දෛශික (vectors) - 9

පෘෂ්ට අනුකලනය

සටහන

පෘෂ්ට හා ශ්‍රිත

පෘෂ්ටයක් හෙවත් මතුපිටක් (surface) යනු කුමක්දැයි ඕනෑම කෙනෙකුට පහසුවෙන් තේරෙනවානෙ. ඔබේ මේසය මතුපිට හෝ පොතක කොලයක් ගත් විට එහි මතුපිට දිගක් හා පලලක් පමණක් තිබෙන ද්විමාන දෙයක් නේද? මෙවැනි පෘෂ්ට සමතල පෘෂ්ට (flat surfaces) ලෙස හැඳින්විය හැකිය. එලෙසම, බෝලයක් හෝ වතුර බොන වීදුරුවක් ගත් විට, එහිද මතුපිටක් තිබෙනවානෙ. එහෙත් මෙවැනි පෘෂ්ට වක්‍ර පෘෂ්ට (curved surfaces) වේ. වක්‍ර පෘෂ්ටයක් සලකන විට, ගෝලයක් වැනි සමාකාර/සවිධි විය හැකිය; නැතහොත් අක්‍රමවත් ගල් කැටයක්, ඔබේ ශරීරයේ මතුපිට වැනි අසමාකාර/අවිධිමත් විය හැකිය. සරලව ගත් විට, මෙම ඕනෑම පෘෂ්ටයක් ද්විමාන වේ. බෝලය හෝ පොත හෝ ත්‍රිමාන වූවාට, ඒවායේ මතුපිට ද්විමාන වේ. උපමාවකින් එය මෙසේ කිව හැකිය. ඔබ ත්‍රිමාන වන අතර ඔබේ සෙවනැල්ල ද්විමාන වේ. එම සෙවනැල්ල බිත්තිය මත ඇති විට සෙවනැල්ල සමතල වුවත්, එම සෙවනැල්ලම සෝෆාවක් හෝ වෙනත් වස්තුවක් මත වැටුනු විට සෙවනැල්ලද වක් වනු ඇත. වක වුවත්, සෙවනැල්ල තවමත් ද්විමානයිනෙ.

ගනිතානුකූලව පෘෂ්ටයක් ශ්‍රිතයකින් දැක්විය හැකිය. එම ශ්‍රිතය පොදුවේ z = f(x,y) ලෙස ලිවිය හැකිය. ඇත්තටම මෙතැන තිබෙන්නේ y = f(x) වැනිම සරල ශ්‍රිතයකි; එකම වෙනස ස්වායත්ත විචල්‍යයන් දෙකක් තිබීමයි. මෙම ශ්‍රිතයෙන් කියන්නේ x, y, z යන අක්ෂ 3 සහිත කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක x හා y යන ස්වායත්ත විචල්‍ය දෙකට (0,0), (0,1), (1,3) ආදි ලෙස සුදුසු අගයන් දෙමින් ශ්‍රිතය සුලු කරන විට, ඒ ඒ ඛණ්ඩාංකය සඳහා z යන පරායත්ත විචල්‍ය අගය ලැබෙන බවයි. එවිට, ත්‍රිමාන ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ (x,y,z) හෙවත් (x,y,f(x,y)) ඛණ්ඩාංක ලකුණු කළ විට, ඔබට පෙනෙනු ඇත්තේ පෘෂ්ටයකි. උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

z = f(x,y) = 1 යන ශ්‍රිතය ගමු. මින් කියන්නේ x, y යන විචල්‍ය දෙක සඳහා කුමන අගය ආදේශ කළත්, z අගය නියතව 1 ලෙසම තිබෙන බවයි. මෙතැන 1 වෙනුවට ඕනෑම නියත අගයක් තිබිය හැකිය. මෙවැනි මතුපිටක් පහත රූපයේ දැක්වෙන ආකාරයට තිරස් සමතල මතුපිටක් වේ.

