දෛශික (vectors) - 14 (Tensor)

හැමවිටම ටෙන්සරයක සංරචකවල උඩකුරු (superscript) හෝ/හා යටකුරු (subscript) තිබෙනවා. එහි වෙනසක් තිබේ. A¹, A⁶ ආදි ලෙස උඩකුරු යොදන්නේ ටෙන්සරය ප්‍රතිවිචලක (contravariant) වන විට වන අතර, A₁, A₆ ආදි ලෙස යටකුරු යොදන්නේ ටෙන්සරය සහවිචලක (covariant) වන විටයි. කොන්ට්‍රවේරියන්ට් හා කෝවේරියන්ට් යන පද දෙකෙහි අර්ථය ඔබ දන්නවාද? ඒ ගැන කෙටියෙන් බලමු.

ඕනෑම ටෙන්සරයක් යම් පදනම් දෛශික පද්ධතියක් (එනම්, යම් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක්) ඇසුරින්නෙ නිරූපණය කරන්නේ. අපට මේ සඳහා පදනම් දෛශික පද්ධති ඕනෑ ගණනක් නිර්වචනය කර ගත හැකියි (එහෙත් වඩා පහසු නිසා බොහෝවිට ත්‍රිමාන කාටිසියානු පද්ධතිය යොදා ගනී). යම් ටෙන්සරයක් නිරූපණයට යොදා ගන්නා පදනම් දෛශික පද්ධතිය වෙනස් වුවත්, අදාල ටෙන්සරයේ අගය හා මූලික ලක්ෂණ ඇත්තටම වෙනස් නොවේ. එය හරියට කැලේ මාරු කළාට කොටියගේ පුල්ලි මාරු නොවන්නා සේය. මෙය ටෙන්සරයක තිබෙන පොදු ලක්ෂණයකි.

එසේ වුවත්, පදනම් දෛශික යොදා ගන්නා විට, අදාල ටෙන්සරයේ අගය ඒ එක් එක් පදනම් දෛශිකය ඔස්සේ විභේදනය කරනවානෙ (එවිටනෙ ටෙන්සරයේ සංරචක හමු වන්නේ). එවිට එක් එක් පදනම් දෛශිකය ඔස්සේ විවිධ අගයන් ලැබේවි. මෙන්න මෙම සංරචක අගයන් හැබැයි වෙනස් වෙනවා ටෙන්සරය නිරූපණය සඳහා යොදා ගන්නා පදනම් දෛශික පද්ධතිය වෙනස් වන විට. එහෙත් හොඳින් මතක තබා ගත යුතුයි, සංරචක කොටස් වෙනස් වුවත්, එම සියලු සංරචක කොටස් එකට ගත් විට ලබා දෙන අවසාන ටෙන්සර් අගය වෙනස් නොවී තිබෙන බව (ඒකයි පෙර ඡේදයෙන් කිව්වේ ටෙන්සර් අගය වෙනස් නොවන බව පදනම් දෛශික පද්ධතිය කුමක් වුවත්).

පදනම් දෛශික ආශ්‍රයෙන් යම් ටෙන්සරයක් මූලිකව දෙයාකාරයකින් පෙන්විය හැකිය. එම අාකාර දෙක තමයි කොන්ට්‍රවේරියන්ට් හා කෝවේරියන්ට්. මෙම ආකාර දෙක එකට ඇති විට තෙවැනි ආකාරයක්ද සෑදේ. මේ කුමන ආකාරයෙන් නිරූපණය කළත්, ඒ සියල්ලෙන්ම නිරූපණය කෙරෙන්නේ එකම තනි දෛශිකය බව වටහ ගන්න.

