සංඛ්‍යා හා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා (complex numbers) - 4

ආගන්ඩ් තලය

තාත්වික සංඛ්‍යාවක් තාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව මතද, අතාත්වික සංඛ්‍යාවක් අතාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව මතද නිරූපණය කළ හැකි බව ඔබ දුටුවා. එලෙසම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක්ද රූපමය ආකාරයකින් නිරූපණය කළ හැකියි. ඒ සඳහා ඔබ මීට පෙර දැකපු තාත්වික හා අතාත්වික යන රේඛා දෙකම එකිනකට ලම්භකව පවතින පහත ආකාරයේ නිරූපණයක් අවශ්‍ය කරනවා. මෙම රූපය බැලූ බැල්මටම ඔබ ප්‍රස්ථාර ඇඳීමට භාවිතා කරන කාටිසියානු තලයක් නේද? ඔව්. එහෙත් මෙලෙස සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් (complex number) නිරූපණය කළ හැකි බව මුලින්ම පෙන්වා දුන් ආගන්ඩ් නම් විද්‍යාඥයාට ගරු කිරීමක් ලෙස මෙය කාටිසියානු තලයක් නොකියා ආගන්ඩ් තලය/ප්‍රස්ථාරය/රූපය (Argand diagram/plane) යැයි හඳුන්වනවා.

ආගන්ඩ් තලයේ x අක්ෂය තාත්වික අක්ෂය (real axis) ලෙසද, y අක්ෂය අතාත්වික අක්ෂය (imaginary axis) ලෙසද හඳුන්වනවා. එම අක්ෂ දෙක එකිනෙකට ලම්භකව ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය සුපුරුදු ලෙසම මූලය (origin) ලෙස හඳුන්වනවා.

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක තාත්වික හා අතාත්වික සංඛ්‍යා කොටස් දෙකක් තිබෙනවානෙ. ඉන් තාත්වික කොටස තාත්වික අක්ෂය මතද, අතාත්වික කොටස අතාත්වික අක්ෂය මතද ලකුණු කරන්න. මෙය හරියට ප්‍රස්ථාර ඇඳීමේදී ප්‍රස්ථාරයක ඛණ්ඩාංග ලකුණු කරනවා බඳුය. ඉන්පසු අක්ෂ දෙක මත එසේ ලකුණු කළ ලක්ෂ්‍ය දෙක එකිනෙකට කැපී යන ලෙස ඍජු රේඛා දෙකක් ඇන්ද විට, එම රේඛා දෙක කැපෙන ලක්ෂ්‍යයෙන් නිරූපණය වන්නේ අදාල සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවයි. ඕනෑම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් මෙලෙස ආගන්ඩ් තලයක ලකුණු කළ හැකියි (ඉහත රූපය බලන්න).

මතකයට

යම් තාත්වික සංඛ්‍යාවක් ගන්න. උදාහරණය සඳහා එය 4 යැයි ගමු. දැන් එම සංඛ්‍යාව ආගන්ඩ් තලයේ ලකුණු කළොත් තාත්වික අක්ෂයේ ධන කොටස මත ලකුණු කිරීමට සිදු වෙනවා.

දැන් එම සංඛ්‍යාව i වලින් ගුණ කරන්න. එවිට එය 4i බවට පත් වේ. දැන් එය තාත්වික සංඛ්‍යාවක් නොව, අතාත්වික සංඛ්‍යාවකි. එය ආගන්ඩ් තලයේ ලකුණු කළොත් අතාත්වික අක්ෂයේ ධන කොටස මත ලකුණු කිරීමට සිදු වෙනවා. බලන්න ආගන්ඩ් තලයේ අංශක 90කින් වාමාවර්තව එම ලකුණු කිරීම කැරකුණා නේද?

හරි... නැවතත් එම සංඛ්‍යාව i වලින් ගුණ කරන්න. එවිට එය 4i² හෙවත් -4 බවට (එනම් නැවතත් තාත්වික සංඛ්‍යාවක් බවට) පත් වේ. එය ආගන්ඩ් තලයේ ලකුණු කරන විට, තාත්වික අක්ෂයේ ඍණ පැත්තේ ලකුණු කිරීමට සිදු වේ. එය රූපමය ආකාරයෙන් බැලුවොත් තිබූ තැන සිට අංශක 90ක් වාමාවර්තව කැරකැවීමක් නේද?

