දෛශික (vectors) - 15 (Tensor)

ඉහත රටාව හඳුනාගත්තා නම්, දැන් ඔබට හැකියි ඕනෑම ගනයක ටෙන්සරයක් එකවර ලියන්නට (එනම් එම ටෙන්සරයේ සංරචක ගොන්න එකවර ලියන්නට). තර්කනය පෙර සේම වේ. ගනය එකින් එක වැඩි වන විට, "පදනම් දෛශික සෙට්" එක බැඟින් එකතු වෙනවා යැයි සිතිය යුතුය. එලෙස පදනම් සෙට් එකක් එකතු වන විට, එහි එක් එක් පදයකින් ඊට පෙර ගනයේ ටෙන්සරයේ සංරචක සියල්ල ගුණ විය යුතුය. තවද, සංරචකයට පසුව තිබෙන යටකුරු/උඩකුරු ගණන පදනම් දෛශික සෙට් ගණනට සමාන වේ. උදාහරණයක් ලෙස, තෙවැනි ගනයේ කොන්ට්‍රවේරියන්ට් ටෙන්සරයක් පහත දැක්වේ. දෙවැනි ටෙන්සරයට වැඩිපුර එකතු වූ පදනම් දෛශික සෙට් එක හඟවන උඩකුර මා කොල වර්ණයෙන් දක්වා තිබෙනවා.

        T¹¹¹, T²¹¹, T³¹¹, T¹²¹, T²²¹, T³²¹, T¹³¹, T²³¹, T³³¹

        T¹¹², T²¹², T³¹², T¹²², T²²², T³²², T¹³², T²³², T³³²

        T¹¹³, T²¹³, T³¹³, T¹²³, T²²³, T³²³, T¹³³, T²³³, T³³³

සටහන

ටෙන්සරයක තිබෙන යටකුරු/උඩකුරු ගණනින් කියන්නේ ටෙන්සරයේ ගණයයි. උදාහරණයක් ලෙස, සිව්වැනි ගනයේ ටෙන්සරයක යටකුරු/උඩකුරු 4ක් තිබේ. ඒ කියන්නේ එකිනෙකට ස්වාධිනව පදනම් දෛශික සෙට් 4ක් තිබේ.

ඉහත දක්වා තිබෙන කොන්ට්‍රවේරියන්ට් ටෙන්සරයත්, ඉහත දක්වා නැති කෝවේරියන්ට් ටෙන්සරය හා මිශ්‍ර ටෙන්සර දෙකත් සමේෂන් ක්‍රමයට අනුව අනුපිලිවෙලින් පහත ආකාරවලින් නිරූපණය කළ හැකිය. මිශ්‍ර ටෙන්සරය ලිවිය හැකි ආකාර දෙකක් දැන් තිබේ; ඒ කියන්නේ මිශ්‍ර ටෙන්සර් වර්ග දෙකක් ඇත.

        T^jkl        T_jkl        T^j_kl        T^jk_l

පහත දැක්වෙන්නේ සිව්වැනි ගනයේ කෝවේරියන්ට් ටෙන්සරයක සංරචකයි.

