දෛශික (vectors) - 5

ග්‍රැඩ්

මෙම ගණිත කර්මයේ දිගු ඉංග්‍රිසි නාමය gradient වන නිසා කෙටියෙන් grad ලෙස එය නම් කර ඇත. ඩෙල් කාරකය අදිශ ශ්‍රිතයක් මත ක්‍රියා කරන විට මෙම ගණිත කර්මය සිදු වේ. මාන 3ක් සහිත අවස්ථාවකුයි සලකා බලා තිබෙන්නේ. අදිශ ශ්‍රිතයක් මත මෙය සිදු වුවත්, ගණිත කර්මය සිදු වූ පසුව ලැබෙන්නේ දෛශික ශ්‍රිතයකි.

මෙහිදී අදිශ ශ්‍රිතය මත ඩෙල් කාරකය "ක්‍රියාත්මක වනවා" යනුවෙන් සිතිය යුතුය. ඒ කියන්නේ අදිශ ශ්‍රිතය ගෙන ඒ මත පළමුව ශ්‍රිතය තුල ඇති එක් විචල්‍යයකින් (x) අවකලනය කෙරේ (විචල්‍යයක් කිහිපයකින් යුතු ශ්‍රිතයක් නිසා එය ඉබේම පාර්ශ්වික අවකලනයකි). මෙවිට ලැබෙන්නේද අදිශයක්නෙ (∂f/∂x). එම අදිශය හා ඊට අනුරූප/අයිති ඒකක දෛශිකය (i) යන දෙක එක්කහුවී දෛශික ගුණාකරය සිදු කරයි. මෙවිට ලැබෙන්නේ දෛශිකයකි (i ∂f/∂x). එලෙසම ශ්‍රිතයේ ඇති ඊළඟ විචල්‍යයටද එම පිලිවෙලින්ම එම ක්‍රියාවම සිදු කරනවා (නමුත් දෛශික ගුනාකාරය සිදු කරන්නේ ඊට අයිති ඒකක දෛශිකය සමඟින්ය). මෙලෙසම සියලු විචල්‍යය සමඟ එය සිදු කර අවසානයේ එම දෛශික අගයන් සියල්ල එකතු කරන්න. එවිට ලැබෙන්නේ ග්‍රේඩියන්ට් හෙවත් "ග්‍රැඩ් එෆ්" වේ. එය කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය ඔස්සේ නිරූපණය කෙරෙන දෛශිකයක් වේ (අප තවමත් කාටිසියානු පද්ධතිය පමනක් සලකා බලා ඇති නිසා අනෙක් ඛණ්ඩාංක පද්ධති ගැන දැනට අමතක කර දමා ඇත).

ග්‍රැඩ් තේරුම් ගත යුතු ආකාර දෙකක් තිබේ යැයි මා සිතනවා. එක් ක්‍රමයකදී ඇත්තටම කරන්නට තිබෙන්නේ අදිශ ශ්‍රිතය මත එය සිදු කර සුලු කර පිලිතුරක් ලබා ගැනීම පමණි. ගැඹුරින් සිතීමට දෙයක් එහි නැත. උදාහරණයක් ලෙස පහත සුලු කිරීම බලන්න. මෙහිදී නිසි පියවරවල් අනුගමනය කර අවසාන පිළිතුරක් ලබා ගැනීම ගැන පමණයි සිතුවේ. මෙම ක්‍රමය තරමක් වියුක්ත (abstract) වේ.

දෙවැනි ක්‍රමය තරමක් සංයුක්ත (concrete) වේ. එහිදී ඉහත ආකාරයට යම් පිළිතුරක් ලබා ගෙන සෑහීමකට පත් නොවී, ඇත්තටම සිදු වූයේ කුමක්දැයි සොයා බැලීමට උත්සහ කෙරේ. පිලිතුර විසින් සැබෑ ලෝකයේ කුමන සංසිද්ධියක් සිදු කළේදැයි සොයා බැලේ. අවකාශිය මාන ලෙස ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය ඇසුරින් සාදා ගත් i, j, k ආදි ඒකක දෛශික සැලකිය හැකි නිසා, ග්‍රැඩ් විසින් අවකාශය තුල ඇති කළ බලපෑම හෝ හඟවන අර්ථය මෙහිදී පැහැදිලි කෙරේ. එය ජ්‍යාමිතික පැහැදිලි කිරීමකි (මොකද අවකාශය හැමවිටම ජ්‍යාමිතියට මඟ පාදයි). මේ ගැන තව දුරටත් කල්පනා කර බලමු.

