දෛශික (vectors) - 7

දෛශික අනුකලනය

අවකලනයේ විලෝම ක්‍රියාව අනුකලනය ලෙස සැලකීම තමයි අනුකලනය තේරුම් ගැනීමට තිබෙන හොඳම ක්‍රමය යැයි මා සිතන්නේ. දෛශික ශ්‍රිතයක් අවකලනය කළා මෙන්ම, දෛශික ශ්‍රිතයක් අනුකලනයද (vector integration) කළ හැකිය. g(t) නම් දෛශික ශ්‍රිතය අවකලනය කළ විට, g′(t) = f(t) නම් දෛශික ශ්‍රිතය ලැබෙන්නේ නම්, f(t) නම් ශ්‍රිතය t විෂයෙන් අනුකලනය කිරීම පහත ආකාරයට අර්ථ දැක්විය හැකිය.

යම් ශ්‍රිතයක් අනුකලනය කරන විට අමතරව නියත පදයක් (c) ලැබෙන බව අනුකලනයේදී ඔබ ඉගෙන ගෙන ඇති. මෙම නියත පදය 0 හෝ වෙනත් නියත අගයක් (constant) විය හැකියි. දෛශික රාශියක් අනුකලනය කෙරෙන නිසා, මෙහිදී එම නියත පදයද දෛශිකයක් ලෙස සාධාරණ වශයෙන් ලිවිය යුතුය.

සටහන

ඔබ දන්නවා ඕනෑම නියත පදයක් ඕනෑම විෂයකින් අවකලනය කළ විට පිලිතුර 0 වේ. උදාහරණයක් ලෙස, x² + 4 යන ශ්‍රිතය x විෂයෙන් අවකලනය කළ විට, එම පද දෙක වෙන වෙනම අවකලනය කිරීමෙන් හෙවත් d x² /dx + d 4 /dx = 2x + 0 = 2x ලෙස ලැබෙනවානෙ.

දැන් මෙම පිලිතුර එම විෂයෙන්ම අනුකලනය (හෙවත් අවකලනයේ රිවර්ස් එක) කළ විට කුමක් වේද? 2x (හෝ 2x + 0) යන කොටස පමණක් අවසානයේ තිබෙන නිසා ඉන් x² යන කොටස පමණක් ලැබේ. 4 යන කොටස ලැබෙන්නේ නැත. ඊට හේතුව ශූන්‍යයක් අනුකලනය කළ නොහැකි වීමයි. ඔබ කුස්සියට ගොස් මැජික් කාරයෙක් මෙන් අත එහෙට මෙහෙට වැනුවාට කෑම පහල වෙන්නේ නැහැනෙ. අන්න ඒ වගේ නැති දෙයකින් (ශූන්‍යයකින්) නිශ්චිතව යමක් මැවීමට බැරිය.

එහෙත් ඔබ දන්නවා මුල් ශ්‍රිතයේ 4 යන නියත පදය තිබූ බව. එතැන 4 නොව වෙනත් ඕනෑම නියත පදයක් තිබුණත් අවකලනයේදී එම නියතය 0 වේ. එනිසා, මුල් ශ්‍රිතයට සමාන වීමට අප කෘත්‍රිමව අනුකලනය අවසානයේදී නියත පදයක් යොදනවා. එහෙත් එය නිශ්චිත නැත හරියටම අහවල් අගය කියා. එනිසයි c හෝ වෙනත් එවැනි අක්ෂරයකින් එම නියත පදය හඳුන්වා තිබෙන්නේ. මෙලෙස යම් අවිනිශ්චිත බවක් තිබෙන නිසාම, මෙම අනුකලනයට අවිනිශ්චිත අනුකලනය (indefinite integration) යැයි කියනවා. එම නියත පදය ඉවත් කිරීමට තවත් දත්ත අවශ්‍ය වේ (එම අමතර දත්ත අගයන් ආදේශ කර නියත පදය ඉවත් කිරීම හෝ ඊට නිශ්චිත අගයක් ලබා ගත හැකියි; එය සිදු කරන හැටි තිබෙන උදාහරණයක් මොහොතකින් දැක්වේ).

