Skip to main content

දෛශික (vectors) - 5

්‍රැඩ්

මෙම ගණිත කර්මයේ දිගු ඉංග්‍රිසි නාමය gradient වන නිසා කෙටියෙන් grad ලෙස එය නම් කර ඇත. ඩෙල් කාරකය අදිශ ශ්‍රිතයක් මත ක්‍රියා කරන විට මෙම ගණිත කර්මය සිදු වේ. මාන 3ක් සහිත අවස්ථාවකුයි සලකා බලා තිබෙන්නේ. අදිශ ශ්‍රිතයක් මත මෙය සිදු වුවත්, ගණිත කර්මය සිදු වූ පසුව ලැබෙන්නේ දෛශික ශ්‍රිතයකි.

මෙහිදී අදිශ ශ්‍රිතය මත ඩෙල් කාරකය "ක්‍රියාත්මක වනවා" යනුවෙන් සිතිය යුතුය. ඒ කියන්නේ අදිශ ශ්‍රිතය ගෙන ඒ මත පළමුව ශ්‍රිතය තුල ඇති එක් විචල්‍යයකින් (x) අවකලනය කෙරේ (විචල්‍යයක් කිහිපයකින් යුතු ශ්‍රිතයක් නිසා එය ඉබේම පාර්ශ්වික අවකලනයකි). මෙවිට ලැබෙන්නේද අදිශයක්නෙ (f/x). එම අදිශය හා ඊට අනුරූප/අයිති ඒකක දෛශිකය (i) යන දෙක එක්කහුවී දෛශික ගුණාකරය සිදු කරයි. මෙවිට ලැබෙන්නේ දෛශිකයකි (i f/x). එලෙසම ශ්‍රිතයේ ඇති ඊළඟ විචල්‍යයටද එම පිලිවෙලින්ම එම ක්‍රියාවම සිදු කරනවා (නමුත් දෛශික ගුනාකාරය සිදු කරන්නේ ඊට අයිති ඒකක දෛශිකය සමඟින්ය). මෙලෙසම සියලු විචල්‍යය සමඟ එය සිදු කර අවසානයේ එම දෛශික අගයන් සියල්ල එකතු කරන්න. එවිට ලැබෙන්නේ ග්‍රේඩියන්ට් හෙවත් "ග්‍රැඩ් එෆ්" වේ. එය කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය ඔස්සේ නිරූපණය කෙරෙන දෛශිකයක් වේ (අප තවමත් කාටිසියානු පද්ධතිය පමනක් සලකා බලා ඇති නිසා අනෙක් ඛණ්ඩාංක පද්ධති ගැන දැනට අමතක කර දමා ඇත).

්‍රැඩ් තේරුම් ගත යුතු ආකාර දෙකක් තිබේ යැයි මා සිතනවා. එක් ක්‍රමයකදී ඇත්තටම කරන්නට තිබෙන්නේ අදිශ ශ්‍රිතය මත එය සිදු කර සුලු කර පිලිතුරක් ලබා ගැනීම පමණි. ගැඹුරින් සිතීමට දෙයක් එහි නැත. උදාහරණයක් ලෙස පහත සුලු කිරීම බලන්න. මෙහිදී නිසි පියවරවල් අනුගමනය කර අවසාන පිළිතුරක් ලබා ගැනීම ගැන පමණයි සිතුවේ. මෙම ක්‍රමය තරමක් වියුක්ත (abstract) වේ.

දෙවැනි ක්‍රමය තරමක් සංයුක්ත (concrete) වේ. එහිදී ඉහත ආකාරයට යම් පිළිතුරක් ලබා ගෙන සෑහීමකට පත් නොවී, ඇත්තටම සිදු වූයේ කුමක්දැයි සොයා බැලීමට උත්සහ කෙරේ. පිලිතුර විසින් සැබෑ ලෝකයේ කුමන සංසිද්ධියක් සිදු කළේදැයි සොයා බැලේ. අවකාශිය මාන ලෙස ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය ඇසුරින් සාදා ගත් i, j, k ආදි ඒකක දෛශික සැලකිය හැකි නිසා, ග්‍රැඩ් විසින් අවකාශය තුල ඇති කළ බලපෑම හෝ හඟවන අර්ථය මෙහිදී පැහැදිලි කෙරේ. එය ජ්‍යාමිතික පැහැදිලි කිරීමකි (මොකද අවකාශය හැමවිටම ජ්‍යාමිතියට මඟ පාදයි). මේ ගැන තව දුරටත් කල්පනා කර බලමු.