        T₁₁₁₁, T₂₁₁₁, T₃₁₁₁, T₁₂₁₁, T₂₂₁₁, T₃₂₁₁, T₁₃₁₁, T₂₃₁₁, T₃₃₁₁

        T₁₁₂₁, T₂₁₂₁, T₃₁₂₁, T₁₂₂₁, T₂₂₂₁, T₃₂₂₁, T₁₃₂₁, T₂₃₂₁, T₃₃₂₁

        T₁₁₃₁, T₂₁₃₁, T₃₁₃₁, T₁₂₃₁, T₂₂₃₁, T₃₂₃₁, T₁₃₃₁, T₂₃₃₁, T₃₃₃₁

        T₁₁₁₂, T₂₁₁₂, T₃₁₁₂, T₁₂₁₂, T₂₂₁₂, T₃₂₁₂, T₁₃₁₂, T₂₃₁₂, T₃₃₁₂

        T₁₁₂₂, T₂₁₂₂, T₃₁₂₂, T₁₂₂₂, T₂₂₂₂, T₃₂₂₂, T₁₃₂₂, T₂₃₂₂, T₃₃₂₂

        T₁₁₃₂, T₂₁₃₂, T₃₁₃₂, T₁₂₃₂, T₂₂₃₂, T₃₂₃₂, T₁₃₃₂, T₂₃₃₂, T₃₃₃₂

        T₁₁₁₃, T₂₁₁₃, T₃₁₁₃, T₁₂₁₃, T₂₂₁₃, T₃₂₁₃, T₁₃₁₃, T₂₃₁₃, T₃₃₁₃

        T₁₁₂₃, T₂₁₂₃, T₃₁₂₃, T₁₂₂₃, T₂₂₂₃, T₃₂₂₃, T₁₃₂₃, T₂₃₂₃, T₃₃₂₃

        T₁₁₃₃, T₂₁₃₃, T₃₁₃₃, T₁₂₃₃, T₂₂₃₃, T₃₂₃₃, T₁₃₃₃, T₂₃₃₃, T₃₃₃₃

මේ ආදී ලෙස, ටෙන්සරයක සංරචක පහසුවෙන් ලිවීමටත්, එම ක්‍රමයට දක්වා තිබෙන ටෙන්සරයක් අවබෝධ කර ගැනීමටත් හැකි විය යුතුය. ඇත්තෙන්ම ඉහත ආකාරවලින් දක්වා තිබෙන්නේ ටෙන්සරයේ සංරචකනෙ. එම සංරචක ඊට ගැලපෙන පදනම් දෛශික සමඟ ලිවීමෙන් තමයි සත්‍යම ටෙන්සරය ලැබෙන්නේ. උදාහරණයක් ලෙස, a^ij යන ටෙන්සරය සුදුසු පදනම් දෛශික සමඟ ප්‍රසාරණය කර දක්වන ආකාරය බලමු. පදනම් දෛශික 3ක පද්ධතියක් සලකමු. පලමුව i ඩමි ඉන්ඩෙක්ස් එක මත ප්‍රසාරණය සිදු කරමු. දෙවැනි ගනයේ ටෙන්සරයක් නිසා, පදනම් දෛශික සෙට් දෙකක් ඇතුලත් කළ යුතු වෙනවා.

දැන්, j ඩමි ඉන්ඩෙක්ස් එක මත ඉහත ප්‍රසාරණය කර ලැබුණු ප්‍රකාශනය නැවත ප්‍රසාරණය කරමු.

ඉහත T ලෙස ලැබී තිබෙන දීර්ඝ ප්‍රකාශය තමයි සත්‍ය ලෙසම ටෙන්සරය වන්නේ. එහෙත් මීට පෙරත් පැහැදිලි කර තිබෙන ලෙසටම, පදනම් දෛශික සිතින් යොදා, සංරචක කොටස් පමණක් අප ලියනවා සංක්ෂිප්තව එම ටෙන්සරය නිරූපණය කිරීම සඳහා. බලන්න මෙලෙස සංක්ෂිප්ත කිරීමේ සම්මතයක් ගොඩනඟා ගෙන ඇති නිසා, ඉහත ආකාරයේ වැනි දිගු ගණිත ප්‍රකාශ a^ij ආදි ලෙස ඉතා කෙටි වී තිබෙනවා.

යටකුරු/උඩකුරු 2ක් තිබෙන විට, (හා ත්‍රිමාන අවකාශය ආදර්ශනය කිරීමට පදනම් දෛශික 3ක් ගත් විට) මුලු පද 9ක් ලැබෙනවා (එක් එක් සංරචකය සඳහා). a^jkl වැනි උඩකුරු/යටකුරු 3ක් තිබෙන තෙවැනි ගනයේ ටෙන්සරයක ප්‍රසාරිත ප්‍රකාශයේ පද 27ක් තිබේවි. a_klmn වැනි සිව්වැනි ගනයේ ටෙන්සරයක ප්‍රසාරිත ප්‍රකාශයක පද 81 ක් තිබේවි. පස්වැනි ගනයේ ටෙන්සරයක් ප්‍රසාරණය කළ විට පද 243ක් ලැබේවි. මේ ආදි ලෙස ගනය ඉහල යන විට විශාල ලෙස පද ලැබෙන බව පෙනේ.

යම් ටෙන්සරයක කොන්ට්‍රවේරියන්ට් හෝ වේරියන්ට් හෝ මිශ්‍ර යනු ටෙන්සර් වර්ගය (type/valance of tensor) වේ. ටෙන්සර් වර්ගය (n,m) ලෙස වරහනක් තුල සංඛ්‍යා 2කින් දැක්වේ; එහි පළමු සංඛ්‍යාවෙන් (n මඟින්) කොන්ට්‍රවේරියන්ට් දර්ශක පද හෙවත් උඩකුරු ගණනත්, දෙවැනි සංඛ්‍යාවෙන් (m මඟින්) කෝවේරියන්ට් දර්ශක පද හෙවත් යටකුරු ගණනත් දක්වනවා. උදාහරණයක් ලෙස, A^ij යන්න (2,0) ලෙසත්, A_ijk යන්න (0,3) ලෙසත්, A^ij_kl යන්න (2,2) ලෙසත් දැක්විය හැකියි.

