ත්‍රිකෝණමිතිය (trigonometry) - 5

ඕනෑම කෝණයක් සඳහා අනුපාත අගය

වෘත්තය ආශ්‍රයෙන් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත නිර්වචනය කරන අයුරු අප දැන ගත්තා. මෙවිට වෘත්තය මත ඛණ්ඩාංක තලයක් සමපාත කර තිබෙන නිසා, වෘත්තයද ඛණ්ඩාංක තලය මඟින් කොටු/පාදක (quadrants) 4කට බෙදෙනවා.

මේ එක් එක් කොටුව තුළ ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතවල අගයන් හැසිරෙන හැටි පොදුවේ විමසා බැලිය හැකියි (යම් රටාවක් ඉන් හඳුනාගත හැකියි).

පළමුවෙන්ම පළමු කොටුව සලකමු. මෙම කොටුව නියෝජනය කරන්නේ කෝණය 0 සිට 90 දක්වාය. මෙම කොටුව තුළ ඉහත කෝණ පරාසයේ පවතින ඕනෑම කෝණයක් සැලකූ විට, එම කෝණය සඳහා සකස් කරන ඍජුකෝණි ත්‍රිකෝණයේ කර්ණය, බද්ධ පාදය, හා සම්මුඛ පාදය යන පාද 3ම ධන වේ.

එවිට අනුපාත ගණනය කරන විට ධන පාදයකින් ධන පාදයක් තමයි හැමවිටම බෙදෙන්නේ. ඒ කියන්නේ සියලු ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත අගයන් ධන වේ.

දැන් දෙවැනි කොටුව සලකමු. මෙම කොටුව නියෝජනය කරන්නේ අංශක 90 සිට 180 දක්වා කෝණයි. මෙම පරාසය තුළ තිබෙන ඕනෑම කෝණයක් සලකන්න. ඊට අදාල ඍජුකෝණි ත්‍රිකෝණය සකස් කරන්න. දැන් කර්ණය හා සම්මුඛ පාදය ධන වන අතර, බද්ධ පාදය හැමවිටම ඍණ වේ. ඒ කියන්නේ බද්ධ පාදය යොදාගෙන සෑදෙන අනුපාත අගයන් ඍණ වේ.

මේ අනුව අංශක 90ත් 180ත් අතර පවතින ඕනෑම කෝණයක් සඳහා සයින් අනුපාතය ධන වන අතර, කොස් හා ටෑන් අනුපාත අගයන් ඍණ වේ. සයින් = සම්මුඛ පාදය/කර්ණය නිසා, පාද දෙකම ධන අගයන් නිසා, ධන අගයක් තවත් ධන අගයකින් බෙදෙන විට ලැබෙන්නේද නැවත ධන අගයකි. එනිසයි සයින් ධන වන්නේ. කොස් = බද්ධ පාදය/කර්ණය නිසා, කර්ණය ධන වුවත් බද්ධ පාදය ඍණ වන නිසා, ඍණ අගයක් ධන අගයකින් බෙදූ විට ලැබෙන්නේ ඍණ අගයකි. එනිසයි කොස් අගය ඍණ වන්නේ. එලෙසම ටෑන් = සම්මුඛ පාදය/බද්ධ පාදය නිසා, ධන අගයක් ඍණ අගයකින් බෙදෙන විට පිළිතුර ඍණ වේ. එනිසා ටෑන් අගය ඍණ වේ.

යම් මූලික ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයක ලකුණමයි එය ආශ්‍රයෙන් තැනෙන අනෙක් අනුපාතයට ඇත්තෙත්. ඒ කියන්නේ සයින් අගය ධන නම්, 1/සයින් හෙවත් කොසෙක් අගයද ධන වේ. කොස් ඍණ නිසා, 1/කොස් හෙවත් සෙක් ඍණ වේ. එලෙසම ටෑන් යන්න ඍණ නිසා කොට් යන්නත් ඍණ වේ.

දැන් තෙවැනි කොටුවට අවධානය යොමු කරමු. මෙම කොටුව නියෝජනය කරන්නේ අංශක 180 සිට 270 දක්වා කෝණයි. මෙම කොටුව තුළ කර්ණය පමණක් ධන වන අතර, බද්ධ හා සම්මුඛ යන පාද දෙකම ඍණ වේ.

