Skip to main content

සංඛ්‍යා හා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා (complex numbers) - 2


අතාත්වික සංඛ්‍යා (imaginary numbers)

නැවතත් ඉහත සලකා බැලූ එහෙත් විසඳීමට අපහසු ගණිත ගැටලුව බලමු. -4 හි වර්ගමූලයයි සොයන්නට තිබෙන්නේ. -4 යන සංඛ්‍යාව -1x4 ලෙස ලිවිය හැකියි නේද? එවිට පහත ආකාරයට තරමක් දුරට එම ගැටලුව සුලු කරගෙන යා හැකියි. මෙහිදී කිසිසේත් සුලු කර ගත නොහැකි වූ විශාල තනි සංඛ්‍යාව තරමක් දුරට සුලු කර ගත හැකි වෙනවා. දැන් සුලු කර ගැනීමට බැරි කොටස වන්නේ -1හි වර්ගමූල පදයයි. මෙයත් තරමක ජයග්‍රහණයකි.


මේ ආකාරයට ඕනෑම ඍණ සංඛ්‍යාවක වර්ගමූලය ඉහත පෙන්වූ විදියට සුලු කර ගත හැකියි. එවිට -1හි වර්ගමූල පදයක් සුලු කර ගත නොහැකිව ඉතිරි වේ. ඇත්තටම කිසිම කෙනෙකු අදටත් දන්නේ නැහැ මෙම -1 හි වර්ගමූලය විසඳන අයුරු. තවද, මෙම -1 හි වර්ගමූලය විසඳන තුරු තවමත් විශාල ප්‍රකාශයට හරි නිවැරදි හැඟීමක් ලැබෙන්නේද නැත. ඒ කියන්නේ -4හි වර්ගමූල පදයේ සත්‍ය වටිනාකම/අගය කුමක්දැයි තවම අපට සිතා ගත නොහැකියි.

-1හි වර්ගමූලය ලිවීම තවදුරටත් පහසු කිරීමට “-1හි වර්ගමූලය" වෙනුවට i යන ඉංග්‍රිසි අකුර ආදේශ කරන්නට සම්මත කරගෙන ඇත. ඒ අනුව:



මෙලෙස i අකුරක් සහිත සංඛ්‍යා අලුත් සංඛ්‍යා වර්ගයක් ලෙස සැලකීමට සම්මත කරගෙන ඇත. මීට හේතුව -1හි වර්ගමූලයේ සත්‍ය තේරුම/වටිනාකම අපට සිතා ගත නොහැකි වීමයි. මෙවිට තිබෙන හොඳ ප්‍රායෝගික විසඳුම වන්නේ අලුත් ජාතියක අගයක්/සංඛ්‍යාවක් ලෙස එය සැලකීමයි. මෙම අමුතු ජාතියේ සංඛ්‍යා අතාත්වික සංඛ්‍යා (imaginary numbers) ලෙස හැඳින්වෙනවා.


අතාත්වික යන්නෙහි තේරුම "තාත්වික නොවන" හෙවත් "සත්‍ය ලෙසම නොපවතින" යන්නයි. එම යෙදුම සාධාරණයි නේද? -1 හි වර්ගමූල පදයේ හෙවත් i පදයේ තේරුම/අගය හරියටම අප දන්නේ නැත. තවද මෙම අතාත්වික සංඛ්‍යා කිසිසේත් තාත්වික සංඛ්‍යා ගොඩට දැමිය නොහැකියි. ඇත්තටම අතාත්වික සංඛ්‍යා ලෙස මෙලෙස සංඛ්‍යා වර්ගයක් සම්මත කර ගැනීමට අවශ්‍යතාවක් මතු වෙන්නේ මෙවැනි සංඛ්‍යාවලින් යම් ප්‍රයෝජන ගත හැකි නම්ය. ප්‍රයෝජනයක් නැති කොතෙකුත් දේවල් සම්මත කර ගත හැකිය. එහෙත් වැඩක් නැත. අතාත්වික සංඛ්‍යාවල ප්‍රයෝජන (applications) ඇත. එනිසා අතාත්වික සංඛ්‍යා ගැන ඉගෙනීමට අවශ්‍ය වේ.

