Skip to main content

අනුකලනය (integration) - 2


තවත් සාම්‍යන්...

ඉහත පොදු සාම්‍යන් හැරුණු විට, ප්‍රධාන වශයෙන් අවකලන සාම්‍යයන් ආශ්‍රයෙන් සාදාගත් පහත සඳහන් සූත්‍රද අනුකලන සාම්‍යන් ලෙස යොදා ගත හැකියි.

5. ex dx = ex + c

මතකද ex ශ්‍රිතය අවකලනය කරන විට, නැවතත් ex ම ලැබෙන බව පැවසුවා (අවකලනය පාඩම්වලදී)? එසේ නම්, එහි විලෝම වශයෙන්ද ex අනුකලනය කරන විට, ලැබිය යුත්තේ ex ම තමයි (ඊට අමතරව c නම් නියත පදයක්ද දැමිය යුතු බව ඔබ දන්නවා).


6. 1/x dx = ln(x) + c

මෙය ගොඩනඟා ඇත්තේ d ln(x)/dx = 1/x යන අවකලන සාම්‍යය ආශ්‍රයෙන් බව පේනවා නේද? එනම්,

d ln(x)/dx = 1/x
[d ln(x)/dx] dx = [1/x] dx දෙපැත්තම අනුකලනය කිරීමෙන්
ln(x) = 1/x dx → 1/x dx = ln(x)

අවකලනය හා අනුකලනය එකට යෙදෙන විට ඒ දෙක එකිනෙකට විලෝම නිසා දෙක එකිනෙකට උදාසීන වී ගොස් ශ්‍රිතය පමණක් ශේෂ වේ. උදාහරණයක් ලෙස, යම් සංඛ්‍යාවක් 5න් වැඩි කර, නැවත 5න් බෙදූ විට මුල් සංඛ්‍යාව වෙනස් වන්නේ නැහැනෙ. එලෙසම යම් ශ්‍රිතයකට අවකලනය (හෝ අනුකලනය) යොදා ඉන්පසුව අනුකලනය (හෝ අවකලනය) යොදන විට ශ්‍රිතය නොවෙනස්ව පවතී.










6 වැනි සාම්‍යය ඇසුරින්ම මෙම සාම්‍යයත් ගොඩනැඟේ. මින් කියන්නේ යම් ශ්‍රිතයක් භාගයක හරය ලෙසද, එම ශ්‍රිතයේ අවකලනය එම භාගයේ ලවය වශයෙන්ද පවතින විට, භාගයක් ස්වරූපයෙන් තිබෙන එම සංයුක්ත ශ්‍රිතයේ අනුකලනය කළ විට, එම ශ්‍රිතයේ e පාදයේ ලඝු විය යුතු බවයි.

ln|f(x)| ලෙස ලියා තිබීමෙන් හැඟවෙන්නේ f(x) ශ්‍රිතයේ අගය ධන වුවත් ඍණ වුවත්, ලඝු බලන විට ධන අගයක් ලෙස පමණක් තිබිය යුතු බවයි. ඊට හේතුව ඍණ සංඛ්‍යාවක ලඝු ගණනය කිරීමට බැරි වීමයි. යම් සංඛ්‍යාවක් හෝ ගණිත ප්‍රකාශයක් || යන සංඛේතයේ මැදට යොදන විට, ඉන් කියන්නේ එම සංඛ්‍යාව හෝ ප්‍රකාශය ධන වුවත් ඍණ වුවත් හැමවිටම ධන ලෙස සලකන්න කියාය (|| යන්න නිරපේක්ෂ අගය සොයන ගණිත කර්මයේ සංඛේතයයි).

මෙම සූත්‍රයද අවකලන සූත්‍රයක විලෝමය සලකා සාදා ගත් එකකි. ඒ කෙසේදැයි බලමු. d ln(x)/dx = 1/x වන බව ඔබ දන්නවා. මෙහි x වෙනුවට f(x) ආදේශ කළ විට, එය ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක් බවට පත් වේ. එවිට යන දාම රීතිය යොදාගෙන පහත ආකාරයට එය අවකලනය කළ හැකියි නේද?










