයි. එනම් දශම තිතට පසුව තිබෙන දශමස්ථාන ගණන ලියා ඉවර කළ නොහැකිය (මෙවැනි දශම අනන්ත දශම ලෙස හැඳින්වෙනවා). ඉතිං මෙලෙස නිශ්චිතවම අගය ප්‍රකාශ කළ නොහැකි සංඛ්‍යා අපරිමේය සංඛ්‍යා (irrational numbers) ලෙස හැඳින්වෙනවා. එවිට, ඉබේම මෙතෙක් අප කතා කළ නිශ්චිතව අගය දැක්විය හැකි සංඛ්‍යා පරිමේය සංඛ්‍යා (rational numbers) ලෙස හැඳින්වීමට සිදු වෙනවා.

මතකයට

ඉහත ඡේදයේ ආකාරයට අපරිමේය සංඛ්‍යා ගැන පැවසුවත්, එය ගණිතයේදී අර්ථ දක්වන සම්මත ආකාරයක් තිබෙනවා. යම් සංඛ්‍යාවක් භාග සංඛ්‍යාවක් ලෙස (එනම්, p/q ආකාරයට; q ශූන්‍ය නොවිය යුතුය) දැක්විය හැකි නම්, එය පරිමේය සංඛ්‍යාවක් ලෙසයි අර්ථ දක්වන්නේ. මේ ආකාර දෙකෙන්ම කියවෙන්නේ එකම දේ නේද?

පරිමේය, අපරිමේය, ධන, ඍණ, ප්‍රථමක, සංයුක්ත, ඔත්තේ, ඉරට්ටේ, නිඛිල, දශම/භාග, ගණින සංඛ්‍යා ආදී ලෙස විවිධ සංඛ්‍යා වර්ග අපට ඉහතදී හමු වූවා. මේ සියලු සංඛ්‍යා පොදුවේ තාත්වික සංඛ්‍යා (real numbers) ලෙස හැඳින්වෙනවා. "තාත්වික" යන්නෙහි තේරුම "සත්‍ය ලෙසම පවතින" යන්නයි. ඒ කියන්නේ මා ගාව පොත් 4ක් තිබෙනවා යැයි පැවසුවොත් මට එම පොත් 4 පෙන්විය හැකියි. එම පොත් 4 මේ මොහොතේ මා සතුව නොපැවතීමට හැකියි (උදාහරණයක් ලෙස, ඒවා හොරෙකු විසින් හොරකම් කර තිබිය හැකියි). එහෙත් එම පොත් 4 කොහෝ හෝ සැබැවින්ම තිබෙනවා නේද?

තවද, රූපමය ආකාරයෙන් පහත දැක්වෙන ආකාරයට සියලු තාත්තවික සංඛ්‍යා දැක්විය හැකියි. මෙම රේඛාව තාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව (real number line) ලෙස හැඳින්වෙනවා.

 

බලන්න එම රේඛාව මත ඔබට සිතෙන ඉහත ඕනෑම ආකාරයේ සංඛ්‍යාවක් ලිවිය හැකියි. 0 එහි ඇත. 0 සිට දකුණු අත පැත්තට සියලු ධන සංඛ්‍යා ලියනවා. 0 සිට වමට සියලුම ඍණ සංඛ්‍යා ලියනවා. එම රේඛාව දෙපැත්තට අනන්තය දක්වා විහිදෙනවා. අනන්තය ප්‍රායෝගිකව ඇඳිය නොහැකියිනෙ. එනිසයි එම රේඛාවේ දෙපස ඊ හිස් වලින් කෙළවර කර තිබෙන්නේ ඕනෑ තරම් ඈතට එය ඇඳිය හැකි බව හැඟවීමට. 2.5674 යන දශම සංඛ්‍යාව මෙම රේඛාවේ 2ත් 3ත් අතර තිබිය යුතුයිනෙ. අපරිමේය සංඛ්‍යාවක් අපට දශම සංඛ්‍යාවක් ලෙස ලිවිය නොහැකි වුවත් එයත් මෙම රේඛාවේ යම් තැනක පිහිටිය යුතුයිනෙ. උදාහරණයක් ලෙස, 2.52234532345329684726... යන අපරිමේය සංඛ්‍යාව අනිවාර්යෙන්ම 2ට වැඩි හා 3ට අඩුයිනෙ. ඒ කියන්නේ එම සංඛ්‍යාවේ සැබෑවටම අවසන් අගය කුමක්ද කියා අප දන්නේ නැති වුවත්, අනිවාර්යෙන්ම එම අගය 2ත් 3ත් අතර තැනකනෙ පිහිටිය යුත්තේ.

මතකයට

සංඛ්‍යාවල කුඩාම අගය ශූන්‍ය කියා අවශ්‍ය නම් කෙනෙකුට කිව හැකිය. එහෙත් තවත් පැත්තකින් ශූන්‍ය යනු අගයක් නොවේ. මා ළඟ පොත් දෙකක් තිබේ යැයි කිය හැකි වුවත් මා ළඟ පොත් බිංදුවක්/ශූන්‍යයක් ඇතැයි කියා කීමට අයිතියක් නැහැ. මේ අනුව, බිංදුව/ශූන්‍ය (zero) හැරුණහම ඊළඟට ඇති කුඩාතම සංඛ්‍යාව කුමක්ද? ඇත්තටම එවැනි අගයක් අර්ථ දැක්විය නොහැකියි. ඔබ අහවල් අගය තමයි කුඩාතම අගය ලෙස පැවසුවොත් මා කියනවා එම ඔබ දක්වපු කුඩාතම සංඛ්‍යාව දෙකෙන් බෙදන්න කියා. එවිට ඊටත් වඩා කුඩා අගයක් ලැබෙනවා නේද? ඒ කියන්නේ කුඩාතම අගයක් කිසිවෙකුට අර්ථ දැක්විය නොහැකියි.