ධන සංඛ්‍යාවකින් ඍණ සංඛ්‍යාවක් වෙන් කොට හඳුනා ගන්නේ ඍණ සංඛ්‍යාවට ඉදිරියෙන් තිබෙන - යන සංඛේතය නිසාය. එලෙසම සාමාන්‍ය තාත්වික සංඛ්‍යාවකින් අතාත්වික සංඛ්‍යාවක් වෙන් කොට හඳුනාගන්නේ සංඛ්‍යාවට ඉදිරියෙන් හෝ පිටුපසින් i අකුරක් යෙදීමෙනි.

අතාත්වික සංඛ්‍යාද ඍණ අනන්තයේ සිට ධන අනන්තය දක්වා පරාසයක විහිදී පවතී. තවද, පූර්ණ අතාත්වික සංඛ්‍යා මෙන්ම දශම/භාග අතාත්වික සංඛ්‍යාද පවතිනවා. පරිමේය අපරිමේය යන භේදයත් මෙම සංඛ්‍යාවල පවතිනවා. ඔත්තේ ඉරට්ටේ යන භේදයද පවතිනවා. මෙලෙස තාත්වික සංඛ්‍යාවල තිබූ සියලු භේදයන් අතාත්වික සංඛ්‍යාවල පවතිනවා. මීට අමතරව ශූන්‍යයද (0i) මෙහි පවතිනවා.


තාත්වික සංඛ්‍යාවලට තාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාවක් තිබෙන්නා සේම, අතාත්වික සංඛ්‍යාවලටද අතාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාවක් පවතිනවා. තාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව තිරස්ව අඳිනු ලබන අතර, අතාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව සිරස්ව අඳිනු ලබනවා. සියලුම අතාත්වික සංඛ්‍යා මෙම අතාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව මත නිරූපණය කළ හැකියි.


 
ඇත්තටම 0i යන්න තාත්වික සංඛ්‍යාවල පවතින සාමාන්‍ය 0ට සර්වප්‍රකාරයෙන්ම සමානයි. ඒ කියන්නේ තාත්වික හා අතාත්වික යන සංඛ්‍යා වර්ග දෙකෙහිම පවතින ශූන්‍යයන් දෙකම එකිනෙකට සමානයි. මෙය සුවිශේෂි අවස්ථාවකි.

මෙම තත්වයත් ඔබට පහසුවෙන් තේරුම්ගත හැකියි. තාත්වික හෝ අතාත්වික හෝ වෙනත් ඕනෑම ආකාරයක ශූන්‍යය යනු කිසිත් නොමැති අවස්ථාවයි. උපමාවකින් එය තවදුරටත් බලමු. යම් බෝතලයක ඇත්තේ වතුර යැයි සිතන්න. දැන් එම වතුර ටික ඉවත් කළ විට, බෝතලය "ශූන්‍ය" වේ (රික්තකයක් බවට පත් වේ). දැන් එම බෝතලයම පොල් තෙල්වලින් පුරවා ඇතැයි සිතමු. එම තෙල් බෝතලයෙන් ඉවත් කළ විට නැවත බෝතලය "ශූන්‍ය" වේ. මේ ආකාර දෙකෙන්ම ලැබුණු "ශූන්‍යබව" සර්වප්‍රකාරයෙන්ම සමානයි නේද? තාත්වික සංඛ්‍යා හා අතාත්වික සංඛ්‍යා යනු එකිනෙකට වෙනස් සංඛ්‍යා කාණ්ඩ දෙකක් බව පෙරත් පැවසුවා. එහෙත් පෙර මතු කළ තර්කය අනුව, මෙම සංඛ්‍යා කාණ්ඩ දෙකටම පොදු එකම සංඛ්‍යාව/අගය 0 වේ. මෙම හේතුව නිසා පහත ආකාරයට තාත්වික හා අතාත්වික යන සංඛ්‍යා රේඛා දෙකම එකට ඇඳිය හැකියි (මේ දෙකටම 0 පොදු නිසා, රේඛා දෙක 0 දී එකිනෙකට ඡේදනය වේ).


අතාත්වික සංඛ්‍යාවලටද සුපුරුදු ගණිත කර්ම සියල්ලම සිදු කර ගත හැකියි. අතාත්වික සංඛ්‍යා තවත් අතාත්වික සංඛ්‍යා සමග සිදු කරන ගණිත කර්ම ගැන සොයා බලමු.

අතාත්වික සංඛ්‍යා එකතු කිරීම හා අඩු කිරීම

සාමාන්‍යයෙන් තාත්වික සංඛ්‍යා එකතු කිරීමේදී පිළිපැද්ද රීතින් එලෙසම පිළිපදින්න. අමුතුවෙන් ඉගෙනීමට දෙයක් මෙහි නැත.