අවකාශය තුල යම් ගතිගුණයක/ලක්ෂණයක/රාශියක පැතිරීමක් (එනම් අවකාශයෙ එක් එක් ලක්ෂ්‍යයේ යම් ගතිගුණයක් පිළිබඳ අගයක් පැවතීම) අපට සැලකිය හැකියි ක්ෂේත්‍රයක් (field) ලෙස. උදාහරණයක් ලෙස, ඔබේ කාමරය සලකන්න (එය ත්‍රිමානයිනෙ). එම කාමරය තුල ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක උෂ්ණත්වමානයක් තැබූ විට එම ලක්ෂ්‍යයේ පවතින උෂ්නත්වය ඔබට ලැබේ. ඒ කියන්නේ කාමරය පුරාම උෂ්නත්ව ක්ෂේත්‍රයක් පවතනවා. විද්‍යාව තුල විද්‍යුත්, චුම්භක, විද්‍යුත්-චුම්භක, ගුරුත්වාකාර්ශන ආදි ලෙස ක්ෂේත්‍ර ගණනාවක්ම පවතනවා.

අවකාශයක ලක්ෂ්‍යවල පිහිටුම් නිවැරදිවම ප්‍රකාශ කළ හැකියිනෙ ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් ආශ්‍රයෙන්. එනිසා, ක්ෂේත්‍රය/අවකාශය තුල එක් එක් ලක්ෂ්‍යයද i, j, k ඇසුරින්ම ප්‍රකාශ කළ හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, R = 3i + 2j - 5k යන්න ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ලකුණු කළ විට එය එහි එක් ලක්ෂ්‍යයක් නේද? ඒ කියන්නේ දැන් ලක්ෂ්‍ය පිහිටුම් අගයන් දෛශික ලෙස හැසිරෙන බව සිතිය හැකිය (ඇත්තටම අවකාශයේ යම් ස්ථානයක්/ලක්ෂ්‍යයක් දෛශික නොවුණත්, එම ලක්ෂ්‍යය යම් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් ඇසුරින් ප්‍රකාශ කරන විට දැන් විස්තර කළ පරිදි දෛශික ගුණයක් මතු කරයි).

සමහර ක්ෂේත්‍ර අදිශ ක්ෂේත්‍ර (scalar field) වේ. එනම්, අවකාශයේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් ගත් විට, එම ලක්ෂ්‍යය මත සලකා බලන ගතිගුණය/රාශිය අදිශ වේ. යම් අවකාශයක් පුරා පැතිර තිබෙන උෂ්ණත්වය ඊට හොඳ උදාහරණයකි. උෂ්නත්වය යනු අදිශ රාශියක්නෙ. මෙවැනි අදිශ ක්ෂේත්‍රයක් ශ්‍රිතයක් මඟින් ආදර්ශනය කරන විට, ඊට අදිශ ලක්ෂ්‍ය ශ්‍රිතය (scalar point function) ලෙස කිව හැකියි. මෙවැනි ශ්‍රිතයකින් අවකාශය පුරා පැතිර තිබෙන අදිශ ක්ෂේත්‍රයේ ත්‍රීව්‍රතාව එම අවකාශයෙන් ඕනම ලක්ෂ්‍යයකට කොපමණදැයි කියයි. මෙවැනි ශ්‍රිතයක් f(R) ආදි ලෙස සංඛේතාත්මකව ලිවිය හැකිය (එහි තේරුම R නම් ලක්ෂ්‍යයේදී අදිශ අගය යන්නයි). වඩාත්ම නිවැරදිවම කියතොත් ග්‍රැඩ් ගණිත කර්මය සිදු කරන්නේ මෙවන් අදිශ ලක්ෂ්‍ය ශ්‍රිත මතයි.

