ත්‍රිකෝණමිතිය (trigonometry) - 1

හැඳින්වීම

ත්‍රිකෝණමිතිය (trigonometry) යනු ගණිතයේ තිබෙන ඉතාම වැදගත් හා ප්‍රයෝජනවත් කොටසකි. මූලිකවම ත්‍රිකෝණයක් ආශ්‍රයෙන් මෙම ගණිත කර්ම හා සිද්ධාන්ත ගොඩනඟා ඇති නිසයි මෙම නම ඊට ලැබී තිබෙන්නේ ("ත්‍රිකෝණ ආශ්‍රිත මැනීම" යන තේරුම එහි ඇත). එනිසා පළමුව ත්‍රිකෝණ ගැන කෙටියෙන් සලකා බලමු.

ත්‍රිකෝණයක් (triangle) යනු කෝණ තුනක් සහිත සංවෘත ජ්‍යාමිතික රූපයකි. කෝණ ගණනට සමාන පාද ගණනක්ද තිබෙන බැවින් ත්‍රිකෝණයක පාද 3ක්ද ඇත. ජ්‍යාමිතියේදී සරලතම (එනම් අඩුම පාද ගණනකින් ඇඳිය හැකි) සංවෘත තල රූපය වන්නේද ත්‍රිකෝණයයි. ඕනෑම ත්‍රිකෝණයක අභ්‍යන්තර කෝණ තුනෙහි එකතුව අංශක 180කි.

ඕනෑම ත්‍රිකෝණයක එක් අභ්‍යන්තර කෝණයක් තෝරා ගන්න. එම කෝණය සෑදීමට පාද දෙකක් අවශ්‍ය කෙරෙනවා (කෝණයක් සෑදීමට සරල රේඛා දෙකක් අවශ්‍ය කරනවානෙ). මෙම පාද බද්ධ පාද (adjacent sides) ලෙස හැඳින්වේ. ත්‍රිකෝණයක පාද 3න් දෙකක් මේ අනුව බද්ධ පාද ලෙස සලකන විට, ඉතිරි පාදය (එනම් අදාල කෝණය සෑදීමට හවුල් නොවූ පාදය) සම්මුඛ පාදය (opposite side) ලෙස හැඳින්වෙනවා. සලකා බලනු ලබන කෝණයට මුහුනලා හෙවත් සම්මුඛව එය පාදය තිබෙන නිසායි මෙම නම ඊට භාවිතා කරන්නේ.

යම් ත්‍රිකෝණයක පාද දෙකක දිග සමාන නම්, එවිට එම ත්‍රිකෝණය සමද්විපාද ත්‍රිකෝණයක් (isosceles) ලෙස හැඳින්වේ. එවිට ඉබේම අදාල කෝණ දෙකද සමාන වේ (එනිසා කැමති නම් "සමද්විකෝණි ත්‍රිකෝණය" ලෙසද මෙය හැඳින්විය හැකියි). එලෙසම යම් ත්‍රිකෝණයක පාද තුනම සමාන නම්, එය සමකෝණී ත්‍රිකෝණයක් (equilateral) හෝ සමපාද ත්‍රිකෝණයක් ලෙස හැඳින්වේ (මොකද කෝණ සමාන විට ඊට අනුබද්ධ පාදද සමාන වේ).

ත්‍රිකෝණයක එක් අභ්‍යන්තර කෝණයක් අංශක 90ක් හෙවත් ඍජු කෝණයක් නම්, එවැනි ත්‍රිකෝණයක් ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක් (right-angled triangle) ලෙස හැඳින්වේ. එවිට ඉතිරි කෝණ දෙකෙහිම එකතුව අංශක 90ක් විය යුතුය.

ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණයේ ඍජු කෝණය සලකමු. එහි ඍජු කෝණයට සම්මුඛව ඇති සම්මුඛ පාදය කර්ණය (hypotenuse) ලෙස හැඳින්වෙනවා. කර්ණය හැමවිටම ත්‍රිකෝණයේ පාද තුනෙන් දිගම පාදය වේ.