නිශ්චිත අනුකලනය (definite integration) කියාද අනුකලයක් ඇත (ඔබ නිශ්චත අනුකලනය ගැනද දැන සිටිය යුතුයි දෛශික අනුකලනය ඉගෙනීමට පෙර). පහත දැක්වෙන්නේ නිශ්චිත අනුකලයේ අර්ථ දැක්වීමයි.

මෙම අර්ථ දැක්වීමෙන් කියන්නේ පළමුව සුපුරුදු ලෙසම අනිශ්චිත අනුකලනය කර, ඉන් ලැබෙන පිලිතුරු ශ්‍රිතයට පළමුව අනුකලයේ උඩ අගය (b) ආදේශ කර ලැබෙන අගයෙන්, නැවත එම පිලිතුරු ශ්‍රිතයට අනුකලයේ යට අගය (a) ආදේශ කර ලැබෙන අගය අඩු කරන්න කියාය. ඇත්තටම මෙහිදී නියත පදයෙන් එම නියත පදයම අඩු වීමෙන් නියත පදය අහෝසි වී යයි. ඉන් පිලිතුර නිශ්චිත වේ.

ඒකක දෛශික ආශ්‍රයෙන් දෛශික ශ්‍රිතයක් ලබා දී ඇති විට, එහි එක් එක් පදය වෙන වෙනම අනුකලනය කළ හැකියි පහත ආකාරයට. f(t) = f_x(t)i + f_y(t)j + f_z(t)k වේ යැයි සිතමු. එක් එක් පදය අනුකලනය කරන විට, එක් එක් කොටස සඳහා අනුකලන නියත පදද ලැබෙන බව මතක තබා ගන්න.

ඉහත ආකාරයට සුලු කිරීම සිදු කරන හැටි සරල උදාහරණයකින් බලමු. යම් අංශුවක ත්වරණය 5sin(x)i + 6cos(x) - 2x k නම්, යම් x කාලයකදී එහි ප්‍රවේගය සොයන්න (පටන් ගැනීමේදී හෙවත් x = 0 දි ප්‍රවේගය 0 යැයි සිතන්න).

ත්වරණය යනු දෛශිකයක් වන අතර, ඉහත ශ්‍රිතය ඒකක දෛශික ආශ්‍රයෙන් දී තිබේ. ප්‍රවේගය කාලය විෂයෙන් අවකලනය කළ විට ත්වරණය ලැබෙන බැවින්, ත්වරණය කාලය විෂයෙන් අනුකලනය කළ විට ප්‍රවේගය ලැබිය යුතුයිනෙ. dv/dt = a (මෙහි v යනු ප්‍රවේගයද, a යනු ත්වරණයද, t යනු කාලයද නිරූපණය කරයි). දැන් පහත ආකාරයට එය සුලු වේවි.

ඉහත ගණනය කිරීමේදී අවකලන සූත්‍රයක් අනුකලන සූත්‍රයකට හරවා ගන්නා හැටි දෙවැනි පේලියේ දක්වා ඇත. x = 0 විට v=0 යන දත්තය දී තිබෙන්නේ අනුකලනයෙන් ලැබෙන නියත පද සෙවීමටයි. මෙම දත්තය නොතිබුණේ නම්, අපට එම නියත පද නිශ්චිත කර ගත නොහැකි වෙනවා. එම දත්තය උපයෝගි කරගෙන සුලු කිරීම කරගෙන යන අතරතුරදී ඉහත අවසාන පේලියට පෙර පේලිය ලැබේ. එහි සිදු වූ දේ ඔබට සිතා ගත හැකිද? ඒ ගැන බලමු.

සමාන ලකුණට වම් පැත්තේ i නම් ඒකක දෛශිකය ඔස්සේ පමණක් අගයක් ඇත (j, k යන ඒකක දෛශික දෙක ඔස්සේ අගයන් වම් පැත්තේ නැත). එහෙත් =ට දකුණු පැත්තේ ඒකක දෛශික 3න්ම අගයන් ඇත. දෙපැත්ත සමාන නිසා, දෙපැත්තේ තිබෙන ඒකක දෛශික කොටස් සමාන විය යුතුය. එක් ඒකක දෛශිකයක් අනෙක් ඒකක දෛශික ආශ්‍රයෙන් පැවසිය නොහැකි බවත් එය ප්‍රලම්භ ගුණය (රේඛීය ස්වායත්තභාවය) බවත් මීට පෙර අප ඉගෙන ගත්තා මතකද? එනිසා, = ට දෙපසින්ම නැති, එක පැත්තක විතරක් තිබෙන පද ඉවත් කළ යුතුය.