මෙලෙස යම් සංඛ්‍යාවක් නොකඩවා i වලින් ගුණ කරගෙන යන විට, එය මාරුවෙන් මැරුවට තාත්වික හා අතාත්වික සංඛ්‍යාවක් බවට පත් වෙනවා පමණක් නොව, රූපමය ආකාරයෙන් බලන විට (එනම් ආගන්ඩ් තලයක බලන විට), නොකඩවා අංශක 90න් 90ට වාමාවර්තව කරකැවීමක් ලෙසත් සැලකිය හැකියි.

ආගන්ඩ් තලයක සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් ලකුණු කළ විට, තවත් අපූරු දෙයක් ඉන් කර ගත හැකි බව පෙනුනා. එනම් ත්‍රිකෝණමිතිය ආශ්‍රයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කළ හැකි බව සොයා ගත්තා.

මතකයට

ත්‍රිකෝණමිතිය (trigonometry)

ත්‍රිකෝණමිතිය යනු ගණිතයේදී හමුවන තවත් රසවත් කොටසකි. ත්‍රිකෝණයක පාද හා කෝණ අතර තිබෙන යම් සම්බන්ධතාවන් කිහිපයක් මත ගොඩ නඟපු සූත්‍ර කිහිපයක් ඉන් සාදාගෙන ඇත. ත්‍රිකෝණමිතියේදී හමුවන එම ප්‍රධානතම සූත්‍ර කිහිපය පිළිබඳ ඉතා කෙටි විස්තරයක් පමණක් මෙහිදී සිදු කෙරේ.

ඕනෑම ත්‍රිකෝණයක කෝණ (angle) 3ක් හා පාද (side) 3ක් ඇත. ඕනෑම ත්‍රිකෝණයක අභ්‍යන්තර කෝණ 3හි එකතුව අංශක 180කි. මෙම කෝණ තුනෙන් එක් කෝණයක් අංශක 90 ලෙස පවතින ත්‍රිකෝණ ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණ (right-angled triangle) ලෙස හැඳින්වේ.

යම් කෝණයක් සලකන විට, එම කෝණය සෑදීමට පාද දෙකක් අවශ්‍ය වේ. මෙලෙස සලකා බලන කෝණය සෑදීමට හවුල් වන පාද බද්ධ පාද (adjacent side) ලෙස හැඳින්වෙනවා. එවිට, ඉතිරි පාදය කෝණයට මුහුණලා පිහිටනවා. එනිසා, සලකා බලන කෝණයට මුහුණලා පිහිටන පාදය සම්මුඛ පාදය (opposite side) ලෙස හැඳින්වෙනවා. ඍජු කෝණී ත්‍රිකෝණයකදී කර්ණය (hypotenuse) නමින්ද පාදයක් හඳුන්වනවා. එය හැමවිටම අංශක 90 කෝණය හෙවත් ඍජු කෝණයට සම්මුඛව ඇති පාදයයි. ත්‍රිකෝණයේ පාද තුන අතරින් විශාලතම පාදයත් කර්ණය වේ. ඇත්තෙන්ම කෝණයේ විශාලත්වය වැඩි වන විට, ඊට සම්මුඛ පාදයේ විශාලත්වයද වැඩි වෙනවා.

 

ප්‍රාථමික වශයෙන් ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර ගොඩනඟා ඇත්තේ ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක් පදනම් කරගෙනයි. ඒ අනුව ඉහත ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණය ඇසුරින් පහත ආකාරයේ මූලික සූත්‍ර 3ක් නිර්මාණය කරගෙන ඇත.

sin(a) = (සම්මුඛ පාදයේ දිග) / (කර්ණයේ දිග)

cos(a) = (බද්ධ පාදයේ දිග) / (කර්ණයේ දිග)

tan(a) = (සම්මුඛ පාදයේ දිග) / (බද්ධ පාදයේ දිග)