මෙවිට, සයින් අනුපාතය ඍණ වේ (ඍණ සම්මුඛ පාදය ධන කර්ණයෙන් බෙදීමෙන්). එවිට ඉබේම කොසෙක්ද ඍණ වේ. කොස් අනුපාතයත් ඍණ වේ (ඍණ බද්ධ පාදය ධන කර්ණයෙන් බෙදීමෙන්). එවිට සෙක්ද ඉබේම ඍණ වේ. එහෙත් ටෑන් අනුපාතය ධන වේ මොකද ඍණ සම්මුඛ පාදය ඍණ බද්ධ පාදයෙන් බෙදෙන නිසා. කොට් අනුපාතයද ධන වේ.

අවසාන වශයෙන් සිව්වැනි කොටුව බලන්න. එහි කොස් අනුපාතය (හා සෙක් අනුපාතය ඉබේම) ධන වන අතර, ටෑන් හා සයින් අනුපාත (එවිට කොට් හා කොසෙක්ද ඉබේම ඇතුලත් වේ) ඍණ වේ.

ඉහත එක් එක් කොටුවලදී ලැබෙන ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතවල අගයන්ගේ ධන ඍණ ස්වභාවය සාරාංශගත කර පහත රූපයේ දැක්වේ. ඉහත දිගු විස්තරය පහසුවෙන් මා මතක තබා ගන්නේ "All Saint Thomas College” යන ප්‍රකාශය මතක තබා ගැනීමෙනි. මෙම ප්‍රකාශයේ වචනවල පළමු අකුරු යටින් ඉරිගසා ඇත. මෙම අකුරු 4න් සංඛේතවත් වෙන්නේ: All – සියල්ල (එනම් සියලු අනුපාත); S – sine පමණක්; T – tan පමණක්; C – cos පමණක් යන්නයි. පිළිවෙලින් 1 කොටුවේ සිට 4 කොටුව දක්වා කොටු හතරේ ධන අගයන් ලැබෙන අනුපාතයි ඒ දක්වා තිබෙන්නේ.

 

පළමු කොටුව තුළ සියලු අනුපාතවල අගයන් ධන වේ. දෙවැනි කොටුව තුළ සයින් (හා ඉබේම කොසෙක්) යන අනුපාත පමණක් ධන වේ; අනෙක් අනුපාත එම කොටුව තුල ඍණ වේ. මේ ආදී ලෙසයි එම ප්‍රකාශය තේරුම් ගත යුත්තේ.

දැන් ඔබ දන්නවා යම් කෝණයක් දුටු විට එම කෝණයට අදාල ඕනෑම ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයක අගය ධන විය යුතුද ඍණ විය යුතුද වග. එම අගයට අදාලව අනුපාතයේ අගය දැනගැනීමට නම් ඉතිං අදාල අනුපාත වගුවක් බැලීමට සිදු වෙනවා. ඉහත ක්‍රමයෙන් ඔබට හැක්කේ වගුවෙන් ලැබෙන අනුපාත අගය ධනද ඍණද යන්න දැනගැනීම පමණි. එසේ දැනගැනීම අත්‍යවශ්‍ය වේ.

අංශක 360ට වැඩි කෝණ සඳහා අමුතුවෙන් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත අගයන් වගුගත කිරීමට අවශ්‍ය නැත. ඊට හේතුව ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත අංශක 360ක ආවර්ථයක් සහිත වීමයි. එනම්, කෝණය එකම වටයක නැවත නැවත ගමන් කරයි. උදාහරණයක් ලෙස අංශක 360ට ලැබෙන අගයමයි අංශක 0දී ලැබෙන්නෙත්. ඒ අනුව, අංශක 361 = අංශක 1; 363 = 3; 369 = 9; 387 = 27; 400 = 40; 543 = 183 ආදී ලෙස දැක්විය හැකියි.

දැන් ඔබට තේරෙනවා ඇති ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත සඳහා අංශක 0ත් 360ත් අතර අගයන් මඟින් ඕනෑම විශාල කෝණයක් සඳහා අගයන් ලැබෙන බව.