කොන්ට්‍රවේරියන්ට් ටෙන්සර්

පදනම් දෛශික ලෙස ගමු ත්‍රිමාන කාටිසියානු පද්ධතියේ ඒකක දෛශික 3. ඒ කියන්නේ එකිනෙකට ප්‍රලම්භක දිශා 3 ඔස්සේ විශාලත්වය/අගය 1 වන ඒකක දෛශික 3ක් දැන් ඇත. එවිට ටෙන්සරය මෙම ඒකක දෛශික (පදනම් දෛශික) 3 ඇසුරින් පහත ආකාරයට පෙන්විය හැකියි (මෙම රූපය දෛශික හෙවත් පලමු ගනයේ ටෙන්සරයක් නිරූපනය කරයි). කහ, කොල, රතු යන වර්ණ 3න් ඒකක දෛශික 3 වෙන් වෙන්ව පැහැදිලිව පෙනේ. තවද, කුඩා ඊතල කැබැල්ලකින් පෙන්වන්නේ ඒකක දෛශිකයේ විශාලත්වයයි. ඒ අනුව, කහපාට ඊතල කැබැලි 5ක් ඇත. ඒ කියන්නේ එම දිශාව ඔස්සේ ඒකක දෛශික 5ක් තිබේ අදාල ටෙන්සරයේ සංරචක අගය ලෙස. එලෙසම, රතු ඊතල 2ක් තිබෙන නිසා, එම දිශාව ඔස්සේ ඒකක දෛශික මෙන් දෙගුණයක් හෙවත් සංරචක අගය ලෙස 2 ලැබේ. එලෙසම කොලපාටින් පෙන්වන දිශාව ඔස්සේ සංරචක අගය 3 වේ. ඇත්තෙන්ම මෙම විස්තරය ඔබට හොඳින් හුරුපුරුදුයිනෙ.

අපි දැන් බලමු ඉහත ටෙන්සරයම (දෛශිකයම) වෙනත් පදනම් දෛශික පද්ධතියක් ඇසුරින් නිරූපණය වන විදිය (පහත රූපය). බැලූ බැල්මටම පෙනෙනවා දැන් පදනම් දෛශික3 එකිනෙකට ලම්භක නොවන බව (ඒ කියන්නේ මෙම පද්ධතිය කාටිසියානු නොවේ; මෙය පොදු සාධාරණ පද්ධතියකි). මෙවිට, ඒ පෙන්වා ඇති දිශා ඔස්සේ ඒකක දෛශික හෙවත් පදනම් දෛශික 3ක් අර්ථ දක්වා ඇත (ඒවා වර්ණ 3කින් ඊතල ලෙස වෙන් වෙන්ව ඇඳ ඇත). දැන්, සංරචක අගයන් 3 වන්නේ, 4,2,6 වේ.

දැන් මෙහි ඒකක දෛශිකයේ දිග වෙනස් කළ විට කුමක් වේද? උදාහරණයක් ලෙස, ඒකක දෛශිකයක අලුත් විශාලත්වය ඉහත අවස්ථාවේ දිග/විශාලත්වය මෙන් දෙගුණයක් කරමු. මෙවිට ඒකක/පදනම් දෛශිකයේ දිග දෙගුණ වී ඇත; අනුරූප සංරචකවල අගය මුල් අගයෙන් අඩක් බැඟින් වී ඇත. එය ඉතිං පැහැදිලියිනෙ. උපමාවක් ලෙස, යම් මල්ලකට පාන් ගෙඩි 4ක් දමා ගත හැකියි නම්, එම මල්ලට පාන් භාග 8ක් දමා ගත හැකියිනෙ.

ටෙන්සරය නිරූපණය කරන පදනම් දෛශිකය හා ටෙන්සරයේ සංරචක අතර ඇත්තේ එකිනෙකට ප්‍රතිවිරුද්ධ හැසිරීමකි. එනම්, පදනම් දෛශිකයේ විශාලත්වය වැඩි වන විට, ඊට අනුරූපව සංරචකවල අගය අඩු වේ; පදනම් දෛශිකයේ විශාලත්වය අඩු වන විට, ඊට අනුරූපව සංරචකවල අගය වැඩි වේ. මෙවැනි රටාවක්/න්‍යායක්/සම්බන්දතාවක් තිබෙන විට, ඊට කොන්ට්‍රවේරියන්ට් යැයි කියනවා (variant යනු "වෙනස්වන" යන තේරුමද, contra යනු "ප්‍රතිවිරුද්ධ" යන තේරුමද සහිත වේ). ඒ කියන්නේ, ටෙන්සරයක් ඉහත ආකාරයට ඒකක දෛශික ඔස්සේ විභේදනය ලෙස නිරූපණය කළ විට, එම ටෙන්සරය contravariant tensor එකකි. කොන්ට්‍රවේරියන්ට් ටෙන්රසය දෛශිකයක් වන විට, contravariant vector ලෙස එය හැඳින්වේ.