ඉහත සූත්‍රවල, = ලකුණට වම් පසින් ඇති සයින්, කොස්, ටෑන් ප්‍රකාශ කරන විට අනිවාර්යෙන්ම යම් කෝණයක් සලකා බලනවා. එම කෝණය තමයි වරහන තුළ ලියා දක්වන්නේ. තවද, = ලකුණට දකුණු පසින් ඇත්තේ යම් පාදයක් එම ත්‍රිකෝණයේම තවත් පාදයකින් බෙදීමකි. එනම් පාද දෙකක් අතර අනුපාතයකි. එනිසාම, ඉහත ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර "ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත" (trigonometric ratios) ලෙසද හැඳින්වෙනවා.

මෙම මූලික ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත 3 පදනම් කරගෙන තවත් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත මෙන්ම වෙනත් වෙනත් වටිනා සූත්‍ර ගණනාවක්ම නිර්මාණය කරගෙන තිබෙනවා. ඒවා වෙනමම ත්‍රිකෝණමිතිය ඉගෙනීමේදී හමු වේවි.

පහත දැක්වෙන ආගන්ඩ් සටහන බලන්න. එහි සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් ලකුණු කර තිබෙනවා. දැන් මෙම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව නිරූපණය කරන ලක්ෂ්‍යයේ සිට අක්ෂ දෙකට ඍජු ලම්භක දෙකක් අඳින්න. තවද, මූලයේ සිට එම සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ලක්ෂ්‍යයටද ඍජු රේඛාවක් අඳින්න. පහත රූපයේ මේ සියල්ල ලකුණු කර ඇත.

බලන්න O, A, B එකතුව යම් ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක් සෑදෙනවා නේද? මූල ලක්ෂ්‍යයේ සිට සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ලක්ෂ්‍යට ඇඳ ඇති OB රේඛාව එම ත්‍රිකෝණයේ කර්ණය බවට පත් වෙනවා. මෙහිදී අප සලකා බලන කෝණය වන්නේ මූල ලක්ෂ්‍යයේදී සෑදෙන කෝණයයි. එය x ලෙස රූපයේ සටහන් කර ඇත. එවිට, මෙම සලකා බලන x කෝණයට සාපේක්ෂව OA යනු බද්ධ පාදය වන අතර, AB යනු සම්මුඛ පාදයයි.

දැන් අපට පුලුවන් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත භාවිතා කරන්නට. කර්ණයේ දිග r ලෙස සංඛේතවත් කරමු. දැන්,

cos(x) = OA/OB = OA/r → OA = rcos(x)

sin(x) = AB/OB = AB/r → AB = rsin(x)

OA යනු ලකුණු කර ඇති සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ තාත්වික කොටසේ අගය හෙවත් a වන අතර, AB යනු එම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේම අතාත්වික කොටසේ අගය හෙවත් b වේ. ඒ අනුව පහත ආකාරයට සාධනයක් සිදු කළ හැකියි.

a+bi = (OA) + (AB)i = (rcos(x)) + (rsin(x))i = r(cos(x)+isin(x))

දැන් අපට සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කළ හැකි තවත් ආකාරයක් ලැබී තිබේ. a+bi යන නිරූපණය ක්‍රමය ඍජුකෝණී ආකාරය (rectangular form) ලෙසත්, r(cos x + isin x) යන නිරූපණය ක්‍රමය ධ්‍රැවීය ආකාරය (polar form) ලෙසත් හැඳින්වෙනවා.

මෙම අලුතින් උගත් r(cos x + isin x) නිරූපණයට ත්‍රිකෝණමිතියද සම්බන්ධ කරගෙන ඇත. තවද, cos(x)+isin(x) යන කොටස පහසුවෙන් මතක තබා ගැනීමට හා පැවසීමට හැකි වනු පිනිස cis යනුවෙන් කෙටිකර දක්වන සිරිතක් තිබෙනවා (c යනු cos ද, i යනු අතාත්වික බව හඟවන i පදයද, s යනු sin යන්නද හඟවයි). ඒ අනුව ඕනෑම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් rcis (“ආර් සිස්") යනුවෙන් ලිවිය හැකියි.