ඔව්. තවත් මෙය සරල කර ගත හැකියි. අංශක 0 සිට 180 දක්වා තිබෙන අගයන්මයි අංශක 180 සිට 360 දක්වා තිබෙන්නෙත්. පෙර දැක්වූ අනුපාත ප්‍රස්ථාර බැලූ විට මෙය ඔබට පැහැදිලි වේවි; ධන ඍණවල වෙනස්කම් පමණයි තිබෙන්නේ. ඒ කියන්නේ අංශක 0 සිට 180 දක්වා පමණක් අනුපාත අගයන් තිබේ නම් ඕනෑම කෝණ අගයක් සඳහා අනුපාත අගයන් සොයා ගත හැකි බව නේද?

ඔව්. තවදුරටත් ඉහත ප්‍රස්ථාර බැලුවොත් තත්වය තවත් සරල කරගත හැකි බව පෙනේවි. එනම්, අංශක 0 සිට 90 දක්වා කෝණවලට ලැබෙන අනුපාත අගයන්මයි අනෙක් කෝණවලට ලැබෙන්නේ (ධන ඍණ භේදය හැර).

ඒ කියන්නේ ප්‍රායෝගිකව ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත වගුවකට අවශ්‍ය කරන්නේ අංශක 0 සිට 90 දක්වා කෝණවල අගයන් පමණි. ඇත්තටම වගුවල තිබෙන්නෙත් මෙම කෝණ පරාසය පමණි. දැන් ඔබට මෙම 0 සිට 90 පරාසය තුළ තිබෙන අගයන් යම් උපක්‍රමයක් මඟින් ඕනෑම කෝණයකට ගැලපෙන පරිදි සකස් කර ගැනීමට සිදු වෙනවා. එම උපක්‍රමයේ එක් කොටසක් තමයි ඉහතදී සාකච්ඡා කළේ කොටු 4දී අනුපාතවල ධන ඍණ අගයන් සොයන විදිය. මෙම ක්‍රියාවලියේ ඉතිරි කොටස දැන් බලමු.

ඕනෑම කෝණයක් අංශක 90න් බෙදන්න. මෙහිදී 90ට අඩු කෝණ නොසලකා හරින්නේ කොහොමත් 90 දක්වා කෝණවල අගයන් ලබා ගන්නේ වගුවලින් නිසාය. එවිට එය පහත ආකාරයට ලිවිය හැකියිනෙ. n යනු පූර්ණ සංඛ්‍යාවකි. හැමවිටම θ ට ලැබෙන්නේ අංශක 90ට අඩු අගයකි.

යම් විශාල කෝණයක් = n . 90^o + θ

උදාහරණයක් ලෙස, 590^o = 6 x 90^o + 50^o ලෙස ලිවිය හැකියි. දැන් ඔබ පහත දැක්වෙන රීතිය මතක තබා ගන්න.

(n . 90^o + θ) කෝණයක් සඳහා යම් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයක් සෙවීමේදී:

n පදය ඉරට්ටේ නම්, එම අනුපාතයේම θ කෝණය සඳහා අගය වගුවෙන් සොයන්න. තවද, (n . 90^o + θ) කෝණය පිහිටන කොටුව අනුව එම අනුපාතයට හිමි ධන හෝ ඍණ ලකුණ යොදන්න;

n ඔත්තේ නම්, එම අනුපාතයේ අනුපූරක අනුපාතයේ θ අගය සොයන්න. (n . 90^o + θ) කෝණය පිහිටන කොටුව අනුව මුල් අනුපාතයට හිමි ධන හෝ ඍණ ලකුණ යොදන්න. (සයින් හා කොස් එකිනෙකට අනුපූරක වන අතර, ටෑන් හා කොට් එකිනෙකට අනුපූරක වේ.)

උදාහරණ කිහිපයක් ගෙන බලමු. කොස්(1743) හි අගය සොයන්න. අංශක 1743 යන කෝණය පිහිටන කොටුව සොයා බලමු.