අවකාශය තුල යම් ගතිගුණයක/ලක්ෂණයක/රාශියක පැතිරීමක් (එනම් අවකාශයේ එක් එක් ලක්ෂ්‍යයේ යම් ගතිගුණයක් පිළිබඳ අගයක් පැවතීම) අපට සැලකිය හැකියි ක්ෂේත්‍රයක් (field) ලෙස. උදාහරණයක් ලෙස, ඔබේ කාමරය සලකන්න (එය ත්‍රිමානයිනෙ). එම කාමරය තුල ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක උෂ්ණත්වමානයක් තැබූ විට එම ලක්ෂ්‍යයේ පවතින උෂ්නත්වය ඔබට ලැබේ. ඒ කියන්නේ කාමරය පුරාම උෂ්නත්ව ක්ෂේත්‍රයක් පවතනවා. විද්‍යාව තුල විද්‍යුත්, චුම්භක, විද්‍යුත්-චුම්භක, ගුරුත්වාකාර්ශන ආදි ලෙස ක්ෂේත්‍ර ගණනාවක්ම පවතනවා.

අවකාශයක ලක්ෂ්‍යවල පිහිටුම් නිවැරදිවම ප්‍රකාශ කළ හැකියිනෙ ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් ආශ්‍රයෙන්. එනිසා, ක්ෂේත්‍රය/අවකාශය තුල එක් එක් ලක්ෂ්‍යයද i, j, k ඇසුරින්ම ප්‍රකාශ කළ හැකියි. උදාහරණයක් ලෙස, R = 3i + 2j - 5k යන්න ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ලකුණු කළ විට එය එහි එක් ලක්ෂ්‍යයක් නේද? ඒ කියන්නේ දැන් ලක්ෂ්‍ය පිහිටුම් අගයන්ද දෛශික ලෙස හැසිරෙන බව සිතිය හැකිය (ඇත්තටම අවකාශයේ යම් ස්ථානයක්/ලක්ෂ්‍යයක් දෛශික නොවුණත්, එම ලක්ෂ්‍යය යම් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් ඇසුරින් ප්‍රකාශ කරන විට දැන් විස්තර කළ පරිදි දෛශික ගුණයක් මතු කරයි).

සමහර ක්ෂේත්‍ර අදිශ ක්ෂේත්‍ර (scalar field) වේ. එනම්, අවකාශයේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් ගත් විට, එම ලක්ෂ්‍යය මත සලකා බලන ගතිගුණය/රාශිය අදිශ වේ. යම් අවකාශයක් පුරා පැතිර තිබෙන උෂ්ණත්වය ඊට හොඳ උදාහරණයකි. උෂ්නත්වය යනු අදිශ රාශියක්නෙ. මෙවැනි අදිශ ක්ෂේත්‍රයක් ශ්‍රිතයක් මඟින් ආදර්ශනය කරන විට, ඊට අදිශ ලක්ෂ්‍ය ශ්‍රිතය (scalar point function) ලෙස කිව හැකියි. මෙවැනි ශ්‍රිතයකින් අවකාශය පුරා පැතිර තිබෙන අදිශ ක්ෂේත්‍රයේ ත්‍රීව්‍රතාව එම අවකාශයෙන් ඕනම ලක්ෂ්‍යයකට කොපමණදැයි කියයි. මෙවැනි ශ්‍රිතයක් f(R) ආදි ලෙස සංඛේතාත්මකව ලිවිය හැකිය (එහි තේරුම R නම් ලක්ෂ්‍යයේදී අදිශ අගය යන්නයි). වඩාත්ම නිවැරදිවම කියතොත් ග්‍රැඩ් ගණිත කර්මය සිදු කරන්නේ මෙවන් අදිශ ලක්ෂ්‍ය ශ්‍රිත මතයි.

සමහර ක්ෂේත්‍ර දෛශික ක්ෂේත්‍ර (vector field) වේ. එනම්, අවකාශයේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් ගත් විට, එම ලක්ෂ්‍යය මත සලකා බලන ගතිගුණය/රාශිය දෛශික වේ. යම් අවකාශයක් පුරා පැතිර තිබෙන විද්‍යුත් ක්ෂේත්‍රය ඊට හොඳ උදාහරණයකි. මෙවැනි දෛශික ක්ෂේත්‍රයක් ශ්‍රිතයක් මඟින් ආදර්ශනය කරන විට, ඊට දෛශික ලක්ෂ්‍ය ශ්‍රිතය (vector point function) යැයි කිව හැකිය. මෙවැනි ශ්‍රිතයකින් අවකාශයේ පැතිර තිබෙන දෛශික ක්ෂේත්‍රයේ ත්‍රීව්‍රතාව හා දිශාව එම අවකාශයේ ඕනම ලක්ෂ්‍යයකට කොපමණදැයි කියයි. f(R) හෝ f(R) ආදි ලෙස මෙවැනි ශ්‍රිතයක් සංඛේතවත් කළ හැකිය.