සමහර ක්ෂේත්‍ර දෛශික ක්ෂේත්‍ර (vector field) වේ. එනම්, අවකාශයේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් ගත් විට, එම ලක්ෂ්‍යය මත සලකා බලන ගතිගුණය/රාශිය දෛශික වේ. යම් අවකාශයක් පුරා පැතිර තිබෙන විද්‍යුත් ක්ෂේත්‍රය ඊට හොඳ උදාහරණයකි. මෙවැනි දෛශික ක්ෂේත්‍රයක් ශ්‍රිතයක් මඟින් ආදර්ශනය කරන විට, ඊට දෛශික ලක්ෂ්‍ය ශ්‍රිතය (vector point function) යැයි කිව හැකිය. මෙවැනි ශ්‍රිතයකින් අවකාශයේ පැතිර තිබෙන දෛශික ක්ෂේත්‍රයේ ත්‍රීව්‍රතාව හා දිශාව එම අවකාශයේ ඕනම ලක්ෂ්‍යයකට කොපමණදැයි කියයි. f(R) හෝ f(R) ආදි ලෙස මෙවැනි ශ්‍රිතයක් සංඛේතවත් කළ හැකිය.

ඔබ විවිධ පතපොතෙහි හෝ අන්තර්ජාලයේ හෝ පහත ආකාරයේ බොහෝ රූප (යම් දත්ත නිරූපණයන්) දැක ඇතිවාට සැක නැත. ඒවා යම් ලක්ෂණයක/රාශියක ක්ෂේත්‍රවල පැතිරීමයි දක්වන්නේ. සමහරවිට රූපය විවිධ වර්ණවලින් ඇඳ තිබෙන අතර, එවිට එම වර්ණ වෙනස් වීමෙන් කියන්නේ ක්ෂේත්‍රයේ එක් එක් ලක්ෂ්‍යවල අගය/ත්‍රීව්‍රතාව වෙනස් වන විදියයි (මෙවිට ඒ ඒ වර්ණයට හිමි අගය පරාසයන් රූපයේ කෙලවරක දක්වා තිබේවි). අදිශ ක්ෂේත්‍ර මෙලෙස පෙන්වයි (වර්ණයකින් දිශාවක් පෙන්විය නොහැකි නිසා).

තවත් සමහර රූප විවිධ වර්ණවලින් නිරූපණය නොකර කුඩා ඊතලවලින් දක්වා තිබේවි. එවිට එම ඉරි කැබැල්ලේ දිගින් කියන්නේ එම ලක්ෂ්‍යයේ අගයේ විශාලත්වයයි. ඊතල හිසින් දිශාවක්ද පැවසිය හැකියි. ඒ අනුව දෛශික ක්ෂේත්‍ර නිරූපණය සඳහා මෙම ක්‍රමය යොදා ගැනේ.

මෙලෙස අවකාශීය/ජ්‍යාමිතික අර්ථයෙන් ගත් විට, ග්‍රැඩ් මඟින් සිදු කරන්නේ අවකාශය පුරා පැතිර තිබෙන ක්ෂේත්‍රයක් නියෝජනය/ආදර්ශනය කරන අදිශ ලක්ෂ්‍ය ශ්‍රිතය වෙනස් වීමේ උපරිම සීඝ්‍රතාව සෙවීමයි. එය උදාහරණයකින්ම විස්තර කරමු.