1. 4i + 3i = 7i
2. 1i + 0i = 1i
3. 23.5i + 10.12i = 33.62i

4. 5i – 2i = 3i
5. 51.43i – 0.2i = 51.23i
6. 3i – 5i = -2i

7. 2i + (-3i) = -1i = -i
8. (-4i) + (-i) = -5i

අතාත්වික සංඛ්‍යා දෙකක් ගුණ කිරීම හා බෙදීම

අතාත්වික සංඛ්‍යා දෙකක් ගුණ කරන විට හා බෙදන විට කරුණු දෙකක් පිළිපදින්න.

1. තාත්වික සංඛ්‍යාවල පිළිපැද්ද "ධනයි ධනයි හෝ ඍණයි ඍණයි වැඩි කළ විට (හෝ බෙදූ විට) ධන, හා ධනයි ඍණයි වැඩි කළ විට (හෝ බෙදූ විට) ඍණද ලැබේ" යන සුපුරුදු රීතිය පිළිපදන්න. "සමාන ලකුණු වැඩි කළ විට ධනද, අසමාන ලකුණු වැඩි කළ විට ඍනද ලැබේ" යනුවෙන්ද මෙම රීතිය මතක තබා ගත හැකියි.

එහෙත් පහත දෙවැනි රීතිය නිසා, ගුණ කිරීමෙන් ලැබෙන -1න් හා බෙදීමෙන් ලැබෙන +1න් අවසාන පිළිතුර නැවත ගුණ වෙන බවද මතක තබා ගන්න.

2. තාත්වික සංඛ්‍යා දෙකක් ගුණ කළ විට හෝ බෙදූ විට ලැබෙන පිළිතුර හැමවිටම තාත්වික සංඛ්‍යාවකි. ඇත්තටම මෙය නම් ඉතාම අපූරු ප්‍රතිඵලයක්. එහෙත් මෙසේ සිදු වීම හාස්කමක් නොවේ. එය සිදු වන්නේ පහත ආකාරයේ සාමාන්‍ය සුලු වීමක් එහි සිදුවන නිසාය.




උදාහරණ ලෙස;

1. 5i x 4i = 5x4i2 = 20x(-1) = -20
2. 2i x 0i = 2i x 0 (හෝ 0i2)= 0i (හෝ 0 x -1) = 0
3. 3i x -3i = -9i2 = -9 x -1 = 9
4. -5i x -3i = 15i2 = 15 x -1 = -15

5. 4i / 2i = 2
6. 5i/2i = 2.5
7. -6i/3i = -2
8. -8i/-2i = 4

අතාත්වික සංඛ්‍යාවක හා තාත්වික සංඛ්‍යාවක ගුණ කිරීම හා බෙදීම

අතාත්වික සංඛ්‍යාවක් තාත්වික සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කරන විට හෝ බෙදන විට, i අකුර නැතැයි සිතාගෙන එය සිදු කරන්න; පිළිතුර අගට ඉන්පසු i දමන්න. උදාහරණ:

1. 4i / 2 = 2i
2. -6i / 3 = -2i
3. -5i/-2 = 2.5i

4. 4i x 2 = 8i
5. -3i x -3 = 9i

අතාත්වික සංඛ්‍යාවක් භාග සංඛ්‍යාවේ හරය ලෙස පවතින විටද සාමාන්‍ය සුලු කිරීමේ ක්‍රම ඔස්සේ සුලු කළ හැකියි. උදාහරණයක් 4/2i සුලු කරන හැටි බලමු.

පළමුව හරයේ තිබෙන i පදය ඉවත් කළ යුතුය. එය කිරීමට හරය හා ලවය යන දෙකම i වලින් ගුණ කරන්න. එවිට හරයේ තිබෙන i ලවයට යයි (ඍණ ලකුණකුත් සමග). ඉන්පසු සාමාන්‍ය පරිදි සුලු කරන්න.


ඇත්තටම ඉහත ආකාරයට දීර්ඝ ලෙස සුලු කරන්නේ නැතිව කෙටි ක්‍රමයට මෙසේ එය සිදු කළ හැකියි. භාගයක හරයේ (යට කොටසේ) i පදයක් ඇති විට, එම i ලවයට ගෙන යන්න; එවිට එය -i ලෙස ළවයේ ලියන්න. උදාහරණයක් ලෙස ඉහත උදාහරණයම කෙටියෙන් මෙසේ සුලු කළ හැකියි.