කෝණය 360ට වැඩි නම්, පළමුවෙන්ම එය 360ට අඩු කෝණයක් බවට පත් කර ගත යුතුය (මෙලෙස අඩු කෝණයකට පරිවර්තනය කිරීමෙන් අනුපාත අගය වෙනස් නොවන්නේ ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත ආවර්තික නිසාය; එනම් එකම මඟ ඔස්සේ රවුම් ගසන නිසාය). ඒ සඳහා කෝණයට "මොඩ්" කියන ගණිත කර්මය කළ යුතුය (මොඩ් යනු බෙදූ පසු ඉතිරි වන සංඛ්‍යා කොටස ලබා ගැනීමයි). 1743 යන්න 360න් බෙදූ විට 4 යි දශම ගණනක් ලැබේ. ඒ කියන්නේ පූර්ණ වශයෙන් 4 ලැබෙන අතර ඉතිරිය (1743 - (4 x 360)) හෙවත් 303 වේ. මෙම 303 කෝණය දැන් පිහිටන්නේ 4 වැනි කොටුව තුළයි (අංශක 270 හා 360 පරාසය තුළ). මෙම කොටුව තුළ කොස්වල අගය ධන වේ. ඒ කියන්නේ කොස්(1743) හි ලැබෙන අගය කුමක් වුවත් එය ධන වේ.

දැන් මෙහි n සොයා ගත යුතුය. ඒ සඳහා ඉහත සොයා ගත් කුඩා කෝණය 90න් බෙදන විට ලැබෙන නිඛිල අගය ගන්න. 303/90 = 3 යි දශම ගණනක් වේ. ඒ කියන්නේ n = 3 වේ. එවිට ඉතිරි කෝණය වන්නේ (303 – (3x90)) හෙවත් 33 වේ. n ඉරට්ටේ නිසා, කොස්(33) ලෙස එය ගත යුතුය. වගුවකින් බැලූවිට කොස්(33) = 0.8387 වේ. ඉහතදී පෙන්වා දුන් පරිදි මෙම අගය ධනයි. එනම් කොස්(1743) = +කොස්(33) = 0.8387 වේ.

දැන් සයින්(590) හි අගය සොයන්න. 590 කෝණය 360ට වැඩි නිසා එය කුඩා කෝණයක් බවට පත් කර ගමු. එම කුඩා කෝණය වන්නේ (590 – 360) හෙවත් 230 වේ. මෙම 230 කෝණය පිහිටන්නේ තුන්වන කොටුවේය. එම කොටුව තුළ සයින් අගය ඍණයි. දැන් එහි n අගය සොයමු. 230/90 යනු 2යි දශම ගණනකි. ඒ කියන්නේ n = 2 වේ. දැන් 230 කෝණය 2 . 90^o + 50 ලෙස ලිවිය හැකියි. එවිට සයින්(590) යන්න සයින්(230) හෝ සයින්(2 . 90^o + 50) ලෙස ලිවිය හැකියිනෙ. මෙහි n යන්න 2 යන ඉරට්ටේ අගයක් නිසා, සයින් යන අනුපාතය වෙනස් නොවී පවතී. එවිට දැන් ඔබට සොයන්නට තිබෙන්නේ සයින්(50) හි අගයයි. සයින් වගුවකින් ඔබට එය බලා ගත හැකියි. සයින්(50) = 0.7660. ඉහත සොයා ගත්තා සයින්(590) අගය ඍණ අගයක් බව. එවිට 0.7660 යන්න -0.7660 විය යුතුයි. සයින්(590) = -සයින්(50) = -0.7660

තවත් උදාහරණයක් බලමු. ටෑන් 315 සොයන්න. මෙය 360ට අඩු කෝණයක් නිසා ගණනය කිරීම පහසුය. පළමුව මෙම අගය ධනද ඍණද යන්න සොයමු. මෙම 315 කෝණය පිහිටන්නේ හතරවන කොටුවේය. මෙම කොටුව තුළ ටෑන් අගය ඍණ වේ. දැන් මෙය nx90 + θ යන ස්වරූපයට පත් කරමු. එය 3x90+45 වේ. n = 3 වේ. ඒ කියන්නේ ඔත්තේ අගයකි. මෙවිට ටෑන් වෙනුවට එහි අනුපූරක අනුපාතය වන කොට් යෙදීමට සිදු වෙනවා. දැන් කොට්(45) හි අගය වගුවකින් සෙවූ විට, 1 වේ. එහෙත් ලකුණ ඍණ විය යුතු බැවින් -1 ලෙස අවසාන පිළිතුර ලිවිය යුතුය. එනිසා, ටෑන් 315 = -කොට්(45) = -1 වේ.

