සංඛ්‍යා හා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා (complex numbers) - 3

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා (complex number)

"සංකීර්ණ" යන වචනය ඇසෙන විට එකවරම ඔබට හැඟෙන්නේ අමාරු බරපතල දෙයක් කියාය. එහෙත් සංකීර්ණ යන්නෙහි සත්‍ය තේරුම සංයුක්ත යන්නයි (සංයුක්ත යන්නෙහි "කොටස් කිහිපයකින් යුතු" තේරුම ඇත). ඔබ අසා ඇති "සාප්පු සංකීර්ණ" (shopping complex) ගැනත්. එකම ගොඩනැඟිල්ලේ සාප්පු ගණනාවක් තිබෙන විට එය සාප්පු සංකීර්ණයකි. දැක්කද එහි තිබෙන්නේ සංකීර්ණ යන වචනය සත්‍ය තේරුමින්.

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා යනුද ඉතා අමාරු බරපතල සංඛ්‍යා වර්ගයක් නොවේ. එහි නියම තේරුම "සංයුක්ත සංඛ්‍යාවක්" යන්නයි. එහෙත් දැනටමත් සංයුක්ත සංඛ්‍යා යන වචනය ගණිතයේදී වෙනත් අවස්ථාවකදී යොදා ගන්නා නිසා එම වචනය භාවිතා කිරීමට නොහැකියිනෙ. මතකද ප්‍රථමක සංඛ්‍යා හා සංයුක්ත සංඛ්‍යා ගැන මොහොතකට පෙර අප කතා කළා?

ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවලට සාපේක්ෂව සංයුක්ත සංඛ්‍යා ගැන කතා කිරීමේදී එම සංයුක්ත සංඛ්‍යා සෑදුණේ ප්‍රථමක සංඛ්‍යා කිහිපයකින් බව ඉගෙන ගත්තා. උදාහරණයක් ලෙස, 2x3x5 යන ප්‍රථමක සංඛ්‍යා තුනෙන් 30 යන සංයුක්ත සංඛ්‍යාව සෑදුණා. එලෙසම "සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව" ලෙස හැඳින්වෙන සංයුක්ත සංඛ්‍යාව සෑදී තිබෙන්නේ කුමනාකාරයේ කොටස්වලින්ද?

සංයුක්ත සංඛ්‍යාවක කොටස් දෙකක් ඇත. එම කොටස් දෙකෙන් එකක් තාත්වික සංඛ්‍යාවකි. අනෙක් කොටස අතාත්වික සංඛ්‍යාවකි. තාත්වික සංඛ්‍යාවක් ලියන විට නිකංම ඉලක්කම්වලින් එය දක්වනවා. අතාත්වික සංඛ්‍යාවක් ලියන විට ඉලක්කම්වලට පිටුපසින් (හෝ ඉදිරියෙන්) i අකුරක් අමතරව යොදනවා. ඉතිං තාත්වික හා අතාත්වික යන සංඛ්‍යා කොටස් දෙකක්ම සංයුක්ත සංඛ්‍යාව තුළ තිබෙන නිසා සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් ලිවීමට සිදු වන්නේ පහත ආකාරයෙනි.

a + bi

මෙහි a වලින් දැක්වෙන්නේ තාත්වික කොටසයි (real part). bi වලින් දැක්වෙන්නේ අතාත්වික කොටසයි (imaginary part).

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා කිහිපයක් සලකා බලමු.

2 + 4i 9.32 + 5i

3 + 9.2143214i 0.0002 + 4.22i

-42 + 3i -432.99 + 3.42i

5 – 3i (මෙය ලැබෙන්නේ 5 + (-3i) = 5 – 3i ලෙස සුලු කළ හැකි නිසාය)

-2 – 4i

දැන් තාත්වික කොටස හෝ අතාත්වික කොටස ශූන්‍ය නම් කුමක් සිදු වේද? සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ තාත්වික කොටස 0 නම්, සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව නිකංම අතාත්වික සංඛ්‍යාවක් බවට පත් වේ. එලෙසම, සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ අතාත්වික කොටස 0 නම් (0i නම්), එවිට සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව ඉබේම තාත්වික සංඛ්‍යාවක් බවට පත් වේ.