4/2i = 4(-i)/2 = -4i/2 = -2i

මෙතෙක් උගත් කරුණු එකට යොදා ගෙන විවිධාකාරයේ සුලු කිරීම් කළ හැකියි. උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

1. 4i x 2i x 3i = (4i x 2i) x 3i = -8 x 3i = -24i හෝ 24i3 = 24 x (i2 x I) = 24 x -1 x i = -24i
2. 6i x 3i / 9i = 18i2/9i = -18/9i = (-18 x -i)/9 = 18i/9 = 2i

තාත්වික සංඛ්‍යාවක් හා අතාත්වික සංඛ්‍යාවක් සමග ගුණ කරන හා බෙදන අයුරු දැන් ඔබ දන්නවා. තාත්වික සංඛ්‍යාවක් හා අතාත්වික සංඛ්‍යාවක් එකට එකතු කිරීම හා අඩු කිරීම සිදු කරන්නේ කෙලෙසද? තාත්වික සංඛ්‍යා එකිනෙකට ගණිත කර්මවලට ලක් කරන විට, අවසානයේ තනි පිළිතුරක් ලැබුණි. එලෙසම අතාත්වික සංඛ්‍යා දෙකක් එකිනෙකට ගණිත කර්මවලට ලක් කරන විට, අවසානයේ තනි පිළිතුරක් ලැබුණි. තවද, තාත්වික හා අතාත්වික සංඛ්‍යා දෙකක් එකිනෙකට ගුණ කරන විට හා බෙදන විට, අවසානයේ තනි පිළිතුරක් ලැබුණි. එහෙත් තාත්වික හා අතාත්වික සංඛ්‍යා දෙකක් එකතු කරන විට හා අඩු කරන විට, අවසානයේ තනි තාත්වික හෝ අතාත්වික සංඛ්‍යාවක් ලැබෙන්නේ නැත. ඒ වෙනුවට ලැබෙන්නේ සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවකි (complex number).

Comments

Popular posts from this blog

දන්නා සිංහලෙන් ඉංග්‍රිසි ඉගෙන ගනිමු - පාඩම 1

මෙම පොත (පාඩම් මාලාව) පරිශීලනය කිරීමට ඔබට එදිනෙදා සිංහල භාෂාව භාවිතා කිරීමේ හැකියාව හා සාමාන්‍ය බුද්ධිය පමණක් තිබීම අවම සුදුසුකම ලෙස මා සලකනවා.  තවද, ඇසෙන පරිදි ඉංග්‍රීසි අකුරින් ලිවීමට හැකිවීම හා ඉංග්‍රීසියෙන් ලියා ඇති දෙයක් කියවීමට හැකි නම්, ඔබට මෙතැන් සිට මෙම පාඩම් මාලාව කියවා ඉගෙන ගත හැකිය.  ඔබට එසේ ඉංග්‍රීසි කියවීම හා ලිවීම ගැන දැනීමක් දැනටමත් නොමැත්තේ නම්, කරුණාකර මෙ‍ම පොතෙහි “අතිරේකය - 1 ”  බලා පළමුව එම හැකියාව ඇති කරගන්න.  තවද, හැකි පමණ ඉංග්‍රීසි වචනද පාඩම් කරගන්න. ඔබ හිතවතෙකුගේ නිවසකට හෝ වෙනත් පිටස්තර තැනකට යන විටෙක හැසිරෙන්නේ ඔබට අවශ්‍ය විදියටම නෙමේ නේද?  එනම්, පිට නිවසකට ගිය විට අහවල් පුටුව තිබෙන තැන හරි නැහැ, අහවල් එක මෙහෙම තිබෙන්නට ඕනෑ ආදී ලෙස ඔවුනට පවසන්නේ නැහැ, මොකද අප සිටින්නේ අනුන්ගේ තැනක නිසා.  එලෙසම, ඉංග්‍රීසි භාෂාව යනු සිංහල නොවේ.  ඔබ කැමැති වුවත් නැතත් ඉංග්‍රීසි ඉගෙනීමේදීද අප ඉංග්‍රීසි ව්‍යාකරණ රීති හා රටා එපරිද්දෙන්ම උගත යුතුය.  එනම්, සෑම සිංහල වගන්ති රටාවක්ම ඉංග්‍රීසියට ඔබ්බන්නට නොව, ඉංග්‍රීසියේ ඇති රටා ඔබ දන්නා සිංහල භාෂාව තුළින් ඉගෙනීමට උත්සහ කළ යුතුය. 