ඔබට නැඟීමට කන්දක් ඇතැයි සිතන්න. වැඩි මහන්සි වීමකින් තොරව එය නැඟීමට අවශ්‍ය නම්, බෑවුම අඩුම දිශාව ඔස්සේ එය නැඟිය හැකියි (එවිට බෑවුම අඩු නිසා, ඔබට එය නැඟීමට අමාරු බවක් නොදැනේවි). එහෙත් මෙවිට උස වැඩි වන්නේ ඉතා සෙමින් නිසා (බෑවුම අඩු නිසා), මුලු කන්ද නැඟීමට විශාල කාලයක් ගත වේවි. ඔබට එය නැඟීමට අවශ්‍ය වන්නේ කෙටිම කාලයකින් නම්, කන්දේ බෑවුම වැඩිම දිශාව ඔස්සේ එය නැඟිය යුතුය. එහෙත් මෙවිට එය නැඟීමට අපහසුතාව වැඩි වේ. දැන් ඔබට අවශ්‍ය වෙනවා යැයි සිතමු කන්දේ වැඩිම බෑවුම් පෙදෙස සොයන්නට. ගණිතමය වශයෙන් එය මේ අප කතා කරමින් සිටින ග්‍රැඩ් ගණිත කර්මය මඟින් සොයා දේ. මුලු කන්දේම මතුපිට සරල හෝ සංකීර්ණ ශ්‍රිතයකින් ආදර්ශ කළ හැකි නම්, එම ශ්‍රිතය ග්‍රැඩ් කළ විට, ඔබට ලැබෙන්නේ වැඩිම බෑවුම වේ.

පහත රූපය බලන්න. එහි රතු ඊතල මඟින් පෙන්වා තිබෙන්නේ ඒ පෙන්වා ඇති ලක්ෂ්‍යවල ග්‍රෙඩියන්ට් මඟින් ලැබූ දෛශික අගයන් වේ. උදාහරණයක් ලෙස, A ලෙස ලකුණු කර ඇති ලක්ෂ්‍යය සලකන්න. එම ලක්ෂ්‍යයේදි ශ්‍රිතය ග්‍රැඩ් කළ විට, එතැන ඊතලයෙන් පෙන්වා ඇති දිශාව ඔස්සේ (යම් විශාලත්වයකින් යුතු) දෛශිකය පවතී. එම ලක්ෂ්‍යයේදී වැඩිම ආනතිය තිබෙන්නේ එම දිශාවට ගමන් කරන විටයි. එලෙස අනෙක් ස්ථාන/ලක්ෂ්‍ය ගැනත් සිතන්න.

යම් දෙයක්/රාශියක් අවකාශය තුල වෙනස් වන විට, එම වෙනස/විචලනය අවකාශය පුරා ඒකාකාරවම වෙනස් නොවේ (එක එක තැන්වලින් විවිධ සීඝ්‍රතාවලින් විචලනය සිදු වේ). එම විචලනය ශ්‍රිතයකින් ආදර්ශනය කළ හැකි නම්, එම ශ්‍රිතය ග්‍රැඩ් කළ විට ඔබට එම විචලනය උපරිම සීඝ්‍රතාවෙන් සිදුවන ස්ථාන සොයා ගත හැකිය. සීඝ්‍රතාව යනු අගයක් නිසා ග්‍රැඩ් f යන දෛශිකයේ විශාලත්වය වන්නේ එම අගයයි. ග්‍රෙඩියන්ට් එකෙන් සීඝ්‍රතාව උපරිමව පවතින දිශාව තමයි ග්‍රැඩ් f හි දිශාව වන්නේ.

මෙලෙස ආදර්ශනය කිරීමට ගන්නා ශ්‍රිතය ඇන්දොත් (ජ්‍යාමිතිකව සැලකුවොත්) ත්‍රිමාන පෘෂ්ටයක් ලැබේ (බෝලයක මතුපිටද ත්‍රිමාන පෘෂ්ටයකි). ඉහත රූපයේ දක්වා තිබෙන්නේ එවැනි ශ්‍රිතයක පෘෂ්ටයකි. එවිට, එම පෘෂ්ටය මත යම් රේඛාවකින්/පථයකින් ග්‍රෙඩියන්ට් එක පෙන්වාවි. ඉහත රූපයේ ඊතල ළඟින් ළඟ ඇති ලක්ෂ්‍ය සඳහා ඇන්දොත් ඔබට මෙම පථය පැදිලිවම පෙනේවි. උදාහරණයක් ලෙස, එම රූපයේ C-A-D ලෙස කොලපාටින් ඇඳ ඇත්තේ එවැනි පථයකි (ආනතිය උපරිමව වෙනස් වන ගමන් මාර්ගය). ඇත්තෙන්ම විවිධ පැතිවලට මෙවැනි පථ විශාල ගණනක් ඇඳිය හැකියි.