මතකයට

ඕනෑම ත්‍රිකෝණයක පාදවල දිග හා කෝණවල විශාලත්වය අතර යම් සම්බන්ධතාවක් ඇත. එනම්, කෝණයක විශාලත්වය හා එම කෝණයේ සම්මුඛ පාදයේ දිග අතර අනුලෝම සම්බන්ධතාවක් ඇත. කෝණය විශාල වන විට, එම කෝණයේ සම්මුඛ පාදයද අනුරූපවය විශාල වේ.

පයිතගරස් නම් ගණිතඥයා විසින් ඍජුකෝණි ත්‍රිකෝණයක පාද අතර අපූර්ව සම්බන්ධතාවක් සොයා ගත්තා. එය පයිතගරස් ප්‍රමේයය (Pythagoras theorem) ලෙස හැඳින්වෙනවා. පයිතගරස් ප්‍රමේයයෙන් කියන්නේ යම් ඍජුකෝණි ත්‍රිකෝණයක කර්ණයේ වර්ගය, එම ත්‍රිකෝණයේ අනෙක් පාද දෙකෙහි වර්ගයන්වල එකතුවට සමාන බවයි. එය පහත දැක්වේ.

 

පයිතගරස් පෙන්නුවේ පාද 3 අතර තිබෙන එක් විදියක සම්බන්ධතාවක් පමණි. ඊට අමතරව පාද හා කෝණ අතරද සම්බන්ධතාවක් පවතින බව ඉහත මා පැවසුවා. මෙලෙස පාද හා කෝණ අතර තිබෙන සම්බන්ධතා තමයි ත්‍රිකෝණමිතියේදී ඉගෙන ගන්නේ.

මූලික ත්‍රිකෝණමිතික සම්බන්ධතා

යම් ඍජුකෝණි ත්‍රිකෝණයක් සලකන්න. එහි ඍජුකෝණය නොවන කෝණයක් තෝරාගන්න (පහත රූපය). එම කෝණය අංශක 30 යැයි උපකල්පනය කරමු. එවිට එම කෝණයට ඉදිරියෙන් ඇති සම්මුඛ පාදයේ (BC) දිගෙන් එම ත්‍රිකෝණයේ කර්ණයේ (AC) දිගෙන් බෙදන්න. බෙදූ විට යම් අගයක් (දශම අගයක්) ලැබේ. මෙම අගය එම ත්‍රිකෝණයට පමණක් අයිති අගයක් නොවේ. ඕනෑම ලොකු කුඩා ඍජුකෝණි ත්‍රිකෝණයක අංශක 30ක කෝණයක් ඇති විට, එම කෝණයේ සම්මුඛ පාදය කර්ණයෙන් බෙදූ විට ලැබෙන්නේ මෙම දශම අගයම තමයි. මෙම ඉතා සරල සොයා ගැනීම තමයි ත්‍රිකෝණමිතියේ උපත.

ඉහත සම්බන්ධතාව හඳුනාගත් පසු ගණිතඥයන් සිදු කළේ අපූරු දෙයකි. එනම්, කෝණය අංශක 0 සිට අංශක 90 දක්වා අංශකයෙන් අංශකය ක්‍රමයෙන් වැඩි කරගෙන ගියා. ඒ ඒ කෝණයේදී ඉහත ආකාරයට සම්මුඛ පාදයේ හා කර්ණයේ දිග බෙදා අගයන් සටහන් කර ගෙන වගුවක් සෑදුවා. අංශකයෙන් අංශකයෙන් පමණක් නොව, අංශක හැටෙන් පංගුව හෙවත් කලාව බැගින්ද ගෙන ඉහත ගණනය කිරීම් සිදු කර වගුව තවත් විශාල කළා. එවිතරක්ද නොව, කලාව නැවත 60ට බෙදා විකලාවෙන් විකලාවට එම කෝණය විචලනය කර එම ගණනය කිරීම් සිදු කර වගුව තවදුරටත් විශාල කළා. ඇත්තටම මෙලෙස වගුවක් සෑදීම පහසු එහෙත් ඉතා විශාල කාලයක් ගත වන "එපාම කරපු" වැඩක්. එහෙත් මෙහි ඇති ප්‍රයෝජනය නිසාම ඔවුන් කොහොම හරි එය සිදු කළා.