ඉහත ශ්‍රිතය ඉතාම සරලය. එහි z අගය වෙනස් නොවූයේ ස්වායත්ත විචල්‍යවල වෙනස්වීම අනුව පරායත්ත විචල්‍යය (z) වෙනස් නොවන නිසාය. එහෙත් අපට හැකියි එම ස්වායත්ත විචල්‍ය දෙකේ විචලනයට පරායත්ත විචල්‍ය සංවේදි කරන්න. ඒ සඳහා 1 යන නියත පදය වෙනුවට, ස්වායත්ත විචල්‍යවලින් යුතු යම් ගණිත ප්‍රකාශයක් තිබිය යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස, z = f(x,y) = x + y යන ශ්‍රිතය ප්‍රස්ථාර ගත කළොත් පහත ආකාරයට දිස් වේවි.

= ලකුණට පසුව ඇති ගණිත ප්‍රකාශය (ශ්‍රිතය) වෙනස් කිරීමෙන් විවිධ හැඩවලින් යුතු මතුපිටවල් ලබා ගත හැකිය. f(x,y) = x² + y² යන ශ්‍රිතය ප්‍රස්ථාරගත කළ විට පහත දැක්වෙන මතුපිට ලැබේ. මෙම හැඩය හුරුපුරුදුද? f(x) = x² වැනි පරාවලියක ශ්‍රිතයකදී ලැබෙන පරාවලය (parabola) ද්විමාන වන අතර, එහි ත්‍රිමාන ස්වරූපය තමයි මේ ලැබී තිබෙන්නේ. මෙහිදී x හා y යන අක්ෂ දෙක ඔස්සේම සන්තතික පරාවල හැඩය ඇති වීම නිසා පහත ආකාරයට අවසාන රූපය ලැබේ. මෙම හැඩය පරාවලයාභය (paraboloid) ලෙස හැඳින්වේ.

ගනිතයේදී යම් ද්විමාන හැඩයක් (පරාවලය, බහුවලය, ඉලිප්සය වැනි) ත්‍රිමානව නිර්මානය වන විට හෝ ත්‍රිමාන වස්තුවක වුවද (ගෝලය, ඝනකය වැනි) එම හැඩය දල වශයෙන් ඇති තවත් ත්‍රිමාන වස්තුවක් නිර්මානය වන විට, ඊට අර ද්විමාන හෝ ත්‍රිමාන වස්තුවේ නම ගෙන ඊට "ආභය" ප්‍රත්‍යය අගට යෙදේ (ඉංග්‍රිසියේදී oid යන ප්‍රත්‍යය යෙදේ). උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

පරාවලය (parabola) -> පරාවලාභය (paraboloid)

බහුවලය (hyperbola) -> බහුවලාභය (hyperboloid)

ඉලිප්සය (ellipse) -> ඉලිප්සාභය (ellipsoid)

ගෝලය (sphere) -> ගෝලාභය (spheroid)

ඝනකය (cube) -> ඝනකාභය (cuboid)

f(x,y) = sin(xy) යන ශ්‍රිතය ඇන්ද විට ලැබෙන රූපය (එනම්, එම රූපයේ පෘෂ්ටය) පහත ආකාරයට ලැබේ. මෙලෙස ශ්‍රිතය සංකීර්ණ කරන විට, ලැබෙන පෘෂ්ටයද සංකීර්ණ වන බව පෙනේ.

මේ අනුව z = f(x,y) ලෙස, පොදුවේ පෘෂ්ටයක් සඳහා වූ ශ්‍රිතය දැක්විය හැකි බව පැහැදිලියි. සමහර අවස්ථාවලදී පෘෂ්ටයක් f(x,y,z) = c (c යනු නියත පදයකි) යන සමීකරණයෙන් ලැබෙන බවද පවසනවා. ඇත්තටම මේ දෙයාකාරයම සමානය. එකක් ඉදිරිපත් කර තිබෙන්නේ ශ්‍රිතයක් ආකාරයෙනි (එනම්, ස්වායත්ත විචල්‍ය කිහිපයක් මත යම් සුලු කිරීමක් කිරීමෙන් පරායත්ත විචල්‍යයක් ලැබෙන ආකාරයට ඉදිරිපත් කිරීම). අනෙක ඉදිරිපත් කර තිබෙන්නේ සමීකරණයක් (equation) අාකාරයෙනි (එනම්, යම් ගණිත ප්‍රකාශයක් යම් අගයකට සමාන කිරීම).