0 + 3i → 3i 0 – 4.2i → -4.2i

24 + 0i → 24 2.421 – 0i → 2.421

මේ අනුව, සංකීර්ණ සංඛ්‍යා යනු තාත්වික හා අතාත්වික සංඛ්‍යා දෙකෙහිම මව් හෙවත් මූලික ස්වරූපය ලෙස සැලකිය හැකියි නේද? ඊට හේතුව සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවෙන්ම ඉහත පෙන්වූ විදියට තාත්වික මෙන්ම අතාත්වික සංඛ්‍යා දෙවර්ගයම ව්‍යුත්පන්න කරගත හැකි වීමයි.

අතාත්වික සංඛ්‍යා පාඩමේ අවසානයේ මා ප්‍රශ්නයක් ඇසුවා තාත්වික හා අතාත්වික සංඛ්‍යා දෙකක් එකතු කළ විට හෝ අඩු කළ විට කුමක් සිදු වේද කියා. එහි පිළිතුර සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් බව දැන් ඔබට පැහැදිලි විය යුතුයි. අවශ්‍ය නම් තවදුරටත් එය වඩාත් පැහැදිලි වනු පිනිස මෙසේ ලියා පෙන්විය හැකියි.

ඇත්තටම මෙය තේරුම් ගැනීමට එතරම් අපහසු නැත. තාත්වික හා අතාත්වික කොටස් දෙක නිකංම + වලින් එක් තැන් කර ලිවීමට පමණයි සිදු වන්නේ. උදාහරණයක් ලෙස, 4 යන තාත්වික සංඛ්‍යාවට 9i යන අතාත්වික සංඛ්‍යාව එකතු කරන විට, නිකංම 4+9i ලෙස එය ලියන්න. එලෙසම 3 යන තාත්වික සංඛ්‍යාවෙන් 8i යන අතාත්වික සංඛ්‍යාව අඩු කරන්න යැයි කී විට, එය 3-8i ලෙස ලිවිය හැකියි නේද (මොකද 3 + (-8i) = 3-8i නිසා)?

5i යන අතාත්වික සංඛ්‍යාවට 4 යන තාත්වික සංඛ්‍යාව එකතු කරන්න යැයි කී විට, එය 5i+4 ලෙස ලිවිය හැකියි. එහෙත් අප සම්මතයක් ලෙස පළමුව තාත්වික කොටස දෙවනුව අතාත්වික කොටසයි ලියන්නේ. එනිසා එය 4+5i ලෙස ලිවිය යුතුය. එලෙසම 8i යන අතාත්වික සංඛ්‍යාවෙන් 2 යන තාත්වික සංඛ්‍යාව අඩු කිරීම ලියා දක්වන්නේ 8i – 2 ලෙසයි. එහෙත් සම්මත ආකාරයට එය හරවන විට, -2+8i ලෙස ලිවිය යුතුය.

දැන් බලමු සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සමග ගණිත කර්ම සිදු කරන අයුරු. තාත්වික හා අතාත්වික සංඛ්‍යා සමග ගණිත කර්ම සිදු කරන අයුරු දැන් ඔබ දන්නා නිසා, සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සඳහා අමුතුවෙන් බොහෝ දේවල් දැන ගැනීමට අවශ්‍ය වන්නේ නැත.

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා එකතු කිරීම හා අඩු කිරීම

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවකට තවත් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් එකතු කරන විට, තාත්වික කොටස් දෙක හා අතාත්වික කොටස් දෙක වෙන වෙනම එකතු කරන්න. අඩු කරන විටද එසේ වෙන වෙනම කොටස් දෙක සලකා සාමාන්‍ය පරිදි සුලු කිරීම කරන්න.

තවත් උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

(2.43+5i) + (5+21.1i) = 7.43+26.1i

(3+8i) – (5+3i) = -2+5i

(4+2i) – (1+5i) = 3-3i

(5-9i) + (2+8i) = 7-1i

(5.21-4.4i) + (2-2i) = 7.21-6.4i

තාත්වික හා අතාත්වික සංඛ්‍යා යනුද සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවල සුවිශේෂී ආකාර දෙකක් බැවින් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවකට තාත්වික හා අතාත්වික සංඛ්‍යාද එකතු කිරීමට හා අඩු කිරීමට හැකියි. සුපුරුදු ලෙසම එකම ජාතියේ කොටස් එකට සුලු කරන්න.