මතකයට

ඔබ දන්නවා කෝණ මැනීම සිදු කරන්නේ අංශක (degree) නම් ඒකකයෙනි. අංශකය යනු තරමක දිග ඒකකයකි. එනිසා ඊට වඩා කුඩා කෝණ මැනීමට අංශකයෙන් හැටෙන් පංගුව (1/60) යන තවත් කුඩා ඒකකයක්ද නිර්මාණය කර ගත්තා. එම ඒකකය "කලාව" (minute) යනුවෙන් හැඳින් වූවා. කලාවට වඩාද කුඩා කෝණ මැනීමට ඊටත් කුඩා ඒකකයක් නිර්මාණය කර ගත්තා. එය විකලාව (second) ලෙස හැඳින්වෙනවා. විකලාව යනු කලාවෙන් හැටෙන් පංගුවකි. ඒ අනුව

විකලා 60ක් කලා එකකි. කලා 60ක් අංශක එකකි.

දී ඇති අගය අංශක බව හැඟවීමට සංඛ්‍යාවට පිටුපසින් කුඩාවට 0 අකුරක් උඩින් දමනවා. දී ඇති අගය කලා බව හැඟවීමට ' යන සලකුණ සංඛ්‍යාවට පිටුපසින් උඩින් දමනවා. විකලා බව හැඟවීමට '' යන සලකුණ එලෙසම සංඛ්‍යාවට පිටුපසින් උඩින් දමනවා. උදාහරණයක් ලෙස 50^o 34' 20'' යනු අංශක 50යි කලා 34යි විකලා 20 වේ.

ඉහත සලකා බැලූ කෝණයේ සම්මුඛ පාදය කර්ණයෙන් බෙදූ විට ඕනෑම ත්‍රිකෝණයකට පොදු රටාවක්/රීතියක්/සම්බන්ධතාවක් ලැබුණා සේම, එම කෝණයේ බද්ධ පාදය කර්ණයෙන් බෙදූ විටද එවැනිම තවත් සම්බන්ධතාවක් ලැබෙනවා. එවිට ගණිතඥයන් නැවතත් ඉහත ආකාරයටම විකලාවෙන් විකලාවට කෝණය විචලනය කරමින් එම අගයන් නැවතත් වගු ගත කළා. දැන් විශාල වගු දෙකක් ඇත.

මෙලෙසම එම කෝණයටම අදාලව සම්මුඛ පාදය බද්ධ පාදයෙන් බෙදූ විටත් නැවතත් අලුත් සම්බන්ධතාවක් පවතින බව පෙනුනා. ඉතිං නැවතත් එවැනිම විශාල වගුවක් ඔවුන් සකස් කළා. දැන් වගු 3ක් ඇත.

ඉහත ඔබට පෙනුනා එකිනෙකට වෙනස් අගයන් ලබා දෙන එහෙත් එකම ජාතියේ සම්බන්ධතා/රීතින් 3ක්. ඉතිං මේවා එකිනෙකට වෙන් කර හඳුනා ගැනීමට නම් 3කුත් ඔවුන් හඳුන්වා දුන්නා. සයින් (sine), කෝසයින් (cosine), හා ටැන්ජන්ට් (tangent) යනු එම නම් තුනයි.

සයින් යනු "සම්මුඛ පාදය/කර්ණය" යන සම්බන්ධතාවට දීපු නමයි. එය මතක තබා ගැනීමට පහසුයි මොකද "ස" අකුර සයින් හා සම්මුඛ පාදය යන දෙකෙහිම තිබෙනවා. කෝසයින් යනු "බද්ධ පාදය/කර්ණය" යන සම්බන්ධතාවට දීපු නමයි. මෙය කෙටියෙන් කොස් (cos) යනුවෙනුයි නිතරම පවසන්නේ. “සම්මුඛ පාදය/බද්ධ පාදය" යන සම්බන්ධතාවට දීපු වචනය වන්නේ ටැන්ජන්ට්ය. එයත් කෙටියෙන් ටෑන් (tan) ලෙසයි භාවිතා වෙන්නේ. මෙම නම් 3ම අකුරු 3ක කෙටි නම් ලෙස භාවිතා කරන පුරුද්දක් තිබෙනවා. ඉතිං tan, cos යන වචනවල අකුරු 3 බැගින් තිබෙන නිසා sine යන්නද sin ලෙස අකුරු 3කින් දක්වනවා.

