දෛශික (vectors) - 13 (Tensor)

ටෙන්සර්

tensor යනු නවකයන් බොහෝවිට අසා නැති වචනයක් විය හැකිය. අදිශ හා දෛශික යන සංකල්ප දෙකටම වඩා සංකීර්ණ සංකල්පයකි මෙය. ඇත්තටම, අදිශ හා දෛශික යනුද ටෙන්සර් වේ. ඒ දෙකට අමතරව තවත් ආකාරයන්ද ටෙන්සර් හි අඩංගු වේ. ඒ කියන්නේ ටෙන්සර් යනු අදිශ, දෛශික, හා තවත් ආකාර (සෛද්ධාන්තිකව අනන්ත) ගණනාවක් ආවරණය කෙරෙන පොදු ගණිතමය සංකල්පයකි.

ටෙන්සර් යටතේ ආකාර ඕනෑම ගණනාවක් තිබිය හැකියිනෙ. එනිසා එකින් එකට වෙන වෙනම විශේෂිත නාමයන් ලබා දෙන්නට ගියොත් එය විකාරයක් වේවි. එබැවින්, ඒ ඕනෑම ටෙන්සරයක් යම් තාර්කික/ක්‍රමවත් රටාවකට නම් කෙරේ. ඒ කියන්නේ "අහවල් ගණයේ ටෙන්සරයක්" හෝ "අහවල් ශ්‍රේණියේ ටෙන්සරයක්" (tensor of order "n" හෙවත් n^th order tensor හෝ tensor of degree "n" හෙවත් n^th degree tensor හෝ tensor of rank "n") යනාදි ලෙස ඒවා නම් කෙරේ.

මුලින්ම හමුවන්නේ ශූන්‍ය ගණයේ ටෙන්සර් (tensor of order zero හෝ zeroth order tensor) වේ. මෙය තමයි ටෙන්සර්වල තිබෙන සරලතම ආකාරය (මීට වඩා සරල ආකාරයක් නැත). මෙවැන්නක තිබෙන්නේ එක් භෞතික ගතිලක්ෂණයක් පමණි. උදාහරණයක් ලෙස, වස්තුවක ස්කන්ධය, කෙනෙකුගේ වයස, ද්‍රව්‍යයක ඝනත්වය ආදිය ගත ගත හැකිය. ඔව්, ජීවිත කාලය පුරාම වයස, ස්කන්ධය ආදිය ගැන කතා කර ඇත්නම්, ඒවා සමඟ ගණන් සාදා ඇත්නම් (පාසැලේ පොඩි පංතිවල), ටෙන්සර් යන නම ඔබ නොදැන සිටියත් ඔබ කටයුතු කර තිබෙන්නේ ටෙන්සර් සමඟ තමයි. ඒ කියන්නේ නම නොදැන සිටියත් ඔබට ටෙන්සර් සංකල්පය අලුත් නැත.

ඉහත ශූන්‍ය ගනයේ ටෙන්සර් ගැන විස්තර කියන විට ඔබට කුමක් මතක් වේද? අදිශ මතක් වුනේ නැද්ද? යම් එක් භෞතික ගුණයක් ගැන පමණක් තිබෙන විට ඒවා අදිශ වේ. ඒ කියන්නේ සලකා බලන යම් භෞතික ගුණයේ යම් මිනුමක් ගැනීමට තිබේ නම්, ඔබට මනින්නට සිදු වන්නේ එක් මිනුමක් පමණි. උදාහරණයක් ලෙස, යම් වස්තුවක ස්කන්ධය නම් භෞතික රාශිය ගැන කතා කරන විට, එහි ස්කන්ධය (කිලෝග්‍රෑම් වැනි ඒකකයකින්) මනින්නට පමණයි තිබෙන්නේ. මේ අනුව, සරලතම ටෙන්සර් ආකාරය අදිශ සංකල්පයට සමාන්තර වේ (බොහෝ අය ශූන්‍ය ගනයේ ටෙන්සර් අදිශ යැයි කෙලින්ම කියනවා).