ඔබ විවිධ පතපොතෙහි හෝ අන්තර්ජාලයේ හෝ පහත ආකාරයේ බොහෝ රූප (යම් දත්ත නිරූපණයන්) දැක ඇතිවාට සැක නැත. ඒවා යම් ලක්ෂණයක/රාශියක ක්ෂේත්‍රවල පැතිරීමයි දක්වන්නේ. සමහරවිට රූපය විවිධ වර්ණවලින් ඇඳ තිබෙන අතර, එවිට එම වර්ණ වෙනස් වීමෙන් කියන්නේ ක්ෂේත්‍රයේ එක් එක් ලක්ෂ්‍යවල අගය/ත්‍රීව්‍රතාව වෙනස් වන විදියයි (මෙවිට ඒ ඒ වර්ණයට හිමි අගය පරාසයන් රූපයේ කෙලවරක දක්වා තිබේවි). අදිශ ක්ෂේත්‍ර මෙලෙස පෙන්වයි (වර්ණයකින් දිශාවක් පෙන්විය නොහැකි නිසා).

තවත් සමහර රූප විවිධ වර්ණවලින් නිරූපණය නොකර කුඩා ඊතලවලින් දක්වා තිබේවි. එවිට එම ඉරි කැබැල්ලේ දිගින් කියන්නේ එම ලක්ෂ්‍යයේ අගයේ විශාලත්වයයි. ඊතල හිසින් දිශාවක්ද පැවසිය හැකියි. ඒ අනුව දෛශික ක්ෂේත්‍ර නිරූපණය සඳහා මෙම ක්‍රමය යොදා ගැනේ.

මෙලෙස අවකාශීය/ජ්‍යාමිතික අර්ථයෙන් ගත් විට, ග්‍රැඩ් මඟින් සිදු කරන්නේ අවකාශය පුරා පැතිර තිබෙන ක්ෂේත්‍රයක් නියෝජනය/ආදර්ශනය කරන අදිශ ලක්ෂ්‍ය ශ්‍රිතයක වෙනස් වීමේ උපරිම සීඝ්‍රතාව සෙවීමයි. එය උදාහරණයකින්ම විස්තර කරමු.

ඔබට නැඟීමට කන්දක් ඇතැයි සිතන්න. වැඩි මහන්සි වීමකින් තොරව එය නැඟීමට අවශ්‍ය නම්, බෑවුම අඩුම දිශාව ඔස්සේ එය නැඟිය හැකියි (එවිට බෑවුම අඩු නිසා, ඔබට එය නැඟීමට අමාරු බවක් නොදැනේවි). එහෙත් මෙවිට උස වැඩි වන්නේ ඉතා සෙමින් නිසා (බෑවුම අඩු නිසා), මුලු කන්ද නැඟීමට විශාල කාලයක් ගත වේවි. ඔබට එය නැඟීමට අවශ්‍ය වන්නේ කෙටිම කාලයකින් නම්, කන්දේ බෑවුම වැඩිම දිශාව ඔස්සේ එය නැඟිය යුතුය. එහෙත් මෙවිට එය නැඟීමට අපහසුතාවද වැඩි වේ. දැන් ඔබට අවශ්‍ය වෙනවා යැයි සිතමු කන්දේ වැඩිම බෑවුම් පෙදෙස සොයන්නට. ගණිතමය වශයෙන් එය මේ අප කතා කරමින් සිටින ග්‍රැඩ් ගණිත කර්මය මඟින් සොයා දේ. මුලු කන්දේම මතුපිට සරල හෝ සංකීර්ණ ශ්‍රිතයකින් ආදර්ශ කළ හැකි නම්, එම ශ්‍රිතය ග්‍රැඩ් කළ විට, ඔබට ලැබෙන්නේ වැඩිම බෑවුම වේ.