ඍණ කෝණ

ඉහත ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතවල ප්‍රස්ථාර බැලූ විට එම ප්‍රස්ථාර x අක්ෂය දිගේ දකුණට හා වමට යන දෙදිශාව ඔස්සේම ගමන් කරනවා. උදාහරණයක් ලෙස පහත සයින් ප්‍රස්ථාරය බලන්න.

 

ප්‍රස්ථාරය ඔස්සේ ඍණ කෝණ තේරුම් ගැනීමට නම් කිසිදු අපහසුතාවක් නැහැ නේද? එහෙත් ඇත්තටම කෝණයක ඍණ ධන භේදයෙන් කියවෙන්නේ කුමක්ද? සාමාන්‍යයෙන් වාමාවර්තව කෝණයක් මනින විට එම කෝණ ධන කෝණ (positive angle)යැයි සම්මත කරගෙන තිබෙනවා. එවිට ඔබ කෝණ මනින්නේ දක්ෂිණාවර්තව හෙවත් ඔරලෝසුවේ කටු කරකැවෙන පැත්තට (clockwise) නම්, එවිට ඔබට ලැබෙන අගය ඍණ (negative angle) ලෙස සැලකිය යුතුයි.

ධන කෝණයක් දී ඇති විට සයින්, කොස් වැනි ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතවල අගයන් වගුවලින් සොයා ගත හැකියිනෙ. එහෙත් කෝණ ඍණ නම් එම අගයන් සොයා ගන්නේ කෙලෙසද? ඇත්තටම ඍණ කෝණ සඳහා වෙනම වගු නැත. ධන කෝණ ආශ්‍රයෙන්ම ඍණ කෝණවල අගයන් සෙවීමට දැනගත යුතුය. මේ සඳහා පහත සම්බන්ධතා 3 දැන සිටිය යුතුය.

සයින්(-θ) = - සයින්(θ)

කොස්(-θ) = කොස්(θ)

ටෑන්(-θ) = - ටෑන්(θ)

කොස් වල පමණක්, ඍණ කෝණයේ ඍණ ලකුණ අතුරුදහන් වේ. අනෙක් අනුපාත දෙකෙහිදී එම ඍණ ලකුණ අනුපාතය ඉදිරියට පැමිණේ. ඉහත අනුපාත තුනෙන් සාදා ගන්නා අනෙක් අනුපාත 3ද අදාල මූලික අනුපාතයට වෙච්ච දේම සිදු වේ. එනම්:

කොසෙක්(-θ) = - කොසෙක්(θ)

සෙක්(-θ) = සෙක්(θ)

කොට්(-θ) = - කොට්(θ)

උදාහරණ කිහිපයක් බලමු. සයින්(-30) හි අගය ගණනය කරන්න. සයින්(-30) = - සයින්(30) වේ. සයින්(30) = 0.5 වේ. එනිසා සයින්(-30) = -0.5 වේ. කොස්(-60) හි අගය සොයන්න. කොස්(-60) = කොස්(60) වේ. කොස්(60) = 0.5 නිසා, කොස්(-60) = 0.5 වේ.

ඇත්තටම ඉහත ආකාරයට සම්බන්ධතා ලබා ගත්තේ කෙලෙසද? අදාල අනුපාතවල ප්‍රස්ථාර බැලුවොත් හේතුව පැහැදිලි වේවි. උදාහරණයක් ලෙස කොස් හා සෙක් දෙකම එකට ඇති ප්‍රස්ථාරයක් නැවත බලමු.