ඉහත අවකලනයේ ප්‍රතිලෝමය දැන් සැලකූ විට ලැබෙන්නේ අපට අවශ්‍ය අනුකලන සාම්‍යයි. එනම්,










උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.





ඉහත ශ්‍රිතයේ හරය x2 වන අතර එහි අවකලනය වන 2x ලවයේ ඇත. එනිසා පහසුවෙන්ම මෙම සාම්‍යය යෙදිය හැකියි.

 




8. ax dx = ax/ln(a) + c


9. ln(x) dx = x.ln(x) – x + c


10. sin(x) dx = - cos(x) + c


11. cos(x) dx = sin(x) + c


12. tan(x) dx = - ln|cos(x)| + c


13. cot(x) dx = ln|sin(x)| + c


14. sec(x) dx = ln |sec(x) + tan(x)| + c


15. csc(x) dx = - ln |csc(x) + cot(x)| + c


16. sec2(x) dx = tan(x) + c


17. csc2(x) dx = - cot(x) + c


18. sec(x).tan(x) dx = sec(x) + c


19. csc(x).cot(x) dx = - csc(x) + c


ඇත්තටම අනුකලනය අවකලනය තරම් පහසුවෙන් සුලු කළ නොහැකියි. අවකලනය කිරීමට පහසුයි නම් අනුකලනය අපහසු වන්නේ කෙසේදැයි ඔබට සිතෙනු ඇත. සංඛ්‍යාවක් තවත් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම හා එහි විලෝමය වන සංඛ්‍යාවක් තවත් සංඛ්‍යාවකින් බෙදීම යන ගණිත කර්ම දෙක සලකන්න. වඩා පහසු ගුණ කිරීම නේද? ගුණ කිරීමෙහි විලෝමය වන බෙදීම එතරම් පහසුවෙන් සිදු කළ නොහැකියිනෙ. අන්න ඒ වගේ තමයි අවකලනයට වඩා සුලු කිරීම අමාරුයි අනුකලනයේදී.

එනිසා, අනුකලනයන් සුලු කිරීමේදී අනුකල සාම්‍යන් ඉතාම ප්‍රයෝජනවත්ය. විශාල ප්‍රමාණයක් අනුකල සාම්‍යන් ගොඩනඟා ගෙන ඇත (මා ඉහත දැක්වූයේ ඉන් කිහිපයක් පමණි). කිසිවෙකුට ඒසා විශාල අනුකල සාම්‍යන් ප්‍රමාණයක් මතකේ තබා ගැනීමටද බැරිය. එනිසා ඔබට සියලු අනුකල සාම්‍යන් මතක තබා ගැනීමට අවශ්‍ය නැත. ඉහත පෙන්වා දුන් ඒවා මතක තබා ගන්න.

තවද, ඉහත සාම්‍යන්ගෙන් බොහෝමයක් ඍජුවම අවකලනය ආශ්‍රයෙනුයි ගොඩනඟා ගෙන තිබෙන්නේ. උදාහරණයක් ලෙස, ටෑන් අවකලනය කල විට සෙක්2 ලැබේ. එවිට එහි විලෝමය වන සෙක්2 අනුකලනය කළ විට ටෑන් ලැබේ යැයි පැවසිය හැකියිනෙ. ඉහත 16 සිට 19 දක්වා ඇති සාම්‍යන් 4ම එලෙස ලබා ගත් ඒවාය. අනුකලනයේදී සෑම සාම්‍යක්ම ඉතාම වැදගත්ය. ප්‍රමූලධර්මවලින් අනුකලනය සෙවිය නොහැකිය. එනිසා සාම්‍යන් ආශ්‍රයෙන්ම ඒවා විසඳීමට ඇති නිසා, ලබා ගත හැකි සෑම ලොකු කුඩා සාම්‍යක්ම ගණිතඥයින් අත් හරින්නේ නැත. මීට අමතරව අනුකලනය සෙවීම සඳහා සුවිශේෂි උපක්‍රම කිහිපයක්ද ඇත.