කොන්ට්‍රවේරියන්ට ටෙන්සරයක සංරචක උඩකුරු වශයෙන් ලිවිය යුතුය (A¹, A³ ආදි ලෙස). මෙම උඩකුරු දෙවැනි බලය, තුන්වැනි බලය ආදි ලෙස දර්ශක පද ලෙස නොසැලකිය යුතුය. බලයක් දැක්වීමට අවශ්‍ය නම්, උඩකුරු සහිත සංරචකය වරහන් කර එම බලය දැක්විය යුතුය. උදාහරණ ලෙස, (A³)², (A⁴)³ යනු පිලිවෙලින් A³ පදයේ දෙවැනි බලය හා A⁴ වැනි පදයේ තුන්වැනි බලය වේ.

කෝවේරියන්ට් ටෙන්සර්

පෙර සේම, යම් පදනම් දෛශික පද්ධතියක් ඇසුරින් ටෙන්සරය නිරූපණය කරමු. එහෙත් මෙහිදී ඒ ඒ පදනම් දෛශිකයේ දිශාව ඔස්සේ පවතින ටෙන්සරයේ සංරචක අගයන් සොයන්නේ දෛශික තිත් ගුණිතය ඇසුරිනි (එහෙම නැතිව පෙර අවස්ථාවේදි සේ, ඒකක දෛශිකය මෙන් කී ගුණයක්ද යන්න සෙවීමෙන් නොවේ). මෙවිට, සලකා බලන පදනම් දෛශිකයේ (x₁ යැයි ගමු) දිශාව හා ටෙන්සරය (F යැයි ගමු) අතර පවතින කෝණ අගයේ කොස් අගයෙන් (cosθ) ටෙන්සරයේ විශාලත්වය හා පදනම් දෛශිකය ගුණ කෙරේ (|F| |x₁|cosθ); මෙවිට අදාල පදනම් දෛශිකය මත ටෙන්සරයේ අගය හෙවත් සංරචක අගය ලැබේ. පදනම් දෛශිකයේ අගය 1 ලෙස ගත් විට, තිත් ගුණිතයෙන් ලැබෙන අගය |F| |x₁|cosθ = |F| 1 cosθ = |F|cosθ වේ.

පෙර කළා සේම, පදනම් දෛශික දිග වෙනස් කළ විට සංරචක අගයන්ට කුමක් වේවිද? උදාහරණයක් ලෙස, පදනම් දෛශික දිග දෙගුණ කරමු. මෙවිට, අනුරූප සංරචක අගයද දෙගුණ වේ |F| |x₁|cosθ යන සම්බන්දතාව නිසා (|F| |x₁|cosθ = |F| 2 cosθ = 2|F|cosθ).

ඒ කියන්නේ පදනම් දෛශික හා අනුරූප සංරචක අතර පවතින්නේ සමගාමි/සමානුපාතික සම්බන්දතාවකි. මෙවැනි රටාවක්/සම්බන්දතාවක්/න්‍යායක් පිලිපඳින විට, ඊට covariant tensor යැයි කියනවා (co යනු "සමගාමී" තේරුම ඇත්තේය). කෝවේරියන්ට් ටෙන්සරය දෛශිකයක් වන විට, ඊට covariant vector ලෙස කියනවා.

කොවේරියන්ට ටෙන්සරයක සංරචක යටකුරු වශයෙන් ලිවිය යුතුය (A₁, A₃ ආදි ලෙස). බලයක් දැක්වීමට අවශ්‍ය නම්, යටකුරු සහිත සංරචකය වරහන් කර එම බලය දැක්විය යුතුය. උදාහරණ ලෙස, (A₃)², (A₄)³ යනු පිලිවෙලින් A₃ පදයේ දෙවැනි බලය හා A₄ වැනි පදයේ තුන්වැනි බලය වේ.