ඕනෑම (ඇත්තෙන්ම දෙවැනි ගනයට ඉහල) ගනයක හා වර්ගයක ටෙන්සරයක් ගෙන, එහි ඇති දර්ශක පද දෙකක් හුවමාරු කළ විට සෑදෙන ටෙන්සරය සමාන වන්නේ නම් පද දෙක හුවමාරුවට පෙර තිබුණු (ඔරිජිනල්) ටෙන්සරයට, එවැනි ටෙන්සරයක් සමමිතීය ටෙන්සර් (symmetric tensor) ලෙස හැඳින්වේ.

උදාහරණයක් ලෙස, A^ij යන දෙවැනි ගනයේ කොන්ට්‍රවේරියන්ට් වර්ගයේ ටෙන්සරයේ ඇති i, j යන දර්ශක පද දෙක එකිනෙකට හුවමාරු කළ විට A^ji ලැබේවි. මෙවිට, A^ij = A^ji නම්, ඒ කියන්නේ A^ij යනු සමමිතික ටෙන්සරයකි. තවත් උදාහරණයක් ගමු. පස්වැනි ගනයේ මිශ්‍ර වර්ගයේ ටෙන්සරයක් වන T^ijk_lm ගමු. එහි j, k යන දර්ශක පද දෙක හුවමාරු කළ විට (අනෙක් දර්ශක පද එලෙසම තිබියදී) ලැබෙන ටෙන්සරය මුල් ටෙන්සරයට සමාන නම් (එනම්, T^ijk_lm = T^ikj_lm විට), එම ටෙන්සරය සමමිතීය වේ.

තවද, ඉහත ආකාරයටම යම් ගනයක හා වර්ගයක ටෙන්සරයක් ගෙන, එහි ඇති දර්ශක පද දෙකක් එකිනෙකට හුවමාරු කළ පසු සෑදෙන ටෙන්සරය අගයෙන් සමාන එහෙත් ලකුණෙන් ප්‍රතිවිරුද්ධ නම්, එවිට මුල් ටෙන්සරය කුටික සමමිතීය ටෙන්සර් (skew symmetric tensor) ලෙස හැඳින්වේ. උදාහරණයක් ලෙස, T^ijk_lm = -T^ikj_lm නම්, T^ijk_lm යනු කුටික සමමිතීය ටෙන්සරයකි.

ඛණ්ඩාංක පරිණාමනය

යම් ටෙන්සරයක් යම් පදනම්/ඒකක දෛශික පද්ධතියක් ඇසුරින් නිරූපණය කරනවා යනු එම ටෙන්සරය (එම ඛණ්ඩාංක පද්ධතියට අනුබද්ධ ඒකක දෛශික ගොන්නෙන් සැදුම්ලත් ටෙන්සරය) යම් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් තුල නිරූපණය කිරීමක් ලෙස සැලකිය හැකියිනෙ. එලෙස යම් ටෙන්සරයක් විවිධ ඛණ්ඩාංක පද්ධති ඇසුරින් නිරූපණය කළ හැකිය. ඒ විතරක් නොව; එක් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක නිරූපිත ටෙන්සරයක් වෙනත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියකින් නිරූපණය කරන විට, මෙම නව ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ පදනම්/ඒකක දෛශික පරණ ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ පදනම්/ඒකක දෛශික මඟින් ව්‍යුත්පන්නද කළ හැකි වේ. මෙය ඛණ්ඩාංක පරිනාමනය (transformation of coordinates) ලෙස හැඳින්වේ.

සරල උදාහරණයක් බලමු. පහත දැක්වෙන්නේ ද්විමාන කාටිසියානු තලයක් මත යම් ලක්ෂ්‍යයක් ලකුණු කර ඇති ආකාරයයි. එම ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංකය වන්නේ (x₁,y₁) වේ.

දැන් එම ලක්ෂ්‍යයම අප ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක පහත ආකාරයට ලකුණු කරමු. එම ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක මඟින් (r₁, θ₁) වේ.