0 ට පසුව තිබෙන්නේ 1 නිසා, ශූන්‍ය ගණයේ ටෙන්සරයට පසුව ඊළඟට පවතින්නේ පලමු ගණයේ ටෙන්සර් (tensor of order one හෝ first order tensor) වේ. මෙය ශූන්‍ය ගණයට වඩා ටිකක් සංකීර්ණ වේ. මෙහිදී සලකා බලනු ලබන යම් භෞතික රාශියක මිනුම් දෙකක් පවතී. ඒ කියන්නේ එම රාශිය ගැන නිශ්චිතව දැනගැනීමට අවශ්‍ය නම්, මිනුම් වර්ග දෙකක් ගැනීමට අවශ්‍ය වේ. උදාහරණයක් ලෙස, බලය, ප්‍රවේගය, කෝණික ප්‍රවේගය ආදි රාශින් ගත හැකියි.

උදාහරණය ලෙස බලය (force) සලකමු. යමකට යම් බලයක් ලබා දෙන විට, බලයේ විශාලත්වය මෙන්ම එහි දිශාවද වැදගත් වේ. ඒ කියන්නේ බලය ගැන නිශ්චිතවම දැනගැනීමට එහි විශාලත්වය හා දිශාව වැදගත් වේ. ඒ කියන්නේ පලමු ගණයේ ටෙන්සර් යනු ඇත්තටම දෛශිකවලට සමාන්තර අදහසකි (සාමාන්‍යයෙන් පලමු ගණයේ ටෙන්සර් යනු දෛශිකවලට කියන තවත් නමක් ලෙස බොහෝ අය හඳුන්වනවා).

දෛශිකයේ විශාලත්වය හා දිශාව යන දෙක එකිනෙකට වෙනස් වුවත් එකිනෙකට බද්ධ වේ. ඒ කියන්නේ විශාලත්වය වෙනමත් දිශාව වෙනමත් ලෙස නොසැලකිය යුතුය. එම විශාලත්වය පවතින්නේ ඒ කියන දිශාව ඔස්සේ කියාම හැඳින ගත යුතුය. උපමාවකින් කියතොත්, විශාලත්වය හා දිශාව මිනිසකු හා අශ්වයෙකුට උපමා කළොත්, මෙම මිනිසා අශ්වයා පිට නැග සිටින සේ සිතිය යුතුය. අශ්වයාත් මිනිසාත් දෙදෙනා වෙන වෙනම පොලොවේ සිටගෙන සිටිනවා යැයි නොසිතිය යුතුය. අශ්වයා යන්නේ කොහේද මිනිසාද ඒ පැත්තට ඉබේම යාවි.

ඇත්තටම ටෙන්සර් යන සංකල්පය එන්නට පෙරයි අදිශ හා දෛශික සංකල්ප දෙක බිහි වූයේ. ටෙන්සර් සංකල්පය බිහි වුණාට පසුව පෙනී ගියා අදිශ හා දෛශික දෙකත් ටෙන්සර් සංකල්පය යටතට ගත හැකි බව. එනිසා, ඒ දෙකට අදිශ, දෛශික කියා විශේෂිත නම් දෙකක් පවතී. එහෙත් මීට වඩා ගනය එකින් එක ඉහලට යන විට ඒ සඳහා විශේෂිත නම් නැත.

සෛද්ධාන්තිකව ගනයට අනන්තය දක්වා යා හැකිය. එහෙත් ප්‍රායෝගිකව ගනය 4 හෝ ඒ ආසන්න ගණනකට වඩා අවශ්‍ය නොවේ. ඊට හේතුව විද්‍යාවේදී ඊට වඩා වැඩි ගණයක් යොදා ගෙන නිරූපණය කරන්නට භෞතික රාශි/ලක්ෂණ නොමැත. තුන්වැනි හා හතරවැනි ගණයේ ටෙන්සර් පැවතියත්, බොහෝවිට ඒවා පවා අපට එතරම් හුරුපුරුදු නැත. උසස්/ගැඹුරු භෞතික විද්‍යා සංකල්ප සමඟ ඒවා ගැටගැසී තිබේ. එනිසාම ටෙන්සර් තවත් අමාරු සේ දැනේ.

අපට අදිශ හා දෛශික යන සංකල්ප තේරුම් ගැනීම අපහසු නැහැනෙ. එනිසා ඒ ආශ්‍රයෙන් ටෙන්සර් ගැන හැකි තරම් වටහා ගැනීමට උත්සහ කරන්න. සාමාන්‍යයෙන් හුදකලාව අදිශ රාශියක් හෝ දෛශික රාශියක් තිබිය හැකියි. උදාහරණ ලෙස, යම් වස්තුවක ප්‍රවේගය යනු හුදකලා දෛශිකයකි. එලෙසම හුදකලාව යම් දෙයක ටෙන්සරයක් තිබිය හැකියි (අහවල් වස්තුවේ අහවල් ටෙන්සරය කියා).