අවශ්‍ය නම් එය මෙසේත් සිතිය හැකිය. =ට දකුණු පසින්ද j, k කොටස් දෙක 0 සහිතව ඇතුලු කළ හැකියි, 5i + 0j + 0k = c₁i + c₂j + c₃k ලෙස. එවිට, දෙපස ඇති සමාන පද වෙන වෙනම සමාන කළ විට, c₁ = 5, c₂ = 0, c₃ = 0 ලෙස එම පිලිතුරම ලැබෙනවා නේද?

දෛශික අනුකලනයේදී දළ වශයෙන් මූලික තුන් ආකාරයක අනුකලනයන් ඇතැයි සිතිය හැකිය.

1. රේඛා අනුකලනය (Line integration / Line integral)

2. පෘෂ්ට අනුකලනය (Surface integration / Surface integral)

3. පරිමා අනුකලනය (Volume integration / Volume integral)

රේඛා අනුකලනය

යම් දෛශික ශ්‍රිතයක් යම් සන්තතික (continuous) රේඛාවකින් ජ්‍යාමිතිකව නිරූපණය කළ හැකියි සිතන්න. ඔබ දන්නවා ගනිතයේදි රේඛාවක් කියන්නේ යම් ලක්ෂ්‍යයක් අවකාශයේ සන්තතිකව ගමන් කිරීමෙන් සෑදෙන පථයකි. එය එක්කෝ ඍජු/සරල රේඛාවක් (simple line) විය හැකිය නැතහොත් වක්‍ර රේඛාවක් (curved line) විය හැකිය. මෙවැනි රේඛාවක් දිගේ සිදු කරන අනුකලනය රේඛා අනුකලනය යැයි කියනවා. මෙය පථ අනුකලය ලෙස හැඳින්විය යුතුව තිබුණා. තවදුරටත් එය හඳුනාගනිමු.

පහත දැක්වෙන රේඛාව බලන්න. එය Q₀ සිට Q_n දක්වා කුඩා පරතර සහිතව කොටස් කර ඇත. එසේ ලකුණු කර ඇති සෑම ලක්ෂ්‍යයකදීම ඊට අනුයාත ලක්ෂ්‍යය දක්වා ඍජු රේඛා ඛණ්ඩද (රතුපාටින්) ලකුණු කර ඇත. එම රේඛා ඛණ්ඩ දෛශික ලෙස හඳුනාගත හැකි අතර, ඒවා ∆R₁, ∆R_n ආදි ලෙස නම් කර ඇත. රේඛාව මත Q අකුරින් ලකුණු කර ඇති කොටස් ගණන වැඩි කරන්න (එවිට පරතරය අඩු වේ). එවිට, Q₀-Q₁ පථ කොටස, Q₁-Q₂ පථ කොටස ආදි ලෙස ඇති කුඩා පථ කොටස් ඊට අනුබද්ධ ∆R₁, ∆R₂ ආදි ලෙස ඇති රතුපාට දෛශික කොටස් සමඟ සමපාත වනු ඇත.

සටහන

ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ලක්ෂ්‍යයක් ලෙස යම් දෛශිකයක් ලකුණු කර ඇති විට (ඒකක දෛශික ආශ්‍රයෙන්), එම ලක්ෂ්‍යයට ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ මූලයේ සිට රේඛාවක් ඇන්ද විට, එම රේඛාව පිහිටුම් දෛශිකය (position vector) ලෙස සරලව හඳුනාගනිමු. එවිට, එම රේඛා ඛණ්ඩයේ දිගින් පිහිටුම් දෛශිකයේ විශාලත්වයද, එම රේඛා ඛණ්ඩය යොමු වී තිබෙන දිශාව පිහිටුම් දෛශිකයේ දිශාවද වනු ඇත. පහත රූපයේ r මඟින් නිරූපණය කර තිබෙන්නේ පිහිටුම් දෛශිකයකි. ඇත්තෙන්ම එම පිහිටුම් දෛශිකයට සාපේක්ෂව තමයි මීට පෙර ඔබ හැඳිනගත් ඩිරෙක්ෂන් කෝසයින් අර්ථ දක්වා තිබෙන්නෙත්.