Comments

Popular posts from this blog

දන්නා සිංහලෙන් ඉංග්‍රිසි ඉගෙන ගනිමු - පාඩම 1

මෙම පොත (පාඩම් මාලාව) පරිශීලනය කිරීමට ඔබට එදිනෙදා සිංහල භාෂාව භාවිතා කිරීමේ හැකියාව හා සාමාන්‍ය බුද්ධිය පමණක් තිබීම අවම සුදුසුකම ලෙස මා සලකනවා.  තවද, ඇසෙන පරිදි ඉංග්‍රීසි අකුරින් ලිවීමට හැකිවීම හා ඉංග්‍රීසියෙන් ලියා ඇති දෙයක් කියවීමට හැකි නම්, ඔබට මෙතැන් සිට මෙම පාඩම් මාලාව කියවා ඉගෙන ගත හැකිය.  ඔබට එසේ ඉංග්‍රීසි කියවීම හා ලිවීම ගැන දැනීමක් දැනටමත් නොමැත්තේ නම්, කරුණාකර මෙ‍ම පොතෙහි “අතිරේකය - 1 ”  බලා පළමුව එම හැකියාව ඇති කරගන්න.  තවද, හැකි පමණ ඉංග්‍රීසි වචනද පාඩම් කරගන්න. ඔබ හිතවතෙකුගේ නිවසකට හෝ වෙනත් පිටස්තර තැනකට යන විටෙක හැසිරෙන්නේ ඔබට අවශ්‍ය විදියටම නෙමේ නේද?  එනම්, පිට නිවසකට ගිය විට අහවල් පුටුව තිබෙන තැන හරි නැහැ, අහවල් එක මෙහෙම තිබෙන්නට ඕනෑ ආදී ලෙස ඔවුනට පවසන්නේ නැහැ, මොකද අප සිටින්නේ අනුන්ගේ තැනක නිසා.  එලෙසම, ඉංග්‍රීසි භාෂාව යනු සිංහල නොවේ.  ඔබ කැමැති වුවත් නැතත් ඉංග්‍රීසි ඉගෙනීමේදීද අප ඉංග්‍රීසි ව්‍යාකරණ රීති හා රටා එපරිද්දෙන්ම උගත යුතුය.  එනම්, සෑම සිංහල වගන්ති රටාවක්ම ඉංග්‍රීසියට ඔබ්බන්නට නොව, ඉංග්‍රීසියේ ඇති රටා ඔබ දන්නා සිංහල භාෂාව තුළින් ඉගෙනීමට උත්සහ කළ යුතුය. 

කතාවක් කර පොරක් වන්න...