අදිශ හෝ දෛශික ක්ෂේත්‍ර ගැන අප දන්නවා. කාමරය පුරා පැතිර තිබෙන උෂ්නත්වය අදිශ ක්ෂේත්‍රයක්නෙ (කාමරයේ අවකාශය තුල ඕනෑම තැනක උෂ්නත්වමානයක් තැබූ විට එම ලක්ෂ්‍යයේ යම් උෂ්නත්වයක් ලැබේ). යම් ලක්ෂ්‍යයක යම් රාශියක එක් මිනුමක් විතරක් ගත් නිසා එය අදිශ ක්ෂේත්‍රයක් වූවා. එසේම, කාන්දමක් අවට අවකාශයේ චුම්භක ක්ෂේත්‍රයක් පවතී; එය දෛශික ක්ෂේත්‍රයකි. යම් ලක්ෂ්‍යයක එක් රාශියක මිනුම් 2ක් (විශාලත්වය හා දිශාව) පවතින නිසා එය දෛශික ක්ෂේත්‍රයකි. මේ ආකාරයටම ටෙන්සර් ක්ෂේත්‍රද (tensor field) පවතී. බොහෝවිට ටෙන්සර් ක්ෂේත්‍රය නිකංම ටෙන්සර් ලෙසත් හැඳින්වේ. මෙම ක්ෂේත්‍රයේද යම් ලක්ෂ්‍යයක් ගත් විට, එහි මිනුම් කිහිපයක් ගැනීමට සිදු වේ. අදිශ හා දෛශික යනුත් ටෙන්සර් නිසා, එම අදිශ හා දෛශික ක්ෂේත්‍ර පවා ටෙන්සර් ක්ෂේත්‍ර ලෙස සැලකිය හැකියි.

සමහරුන් දෙවැනි ගනයේ ටෙන්සර් යනු න්‍යාසයක් යැයි පවසනවා. මා ඊට විරුද්ධයි මොකද න්‍යාස යනු වෙනත් ගණිත ආකෘතියකි. එහෙත්, දෙවැනි ගනය දක්වා වූ ටෙන්සර් න්‍යාස ආකෘතිය මඟින් පෙන්විය හැකිය. එනිසා අමුතුවෙන් දෙවැනි ගනයේ ටෙන්සර් විතරක් ඇයි න්‍යාසයක් යැයි පවසන්නේ? එහි තේරුමක් නැත. න්‍යාස මඟින් ටෙන්සරයක් (උපරිම දෙවැනි ගනය දක්වා පමණි) නිරූපණය කළ හැක්කේ කෙසේදැයි කෙටියෙන් විමසා බලමු.

ශූන්‍ය ගනයේ ටෙන්සරයක් යනු නිකංම අගයකි/සංඛ්‍යාවකි (මොකද එය අදිශයක් නිසා). ඉතිං එවැනි ටෙන්සර් 23 හෝ 583 හෝ ආදි ලෙස නිකංම ලිවිය හැකියි. එවැන්නක් න්‍යාසයක් ආකාරයෙන් පෙන්වන්නේ නම් සංඛ්‍යාව දෙපස න්‍යාස ලකුණ (එනම්, [ ] යන්න) යෙදිය යුතුය. එවිට න්‍යාස මඟින් ශූන්‍ය ගනයේ ටෙන්සර් දෙකක් පහත දැක්වේ. ඔබට පෙනෙන ලෙසම, අමුතුවෙන් න්‍යාසයක් ආකාරයට ඉදිරිපත් කිරීමටද අවශ්‍ය නොවේ (trivial). එහෙත් අවශ්‍ය නම්, එලෙස ඉදිරිපත් කළ හැකිය.