්‍රෙඩියන්ට් ගණිත කර්මය සඳහාද සාම්‍යයන් කිහිපයක් ඇත. ඒවා පහත දැක්වේ. එහි පළමු සාම්‍යය තුල ඇත්තටම සාම්‍යයන් දෙකක් එකට කැටි කොට පවතී. එකක් නම් ශ්‍රිතයක් නියත පදයකින් ගුණ වී පවතින විට, ග්‍රැඩ් කරන්නට පෙර නියත පදය ඉවතට ගත හැකි බවයි. දෙවැන්න ශ්‍රිත දෙකක එකතුවක් හෝ අඩු කිරීමක් ග්‍රැඩ් කරන විට, ශ්‍රිත දෙක වෙන වෙනම ග්‍රැඩ් කර පසුව එම පිලිතුරු දෙක එකතු/අඩු කළ හැකි බවයි. දෙවැනි සාම්‍යයේදී අදිශ දෙකක් එකිනෙකට ගුණ කරන නිසා නැවත ලැබෙන්නේ අදිශයක්නෙ. ඒ කියන්නේ ග්‍රැඩ් කළ හැකියි. තෙවැනි සාම්‍යයේදී දෛශික ශ්‍රිත දෙකක් එකිනෙකට තිත් ගුණිතය සිදු කරයි. එවිට ලැබෙන්නේ අදිශයක්නෙ. එනිසා එයත් ග්‍රැඩ් කළ හැකියි. එහෙත් දෛශික දෙකක් කතිර ගුණිත කරන අවස්ථාවක් ග්‍රැඩ් කළ නොහැකියි මොකද කතිර ගුණිතයකදී ලැබෙන්නේ දෛශිකයකි (ඉතිං දෛශික ශ්‍රිතයක් බැහැනෙ ග්‍රැඩ් කරන්නට).

Comments

  1. 1. අදිශ කීපයක් එකට ගොනුවීමෙන් දෛශිකයක් හැදෙනවා.
    දෛශික කීපයක් එකට ගොනුවී න්‍යාසයක් හැදෙනවා
    න්‍යාස කිහිපයක් ගොනු වීමෙන් හැදෙන ව්‍යුහයට කියන නම මොකක්ද?

    2.අදිශයක් භෞතිකව නිරූපනය කරන්නේ ප්‍රමාණයකින්.
    දෛශිකයක් නිරූපනය කරන්නේ විශාලත්වයක් හා දිශාවක් ඇති දෙයකින්.
    න්‍යාසයක් අනුරූප වන්නේ කුමකයද?

    ReplyDelete
    Replies
    1. අදිශ කිහිපයක් එකට ගොනු වීමෙන් දෛශිකයක් සෑදෙනවා යන්නට මං එකඟ නැත.

      දෛශික කිහිපයක් එකට ගොනු වීමෙන් න්‍යාසයක් හැදෙනවා යන්ටත් මං එකඟ නැත.

      එනිසා න්‍යාස කිහිපයක් එකට ගොනු වීමෙන් කුමක් සෑදේද යන්නට මං පිලිතුරක් දන්නේ නැත.

      න්‍යාසයක් යනු සංඛ්‍යා පද්ධතියක් නිරූපණය කරන යම් ක්‍රමවේදයකි. සමගාමි සමීකරණ විසඳීමටත් එය යොදා ගැනීමට හැකිය. යම් බේසිස් එකකින් යුතු දෛශික නිරූපණයටත් එය යොදා ගන්නවා. දෛශික පද්ධතියක් නිරූපණයටත් එය යොදා ගන්නවා. එය බහුකාර්ය උපක්‍රමයක් ලෙසයි මා දකින්නේ. ඔබේ අදහස කුමක්ද?