අපට හැකියි ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක අගයන් දෙක සොයා ගන්නට පැරනි කාටිසියානු ඛණ්ඩාංකවලින් (ඛණ්ඩාංක පද්ධති ගැන මීට පෙර සංක්ෂිප්ත පාඩමක් මේ ගැන අප සලකා බැලුවා). ඒ අනුව, පහත ආකාරයට ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක යුගලය සොයා ගත හැකියි කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක ආශ්‍රයෙන්.

        r₁ = √(x₁² + y₁²)

        θ₁ = tan^-1 (y₁/x₁)

මෙහි යම් රටාවක් ඇත. එනම් නව ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ එක් ඛණ්ඩාංක අගයක් ලබා ගැනීමට (සාධාරණ වශයෙන්) පැරනි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඛණ්ඩාංක අගයන් සියල්ලම අවශ්‍ය වේ. ඉහත උදාහරණයේදී r₁ ලබා ගැනීමට පැරනි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඛණ්ඩාංක සියල්ලම (එනම් x₁, y₁) අවශ්‍ය වූවා. එලෙසමයි θ₁ සඳහාත් පැරනි ඛණ්ඩාංක සියල්ලම අවශ්‍ය වූවා. ඒ අනුව, අලුත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ එක් එක් ඛණ්ඩාංකයක් ලබා ගන්නවා යනු පැරනි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ සියලු ඛණ්ඩාංක මත ශ්‍රිතයක් යෙදීමක් ලෙස සිතිය හැකියි. ඒ කියන්නේ, ඉහත ශ්‍රිත දෙක පොදුවේ පහත ආකාරයට නිරූපණය කළ හැකියි.

        r₁ = f_r(x₁,y₁)

        θ₁ = f_θ(x₁,y₁)

මේ ලෙසටම ඔබට පුලුවන් ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක ඇසුරින් කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක දක්වන්නටත් (ශ්‍රිත ලෙස). දැන් අප මේ කතා කළ දේ ගැන පොදුවේ සාකච්ඡා කරමු (ඕනෑම ඛණ්ඩාංක පද්ධතියකට ගැලපෙන ලෙස).

පරන ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය මත ලකුණු කරපු යම් ලක්ෂ්‍යයකට අදාල ඛණ්ඩාංක අගයන් ඊට අදාල ඒකක/පදනම් දෛශික ඔස්සේ x¹, x², x³, ... , xⁿ පවතින ලෙස නිරූපණය කරමු. එලෙසම, නව ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය මත එම ලක්ෂ්‍යටම අදාලව මෙම නව පද්ධතියේ ඒකක/පදනම් දෛශික ඔස්සේ ඛණ්ඩාංක අගයන් x¹, x², x³, ... , xⁿ යැයි සිතමු. මෙවිට පහත ආකාරයට පරන පද්ධතියේ සිට අලුත් පද්ධතියට ඛණ්ඩාංක පරිනාමනයට අදාලව ශ්‍රිත ලිවිය හැකිය.

        x¹ = f¹(x¹, x², x³, ... , xⁿ)

        x² = f²(x¹, x², x³, ... , xⁿ)

        x³ = f³(x¹, x², x³, ... , xⁿ)

        ....................

        ....................

        xⁿ = fⁿ(x¹, x², x³, ... , xⁿ)

ඉහත තනි තනි ශ්‍රිතවලින් හැඟවෙන්නේ කුමක්ද? එහි පළමු ශ්‍රිතය සලකන්න. එහි x¹ යනු නව ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ එක් ඒකක/පදනම් දෛශිකයක් (පළවෙනි ඒකක දෛශිකය) ඔස්සේ ඇති සංරචක අගයයි. මෙම සංරචක අගය අපට පරණ ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ සියලු සංරචක අගයන් (x¹, x², x³, ... , xⁿ) යොදා ගෙන සොයා ගත හැකියි. ඒ කියන්නේ පරණ ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ සියලු සංරචක අගයන් මත යම් සූත්‍රයක් හෙවත් ශ්‍රිතයක් (f¹ ලෙස එය දක්වා තිබේ) යෙදූ විට x¹ අගය ලැබේ.

එලෙසම නව පද්ධතියේ දෙවැනි ඒකක දෛශිකය ඔස්සේ ඇති සංරචකය (x²) ද සෙවිය හැකියි. එහිදී පරන පද්ධතියේ සංරචකය අගයන් මත යෙදිය යුතු සූත්‍රය/ශ්‍රිතය දැන් වෙනස්ය (f²). ඒ විදියට සෙසු ශ්‍රිත ගැනත් සිතන්න (අප මොහොතකට පෙර සලකා බැලූ උදාහරණය මතක් කර ගෙන සසඳා බලන්න).