කතාවක් කර පොරක් වන්න...

කෙනෙකුගේ ජීවිතය තුල අඩුම වශයෙන් එක් වතාවක් හෝ කතාවක් පිරිසක් ඉදිරියේ කර තිබෙනවාට කිසිදු සැකයක් නැත. පාසැලේදී බලෙන් හෝ යම් සංගම් සැසියක හෝ රැස්වීමක හෝ එම කතාව සමහරවිට සිදු කර ඇති. පාසලේදී කතා මඟ හැරීමට ටොයිලට් එකේ සැඟවුනු අවස්ථාද මට දැන් සිහිපත් වේ. එහෙත් එදා එසේ කතා මඟ හැරීම ගැන අපරාදේ එහෙම කළේ යැයි අද සිතේ. යහලුවන් ඉදිරියේ "පොර" වෙන්න තිබූ අවස්ථා මඟ හැරුණේ යැයි දුකක් සිතට නැඟේ. ඇත්තටම කතාවක් කිරීම "පොර" කමකි. දක්ෂ කතිකයන්ට සමාජයේ ඉහල වටිනාකමක් හිමි වේ. පාසැලේදී වේවා, මඟුලක් අවමඟුලක් හෝ වෙනත් ඕනෑම සමාජ අවස්ථාවකදී වේවා දේශපාලන වේදිකාව මත වේවා කතාවක් කිරීමේදී පිලිපැදිය යුත්තේ සරල පිලිවෙතකි. එහෙත් එම සරල පිලිවෙත තුල වුවද, තමන්ගේ අනන්‍යතාව රඳවන කතාවක් කිරීමට කාටත් හැකිය. පුද්ගලයාගෙන් පුද්ගලයා වෙනස් වේ. එම වෙනස ප්‍රසිද්ධ කතා (public speaking) තුලද පවත්වාගත හැකිය. මේ ගැන මට ලිපියක් ලියන්නට සිතුනේ මාගේ මිතුරෙකුට ප්‍රසිද්ධ කතාවක් කිරීමට අවශ්‍ය වී, ඒ ගැන මේ ළඟ දවසක අප පැයක් පමණ සිදු කළ සංවාදයක් නිසාය. මා ප්‍රසිද්ධ දේශකයකු නොවුණත් මේ විෂය සම්බන්දයෙන් පාසැල් කාලයේ සිටම පත

දන්නා සිංහලෙන් ඉංග්‍රිසි ඉගෙන ගනිමු - අතිරේකය 1

මූලික ඉංග්‍රීසි ලිවීම හා කියවීම ඉංග්‍රීසියෙන් ලියන්නේ හා ඉංග්‍රීසියෙන් ලියා ඇති දෙයක් කියවන්නේ කෙසේද?  ඉංග්‍රීසිය ඉගෙනීමට පෙර ඔබට මෙම හැකියාව තිබිය යුතුමය.  එය එතරම් අපහසු දෙයක්ද නොවේ.  ඔබේ උනන්දුව හොඳින් ‍තිබේ නම්, පැය කිහිපයකින් ඔබට මෙම හැකියාව ඇති කර ගත හැකිය.  මුල සිට පියවරෙන් පියවර එය උගන්වන්නම්.   මුලින්ම මිනිසා භාෂාවක් භාවිතා කළේ ශබ්දයෙන් පමණි.  එනම් ලිඛිත භාෂාව ඇති වූයේ පසු කාලයකදීය.  කටින් නිකුත් කරන ශබ්ද කනින් අසා ඔවුන් අදහස් උවමාරු කර ගත්තා.  පසුව ඔවුන්ට වුවමනා වුණා මෙම ශබ්ද කොලයක හෝ වෙනත් දෙයක සටහන් කර ගන්නට.  ඒ සඳහායි අකුරු නිර්මාණය කර ගත්තේ.  එම අකුරු නියෝජනය කරන්නේ ශබ්දයි .  මෙසේ මූලික අකුරු කිහිපයක් ඔවුන් එක එක භාෂාව සඳහා නිර්මාණය කර ගත්තා.  ඉංග්‍රීසියේදී මෙලෙස මූලික අකුරු 26ක් ඇත.   එය ඉංග්‍රීසි හෝඩිය ලෙස හැඳින් වෙනවා. අප ඉගෙන ගත යුත්තේ මෙම අකුරු මඟින් නියෝජනය කෙරෙන ශබ්ද මොනවාද යන්නයි.  එවිට ඔබට ඉංග්‍රීසි ලිවීමට හා කියවීමට හැකි වෙනවා.  ඊට පෙර අප අකුරු 26 දැනගත යුතුයි.  එම අකුරු 26 පහත දක්වා ඇත.  ඉංග්‍රීසියේදී සෑම අකුරක්ම “සිම්පල්” හා “කැපිටල්” ලෙස දෙයාකාර