ඉහත සයින්, කොස්, ටෑන් යන 3හිම යම් පාදයක් තවත් පාදයකින් බෙදා දැක්වීමක් ලෙසයි පවතින්නේ. බෙදීමක් යන්න අනුපාතයක් (ratio) ලෙසත් සැලකිය හැකියි. තවද, මෙම අනුපාත 3 ත්‍රිකෝණයක් ආශ්‍රයෙන් සාදා ගත් නිසා ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත (trigonometric ratio) ලෙස පොදුවේ හැඳින්විය හැකියි.

හැමවිටම ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයකින් අවසානයේ ලැබෙන්නේ යම් දශම සංඛ්‍යාවකි. එනිසා සයින් හෝ කොස් හෝ ටෑන් හෝ ලෙස ලියා ඇති ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයක් දකින හැමවිටම එතැන තිබෙන්නේ නිකංම දශම සංඛ්‍යාවක් ලෙස ඔබේ සිතට දැනිය යුතුයි.

ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයක අගය වෙනස් වෙනවා කෝණය වෙනස් වන විට. කෝණය වෙනස් වන විට ඒ ඒ ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයන් වෙනස් වන නිසා තමයි, එම වෙනස් වෙනස් අගයන් ඉක්මනින් දැන ගැනීමට ඉහත විස්තර කළ ආකාරයට ගණිතඥයන් බොහෝ වෙහෙස දරා වගු 3ක් සකස් කළේ. ඒ අනුව කෝණය යනු ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයේ අගය තීරණය කරන සාධකය නේද? ඔව්. එනිසා ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයක් සටහන් කරන විට, සයින්, කොස්, ටෑන් යන කොටසට පසුව කෝණයද ලිවිය යුතුයි (පහත ආකාරයට).

sin (60) හෝ sin 60

cos (30) හෝ cos 30

tan (55^o 30') හෝ tan 55^o 30'

ඉහත විස්තරය සාරාංශගත කළොත් පහත ආකාරයට ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත නිර්වචනය කළ හැකියි. මේවා මූලික ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත වේ.

sin(θ) = සම්මුඛ පාදය / කර්ණය

cos(θ) = බද්ධ පාදය / කර්ණය

tan(θ) = සම්මුඛ පාදය / බද්ධ පාදය

ත්‍රිකෝණමිතික වගු භාවිතය

දැන් අපි බලමු ගනන් හදන විට මෙම ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතවල අගයන් ප්‍රායෝගිකව සොයන ආකාරය. මේ සඳහා අනිවාර්යෙන්ම ඉහත විස්තර කළ ත්‍රිකෝණමිතික වගු (trigonometric tables) භාවිතා කිරීමට සිදු වෙනවා. මෙම වගු පිටු හත අටක කුඩා පොත් පිංචක් වශයෙන් පොත්හල්වලින් ලබා ගත හැකියි. එම පොත් පිංචයෙහි සයින් වගුව (sin table), කොස් වගුව (cos table), හා ටෑන් වගුව (tan table) ලෙස වෙන වෙනම වගු 3 දක්නට ලැබෙනවා. පහත රූපයේ දැක්වෙන්නේ එවැනි පොතක ඇති සයින් වගුවේ කොටසකි.

 

මෙම වගු සකස් කර තිබෙන්නේ පහසුවෙන් තමන්ට අගය සොයා ගැනීමට හැකි වන පරිදි හා අඩු පිටු ගණනකින් වගුව ලිවිය හැකි ආකාරයටයි. තවද, විවිධ අය විවිධාකාරයෙන් එය සකස් කර තිබෙන්නටද පුලුවන්. එනිසා පළමු වරට මෙවැනි වගුවක් දකින අය එම අගයන් ලියා ඇති ආකාරය පිළිබඳ ටිකක් අධ්‍යනය කරන්න.