කෙනෙකුගේ ජීවිතය තුල අඩුම වශයෙන් එක් වතාවක් හෝ කතාවක් පිරිසක් ඉදිරියේ කර තිබෙනවාට කිසිදු සැකයක් නැත. පාසැලේදී බලෙන් හෝ යම් සංගම් සැසියක හෝ රැස්වීමක හෝ එම කතාව සමහරවිට සිදු කර ඇති. පාසලේදී කතා මඟ හැරීමට ටොයිලට් එකේ සැඟවුනු අවස්ථාද මට දැන් සිහිපත් වේ. එහෙත් එදා එසේ කතා මඟ හැරීම ගැන අපරාදේ එහෙම කළේ යැයි අද සිතේ. යහලුවන් ඉදිරියේ "පොර" වෙන්න තිබූ අවස්ථා මඟ හැරුණේ යැයි දුකක් සිතට නැඟේ. ඇත්තටම කතාවක් කිරීම "පොර" කමකි. දක්ෂ කතිකයන්ට සමාජයේ ඉහල වටිනාකමක් හිමි වේ. පාසැලේදී වේවා, මඟුලක් අවමඟුලක් හෝ වෙනත් ඕනෑම සමාජ අවස්ථාවකදී වේවා දේශපාලන වේදිකාව මත වේවා කතාවක් කිරීමේදී පිලිපැදිය යුත්තේ සරල පිලිවෙතකි. එහෙත් එම සරල පිලිවෙත තුල වුවද, තමන්ගේ අනන්‍යතාව රඳවන කතාවක් කිරීමට කාටත් හැකිය. පුද්ගලයාගෙන් පුද්ගලයා වෙනස් වේ. එම වෙනස ප්‍රසිද්ධ කතා (public speaking) තුලද පවත්වාගත හැකිය. මේ ගැන මට ලිපියක් ලියන්නට සිතුනේ මාගේ මිතුරෙකුට ප්‍රසිද්ධ කතාවක් කිරීමට අවශ්‍ය වී, ඒ ගැන මේ ළඟ දවසක අප පැයක් පමණ සිදු කළ සංවාදයක් නිසාය. මා ප්‍රසිද්ධ දේශකයකු නොවුණත් මේ විෂය සම්බන්දයෙන් පාසැල් කාලයේ සිටම පත

දන්නා සිංහලෙන් ඉංග්‍රිසි ඉගෙන ගනිමු - අතිරේකය 1

මූලික ඉංග්‍රීසි ලිවීම හා කියවීම ඉංග්‍රීසියෙන් ලියන්නේ හා ඉංග්‍රීසියෙන් ලියා ඇති දෙයක් කියවන්නේ කෙසේද?  ඉංග්‍රීසිය ඉගෙනීමට පෙර ඔබට මෙම හැකියාව තිබිය යුතුමය.  එය එතරම් අපහසු දෙයක්ද නොවේ.  ඔබේ උනන්දුව හොඳින් ‍තිබේ නම්, පැය කිහිපයකින් ඔබට මෙම හැකියාව ඇති කර ගත හැකිය.  මුල සිට පියවරෙන් පියවර එය උගන්වන්නම්.   මුලින්ම මිනිසා භාෂාවක් භාවිතා කළේ ශබ්දයෙන් පමණි.  එනම් ලිඛිත භාෂාව ඇති වූයේ පසු කාලයකදීය.  කටින් නිකුත් කරන ශබ්ද කනින් අසා ඔවුන් අදහස් උවමාරු කර ගත්තා.  පසුව ඔවුන්ට වුවමනා වුණා මෙම ශබ්ද කොලයක හෝ වෙනත් දෙයක සටහන් කර ගන්නට.  ඒ සඳහායි අකුරු නිර්මාණය කර ගත්තේ.  එම අකුරු නියෝජනය කරන්නේ ශබ්දයි .  මෙසේ මූලික අකුරු කිහිපයක් ඔවුන් එක එක භාෂාව සඳහා නිර්මාණය කර ගත්තා.  ඉංග්‍රීසියේදී මෙලෙස මූලික අකුරු 26ක් ඇත.   එය ඉංග්‍රීසි හෝඩිය ලෙස හැඳින් වෙනවා. අප ඉගෙන ගත යුත්තේ මෙම අකුරු මඟින් නියෝජනය කෙරෙන ශබ්ද මොනවාද යන්නයි.  එවිට ඔබට ඉංග්‍රීසි ලිවීමට හා කියවීමට හැකි වෙනවා.  ඊට පෙර අප අකුරු 26 දැනගත යුතුයි.  එම අකුරු 26 පහත දක්වා ඇත.  ඉංග්‍රීසියේදී සෑම අකුරක්ම “සිම්පල්” හා “කැපිටල්” ලෙස දෙයාකාර