(4+8i) + 4 = 8+8i

(-2+4i) + 5 = 3+4i

(4+2i) – 9 = -5+2i

(4+2i) + 3i = 4+5i

(1+2i) – 4i = 1-2i

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ගුණ කිරීම

මෙහිදී ඔබට වීජ ගණිතයේ හමුවන

a(x+y) = ax+ay හා

(a+b)(x+y) = (ax+ay+bx+by)

යන සරල සුලු කිරීමේ උපක්‍රම දෙක භාවිතා කිරීමට සිදු වෙනවා.

පළමුව බලමු සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් තාත්වික සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කරන අයුරු.

3 x (2+9i) = 6+27i

8 x (-2+2i) = -16+16i

2 x (5-2i) = 10-4i

-4 x (2+7i) = -8-28i

2.5 x (2+i) = 5+2.5i

දෙවනුව බලමු සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් අතාත්වික සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කරන විදිය. මෙවිටද ඉහත ලෙසටම a(x+y) යන සුලු කිරීමේ උපක්‍රමයමයි යොදන්නට සිදු වන්නේ.

2i x (4+8i) = 8i+16i² = 8i-16 → -16+8i

4i x (-4-2i) = -16i-8i² = -16i -(-8) = -16i+8 → 8-16i

2.5i x (2+2i) = 5i-5 → -5+5i

දැන් අපි බලමු සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් තවත් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කරන අයුරු. (a+b) x (c+d) = (ac+ad+bc+bd) යන සුලු කිරීමේ උපක්‍රමයයි යොදන්නේ.

 

(2+2i)x(7-4i) = 14 – 8i + 14i – 8i² = 14 + 6i + 8 = 22+6i

(4-2i)x(2-3i) = 8 – 12i – 4i -6 = 2-16i

(-1-2i)x(2.5+3i) = -2.5 – 3i – 5i + 6 = 3.5-8i

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා බෙදීම

පළමුව බලමු සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් තාත්වික සංඛ්‍යාවකින් බෙදන අයුරු. කිසිම අමුතු විදියක් නැත. සාමාන්‍ය විදියටම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ තාත්වික හා අතාත්වික කොටස් වෙන වෙනම බෙදා දක්වන්න.

(4+5i)/2 = (4/2) + (5i/2) = 2+2.5i

(6-4i)/2 = 3-2i

(-9+3i)/-3 = 3-i

දෙවනුව බලමු සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් අතාත්වික සංඛ්‍යාවකින් බෙදන විදිය. මෙහිදීත් අතාත්වික සංඛ්‍යා යටතේ උගත් රීති එලෙසම යොදා සුලු කරන්න.

(3+3i)/3i = (3/3i) + (3i/3i) = -1i + 1 → 1-i

(5-2i)/2i = -2.5i - 1 → -1 - 2.5i

(9+6i)/-3i = 3i-2 → -2+3i

දැන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් තවත් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවකින් බෙදන අයුරු බලමු. ඉහත අවස්ථා දෙකෙහි මෙන් එක්වරම මෙය සුලු කළ නොහැකිය. මෙය පහසුවෙන් කර ගත හැකියි හරයේ තිබෙන සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව තාත්වික සංඛ්‍යාවක් බවට පළමුව පත් කර ගත හැකි නම්. එය කිරීමට ක්‍රමයක් ඇත. හරයේ ඇති සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ ප්‍රතිබද්ධය (complex conjugate) ඒ සඳහා උපකාරි කර ගනී.

සංකීර්ණ ප්‍රතිබද්ධය

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ප්‍රතිබද්ධය හෙවත් සංකීර්ණ ප්‍රතිබද්ධය යනු ඉතාම පහසුවෙන් සාදා ගත හැකි දෙයකි. දී තිබෙන සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ මැද තිබෙන සලකුණ විරුද්ධ සලකුණ බවට පත් කිරීමට පමණි සිදු කිරීමට තිබෙන්නේ. උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

9+2i හි ප්‍රතිබද්ධය 9-2i වේ.