      Delete

Post a Comment

Thanks for the comment made on blog.tekcroach.top

Popular posts from this blog

දන්නා සිංහලෙන් ඉංග්‍රිසි ඉගෙන ගනිමු - පාඩම 1

මෙම පොත (පාඩම් මාලාව) පරිශීලනය කිරීමට ඔබට එදිනෙදා සිංහල භාෂාව භාවිතා කිරීමේ හැකියාව හා සාමාන්‍ය බුද්ධිය පමණක් තිබීම අවම සුදුසුකම ලෙස මා සලකනවා.  තවද, ඇසෙන පරිදි ඉංග්‍රීසි අකුරින් ලිවීමට හැකිවීම හා ඉංග්‍රීසියෙන් ලියා ඇති දෙයක් කියවීමට හැකි නම්, ඔබට මෙතැන් සිට මෙම පාඩම් මාලාව කියවා ඉගෙන ගත හැකිය.  ඔබට එසේ ඉංග්‍රීසි කියවීම හා ලිවීම ගැන දැනීමක් දැනටමත් නොමැත්තේ නම්, කරුණාකර මෙ‍ම පොතෙහි “අතිරේකය - 1 ”  බලා පළමුව එම හැකියාව ඇති කරගන්න.  තවද, හැකි පමණ ඉංග්‍රීසි වචනද පාඩම් කරගන්න. ඔබ හිතවතෙකුගේ නිවසකට හෝ වෙනත් පිටස්තර තැනකට යන විටෙක හැසිරෙන්නේ ඔබට අවශ්‍ය විදියටම නෙමේ නේද?  එනම්, පිට නිවසකට ගිය විට අහවල් පුටුව තිබෙන තැන හරි නැහැ, අහවල් එක මෙහෙම තිබෙන්නට ඕනෑ ආදී ලෙස ඔවුනට පවසන්නේ නැහැ, මොකද අප සිටින්නේ අනුන්ගේ තැනක නිසා.  එලෙසම, ඉංග්‍රීසි භාෂාව යනු සිංහල නොවේ.  ඔබ කැමැති වුවත් නැතත් ඉංග්‍රීසි ඉගෙනීමේදීද අප ඉංග්‍රීසි ව්‍යාකරණ රීති හා රටා එපරිද්දෙන්ම උගත යුතුය.  එනම්, සෑම සිංහල වගන්ති රටාවක්ම ඉංග්‍රීසියට ඔබ්බන්නට නොව, ඉංග්‍රීසියේ ඇති රටා ඔබ දන්නා සිංහල භාෂාව තුළින් ඉගෙනීමට උත්සහ කළ යුතුය. 

කතාවක් කර පොරක් වන්න...

කෙනෙකුගේ ජීවිතය තුල අඩුම වශයෙන් එක් වතාවක් හෝ කතාවක් පිරිසක් ඉදිරියේ කර තිබෙනවාට කිසිදු සැකයක් නැත. පාසැලේදී බලෙන් හෝ යම් සංගම් සැසියක හෝ රැස්වීමක හෝ එම කතාව සමහරවිට සිදු කර ඇති. පාසලේදී කතා මඟ හැරීමට ටොයිලට් එකේ සැඟවුනු අවස්ථාද මට දැන් සිහිපත් වේ. එහෙත් එදා එසේ කතා මඟ හැරීම ගැන අපරාදේ එහෙම කළේ යැයි අද සිතේ. යහලුවන් ඉදිරියේ "පොර" වෙන්න තිබූ අවස්ථා මඟ හැරුණේ යැයි දුකක් සිතට නැඟේ. ඇත්තටම කතාවක් කිරීම "පොර" කමකි. දක්ෂ කතිකයන්ට සමාජයේ ඉහල වටිනාකමක් හිමි වේ. පාසැලේදී වේවා, මඟුලක් අවමඟුලක් හෝ වෙනත් ඕනෑම සමාජ අවස්ථාවකදී වේවා දේශපාලන වේදිකාව මත වේවා කතාවක් කිරීමේදී පිලිපැදිය යුත්තේ සරල පිලිවෙතකි. එහෙත් එම සරල පිලිවෙත තුල වුවද, තමන්ගේ අනන්‍යතාව රඳවන කතාවක් කිරීමට කාටත් හැකිය. පුද්ගලයාගෙන් පුද්ගලයා වෙනස් වේ. එම වෙනස ප්‍රසිද්ධ කතා (public speaking) තුලද පවත්වාගත හැකිය. මේ ගැන මට ලිපියක් ලියන්නට සිතුනේ මාගේ මිතුරෙකුට ප්‍රසිද්ධ කතාවක් කිරීමට අවශ්‍ය වී, ඒ ගැන මේ ළඟ දවසක අප පැයක් පමණ සිදු කළ සංවාදයක් නිසාය. මා ප්‍රසිද්ධ දේශකයකු නොවුණත් මේ විෂය සම්බන්දයෙන් පාසැල් කාලයේ සිටම පත