ටෙන්සර් නිරූපණය

අප දැක්කා ශූන්‍ය, පලමු, හා දෙවැනි ගනයේ ටෙන්සර් න්‍යාස ආකාරයෙන් නිරූපණය කරන අයුරු. ඕනෑම ගනයක ටෙන්සරයක් සූත්‍රාකාරයෙන්ද නිරූපණය කළ හැකිය. පියවරින් පියවර එය කරන හැටි බලමු.

පළමුව ශූන්‍ය ගනයේ ටෙන්සරයක් හෙවත් අදිශයක් බලමු. එහි අමුතුවෙන් දැනගැනීමට කිසිත් නැත. එක් අගයක් පමණක් තිබෙන බැවින් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක අවශ්‍යතාවක්ද නැත. එනම් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ බලපෑමෙන් මුක්ත වේ. එනිසාම පළමු ගනයේ ටෙන්සර් අවිචලක (invariant) ලෙසද හැඳින්වේ. නිකංම ඉලක්කම ලියන්න.

පලමු ගනයේ ටෙන්සරයක් හෙවත් දෛශිකයක් දැන් බලමු. එහිදී දිශාව වැදගත් වේ; එනිසා ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් අවශ්‍ය වේ. ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඒකක/පදනම් දෛශික ඇසුරින්නෙ දෛශිකය පෙන්වන්නේ F = A¹e₁ + A²e₂ + A³e₃ වැනි ආකාරයට. මෙහි සංරචක කොටස්වල උඩකුරු ඇති නිසා කොන්ට්‍රවේරියන්ට් ටෙන්සරයක් ලෙස එය හැඳින ගත හැකියි (එනම්, ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ඒකක දෛශික මෙන් කී ගුණයක්දැයි එම සංරචකවලින් හැඟවේ). මෙහිදී පදනම් දෛශික 3ක් පමණි සලකා තිබෙන්නේ. ඔබට අවශ්‍ය තරම් පදනම් දෛශික ගණනක් සඳහා එය පහත ආකාරයට ලිවිය හැකි බව දැන් ඔබ දන්නවා.

        F = A¹e₁ + A²e₂ + A³e₃ + ... + Aⁿe_n

මෙය තවත් සංක්ෂිප්තව පහත ආකාරයට ලිවිය හැකියි. පහත ආකාරයේ සූත්‍රයක සිග්මා හෙවත් සමාකලන ගණිත කර්මය (summation) සිදු වන i පදය අනුව්‍යාජ දර්ශකය (dummy index) ලෙස නම් කරනවා. සිග්ම ගණිත කර්මය සිදු කෙරෙන විට, ඩමි ඉන්ඩෙක්ස් වෙනුවට ඉලක්කම් ආදේශ වෙනවානෙ.

ඉහත ආකාරය සංක්ෂිප්ත වුවත්, එය ලිවීම කරදරයි. තවද, ටෙන්සර් නිරූපනය කරන විට නිතර නිතර එය ලිවීමට සිදු වන නිසා තවත් සරල කර ගත හැකි වේ. එනම්, සිග්ම සංඛේතය නොලියා සිටිය හැකියි පහත ආකාරයට. සිග්ම කොටස නොලියා සිටියත්, ඇත්තටම එතැන සිග්මා තිබෙන බව සිහිතබා ගත යුතුය. පතපොතෙහි ඩමි ඉන්ඩෙක්ස් එකක් සහිතව පහත ආකාරයට ටෙන්සරයක් ප්‍රකාශ කොට ඇති විට, එතැනට සිග්ම කොටස සිතින් යොදා ගන්න. සංදර්භයෙන් (එනම්, ගනිත ගැටලුව තුල සඳහන් වන නිසා) අප දන්නවා යම් ටෙන්සරයක් සඳහා පවතින පදනම් දෛශික ගණන (බොහෝ විට එය 3කි; ත්‍රිමාන අවකාශය සඳහා).

        Aⁱe_i

ඩමි ඉන්ඩෙක්ස් පදය i හෝ වෙනත් ඕනෑම ඉංග්‍රිසි අක්ෂරයකින් දැක්විය හැකියි (A^ke_k, A^me_m ආදි ලෙස). ඉහත සරල ආකාරයට ටෙන්සරයක් නිරූපණය කරන ක්‍රමය සමාකලන ක්‍රමය (summation convention) ලෙස හැඳින්වේ; එය ප්‍රචලිත කළේ ඇල්බර්ට් අයින්ස්ටයින් විසිනි.