නිල් පාටින් කොස් ප්‍රස්ථාරයද රතු පාටින් සෙක් ප්‍රස්ථාරයද දිස් වේ. පළමුව කොස් ප්‍රස්ථාරය වෙත අවධානය යොමු කරමු. මෙම ප්‍රස්ථාරයේ හරි මැදින් (එනම් x=0 දී) කොල පාටින් සිරස් රේඛාවක් ගසා තිබේ. මෙම රේඛාවට දකුණු පසට යන විට කෝණ +ද, වම් පසට යන විට කෝණ -ද වේ. මෙම රේඛාව ඔස්සේ ප්‍රස්ථාරය නැව්වොත් (හරියට කොලයක් නවනවා වාගේ) වම් පස ඇඳ ඇති කොස් ප්‍රස්ථාරය මතට දකුණු පස ඇඳ ඇති කොස් ප්‍රස්ථාරය ගාණට සමපාත වේ. එනම්, කොස් ප්‍රස්ථාරය y අක්ෂයට සාපේක්ෂව සමමිතික (symmetrical) වේ. මෙලෙසම සෙක් ප්‍රස්ථාරයද සමමිතික වේ.

y අක්ෂයට සාපේක්ෂව ප්‍රස්ථාරයක් සමමිතික නම් ඉන් අපූරු ලක්ෂණයක් මතු වේ. එනම්, x අක්ෂය දිගේ යම් + අගයක් ගත් විට ඊට ලැබෙන y අගයමයි එම x අක්ෂය දිගේ එම අගයේම - අගය ගත් විට ලැබෙන්නේත්. උදාහරණයක් ලෙස ඉහත කොස් ප්‍රස්ථාරයේ π හා -π අගය දෙකටම y අගය ලෙස ලැබෙන්නේ -1 නේද?

ඒ කියන්නේ යම් + කෝණයක කොස් අගය සමාන වෙනවා එම කෝණයේම - අගයේ කොස් අගයට. එනිසයි කොස්(-θ) = කොස්(θ) ලෙස ලැබුණේ. මෙලෙසමයි සෙක්(-θ) = සෙක්(θ) යන සම්බන්ධයත් ලැබුණේ.

දැන් බලමු සයින් හා කොසෙක් ප්‍රස්ථාරයක් දිහා. පහත රූපයේ කොල පාටින් සයින් ප්‍රස්ථාරයද නිල් පාටින් කොසෙක් ප්‍රස්ථාරයද ඇඳ ඇත. දැන් මෙම ප්‍රස්ථාර දෙකම y අක්ෂයට සාපේක්ෂව සමමිතික නැහැ නේද? එනම්, රතු ඉර ඔස්සේ නැවූ විට වම් පැත්ත දකුණු පැත්තට සමපාත වන්නේ නැත. ඒ වෙනුවට සිදු වන්නේ වම් පැත්තේ තිබෙන කොටසට හරියටම විරුද්ධ ආකාරයට දකුණු පැත්තේ ප්‍රස්ථාර කොටස පිහිටීමයි.

ඒ කියන්නේ 90 කෝණයේදී සයින් අගය 1 වන විට, එම කෝණයේ ඍණ අගයට (එනම් -90දී) සයින් අගය ඊට විරුද්ධ ලකුණ සහිත අගය ගනී. එනම් -1 ලැබේ. කොසෙක් ප්‍රස්ථාරය ගැනද එම දේම වලංගු වේ. උදාහරණයක් ලෙස, සයින්(90) = 1 වන විට, සයින්(-90) = -1 වේ. එය සයින්(90) = - සයින්(90) ලෙස ගම්‍ය කරගත හැකියි නේද? ඔව්. එනිසයි සයින්(-θ) = - සයින්(θ) ලෙස සම්බන්ධතාව ලියා දක්වන්නේ. මෙලෙසම ටෑන් හා කොට් ප්‍රස්ථාර බැලූ විටත් එම සම්බන්ධතා ලැබීමට හේතුව පෙනේවි.

මෙතෙක් උගත් සියලු කරුණු හා ක්‍රමවේද තුළින් දැන් ඔබට පුලුවන් ඕනෑම ධන හෝ ඍණ කෝණයක ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත සෙවීමට. දැන් අපි බලමු ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත මඟින් නිර්මාණය කරගත හැකි තවත් සම්බන්ධතා ගැන.

trigonometry ...