ඉහත වගුවේ උඩ සිට යටට වම් කෙලවර 0^o, 1, 2, 3 ආදී ලෙස දක්වා ඇත්තේ අංශකයි. එනම් අංශකයක පරතර සහිත කෝණ ඇත. ඒ සෑම අංශකයක්ම නැවත කුඩා කොටස් කිහිපයකට කඩා දක්වන්නේ එම අංශකය දක්වන පේලිය දිගේ වමේ සිට දකුණට යන විටයි. ඔබ දන්නවා අංශකය 60ට කඩා කලාව බැගින්ද, නැතිනම් අංශකය 3600ට කඩා (60x60) විකලාව බැගින්ද දැක්විය හැකි වුවත්, එවැනි ඉතා කුඩා පරතරවලින් දක්වන්නට ගියොත් පිටු සිය දහස් ගණනක විශාල වගු භාවිතා කරන්නට සිදුවෙන නිසා, සාමාන්‍ය ශිෂ්‍යන්ට එතරම් විශාල වගු අවශ්‍ය නැති නිසා එතරම් කුඩා අගයන්වලට සයින් අගයන් දක්වනේ නැත. එනිසයි ඉහත වගුවේ මෙන් අංශකයෙන් 10න් පංගුව වැනි තරමේ කුඩා කොටස්වල එය කඩා ඇත්තේ.

බලන්න වගුවේ මැද කොටසේ උඩම දක්වා තිබෙනවා 0.0^o, 0.1^o, 0.2^o ලෙස. මේ දක්වා තිබෙන්නේ අංශකය දශම ආකාරයෙනි. ඊට උඩින් දක්වා තිබෙන්නේ අංශකය හා කලාව යන දෙකම එකට තිබෙන ආකාරයෙනි. ඒ කියන්නේ 0.1^o යනු අංශක 0යි කලා 6කි. 0.4^o යනු අංශක 0 යි කලා 24කි. සමහරුන් අංශක හා කලා යන කොටස් දෙකම සහිතව ගණනය කිරීම් කරන අතර, සමහරුන් එම කෝණයම අංශක වලින් පමණක් භාවිතා කරනවා (මෙවිට කලාව වෙනුවට අංශකයේම දශම කොටසක් ලෙස එය දැක්වෙනවා). එනිසයි මේ දෙයාකාරයෙන්ම එම කුඩා කෝණ දක්වා තිබෙන්නේ.

දැන් උගත් කරුණු ඔස්සේ ගණනය කිරීම් කිහිපයක් උදාහරණයක් ලෙස බලමු. සයින්(7) හි අගය කීයද? ඉහත ප්‍රස්ථාරයේ වම් කෙලවරේ උඩ සිට යටට බලාගෙන යන්න 7 යන අගය තිබෙන තැන හමුවන තෙක්. දැන් එම පේලිය දිගේ දකුණට යන්න 0^o තීරය හමුවන තෙක්. එවිට, එම අගය තමයි 7.0^o හෙවත් 7^o කෝණයට අදාල සයින් අගය. ඉහත වගුව අනුව, එම අගය 0.1219 වේ.

දැන් සයින්(5.6) හෙවත් සයින්(5^o 36') හි අගය සොයන්න. නැවතත් පෙර පරිදිම 5 ලැබෙන තෙක් උඩ සිට යටට වම් කෙලවර බලාගෙන යන්න. එම පේලිය හමු වූ පසුව, 0.6' හෙවත් 0^o 36' තීරය බලන්න. එම ස්ථානයේ තිබෙන 0.0976 අගය තමයි අවශ්‍ය පිළිතුර.