දෛශික (vectors) - 1

එදිනෙදා ජීවිතයේදිත් විද්‍යාවේදිත් අපට විවිධාකාරයේ අගයන් සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදු වෙනවා . ඉන් සමහරක් නිකංම සංඛ්‍යාවකින් ප්‍රකාශ කළ හැකි අගයන්ය . අඹ ගෙඩි 4 ක් , ළමයි 6 දෙනෙක් ආදී ලෙස ඒවා ප්‍රකාශ කළ හැකියි . තවත් සමහර අවස්ථාවලදී නිකංම අගයකින් / සංඛ්‍යාවකින් පමණක් ප්‍රකාශ කළ නොහැකි දේවල් / රාශි (quantity) හමු වේ . මෙවිට “මීටර්” , “ තත්පර” , “ කිලෝග්‍රෑම්” වැනි යම් ඒකකයක් (unit) සමඟ එම අගයන් පැවසිය යුතුය ; නැතිනම් ප්‍රකාශ කරන අදහස නිශ්චිත නොවේ . උදාහරණයක් ලෙස , “ මං 5 කින් එන්නම්” යැයි කී විට , එම 5 යනු තත්පරද , පැයද , දවස්ද , අවුරුදුද ආදි ලෙස නිශ්චිත නොවේ . මේ දෙවර්ගයේම අගයන් අදිශ (scalar) ලෙස හැඳින්වේ . අදිශයක් හෙවත් අදිශ රාශියක් යනු විශාලත්වයක් පමණක් ඇති දිශාවක් නැති අගයන්ය . ඔබේ වයස කියන විට , “ උතුරට 24 යි , නැගෙනහිරට 16 යි” කියා කියන්නේ නැහැනෙ මොකද දිශාව යන සාධකය / කාරණය වයස නමැති රාශියට වැදගත්කමක් නැත . එහෙත් සමහර අවස්ථා තිබෙනවා අගයක් / විශාලත්වයක් (magnitude) මෙන්ම දිශාවක්ද (direction) පැවසීමට සිදු වන . මෙවැනි රාශි දෛශික (vector) ලෙස හැඳින්වේ . උදාහරණයක් ලෙස , ඔබ යම් “බලයක්

දැනගත යුතු ඉංග්‍රිසි වචන -1

ඉංග්‍රිසි බස ඉගැනීමේදී වචන කොපමණ උගත යුතුද, එම වචන මොනවාදැයි බොහෝ දෙනෙකුට මතුවන ගැටලුවක් වන අතර, බොහෝ දෙනා ඊට විවිධ පිලිතුරුද සපයා ඇත. මේ ගැන හොඳින් පරීක්ෂණය කර ඇමරිකානු ආයතනයක් විසින් වචන 5000ක ලැයිස්තුවක් ඉදිරිපත් කර ඇත. එම ලැයිස්තුව මා කෙටස් දෙකකට (දිගු වැඩි නිසා) සිංහල තේරුම්ද සහිතව ඉදිරිපත් කර ඇත. (මේවා සැකසුවත් සෝදුපත් බලා නැති නිසා සුලු සුලු දෝෂ සමහරවිට තිබිය හැකිය). පහත ලැයිස්තුවේ වචන 2500ක් ඇත.    Word    තේරුම        be    ඉන්නවා    and    හා    of    ගේ    in    තුල    to    ට    have    තියෙනවා    to    ට    it    ඒක, ඌ    I    මම    that    ... කියලා, ඒ/අර, ඒක/අරක    for    සඳහා    you    ඔබ, ඔබලා    he    ඔහු    with    සමඟ    on    මත    do    කරනවා, "මෙව්ව කරනවා"    say    කියනවා    this    මේ, මේක    they    උන්, ඒවා, ඒගොල්ලෝ    at    දෙස, අසල    but    නමුත්    we    අපි    his    ඔහුගේ    from    සිට, ගෙන්    not    නැහැ    by    විසින්, මඟින්    she    ඇය    or    හෝ, හෙවත්    as    විට, නිසා, වශයෙන්    what    මොකක්ද,