ඉහත රූපමය ආදර්ශනයෙන් අප සලකා බලන දෛශික ශ්‍රිතය විග්‍රහ කරමු. මෙහිදී Q₁-Q₂, Q₂-Q₃ ආදි ලෙස සටහන් කර තිබෙන්නේ ශ්‍රිතයේ කොටස්ය. එක් එක් ශ්‍රිතයේ කොටසට අදාලව ∆R₁, ∆R₂ ආදි ලෙස රතුපාටින් ඇඳ තිබෙන්නේ එම ශ්‍රිත කොටස්වල දිශාව ලෙස ගත හැකිය (පෙර සඳහන් කළ ආකාරයට ශ්‍රිත කොටස්වල පරතරය ශූන්‍ය කරා යැවීමේදී (සීමා ගැනීමේදී), ශ්‍රිත කොටස් හා රතුපාට දිශා කොටස් එකිනෙකට සමපාත වන බවද ඔබ දන්නවා; එනම් සීමා ගැනීමේදී "ඛණ්ඩ" සියල්ල "ලක්ෂ්‍ය" බවට පත් වේ). එනම්, පහත රූපයේ දැක්වෙන dr හා F යන දෛශික දෙක එකිනෙකට සමපාත වෙනවා r ලෙස දක්වා තිබෙන පිහිටුම් දෛශිකයේදී (එම ලක්ෂ්‍යයේදී).

සාධාරණ වශයෙන්, රේඛාව මත යම් ලක්ෂ්‍යයකදී දෛශික කොටස F ද, එවිට රතුපාට ඍජු රේඛා ඛණ්ඩය හඟවන දෛශිකය ∆R_i ද වන්නේ යැයි සිතමු (∆R_i = R_i - R_i-1). දැන්, මෙම ශ්‍රිත කොටස හා රතුපාට ඍජු රේඛා ඛණ්ඩ කොටස යන දෙකම දෛශික වන අතර, ඒ දෙකෙහි තිත් ගුණිතය F . ∆R_i ලෙස ලිවිය හැකිය. මෙම තිත් ගුණිතයෙන් කියවෙන දේ ඉතා සරලයි. එනම්, රේඛාව ඔස්සේ ඒ මත ඇති ලක්ෂ්‍යකදී සලකා බලනු ලබන දෛශික රාශියේ හා රතුපාට ඍජු රේඛා ඛණ්ඩය අතර තිත් ගුණිතයයි.

තිත් ගුණිතයෙන් ලැබෙන්නේ අදිශ පිලිතුරක්නෙ (ඒ කියන්නේ දිශාවේ වැදගත් කමක් නැත කියාය). මෙලෙස සම්පූර්ණ රේඛාව ඔස්සේ අඛණ්ඩව/සන්තතිකව විවිධ ස්ථානවල තිත් ගුණිත සොයා, එම අගයන් සියල්ලම එකතු කළ හැකිය. රේඛාවේ තැනින් තැන දිශාව වෙනස් වුවත්, තිත් ගුණිතයෙන් ලැබෙන පිලිතුර අදිශ නිසා, එම ගුණිත අගයන් සියල්ල එකතු කිරීමට බාධාවක් නොවේ (දෛශික අගයන් වූවා නම්, නිකංම එකතු කරන්න බැහැනෙ; දෛශික ආකලනය සිදු කරන්නට වෙනවානෙ). ඉහත කරුණු සියල්ල පහත ගණිත ප්‍රකාශයෙන් සංක්ෂිප්ත කළ හැකිය.

ඉහත ප්‍රකාශය තවමත් ඉතා නිවැරදි නැත. එහි නිරවද්‍යතාව ඉහල යනවා n අගය වැඩි වන තරමට (එනම්, රේඛාව මත ඇති කොටස්වල පරතරය අඩු වන තරමට). ඒ අනුව n අගය අනන්තය දක්වා වැඩි කළ විට 100%ක් නිවැරදි අගය ලැබේ. අන්න එම අවස්ථාව තමයි රේඛා අනුකලනය ලෙස සැලකෙන්නේ. එය පහත ආකාරයට නිරූපණය කෙරේ. අනුකල ලකුණේ යට කෙලවරේ C ලියා තිබෙන්නේ රේඛා අනුකලය කියා හැඟවීමටයි (curve එකක් දිගේ අනුකලනය). තවද, ශ්‍රිතය හා විෂය අතර තිතක් තිබෙන බවද පෙනේ (සාමාන්‍ය අනුකලයේදී එවැනි තිතක් අප තබන්නේ නැහැනෙ). ඉන් හඟවන දේ තමයි තිත් ගුණිතය මෙහි තිබෙන බව.