        [24]        [673]

පලමු ගනයේ ටෙන්සරයක් යනු දළ වශයෙන් දෛශිකයකි. දෛශිකයක් න්‍යාසයක් ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කරන්නේ කෙසේද? මෙතෙක් පාඩම් මාලාව තුල මා ඒ ගැන කතා කර නොමැත. එය පහසුය. ඔබ දෛශිකයක් යම් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ඒකක දෛශික ඇසුරින් නිරූපණය කරන හැටි දන්නවා. සාමාන්‍යයෙන් ත්‍රිමාන අවකාශයක් සඳහායි ඒකක දෛශික 3ක් යොදා ගත්තේ. එහෙත් සාධාරණ වශයෙන් ගත් විට, මාන ඕනෑම ගණනක් සඳහා වුවද දෛශිකයක් අර්ථ දැක්විය හැකිය. කරන්නට තිබෙන්නේ ඒ එක් එක් මානය සඳහා ඒකක දෛශිකයක් අර්ථ දැක්වීම පමණි (ඒ බවත් අප සාකච්ඡා කර තිබෙනවා). ඉතිං, එක් තීරුවක් හෝ පේලියක් පමණක් තිබෙන න්‍යාසයක් යොදා ගත හැකියි මෙවැනි දෛශිකයක් නිරූපණය සඳහා. ඒ කෙසේද?

දෛශිකය යම් ඒකක දෛශික ගොන්නක එකතුවක් ලෙස ලිවිය හැකියිනෙ. උදාහරණයක් ලෙස, මාන 5ක් සඳහා එය, F = A₁e₁ + A₂e₂ + A₃e₃ + A₄e₄ + A₅e₅ ලෙස ලිවිය හැකියි. ඒකක දෛශික යන වචනය වෙනුවට e₁, e₂, e₃ ආදියට පදනම් දෛශික (basis vector) යන නම භාවිතා කරමු. දැන් කරන්නට තියෙන්නේ එක් එක් පදනම් දෛශිකයේ සංගුණක පද තීරු හෝ පේලි න්‍යාසයක අවයව ලෙස දැක්වීම පමණි. ඉහත F දෛශිකය ඒ අනුව පහත ආකාර දෙකින් එකකින් නිරූපණය කළ හැකියි. පළමු න්‍යාසය තීරු න්‍යාසයක් (column matrix) ලෙසත්, දෙවැන්න පේලි න්‍යාසයක් (row matrix) ලෙසත් හැඳින්වේ.

ඉහත දැක්වෙන න්‍යාස දෙකෙන්ම නිරූපණය කරන්නේ දෛශිකයකි. එනිසාම පේලි න්‍යාසය යන්න පේලි දෛශිකය (row vector) ලෙසත්, තීරු න්‍යාසය යන්න තීරු දෛශිකය (column vector) ලෙසත් අවශ්‍ය නම් හැඳින්විය හැකිය. ඇත්තටම ඉහත පේලි හා තීරු දෙයාකාරයෙන්ම දෛශිකයක් නිරූපණය කළත්, විද්‍යාව තුල ඒ දෙකෙහි වෙනසක් පවතී (දෙකම දෛශික වුවත්). එම වෙනස සුලු කිරීමේදී ඇති වන වෙනස්කම්ය.

දැන් බලමු දෙවැනි ගනයේ ටෙන්සරයක් න්‍යාසයකින් පෙන්වන හැටි. ඊට පෙර දෙවැනි ගනයේ ටෙන්සරයක් හඳුනා ගනිමු. මෙහි එකිනෙකට වෙනස් අගයන්/මිනුම් 3ක් ඇත. අදිශවල එවැනි අගයන්/මිනුම් 1ක්ද, දෛශිකවල එවැනි අගයන්/මිනුම් 2ක්ද තිබුණි. අදිශයේදි විශාලත්වය පමණක් තිබුණු අතර, දෛශිකවල විශාලත්වය හා දිශාවක්ද තිබුණි. එවිට, එකවරම එම රටාව ඉදිරියට ගෙන ගොස් දෙවැනි ගනයේ ටෙන්සරයක විශාලත්වයක් හා දිශා දෙකක් පැවතිය යුතු යැයි කෙනෙකුට සමහරවිට හැඟේවි. එහෙමත් නැතිනම් විශාලත්වය, දිශාව, හා තවත් "කුමක් හෝ ලක්ෂණයක්" තිබිය යුතු යැයිද සිතේවි. එහෙත් එවිට ගැටලුව වන්නේ මෙම "කුමක් හෝ ලක්ෂණය" ඇත්තටම කුමක්ද යන්නයි.