සයින්(5^o 38') හි අගය සොයන්න. පෙර පරිදිම කළොත්, 38' තීරයක් ඔබට හමු නොවේ. ඒ වෙනුවට 36' හෝ 42' තීරු ඇත. ඒ කියන්නේ ඔබට සිදු වෙනවා ආසන්න අගයක් ගැනීමට. එහෙත් ඔබට අවශ්‍යම නම් 38' අගයම සොයන්නට ඒ සඳහාත් ක්‍රමවේදයක් සකස් කර තිබෙනවා මෙම වගුවල. ඒ ගැන බලමු.

ඉහත වගුවේ සියලුම කලාවන් (0 සිට 59 දක්වා) ඍජුවම දක්වා නැතිව අතරින් පතර පමණක් (එනම් කලා හයෙන් හයට පරතර ඇතිව) ඇති බව පෙන්වා දුන්නා. එහෙත් අවශ්‍ය නම් කලාවෙන් කලාවට ගණනය කිරීමටද යම් උපක්‍රමයක් එම වගුවේ තිබෙනවා. එය තමයි වගුවේ දකුණු පස කෙළවර කොටසින් කරන්නේ. එහි 1' සිට 5' දක්වා තීරු 5ක් පේනවා නේද? මින් කරන දේ හරිම පහසුය. ඔබට සෙවීමට අවශ්‍ය අගයට ආසන්න අඩු අගය පෙර උගත් ක්‍රමය මඟින් පළමුව සොයා ගන්න. ඉන්පසු ඔබේ අගය හා මෙම ආසන්න අගය අතර ඇති කලා වෙනස ගණනය කරන්න. හැමවිටම මෙම අගය 1 ත් 5ත් අතර අගයකි (ඊට හේතුව වගුවේ දක්වා තිබෙන්නේ කලා 6න් 6ට පරතර සහිතව වීමයි). ඉන්පසු මෙම වෙනසට අදාල තීරුවේ ඇති අගය ඔබ මුලින් සොයා ගත් අගයේ අවසාන දශම ස්ථානවලට එකතු කරන්න. එච්චරයි.

නැවතත් පෙර උදාහරණයම ගමු. එනම්, සයින්(5^o 38') සොයන්න. මෙම අගය වගුවේ ඍජුවම දක්වා නැති බව ඉහත පෙන්වා දුන්නා. කමක් නැහැ. දැන් මෙම අගයට වඩා අඩු ආසන්නතම අගය ඍජුවම වගුවෙන් සොයා ගන්න. එම අගය 5^o 36' වේ. ඊට අදාල අගය 0.0976 වේ. දැන් 5^o 38' හා 5^o 36' අගය අතර වෙනස කලා (38 – 36) හෙවත් කලා 2කි. අංශක 5 පේලිය දිගේ දකුණු කෙලවරට යන්න මෙම 2' සහිත තීරුව හමුවන තෙක්. එම අගය 6 වේ. දැන් කරන්නට තිබෙන්නේ මෙම අගය ඉහත ලබා ගත් අගයේ කෙළවරම දශමස්ථානවලට එකතු කිරීමටයි. එ් අනුව සයින්(5^o 38') හි අගය 0.0976+0.0002 = 0.0978 වේ.

තවද, ඉහත වගුවේ සයින් අගය දශමස්ථාන 4කට පමණක් සන්නිකර්ෂණය කර තිබෙන බවද සිහි තබා ගන්න.

මතකයට

මෙලෙස වගු පොත් භාවිතා නොකර කැල්ක්‍යුලේටර්වලින් පහසුවෙන් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත ගණනය කළ හැකියි. උදාහරණයක් ලෙස සයින්(50) හි අගය සෙවීමට අවශ්‍ය නම්, කැල්ක්‍යුලේටරයේ sin යන බට්න් එක ඔබා, 50 ඇතුලු කර = එබූ විට ක්ෂණිකවම ඔබට එම අගය ලැබේවි. සමහරවිට ඔබ නොදන්නවා විය හැකියි කැල්ක්‍යුලේටරයද එම අගය ඔබට ලබා දෙන්නේ ත්‍රිකෝණමිතික වගුවකින් තමයි. ඔව්, කැල්ක්‍යුලේටරයේ සර්කිට් එකේ (අයිසී එකේ) මෙම වගු සියල්ල ඇතුලත් කර තිබෙනවා.