සමහර පෘෂ්ට සුමට පෘෂ්ට (smooth surface) වේ. එනම්, ඔබ අතින් එම පෘෂ්ටය අතගාගෙන ගියොත් සුමට බවක් දැනේ; දාර හසු නොවේ. ගනිතානුකූලව සලකන විට, සුමට බව අතින් අල්ලා කිව නොහැකියිනෙ. එවිට එය මෙසේ කිව යුතුය. පෘෂ්ටය කුඩා ප්‍රදේශ විශාල ගණනකට (අනන්ත ගණනකට) කඩා, ඒ එක් එක් කුඩා කොටසට අභිලම්භ සොයා/ඇඳ ගත් විට, එම අනුයාත අභිලම්භවල දිශාව වෙනස් වීම ඉතාම කුඩා විය යුතුය. ඔබ දන්නවා වංගුවක් වුවත් ටිකෙන් ටික වක් වන විට එම වංගුව අපට නොදැනේ; වංගුවක් ගියාදැයි නොදැනේ. එවැනිම දෙයකි මේ අභිලම්භ කතාවෙන් කියන්නේ. මීට උදාහරණ ලෙස, ගෝලය, ගෝලාභය, පරාවලයාභය කිව හැකිය. පහත රූපයේ a වලින් දැක්වෙන්නේ සුමට පෘෂ්ටයකි (මෙම වස්තුව නාලිවලය - torus ලෙස හැඳින්වේ).

තවත් පෘෂ්ට "කොටස් වශයෙන් සුමට පෘෂ්ට" (piecewise smooth surface) වේ. එනම්, මුලු පෘෂ්ටය කොටස් කිහිපයකට වෙන් කර ගත් විට, ඒ එක් එක් කොටස තුල පෘෂ්ටය සුමට වේ. එහෙත් එක කොටසක සිට අනෙක් කොටසකට යන විට සුමට බව අහෝසි වේ. එනම්, කොටස් එකිනෙකට හමුවන මායිම්වල දාර පවතී. මීට උදාහරණ ලෙස, ඝනකය, ඝනකාභය ගත හැකිය. පහත රූපයේ b වලින් දැක්වෙන්නේ කොටස් වශයෙන් සුමට පෘෂ්ටයකි. බලන්න, මෙම ත්‍රිමාන වස්තුවේ පැති 5ක් තිබෙන අතර, ඒ එක එක් පැත්තක් සුමට වුවත් එම පැති හමුවන මායිම්වල දාර හමු වේ.

යම් පෘෂ්ටයක් ගත් විට එහි ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් මත අභිලම්භකයක් ඇඳිය හැකියිනෙ. ඇත්තටම අභිලම්භක එකක් නොව දෙකක්ම ඇඳිය හැකිය. පෘෂ්ටයක පැති දෙකක් තිබෙන අතර, එම දෙපැත්තෙන්ම අභිලම්භක ඇඳිය හැකිය. ඉන් එකක් ධන/පිටත අභිලම්භකය (positive/outward normal) ලෙසද, අනෙක ඍන/ඇතුලත අභිලම්භකය (negative/inward normal) ලෙසද හැඳින්වේ. ගෝලයක් වැනි සංවෘත පෘෂ්ටයක් ගත් විට, එහි ධන අභිලම්භකය යනු පිටත පෘෂ්ටය මත ඇඳි අභිලම්භකයයි. පහත රූපයේ නිල්පාටින් දැක්වෙන පෘෂ්ටයේ n₁ වලින් දක්වා තිබෙන්නේ ධන අභිලම්භකය වන අතර, n₂ යනු ඍණ අභිලම්භකයයි.

යම් පෘෂ්ටයක් ගත් විට, එහි සමස්ථ මතුපිට පුරාම අඛණ්ඩව ධන අභිලම්භ (හෝ එය පුරාම අඛණ්ඩව ඍන අභිලම්භක) ඇඳිය හැකි නම්, එවැනි පෘෂ්ටයක් දිශානතික පෘෂ්ට (orientatable surface) හෙවත් දෙපැති පෘෂ්ට (two-sided surface) කියා කියනවා. උදාහරණයක් ලෙස, ගෝලයක් ගන්න. එහි පිටත මතුපිට ඔබ අතගාගෙන යන්න. ඔබට සමස්ථ මතුපිට පුරාම අතගා ගෙන ගියත් පිටත මතුපිට පමණයි දැනෙන්නේ. ඒ කියන්නේ මෙවන් දෙපැති පෘෂ්ටයකදී පැහැදිලිව වෙන් වෙන් වශයෙන් පෘෂ්ට දෙක පවතිනවා.