දෙවැනි ගනයේ ටෙන්සරයක එම අගයන්/මිනුම් 3 යම් ලක්ෂ්‍යයකදී විවිධ පැති 3ක් ඔස්සේ පවතින මිනුම් තුනකි (පෙර ගත් උපමාවට අනුව, අශ්වයන් තිදෙනෙකු පිට නැඟි මිනිසුන් තිදෙනෙකි). දෙවැනි ගනයේ ටෙන්සරයක් නිරූපනය කරන පහත රූපය බලන්න (මෙම රූපයෙන් නිරූපණය කෙරෙන්නේ stress tensor ලෙස හැඳින්වෙන භෞතික රාශියකි). මෙහි අගයන්/මිනුම් 3 නිල්පාට ඊතල 3න් පෙන්වා ඇත T^(e3), T^(e2), T^(e1) ලෙස නම් කරමින්. මෙහිදී විශාල වස්තුවක් මත ඒවා ක්‍රියාත්මක වන ලෙස පෙනුනත්, මෙම වස්තුව ක්ෂුද්‍ර වස්තුවක් ලෙස හෝ ලක්ෂ්‍යයක් දක්වා කුඩා වන බව සිතින් මවා ගන්න.

එම අගයන් තුනේ විශාලත්වය ඊතල දිගෙන්ද, දිශාව ඊතලයේ දිශාවෙන්ද නිරූපණය වේ. මින් එක් ඊතලයක් ගන්න. එවිට එය සාමාන්‍ය දෛශිකයක් බඳුයි (විශාලත්වයක් හා දිශාවක් තිබෙන). එය අවකාශයේ තිබෙන නිසා, අවකාශයේ මාන ගණනට සමාන ඒකක දෛශික (පදනම් දෛශික) මඟින් නිරූපණය කළ හැකිය. ඉහත රූපයේ ත්‍රිමාන අවකාශයක් පෙන්නුම් කරන නිසා, පදනම් දෛශික 3ක් ඔස්සේ එය විභේදනය කර ඇත (σ₁₁, σ₂₁, σ₃₁ වැනි). නිල්පාට ඊතලයට බද්ධව කලුපාට ලම්භක/ප්‍රලම්භක අක්ෂ 3 මඟින් පෙන්වා තිබෙන්නේ එයයි. එලෙසම ටෙන්සර් මිනුම් 3 (T^(e3), T^(e2), T^(e1)) ගැනම සිතන්න.

ටෙන්සරයේ මිනුම් 3 දකුණත් පද්ධතියකට අනුකූලවයි සකස් කර තිබෙන්නේ (දකුණත් පද්ධති ගැන මීට පෙර කතා කර තිබෙනවා). එනිසා, පළමුව T^(e1) තෝරාගත් විට දකුණතේ ඇඟිලි T^(e2) දිශාවට කරකවනු ලැබේ. එවිට මාපොට ඇඟිල්ල තුන්වෙනියට දැක්වෙන T^(e3) දෙසට යොමු වේවි. ටෙන්සරයේ මිනුම් පමණක් නොව, එක් එක් මිනුමේ පදනම් දෛශික ඔස්සේ විභේදනයත් (σ₁₁, σ₂₁, σ₃₁ වැනි) දකුණත් පද්ධතියට අනුරූප වේ.

ඉහත ආකාරයට ක්‍රමවත් (දකුණත් පද්ධතියට අනුරූප වෙමින්) ආකාරයෙන් සියලු අගයන් ලකුණු කර ගත යුතුය (තමන්ට කැමති කැමති තැනින් පටන් නොගෙන). එවිට ඉහත අධ්‍යනය කළ උදාහරණයේ/රූපයේ ත්‍රිමාන අවකාශය සඳහා එකිනෙකට වෙනස් සංඛ්‍යා කොටස්/සංරචක (components) 9ක් අවසාන වශයෙන් ලැබේ ( σ₁₁, σ₂₁, σ₃₁, σ₃₃ ආදි ලෙස). දෙවැනි ගනයේ ටෙන්සරය අවසාන වශයෙන් නිරූපණය කෙරෙන්නේ මෙම සංරචක අගයන්ගෙන් තමයි.