මෙහි r යනුවෙන් තිබෙන කොටස විශාලත්වය (magnitude හෝ modulus හෝ absolute value) ලෙස හැඳින්වෙන අතර, x කෝණය විස්තාරය (argument හෝ amplitude) ලෙස හැඳින්වේ.

මතකයට

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් සාමාන්‍යයෙන් z අකුරකින් සංඛේතවත් කෙරේ. සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් දැන් ආකාර දෙකකින් නිරූපණය කරන අයුරු ඔබ දන්නවා. මේ දෙයාකාරයේදීම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව තුළ වෙනස් කොටස් 2ක් බැගින් තිබෙනවා.

z = a+bi ලෙස නිරූපණය කරන විට, එම කොටස් දෙක a හෙවත් තාත්වික (real) කොටස, හා b හෙවත් අතාත්වික (imaginary) කොටස වේ. සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව තුළ තිබෙන තාත්වික කොටස පමණක් උකහා ගැනීමට අවශ්‍ය විට එය Re(z) හෙවත් Re(a+bi) ලෙස ලිවිය හැකියි (re යන්න real යන්නෙන්ද im යන්න imaginary යන්නෙන්ද සාදාගෙන ඇති බව පේනවනෙ). ඒ අනුව,

Re(z) = Re(a+bi) = a

Re() යනු ශ්‍රිතයකි. එලෙසම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව තුළ තිබෙන අතාත්වික කොටස පමණක් එලියට ගැනීමට Im(z) හෝ Im(a+bi) යන ශ්‍රිතය ලිවිය හැකියි.

Im(z) = Im(a+bi) = b

a+bi යන නිරූපණයේ තිබූ කොටස් දෙක වෙන වෙනම ලබා ගැනීමට Re(), Im() යනුවෙන් ශ්‍රිත දෙකක් අර්ථ දක්වා ඇත්තා සේම, r(cos(x)+isin(x)) යන නිරූපණයේ ඇති r හා x යන කොටස් දෙක උකහා ගැනීමටද ශ්‍රිත දෙකක් පහත ආකාරවලින් අර්ථ දක්වා ඇත.

Arg(z) = Arg(r(cos(x)+isin(x))) = x

Mod(z) = Mod(r(cos(x)+isin(x))) = r

Arg(z) ශ්‍රිතයේ Arg යන අකුරු වෙනුවට Amp යන්නද ආදේශ කළ හැකියි (arg යන්න argument යන වචනයෙන්ද amp යන්න amplitude යන වචනයෙන්ද සෑදී තිබෙන බව ඔබට පේනවානෙ). එවිට,

Amp(z) = Amp(r(cos(x)+isin(x))) = x

Amp() හා Arg() ශ්‍රිත දෙකම සමාන වන අතර, ඒ දෙකෙන්ම ලැබෙන්නේ කෝණයයි. එලෙසම, Mod() ශ්‍රිතය වෙනුවට පහත ආකාරයට එම ශ්‍රිතයම තවත් ආකාරයකින් ලිවිය හැකියි.

|z|

ඔබට මෙම නිරූපණ ක්‍රමය සාමාන්‍ය ගණිතයේදීත් නිතරම දක්නට ලැබේ. යම් සංඛ්‍යාවක් දෙපැත්තෙන් | | ලෙස ඉරි කැබැලි දෙකක් දැමූ විට, ඉන් කියන්නේ එම සංඛ්‍යාවේ නිරපේක්ෂ අගය (absolute value) ඉන් ලැබේ යන්නයි.

මතකයට

යම් සංඛ්‍යාවක නිරපේක්ෂ අගය යනු කුමක්ද? ඇත්තටම ඊට දිය හැකි පිළිතුර සලකා බලනු ලබන සංඛ්‍යාව හෝ සංඛ්‍යා පද්ධතිය අනුව වෙනස්වෙනවා. සාමාන්‍ය තනි සංඛ්‍යාවකදී නිරපේක්ෂ අගය යනු එම සංඛ්‍යාවේ ධන ඍණ භේදය නොසලකා එහි වටිනාකම හෙවත් විශාලත්වය පමණක් සැලකීමයි. ඒ කියන්නේ සාමාන්‍ය සංඛ්‍යාවක නිරපේක්ෂ අගය යනු හැමවිටම එම සංඛ්‍යාවේ ධන අගයයි. උදාහරණයක් ලෙස:

|5| = 5 |-5| = 5

සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයක (square matrix) නිරපේක්ෂ අගය ලෙස එම න්‍යාසයේ නිශ්චායකය (determinant) සැලකිය හැකිය (එය අප විසින් කරනු ලබන හුදු අර්ථ දැක්වීමකි; අපේ කැමැත්ත මත එසේ කර ඇත). න්‍යාස හා නිශ්චායක ගැන දැනුමක් නැතිනම් මේ ගැන දැනට නොසලකා හරින්න.

එලෙසම යම් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක නිරපේක්ෂ අගය යනු කුමක්දැයි සම්මත කර ගෙන ඇත. අපේ අභිමතය පරිදි සම්මත කරගත් එම අදහසට අනුව යම් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක නිරපේක්ෂ අගය යනු එම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ තාත්වික කොටසේ වටිනාකමේ වර්ග පදය අතාත්වික කොටසේ වටිනාකමේ වර්ග පදයට එකතු කර, එම මුලු එකතුවේ වර්ගමූලයයි. එනම්, z = a+bi සඳහා,

 

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කළ හැකි ආකාර දෙකක් දැන් තිබෙන නිසා, ඒ ආකාර දෙකෙහි කොටස් අතර සම්බන්ධතා දෙකක් ඉහත ආගන්ඩ් සටහන ආශ්‍රයෙන්ම අපට නිර්මාණය කරගත හැකිය. z = a+bi = rcis(x) නම්,

ඉහත සූත්‍ර දෙකෙන් දැන් අපට පුලුවන් a+bi ආකාරයෙන් දී තිබෙන යම් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක්, rcis(x) ආකාරයෙන් ලියන්නට. උදාහරණයක් ගමු. z = 4+3i යන සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව rcis ක්‍රමයට ලියන්න. rcis(x) ක්‍රමයට ලිවීමට නම් r හා x පළමුව දැනගත යුතු වෙනවා. ඉහත සූත්‍ර දෙකෙන් දැන් ඔබට එය පහසුවෙන් සාදා ගත හැකියි. ඒ අනුව,

a+bi ආකාරයෙන් තිබෙන විට rcis ආකාරයට ඉහත සූත්‍ර දෙක ආශ්‍රයෙන් සකස් කර ගැනීමට මෙන්ම අනෙක් පසට, එනම්, rcis ආකාරයට දී ඇති විට a+bi ආකාරයට පත් කර ගැනීමට හැකි විය යුතුය. ඒ සඳහා පහත සරල සූත්‍ර භාවිතා කළ හැකියි. ඉහත හා පහත සූත්‍ර ඇත්තෙන්ම අමුතුවෙන් කටපාඩම් කිරීමට අවශ්‍ය නැත. ඉහත ආගන්ඩ් සටහනට ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත යොදන්නේ කෙලෙසද කියා සිතුවොත් මේ සියලුම සූත්‍ර පහසුවෙන්ම ලැබෙනවා.

a = rcos(x)

b = rsin(x)

එමනිසා

z = a+bi

z = 6cis(45) නම්, මෙම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව a+bi ආකාරයට සකස් කරන්න. පළමුව a හා b දැනගත යුතුයි. ඒ සඳහා ඉහත සූත්‍ර දෙක භාවිතා කරන්න. ඒ අනුව,

a= rcos(x) → 6cos(45) = 6 x 0.707 = 4.24

b = rsin(x) → 6sin(45) = 6 x 0.707 = 4.24

එමනිසා

z=a+bi → 4.24+4.24i

a+bi ස්වරූපයෙන් තිබියදී සංකීර්ණ සංඛ්‍යා එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, ගුණ කිරීම, බෙදීම ආදී ගණිත කර්ම සිදු කළා මෙන්ම, rcis ආකාරයෙන් තිබියදීත් එවැනි ගණිත කර්ම සිදු කර ගැනීමට හැකි විය යුතුය. ඇත්තටම rcis ක්‍රමයේදී ගුණ කිරීම හා බෙදීම ඉතාම පහසුවෙන් කළ හැකි වුවත් එකතු කිරීම හා අඩු කිරීම තරමක් අපහසු වේ. a+bi ක්‍රමයේදී තත්වය මීට විරුද්ධව නේද තිබුණේ? එනම්, එම ක්‍රමයේදී එකතු කිරීම හා අඩු කිරීම ඉතාම පහසු වූ අතර, ගුණ කිරීම හා බෙදීම තරමක් අපහසු වූවා.