එහෙත් එසේ නොමැති මතුපිටවල්ද ඇත. ඒවා දිශානතික නොවන පෘෂ්ට හෙවත් ඒකපැති පෘෂ්ට (non-orientatable / one-sided surface) කියා කියනවා. පහත රූපයේ දැක්වෙන Mobius strip, Klein bottle ලෙස ප්‍රචලිත වස්තු මත ඇති පෘෂ්ටය ඒකපැති වේ. ඒ කියන්නේ, ඔබ එහි එක් පෘෂ්ට පැත්තක් තෝරාගෙන පැන්සල් ඉරක් දිගටම ඇඳගෙන හෝ අතගාගෙන ගියොත්, වෙනසක් නොදැනී (දාර හමු නොවීම) පැන්සල් ඉර එම පටියේ පැති දෙකෙහිම ඇඳේවි හෝ ඔබ පෘෂ්ට පැති දෙකම සන්තතිකව ස්පර්ශ කර තිබේවි.

ඔබට මෝබියස් පටියක් සාදා ගත හැකිය. තරමක් පලල් රිබන් එකකින් දිගු කැබැල්ලක් කපා ගන්න (පහත රූපය බලන්න). එය රූපයේ දැක්වෙන ආකාරයට තරමක් අඹරා කෙලවරවල් දෙක අලවා ගන්න. හැබැයි අලවන විට, a ට b ද, b ට a ද සිටින සේ අලවන්න.

S නම් යම් පෘෂ්ටයක් හා F(R) නම් යම් ශ්‍රිතයක් ඇතැයි සිතන්න. එය කොටස් වශයෙන් සුමට දෙපැති පෘෂ්ටයක් යැයි සිතන්න (කොටස් වශයෙන් සුමට යැයි ගත් විට ඉන් ඉබේම සුමට පෘෂ්ටත් අයත් වේ). මෙම පෘෂ්ටය දැන් ඉතා කුඩා පෘෂ්ට කොටස් විශාල ගණනකට කඩන්න. මෙවැනි එක් කුඩා පෘෂ්ට කොටසක් δS මඟින් සාධාරණ වශයෙන් නිරූපණය කරමු ("සාධාරණ වශයෙන්" යන්නෙන් හඟවන්නේ අනෙක් පෘෂ්ට කොටස්ද මෙම සැලකිල්ලට ගත් පෘෂ්ට කොටස වැනිමයි කියාය; එවිට මෙම පෘෂ්ට කොටස අන් සියලු පෘෂ්ට කොටස් නියෝජනය කරයි). මෙම පෘෂ්ට කොටසේ වර්ගපලයද δS මඟින් නිරූපණය වේ (සමහර පොතපතෙහි පෘෂ්ට කොටස δS මඟින් නම් කොට, පෘෂ්ට වර්ගපලය δA ලෙස වෙනම සලකනවා). මෙම සාධාරණ පෘෂ්ට කොටස මැද ලක්ෂ්‍යයේදී පිටතට (ධන) අභිලම්භකය අඳින්න/සාදන්න. දැන් මෙම පෘෂ්ට කොටස් (δS හෝ δA) දෛශික සේ සැලකිය හැකිය - පෘෂ්ට කොටසේ වර්ගපලය දෛශිකයේ විශාලත්වය ලෙසද, එම පෘෂ්ට කොටසට ඇඳි අභිලම්භයේ දිශාව දෛශිකයේ දිශාව ලෙසද ගත හැකිය.