ඉහත ආකාරයට සූත්‍ර n ගණනක් ලියන්නේ නැතිව, සංක්ෂිප්තව පහත ආකාරයට ඉහත සූත්‍ර සියල්ලටම තනි පොදු ශ්‍රිතයක් ලිවිය හැකිය.

        x^k = f^k(x¹, x², x³, ... , xⁿ)

පරන ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ සංරචක අගයන්ගෙන් ඉහත පෙන්වූ ආකාරයට නව ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ සංරචක සොයා ගත හැකියි සේම, නව ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ සංරචක ඇසුරින් පරන ඛණ්ඩාංක පද්ධතියට අනුරූප සංරචක අගයන්ද සෙවිය හැකිය ඉහත රටාවටම පහත දැක්වෙන සේ ශ්‍රිත සකස් කර ගත් විට.

        x¹ = f¹(x¹, x², x³, ... , xⁿ)

        x² = f²(x¹, x², x³, ... , xⁿ)

        x³ = f³(x¹, x², x³, ... , xⁿ)

        ................

        ................

        xⁿ = fⁿ(x¹, x², x³, ... , xⁿ) ------------------ (1)

ඉහත සූත්‍රද පොදුවේ පහත අයුරින් තනි ශ්‍රිතයකින් දැක්විය හැකිය.

        x^m = f^m(x¹, x², x³, ... , xⁿ) ------------------ (2)

ඉහත (1) හා (2) යන ශ්‍රිතවලින් සිදු කරන්නේ ඛණ්ඩාංක පරිනාමයයි. මෙම ඛණ්ඩාංක පරිනාමය ඇසුරින්ද ටෙන්සර්වල ගතිගුණ අධ්‍යනය කළ හැකිය. විශේෂයෙන් කෝවේරියන්ට් හා කොන්ට්‍රවේරියන්ට් වෙනස මින් පහත ආකාරයට සඳහන් කළ හැකිය. ඛණ්ඩාංක පරිනාමනය ඇසුරින් කෝවේරියන්ට් හා කොන්ට්‍රවේරියන්ට් වෙනස නිර්වචනය කරන විට, එය පරිනාමන න්‍යාය (transformation law) ලෙස හැඳින්වෙනවා.

පහත දැක්වෙන්නේ කොන්ට්‍රවේරියන්ට් දෛශිකයක් (පලමු ගනයේ ටෙන්සරයක්) සඳහා නිර්වචනය කර තිබෙන පරිනාමන න්‍යාය වේ. මෙහි Aⁱ යනු නව ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ පදනම් දෛශික ඔස්සේ පවතින සංරචක අගයන් වේ. A^j යනු පැරනි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ පදනම් දෛශික ඔස්සේ පවතින සංරචක වේ. x₁, x₂ ආදි ලෙස (පොදුවේ x_i) දක්වන්නේ නව ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ තිබෙන පදනම් දෛශික වේ. x₁, x₂ ආදි ලෙස (පොදුවේ x_j) දක්වන්නේ පැරනි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ තිබෙන පදනම් දෛශික වේ. මෙම න්‍යායට/රටාවට යම් රාශියක් හැසිරේ නම්, එය කොන්ට්‍රවේරියන්ට් දෛශිකයකි. අයින්ස්ටයින්ගේ සමාකලන රීතියට අනුව ටෙන්සර් නිරූපණය කර ඇති බව තේරුම් ගන්න.

ඉහත සූත්‍රයේ දර්ශක පද දෙකක් (i, j) ඇතත්, සමාකලනයට යටත් වන ඩමි ඉන්ඩෙක්ස් එක වන්නේ j පමණි. i වලින් දැක්වෙන පදයට අප විසින් පිටතින් 1, 2, 3 ආදි ලෙස ඉලක්කමක් ආදේශ කෙරේ. ඒ කියන්නේ එලෙස පිටතින් 1 ආදේශ කර ලැබෙන A¹ යනු අලුත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ පළමු පදනම්/ඒකක දෛශිකය ඔස්සේ පවතින ටෙන්සරයේ සංරචකයයි. ඉන්පසු පිටතින් 2 ආදේශ කර A² ලබා ගැනේ; එය අලුත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ දෙවැනි පදනම් දෛශිකය ඔස්සේ පවතින සංරචකයයි. ඒ ආදි ලෙස අපට අවශ්‍ය පදනම් දෛශික ගණන දක්වා ක්‍රමයෙන් පූර්න සංඛ්‍යා පිටතින් ආදේශ කළ යුතු වෙනවා එම i යන දර්ශකය වෙනුවට.