එලෙසම, විශාලතම සංඛ්‍යාවක් අර්ථ දැක්වියද නොහැකියි. ඔබ පැවසුවොත් අහවල් සංඛ්‍යාව තමයි විශාලතම සංඛ්‍යාව කියා මා කියනවා එම සංඛ්‍යාවට තව 1ක් එකතු කරන්න කියා. ඒ ආකාරයට තර්ක කරගෙන ගියොත් කිසිවෙකුට විශාලතම සංඛ්‍යාව යනුවෙන් සංඛ්‍යාවක් දැක්විය නොහැකියි.

කුඩාතම සංඛ්‍යාව නම් ශූන්‍යයට ඉතාම ආසන්න යැයි පැවසිය හැකියි. ඉන් ඔබට කිසියම් අදහසක් දළ වශයෙන් හෝ ලැබෙනවා. එහෙත් විශාලත සංඛ්‍යාව අහවල් සංඛ්‍යාවට ආසන්න යැයි පැවසිය නොහැකියි. එනිසා විශාලතම සංඛ්‍යාව "අනන්තය" (infinity) ලෙස හඳුන්වනවා. අනන්තය යනු ඉලක්කමක් හෝ සංඛ්‍යාවක් හෝ අගයක් නොවේ. “යම් අතිවිශාල අගයක්" යන්නට කියන තනි වචනයයි. ධන පැත්තෙන් ධන අනන්තයද, ඍණ පැත්තෙන් ඍණ අනන්තයද පවතී.

එහෙත් ශූන්‍ය හා අනන්තය සතු ගති ලක්ෂණ නිසා ගණනය කිරීම්වලදි අවශ්‍යම නම් අනන්තය යොදා ගත හැකියි (ශූන්‍ය නම් කොහොමත් ගණනය කිරීම්වලදී යොදා ගන්නවනෙ). අනන්තය හා ශූන්‍ය යොදා ගෙන ගණනය කිරීම් කරන විට පහත සුවිශේෂි අවස්ථා මතක තබා ගන්න (ඒවා කටපාඩම් කිරීමට අවශ්‍ය නැත; සාමාන්‍ය බුද්ධිය යොදා ගෙන ඒවා තර්ක කර තේරුම් ගත හැකියි).

1. ඕනෑම අගයක් අනන්තයෙන් බෙදු විට, පිළිතුර ලෙස ශූන්‍යය ලැබේ (x/අනන්තය = 0). එහෙත් අනන්තය/අනන්තය යන බෙදීම කළ නොහැකියි (අවලංගුයි).

2. ඕනැම අගයක් ශූන්‍යයෙන් බෙදූ විට, පිළිතුර ලෙස අනන්තය ලැබේ. එහෙත් 0/0 යන බෙදීම කළ නොහැකියි (අවලංගුයි).

3. ඕනෑම අගයක් ශූන්‍යයෙන් වැඩි කළ විට, පිළිතුර ශූන්‍ය වේ.

4. ඕනෑම අගයක් අනන්තයෙන් වැඩි කළ විට, පිළිතුර අනන්තය වේ.

හරි, දැන් -4හි වර්ගමූලය සොයමු. ඔබ කොතරම් උත්සහ කළත් මෙතෙක් උගත් දැනුම හා සංඛ්‍යා ඔස්සේ නම් කිසිදා මෙහි මූලය සෙවිය නොහැකිය. ඒ ඇයි? 4 හි මූලය නම් 2 හෝ -2 වේ. ඊට හේතුව 2x2 = -2x-2 = 4 වීමයි. එවිට ආපස්සට 4 සෑදී තිබෙන්නේ 2 එම සංඛ්‍යාවෙන්ම ගුණ වීමෙන් හෝ -2 එම සංඛ්‍යාවෙන්ම ගුණ වීමෙන් බව ඔබට පහසුවෙන්ම වැටහෙනවා. එහෙත් -4 එලෙස සෑදී තිබෙන්නේ කෙලෙසද? සංඛ්‍යා එක්කෝ ධනය; නැතහොත් ඍණය. ඒ අනුව 2x2 වන විටත්, -2x-2 වන විටත් හැමවිටම ලැබෙන්නේ 4 මිසක් -4 නොවේ. ඇත්තටම, යම් සංඛ්‍යාවක් එම සංඛ්‍යාවෙන්ම ගුණ වී -4 සෑදෙන ක්‍රමයක් නැත.

ඒ කියන්නේ එක්කෝ ඉහත ආකාරයේ ගණිත කර්මය අවලංගු ගණිත කර්මයක් ලෙස සැලකීමට සිදු වෙනවා. නැතහොත් සාමාන්‍යයෙන් ගණිතයේදී මෙතෙක් සිදු කර ඇති ලෙස තවත් ආකාරයේ සංඛ්‍යා පිළිබඳ න්‍යායක් ගොඩ නැඟිය යුතු වෙනවා. දෙවැනි ක්‍රමයයි මානවයා විසින් තෝරා ගනු ලැබුවේ. අලුත් සංඛ්‍යා වර්ගයක් ඔවුන් නිර්මාණය කළා (අතාත්වික සංඛ්‍යා). දැන් ඒ ගැන විමසා බලමු.

complex number  ...