පහත රූපය බලන්න. එහි රතු ඊතල මඟින් පෙන්වා තිබෙන්නේ ඒ පෙන්වා ඇති ලක්ෂ්‍යවල ග්‍රෙඩියන්ට් මඟින් ලැබූ දෛශික අගයන් වේ. උදාහරණයක් ලෙස, A ලෙස ලකුණු කර ඇති ලක්ෂ්‍යය සලකන්න. එම ලක්ෂ්‍යයේදි ශ්‍රිතය ග්‍රැඩ් කළ විට, එතැන ඊතලයෙන් පෙන්වා ඇති දිශාව ඔස්සේ (යම් විශාලත්වයකින් යුතු) දෛශිකය පවතී. එම ලක්ෂ්‍යයේදී වැඩිම ආනතිය තිබෙන්නේ එම දිශාවට ගමන් කරන විටයි. එලෙස අනෙක් ස්ථාන/ලක්ෂ්‍ය ගැනත් සිතන්න.

යම් දෙයක්/රාශියක් අවකාශය තුල වෙනස් වන විට, එම වෙනස/විචලනය අවකාශය පුරා ඒකාකාරවම වෙනස් නොවේ (එක එක තැන්වලින් විවිධ සීඝ්‍රතාවලින් විචලනය සිදු වේ). එම විචලනය ශ්‍රිතයකින් ආදර්ශනය කළ හැකි නම්, එම ශ්‍රිතය ග්‍රැඩ් කළ විට ඔබට එම විචලනය උපරිම සීඝ්‍රතාවෙන් සිදුවන ස්ථාන සොයා ගත හැකිය. සීඝ්‍රතාව යනු අගයක් නිසා ග්‍රැඩ් f යන දෛශිකයේ විශාලත්වය වන්නේ එම අගයයි. ග්‍රෙඩියන්ට් එකෙන් සීඝ්‍රතාව උපරිමව පවතින දිශාව තමයි ග්‍රැඩ් f හි දිශාව වන්නේ.

මෙලෙස ආදර්ශනය කිරීමට ගන්නා ශ්‍රිතය ඇන්දොත් (ජ්‍යාමිතිකව සැලකුවොත්) ත්‍රිමාන පෘෂ්ටයක් ලැබේ (බෝලයක මතුපිටද ත්‍රිමාන පෘෂ්ටයකි). ඉහත රූපයේ දක්වා තිබෙන්නේ එවැනි ශ්‍රිතයක පෘෂ්ටයකි. එවිට, එම පෘෂ්ටය මත යම් රේඛාවකින්/පථයකින් ග්‍රෙඩියන්ට් එක පෙන්වාවි. ඉහත රූපයේ ඊතල ළඟින් ළඟ ඇති ලක්ෂ්‍ය සඳහා ඇන්දොත් ඔබට මෙම පථය පැදිලිවම පෙනේවි. උදාහරණයක් ලෙස, එම රූපයේ C-A-D ලෙස කොලපාටින් ඇඳ ඇත්තේ එවැනි පථයකි (ආනතිය උපරිමව වෙනස් වන ගමන් මාර්ගය). ඇත්තෙන්ම විවිධ පැතිවලට මෙවැනි පථ විශාල ගණනක් ඇඳිය හැකියි.

ග්‍රෙඩියන්ට් ගණිත කර්මය සඳහාද සාම්‍යයන් කිහිපයක් ඇත. ඒවා පහත දැක්වේ. එහි පළමු සාම්‍යය තුල ඇත්තටම සාම්‍යයන් දෙකක් එකට කැටි කොට පවතී. එකක් නම් ශ්‍රිතයක් නියත පදයකින් ගුණ වී පවතින විට, ග්‍රැඩ් කරන්නට පෙර නියත පදය ඉවතට ගත හැකි බවයි. දෙවැන්න ශ්‍රිත දෙකක එකතුවක් හෝ අඩු කිරීමක් ග්‍රැඩ් කරන විට, ශ්‍රිත දෙක වෙන වෙනම ග්‍රැඩ් කර පසුව එම පිලිතුරු දෙක එකතු/අඩු කළ හැකි බවයි. දෙවැනි සාම්‍යයේදී අදිශ දෙකක් එකිනෙකට ගුණ කරන නිසා නැවත ලැබෙන්නේ අදිශයක්නෙ. ඒ කියන්නේ ග්‍රැඩ් කළ හැකියි. තෙවැනි සාම්‍යයේදී දෛශික ශ්‍රිත දෙකක් එකිනෙකට තිත් ගුණිතය සිදු කරයි. එවිට ලැබෙන්නේ අදිශයක්නෙ. එනිසා එයත් ග්‍රැඩ් කළ හැකියි. එහෙත් දෛශික දෙකක් කතිර ගුණිත කරන අවස්ථාවක් ග්‍රැඩ් කළ නොහැකියි මොකද කතිර ගුණිතයකදී ලැබෙන්නේ දෛශිකයකි (ඉතිං දෛශික ශ්‍රිතයක් බැහැනෙ ග්‍රැඩ් කරන්නට).