5-4i → 5+4i

-5+2i → -5-2i

මතකයට

තාත්වික සංඛ්‍යාවක් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ස්වරූපයෙන් ලිවිය හැකියිනෙ. උදාහරණයක් ලෙස, 5 යන තාත්වික සංඛ්‍යාව 5+0i ලෙස ලිවිය හැකියි. එවිට, 5+0i යන සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ ප්‍රතිබද්ධය 5-0i වේ. එහෙත් 0i යනු නිකංම 0 නිසා, +0i වුවත් -0i වුවත් වෙනසක් නැත. ඒ කියන්නේ තාත්වික සංඛ්‍යාවක ප්‍රතිබද්ධය හැමවිටම එම සංඛ්‍යාවමයි.

අතාත්වික සංඛ්‍යාවක්ද සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ස්වරූපයෙන් ලිවිය හැකියි. උදාහරණයක් ලෙස, 5i යන අතාත්වික සංඛ්‍යාව 0+5i ලෙස ලිවිය හැකියි. එවිට, එම සංඛ්‍යාවේ ප්‍රතිබද්ධය 0-5i වේ. 0න් ප්‍රයෝජනයක් නැති නිසා 0 ඉවත් කළ විට, -5i ලැබේ. එලෙසම -3i යන අතාත්වික සංඛ්‍යාවේ ප්‍රතිබද්ධය ලෙස 3i වන බවත් පැහැදිලියිනෙ. ඒ කියන්නේ අතාත්වික සංඛ්‍යාවක ප්‍රතිබද්ධය සාදන්නේ එම සංඛ්‍යාවට ඉදිරියෙන් ඇති ලකුණ මාරු කිරීමෙනි.

ඔබ දන්නවා

(a+b) x (a-b) = a²-b²

බව. සංකීර්ණ ප්‍රතිබද්ධය අප යොදා ගන්නේ ඉහත ආකාරයේ සුලු කිරීමක් සිදු කිරීම පිනිසයි. එවිට සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ i අකුර අතුරුදහන් වී සාමාන්‍ය තාත්වික සංඛ්‍යාවක් බවට එය පත් වේ. උදාහරණයක් බලමු.

(4+2i) x (4-2i) = 4² – (2i)² = 16 – 4(-1) = 16+4 = 20

දැක්කද (4+2i) යන සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ ප්‍රතිබද්ධය වන (4-2i) වලින් ගුණ කළ විට එම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව තාත්වික සංඛ්‍යාවක් බවට පත් විය. මෙන්න මෙම ගතිගුණය තමයි අප සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් තවත් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවකින් බෙදන විට යොදා ගන්නේ.

බෙදීමේ හරයේ (එනම් යට) ඇති සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ ප්‍රතිබද්ධයෙන් හරය හා ලවය වෙන වෙනම ගුණ කරන්න (ඔබ දන්නවා යම් භාගයක හරයට හා ලවයට එකම ගණිත කර්මය සිදු කරන විට එම භාගයේ අගයේ වෙනසක් සිදු නොවන බව). ඉන්පසු ලවය සුලු කළ විට අවසානයේ යම් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක්ද, හරය සුලු කළ විට ඉහත පෙන්වා දුන් ලෙස යම් තාත්වික සංඛ්‍යාවක්ද ලැබේ. එවිට, ඔබට අවසාන වශයෙන් සිදු කරන්නට තිබෙන්නේ සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් තාත්වික සංඛ්‍යාවකින් බෙදා අවසන් කිරීමයි.

දැන් ඔබට හැකියි තාත්වික, අතාත්වික, හා සංකීර්ණ යන සියලුම ආකාරයේ සංඛ්‍යා සමග ගණිත කර්ම සිදු කරන්නට. සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙකක් ගුණ කිරීමේදී හා බෙදීමේදී තරමක් වැඩි කාලයක් ගත වුවත්, එකතු කිරීම හා අඩු කිරීම ඉතා පහසුවෙන්ම සිදු කළ හැකියි නේද?