ඉහත විස්තර කිරීම කර තිබෙන්නේ පථයකින් ඇඳ පෙන්විය හැකි යම් දෛශිකයක් එම පථය සමඟම ඇති කර ගන්නා තිත් ගුණිතයකි. එහෙත් අවශ්‍ය නම්, යම් දෛශික ක්ෂේත්‍රයක ඔබට කැමති පථයක් (එය අඳින්නේ ඔබට අවශ්‍ය විදියටයි) ගෙන, එම පථය දිගේද රේඛා අනුකලය සිදු කළ හැකිය. මෙවිට, ක්ෂේත්‍රය හා පථය එක් එක් ලක්ෂ්‍යකදී සමපාත වන්නත් පුලුවන් නොවන්නත් පුලුවන්. එවිට, එය තේරුම් ගත යුත්තේ, පථය ඔස්සේ පථයේ දිශාවට පවතින සේ ගත් දෛශික රාශියේ විභේදනය කළ අගයන්ය. උදාහරණයක් ලෙස, පහත රූපයේ මැද ds ලෙස පථයේ ඉතාම කුඩා (ශූන්‍යයට ආසන්න දිගක්) කොටසක් හා E නම් දෛශික ක්ෂේත්‍රයේ එම ලක්ෂ්‍යයේදී ds දිශාව පැත්තට විභේදනය කරපු කොටස (Ecosθ) අතර තිත් ගුණිතය ගත යුතුය. එලෙසම පථය දිගේ එම පථයේ සෑම ලක්ෂ්‍යයකදීම සන්තතිකව එය කළ යුතුය. එම තිත් ගුණිත අගයන් සියල්ල එකතු කළ විට, දැන් ලැබෙන්නේ එම පථයේ දිගේ රේඛා අනුකල අගයයි.

ඇත්තටම පථය ඉහත රූප දෙකෙහි මෙන් පහසු පථයක්ම වීම අවශය නැත. පහත ආකාරයට හෝ ඊටත් වඩා සංකීර්න ආකාරයේ පථයක් වුවත් ගත හැකිය.

රේඛා අනුකලය සඳහා සලකා බලනු ලබන පථය/රේඛාව සංවෘතයි නම් (පහත රූපයේ ආකාරයට), එවිට එම පුඩුවේ ඕනෑම තැනකින් පටන් ගෙන පථය දිගේ යම් දිශාවක් ඔස්සේ ගොස් නැවත ආරම්භක ස්ථානය දක්වා වූ මුලු පථය සඳහාම රේඛා අනුකලනය සිදු කළ හැකිය. මෙවන් විටක, රේඛා අනුකල සංඛේතය පහත ආකාරයට ලියන සම්ප්‍රදායක් ඇත. එහි අනුකල සංඛේතය මත කුඩා රවුමක් ඇඳ තිබෙන්නේ පථය සංවෘත බව හැඟවීමටයි.

රේඛා අනුකලනය ඉහත ආකාරයට විස්තර කළත් ඇත්තටම මෙහිද උප-ආකාර 3ක් තිබේ. එම උප-ආකාර 3ටම ඉහත කළ විස්තරය පොදුවේ යොදා ගත හැකිය. එසේ වුවත් ඉහත රේඛා අනුකලන විස්තරය නිශ්චිතවම මෙම උප-ආකාර 3න් වැඩිපුරම භාවිතා වන රේඛා අනුකලය මූලික කොට ගෙනයි සිදු කළේ. එම විස්තරය හොඳින් මතක නම්, අනෙක් දෙකද පහසුවෙන්ම වටහා ගත හැකි වේ (මූලික න්‍යාය එකම නිසා). දැන් ඒ ගැන විමසා බලමු.