දෛශික (vectors) - 1

එදිනෙදා ජීවිතයේදිත් විද්‍යාවේදිත් අපට විවිධාකාරයේ අගයන් සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදු වෙනවා . ඉන් සමහරක් නිකංම සංඛ්‍යාවකින් ප්‍රකාශ කළ හැකි අගයන්ය . අඹ ගෙඩි 4 ක් , ළමයි 6 දෙනෙක් ආදී ලෙස ඒවා ප්‍රකාශ කළ හැකියි . තවත් සමහර අවස්ථාවලදී නිකංම අගයකින් / සංඛ්‍යාවකින් පමණක් ප්‍රකාශ කළ නොහැකි දේවල් / රාශි (quantity) හමු වේ . මෙවිට “මීටර්” , “ තත්පර” , “ කිලෝග්‍රෑම්” වැනි යම් ඒකකයක් (unit) සමඟ එම අගයන් පැවසිය යුතුය ; නැතිනම් ප්‍රකාශ කරන අදහස නිශ්චිත නොවේ . උදාහරණයක් ලෙස , “ මං 5 කින් එන්නම්” යැයි කී විට , එම 5 යනු තත්පරද , පැයද , දවස්ද , අවුරුදුද ආදි ලෙස නිශ්චිත නොවේ . මේ දෙවර්ගයේම අගයන් අදිශ (scalar) ලෙස හැඳින්වේ . අදිශයක් හෙවත් අදිශ රාශියක් යනු විශාලත්වයක් පමණක් ඇති දිශාවක් නැති අගයන්ය . ඔබේ වයස කියන විට , “ උතුරට 24 යි , නැගෙනහිරට 16 යි” කියා කියන්නේ නැහැනෙ මොකද දිශාව යන සාධකය / කාරණය වයස නමැති රාශියට වැදගත්කමක් නැත . එහෙත් සමහර අවස්ථා තිබෙනවා අගයක් / විශාලත්වයක් (magnitude) මෙන්ම දිශාවක්ද (direction) පැවසීමට සිදු වන . මෙවැනි රාශි දෛශික (vector) ලෙස හැඳින්වේ . උදාහරණයක් ලෙස , ඔබ යම් “බලයක්

දැනගත යුතු ඉංග්‍රිසි වචන -1

ඉංග්‍රිසි බස ඉගැනීමේදී වචන කොපමණ උගත යුතුද, එම වචන මොනවාදැයි බොහෝ දෙනෙකුට මතුවන ගැටලුවක් වන අතර, බොහෝ දෙනා ඊට විවිධ පිලිතුරුද සපයා ඇත. මේ ගැන හොඳින් පරීක්ෂණය කර ඇමරිකානු ආයතනයක් විසින් වචන 5000ක ලැයිස්තුවක් ඉදිරිපත් කර ඇත. එම ලැයිස්තුව මා කෙටස් දෙකකට (දිගු වැඩි නිසා) සිංහල තේරුම්ද සහිතව ඉදිරිපත් කර ඇත. (මේවා සැකසුවත් සෝදුපත් බලා නැති නිසා සුලු සුලු දෝෂ සමහරවිට තිබිය හැකිය). පහත ලැයිස්තුවේ වචන 2500ක් ඇත.    Word    තේරුම        be    ඉන්නවා    and    හා    of    ගේ    in    තුල    to    ට    have    තියෙනවා    to    ට    it    ඒක, ඌ    I    මම    that    ... කියලා, ඒ/අර, ඒක/අරක    for    සඳහා    you    ඔබ, ඔබලා    he    ඔහු    with    සමඟ    on    මත    do    කරනවා, "මෙව්ව කරනවා"    say    කියනවා    this    මේ, මේක    they    උන්, ඒවා, ඒගොල්ලෝ    at    දෙස, අසල    but    නමුත්    we    අපි    his    ඔහුගේ    from    සිට, ගෙන්    not    නැහැ    by    විසින්, මඟින්    she    ඇය    or    හෝ, හෙවත්    as    විට, නිසා, වශයෙන්    what    මොකක්ද,