මෙම සංරචක තමයි අප න්‍යාසයක් ආකාරයට දැන් ඉදිරිපත් කළ යුත්තේ. එහිදී, එක් එක් මිනුම සඳහා තීරුවක් වෙන් කෙරේ. එවිට, තීරුව දිගේ පහලට එම මිනුමට අයත් සංරචක කොටස් දැක්වේ. ඉහත රූපයට අදාලව න්‍යාසය තුල සංරචක ලියා දක්වන්නේ ඒ අනුව පහත ආකාරයටයි. ඉහත රූපය හා පහත න්‍යාසය හොඳින් සසඳා බලන්න.

දෙවැනි ගණයේ ටෙන්සරයක් ඉහත ආකාරයට න්‍යාසයකින් ඉදිරිපත් කළ හැකිය. එහෙත් තෙවැනි හෝ ඊට ඉහල ගනයේ ටෙන්සර් න්‍යාස ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කළ නොහැකිය. 

සටහන

ඇත්තෙන්ම ඉහත දෙවැනි ගණයේ ටෙන්සරය පැහැදිලි කළ විදියේ යම් දෝෂයක් ඇත. එහෙත් කරුණු පහසුවෙන් තේරුම් ගැනීමට හැකි වීම සඳහා එය හිතාමතා සිදු කර ඇත. එසේ තේරුම් ගෙන පසුව කෙරෙන පැහැදිලි කිරීම් අවබෝධ කරගන්නා විට, ඕනෑම ගණයක ටෙන්සරයක් ගැන හොඳ නිවැරදි දැනුමක් ලැබෙනු ඇත. නිවැරදිම අවබෝධය ලැබෙන්නේ ගණිතානුකූලව ටෙන්සර් ගැන හිතන්නට පටන් ගත් විටයි (භෞතික විද්‍යාත්මකව නොව). ටෙන්සරයේ ගණය යනු ඇත්තටම එම ටෙන්සරයට අනුබද්ධ පදනම් දෛශික පද්ධති ගණනයි. උදාහරණයක් ලෙස, දෛශික සඳහා එක් පදනම් දෛශික පද්ධතියක් අනුබද්ධිත වන අතර, එය ඇසුරින්නෙ අප දිශාව කියන්නෙත්. දෙවැනි ගණයේ ටෙන්සරයකට ස්වාධීන පදනම් දෛශික පද්ධති දෙකක් අනුබද්ධිත වේ.

 

පරිගනක ප්‍රෝග්‍රැමිං ඉගෙන ගත් අයට multi-dimenstional array මතක නම්, ටෙන්සර් මෙවැනි ඇරේ මඟින් නිරූපණය කළ හැකි බවද තේරේවි . මල්ටිඩයිමෙන්ෂනල් ඇරේ ගත් විට, ඉන් තෙවැනි ගනයේ ටෙන්සරයක් කොලයක ඇඳිය/නිරූපණය කළ හැකියි පහත ආකාරයට. සිව්වැනි හා ඊට ඉහල ගනයේ ටෙන්සර් මේ කුමන ක්‍රමයකින්වත් ඇඳ පෙන්විය නොහැකියි (මොකද ඒ සඳහා ත්‍රිමාන අවකාශයෙන් ඔබ්බට යා යුතුය; අපට ත්‍රිමාන අවකාශයෙන් ඔබ්බට දැනෙන්නේ නැත). (ප්‍රෝග්‍රැමිං ගැන නොදන්නේ නම්, මෙම ඡේදය අමතක කර දමන්න.)

ඉහත දෙවැනි ගනය හා ඊට ඉහල ගනයේ සිට ඇති ටෙන්සර්වලට තමයි ඇත්තටම ටෙන්සර් යන නම ව්‍යවහාර කරන්නේ (අදිශ හා දෛශික සාමාන්‍යයෙන් ටෙන්සර් යන නමින් ව්‍යවහාර කරනවාට වඩා අදිශ හා දෛශික යන නාමයන්ගෙන්ම හැඳින්වේ). දෙවැනි ගනයේ ටෙන්සරයකට සංරචක අගයන් 9ක් ඉහල ලැබුණි (ත්‍රිමාන අවකාශයකදී). එලෙසම, තෙවැනි ගනයේ ටෙන්සරයකට සංරචක කොටස් 27ක් ලැබේවි (ත්‍රිමාන). සිව්වැනි ගනයේ ටෙන්සරයක් සඳහා සංරචක අගයන් 81ක් තිබේවි (ත්‍රිමාන).