කෝවේරියන්ට් ලෙස යම් දෛශිකයක් පහත ආකාරයට ලියා දැක්විය හැකියි.

        F = A₁e₁ + A₂e₂ + A₃e₃ + ... + A_ne_n

එය පහතින් පලමුව පෙන්වා ඇති ආකාරයට සරල කර, තවදුරටත් අයින්ස්ටයින්ගේ සමේෂන් ක්‍රමයට සරල කර පහත දෙවැනුව දැක්වෙන ආකාරයටත් ලිවිය හැකිය.

දැන් බලමු දෙවැනි ගනයේ ටෙන්සර් ගැන. මෙහිදීද පෙර ලෙසම අපට අවශ්‍ය ප්‍රමාණයක් පදනම් දෛශික තීරණය කළ හැකියි (සුපුරුදු ලෙසම බොහෝවිට පදනම් දෛශික 3ක් තෝරා ගැනේ ත්‍රිමාන අවකාශය සඳහා). මෙවිට, ටෙන්සරයේ සංරචක 3 x 3 ආකාරයේ චතුරස්‍ර න්‍යාසයකින් ඉදිරිපත් කළ හැකි බවද අප ඉගෙන ගත්තා. මෙම සංරචක ගණන ලැබෙන අයුරු ගැන සිතුවොත් රටාවක්ද ඔබට පෙනේවි.

ඒ කියන්නේ පලමු ගණයේ ටෙන්සරයක හෙවත් දෛශිකයක සංරචක පද n ගණනක් තිබුණා (පදනම් දෛශික n ගණනක් ගත් විට). දැන් දෙවැනි ගණයේ ටෙන්සරයක් සලකන විට, නැවත වතාවක් අලුත් පදනම් දෛශික සෙට් එකක් හඳුන්වා දෙනවා දැනට පවතින පදනම් දෛශික සෙට් එකට අමතරව. එය පමණක් නොවේ, අලුතින් ඇතුලු වන සෙට් එකේ සෑම පදනම් දෛශිකයකින්ම දැනටමත් තිබෙන අනෙක් සෙට් එකේ සෑම පදයක්ම ගුණ කළ යුතු වෙනවා. උදාහරණයක් බලමු. පදනම් දෛශික 3කට සීමා කරමු.

මෙවිට පලමු ගනයේ ටෙන්සරයක් සඳහා, e₁, e₂, e₃ ලෙස එම ඒකක/පදනම් දෛශික 3 පවතීවි. ඊට අනුරූප සංරචක කොටස් තුන A¹, A², A³ ලෙස දක්වමු (උඩකුරු ලෙස ඇති නිසා කොන්ට්‍රවේරියන්ට් වේ). දැන් දෙවැනි ගනයේ ටෙන්සරයක් සලකන විට, නැවත වතාවක් පදනම් දෛශික 3ක සෙට් එකක් එකතු වේ. මෙම අලුත් සෙට් එකේ පදනම් දෛශිකද e₁, e₂, e₃ ම තමයි (පදනම් දෛශික සමාන විය යුතුයිනෙ එකම ටෙන්සරය තුල). මෙම අලුත් සෙට් එකට අනුරූපව සංරචක B¹, B², B³ ලෙස දක්වමු. දැන් සිදු වන්නේ, අලුතින් එකතු වූ පදනම් දෛශික 3 ට අදාල සංරචක පද වෙන වෙනම පරන සෙට් එකේ සංරචක පද සමඟ ගුණ වීමයි. එවිට, {A¹B¹, A²B¹, A³B¹}, {A¹B², A²B², A³B²}, {A¹B³, A²B³, A³B³} ලෙස සංරචක 9ක් ලැබෙනවා නේද? අන්න එම සංරචක 9 තමයි පෙරදී න්‍යාසය තුල දැක්වූයෙත්.