දැන් එම සාධාරණ පෘෂ්ට කොටස හා එම ස්ථානයේදී F(R) ශ්‍රිතයේ අගය සමඟ තිත් ගුණිතය සිදු කරන්න - F(R).δS (පෘෂ්ට වර්ගපලය δA ලෙස ගත් විට, F(R).δA). දැන් අනෙක් සියලු කුඩා පෘෂ්ට කොටස්වලටත් එය සිදු කර, එසේ ලැබෙන අගයන් සියල්ල එකතු කරන්න - Σ F(R).δS (හෝ Σ F(R).δA). දැන් පෘෂ්ට කොටසක විශාලත්වය ශූන්‍ය කරා ගෙනයන්න (සීමා සෙවීම). එ් කියන්නේ කුඩා පෘෂ්ට කොටස් ගණන අනන්තයක් වන බව තමයි. මෙවිට ලැබෙන අගය තමයි පෘෂ්ට අනුකලනය කියන්නේ. එය පහත ආකාරයට සංක්ෂිප්තව ඉදිරිපත් කළ හැකියි. මෙහි N යනු කුඩා පෘෂ්ටයට ඇඳි අභිලම්භයේ දිශාව හඟවන ඒකක දෛශිකයයි; එවිට δS = NδS වේ. අනුකලය සලකුනට යටින් S අකුර යොදා තිබෙන්නේ මෙය පෘෂ්ට (surface) අනුකලය බව හැඟවීමටයි. ඇත්තටම NδS ලෙස ඇති සූත්‍ර තමයි සුලු කිරීමේදී පහසු.

සංඛේතාත්මකව ඉහත කෙටි ආකාරයකින් නිරූපණය කළද පෘෂ්ටයක් (එනම්, මාන දෙකකින් පවතින්නක් ‍හෙවත් වර්ගපලයක් හෙවත් ස්වායත්ත විචල්‍ය දෙකක් එකවර වෙනස් වන ශ්‍රිතයක්) මත අනුකලනය කිරීමේදී කළ යුතු සුලු කිරීම සාමාන්‍ය (එනම්, මාන එකකින් පවතින්නක් හෙවත් රේඛාවක් හෙවත් ස්වායත්ත විචල්‍යය එකක් සහිත ශ්‍රිතයක්) අනුකලනයට වඩා වෙනස්ය. මෙවිට, සුලු කිරීමේදී අනුකල දෙකක් සිදු කිරීමට සිදු වේ (එනම් පුනර්කෘත අනුකලනය අවශ්‍ය වේ). මේ ගැන අනුකලනයේදී ඔබ උගෙන ඇති. මෙනිසා බොහෝ පතපොතෙහි පෘෂ්ට අනුකලනය පහත ආකාරයටත් සංඛේතවත් කරනවා (අනුකල සංඛේත දෙකක් සහිතව).

තවද, ඉහත පෘෂ්ටය සංවෘත වූයේ නම් (closed surface) (සංවෘත යනු පෘෂ්ටයේ යම් තැනක සිට සන්තතිකව ස්පර්ශ කරගෙන යන විට, කොහි පැත්තෙන් එම ස්පර්ශ කරගෙන යෑම සිදු කළත්, නැවත මුල් තැනටම පැමිණිය හැකි පෘෂ්ටයකි; උදාහරණයක් ලෙස ගෝලය පෙන්විය හැකිය), අනුකලය සංවෘත පෘෂ්ටයක් බව හැඟවීමට අනුකල සලකුන පහත ආකාරයටද වෙනස් කළ හැකිය (සලකුනේ වෙනස පමණි; ගණනයේ කිරීමේ හෝ මූලික සංකල්පයේ වෙනසක් නැත).

බැලූ බැල්මට ඉහත පෙන්වා ඇති පෘෂ්ට අනුකලය "අදිශ ගුණිත ආකාරයේ රේඛා අනුකලයට" නෑකමක් කියයි. රේඛා අනුකලයේදී ඒකමාන රේඛාවක් දිගේ අනුකලය සෙවූ අතර, මෙහිදී ද්විමාන පෘෂ්ටයක් මත අනුකලය සොයයි. ඒ නිසා, රේඛා අනුකලයේදී මෙන්ම මෙහිත් උප-ආකාර 3ක් තිබේ පහත පෙන්වා දෙන පරිදි. පලමු අවස්ථාව දෛශිකයක් හා අදිශයක් අතර දෛශික ගුණාකාරයද, දෙවැන්න දෛශික දෙකක් අතර තිත් ගුණිතයද, තෙවැන්න දෛශික දෙකක් අතර කතිර ගුණිතයද පෙන්නුම් කරයි. මින් දෙවැන්න තමයි වැඩියෙන්ම ප්‍රයෝජනවත්.