rcis ස්වරූපයේ සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ගුණ කිරීම හා බෙදීම

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙක z₁= r₁cis(x₁) හා z₂=r₂cis(x₂) යැයි සිතමු. මෙම සංඛ්‍යා දෙක ගුණ කරන විට r පද දෙක එකිනෙකට වෙනම ගුණ කර, කෝණ දෙක වෙනම එකට එකතු කර rcis ක්‍රමයට ඒවා ලිවීමට පමණයි කරන්නට තිබෙන්නේ. එනම්,

z₁ x z₂ = r₁cis(x₁) x r₂cis(x₂) = r₁r₂cis(x₁+x₂)

උදාහරණයක් ලෙස, z₁=4cis(30) හා z₂=6cis(20) යන සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙක ගුණ කරන්න.

z₁ x z₂ = r₁cis(x₁) x r₂cis(x₂) → (4x6)cis(30+20) = 24cis(50)

ඉහත ගුණ කිරීම ආගන්ඩ් සටහනක මෙසේ ඇඳිය හැකියි.

මේ විදියට යම් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් එම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවෙන්ම ගුණ කළ විටද ඉහත සූත්‍රය ඇසුරින් පහසුවෙන්ම එය සුලු කළ හැකියි.

z₁ x z₁ = (r x r)cis(x+x) = r²cis(2x)

දෙවරක් වැඩි කරනවා වෙනුවට එය තුන් සැරයක්, 10 සැරයක් හෝ ඕනෑම සැරයක් එලෙස එකම සංඛ්‍යාවෙන් දිගටම වැඩි කරගෙන ගියොත් කුමක් වේද? එය තුන් සැරයක් කළොත් පහත ආකාරයට ලැබිය යුතුයි නේද?

z₁ x z₁ x z₁ = r³cis(3x)

මේ විදියට එය n වාරයක් කළොත් පහත ආකාරයේ පොදු සූත්‍රයක් සකස් කර ගත හැකි බව පැහැදිලියි.

(z)ⁿ = (rcis(x))ⁿ = rⁿcis(nx)

ඉහත සූත්‍රය පළමු වරට සාධනය කර පෙන්වා දුන්නේ ප්‍රංශ ජාතික ගණිතඥයෙකු වන ඩි මොරේ (De Moivre) විසින් නිසා, ඔහුගේ නමින් එය ඩිමොරේ ප්‍රමේය (De Moivre's theorem) ලෙස හැඳින්වේ.

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව තවත් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවකින් බෙදන විට ලවයේ ඇති r හරයේ ඇති r වලින් බෙදා, ලවයේ ඇති කෝණයෙන් හරයේ ඇති කෝණය අඩු කර සුපුරුදු rcis ස්වරූපයෙන් ඒවා තබන්න.

ඉහත උදාහරණයේම z₁ සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව z₂ න් බෙදන්න.

මෙම බෙදීමද පහත ආකාරයට ආගන්ඩ් සටහනක ඇඳිය හැකියි නේද?

z₁=r₁cis(x₁) හා z₂=r₂cis(x₂) යන සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙක සැලකූ විට පහත ආකාරයට ප්‍රතිපල ලබා ගත හැකියි නේද?

arg(z ₁x z₂) = x₁+x₂

arg(z₁/z₂) = x₁-x₂

arg(z₂/z₁) = x₂-x₁

mod(z₁ x z₂) = r₁r₂

mod(z₁/z₂) = r₁/r₂

mod(z₂/z₁) = r₂/r₁

මතකයට

z යනු සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කරන සංඛේතය නම්, z මඟින් එහි ප්‍රතිබද්ධය නිරූපණය කෙරේ.