දෛශිකයකදී (පලමු ගනයේ ටෙන්සරයකදී), එක්කෝ කෝවේරියන්ට් නැතිනම් කොන්ට්‍රවේරියන්ට් ලෙස එය දැක්විය හැකිව තිබුණා. දෙවැනි (හා ඊට ඉහල ගනවල) ටෙන්සර්වලත් එම වෙනස පවතිනවා.

අප සිතමු පලමු පදනම් දෛශික සෙට් එකත් දෙවැනි පදනම් දෛශික සෙට් එකත් යන දෙකම කොන්ට්‍රවේරියන්ට් ආකාරයෙන් පවතිනවා කියා. එවිට සංරචක 9 පහත ආකාරයට ලැබේවි.

        A¹B¹, A²B¹, A³B¹

        A¹B², A²B², A³B²

        A¹B³, A²B³, A³B³

ඉහත සංරචක 9න් පෙන්වන්නේ දෙවැනි ගනයේ කොන්ට්‍රවේරියන්ට් ටෙන්සරයකි(contravariant tensor of second order). එයම තවත් සංක්ෂිප්තව පහත ආකාරයටත් ලිවිය හැකිය. එහිදී ටෙන්සරයේ පවතින පදනම් දෛශික සෙට් දෙක නියෝජනය කරන A, B වෙනුවට තනි අක්ෂරයක් යොදා ගැනෙන අතර, පදනම් දෛශික සෙට් දෙකෙහි උඩකුරු එලෙසම එම අක්ෂරයට පිලිවෙලින් යෙදිය යුතුය. ඇත්තටම ටෙන්සර්හි සංරචක සාමාන්‍යයෙන් දක්වෙන්නේ මෙම තනි අක්ෂරයේ ක්‍රමයට තමයි.

        T¹¹, T²¹, T³¹

        T¹², T²², T³²

        T¹³, T²³, T³³

ඇත්තෙන්ම ඉහත සංරචක ගොන්නක් ලෙස පොදුවේ දක්වා තිබෙන ටෙන්සරය පහත ආකාරයට තනි පදයකින් සරලව දැක්විය හැකිය අයින්ස්ටයින්ගේ සමාකලන ක්‍රමයෙන් (මීට පෙර සමේෂන් ක්‍රමය ගැන කතා කරපුවා මතක් කරගන්න).

        T^jk

පදනම් දෛශික සෙට් දෙකම කෝවේරියන්ට් ආකාරයට පවතී නම්, ටෙන්සර්හි සංරචක 9 පහත ආකාරයට පත් වේවි. ඒ අනුව පහත සංරචකවලින් නිරූපණය කරන්නේ දෙවැනි ගනයේ කෝවේරියන්ට් ටෙන්සරයකි (covariant tensor of second order).

        A₁B₁, A₂B₁, A₃B₁

        A₁B₂, A₂B₂, A₃B₂

        A₁B₃, A₂B₃, A₃B₃

ඉහත සංරචක සාමාන්‍යයෙන් දක්වන්නේ පහත ආකාරයටයි.

        T₁₁, T₂₁, T₃₁

        T₁₂, T₂₂, T₃₂

        T₁₃, T₂₃, T₃₃

සමේෂන් ක්‍රමයට එයම පහත ආකාරයට ලිවිය හැකිය.

        T_jk

දෙවැනි ගනයේ ටෙන්සරයක එක පදනම් දෛශික සෙට් එකක් කොන්ට්‍රවේරියන්ට් විදියටත්, දෙවැනි පදනම් දෛශික සෙට් එක වේරියන්ට් විදියටත් පැවතිය හැකිද? ඔව්. එවන් ටෙන්සරයක් මිශ්‍ර ටෙන්සර් (mixed tensor) ලෙස හැඳින්වේ. දෙවැනි ගනයේ මිශ්‍ර ටෙන්‍සරයක (mixed tensor of second order) සංරචක පහත ආකාරයට උඩකුරු හා යටිකුරු දෙකම යොදා ගනිමින් ලිවිය යුතුය.

        A¹B₁, A²B₁, A³B₁             T¹₁, T²₁, T³₁

        A¹B₂, A²B₂, A³B₂       ->  T¹₂, T²₂, T³₂        ->  T^j_k

        A¹B₃, A²B₃, A³B₃             T¹₃, T²₃, T³₃