දන්නා සිංහලෙන් ඉංග්‍රිසි ඉගෙන ගනිමු - අතිරේකය 1

මූලික ඉංග්‍රීසි ලිවීම හා කියවීම ඉංග්‍රීසියෙන් ලියන්නේ හා ඉංග්‍රීසියෙන් ලියා ඇති දෙයක් කියවන්නේ කෙසේද?  ඉංග්‍රීසිය ඉගෙනීමට පෙර ඔබට මෙම හැකියාව තිබිය යුතුමය.  එය එතරම් අපහසු දෙයක්ද නොවේ.  ඔබේ උනන්දුව හොඳින් ‍තිබේ නම්, පැය කිහිපයකින් ඔබට මෙම හැකියාව ඇති කර ගත හැකිය.  මුල සිට පියවරෙන් පියවර එය උගන්වන්නම්.   මුලින්ම මිනිසා භාෂාවක් භාවිතා කළේ ශබ්දයෙන් පමණි.  එනම් ලිඛිත භාෂාව ඇති වූයේ පසු කාලයකදීය.  කටින් නිකුත් කරන ශබ්ද කනින් අසා ඔවුන් අදහස් උවමාරු කර ගත්තා.  පසුව ඔවුන්ට වුවමනා වුණා මෙම ශබ්ද කොලයක හෝ වෙනත් දෙයක සටහන් කර ගන්නට.  ඒ සඳහායි අකුරු නිර්මාණය කර ගත්තේ.  එම අකුරු නියෝජනය කරන්නේ ශබ්දයි .  මෙසේ මූලික අකුරු කිහිපයක් ඔවුන් එක එක භාෂාව සඳහා නිර්මාණය කර ගත්තා.  ඉංග්‍රීසියේදී මෙලෙස මූලික අකුරු 26ක් ඇත.   එය ඉංග්‍රීසි හෝඩිය ලෙස හැඳින් වෙනවා. අප ඉගෙන ගත යුත්තේ මෙම අකුරු මඟින් නියෝජනය කෙරෙන ශබ්ද මොනවාද යන්නයි.  එවිට ඔබට ඉංග්‍රීසි ලිවීමට හා කියවීමට හැකි වෙනවා.  ඊට පෙර අප අකුරු 26 දැනගත යුතුයි.  එම අකුරු 26 පහත දක්වා ඇත.  ඉංග්‍රීසියේදී සෑම අකුරක්ම “සිම්පල්” හා “කැපිටල්” ලෙස දෙයාකාර

දෛශික (vectors) - 1

එදිනෙදා ජීවිතයේදිත් විද්‍යාවේදිත් අපට විවිධාකාරයේ අගයන් සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදු වෙනවා . ඉන් සමහරක් නිකංම සංඛ්‍යාවකින් ප්‍රකාශ කළ හැකි අගයන්ය . අඹ ගෙඩි 4 ක් , ළමයි 6 දෙනෙක් ආදී ලෙස ඒවා ප්‍රකාශ කළ හැකියි . තවත් සමහර අවස්ථාවලදී නිකංම අගයකින් / සංඛ්‍යාවකින් පමණක් ප්‍රකාශ කළ නොහැකි දේවල් / රාශි (quantity) හමු වේ . මෙවිට “මීටර්” , “ තත්පර” , “ කිලෝග්‍රෑම්” වැනි යම් ඒකකයක් (unit) සමඟ එම අගයන් පැවසිය යුතුය ; නැතිනම් ප්‍රකාශ කරන අදහස නිශ්චිත නොවේ . උදාහරණයක් ලෙස , “ මං 5 කින් එන්නම්” යැයි කී විට , එම 5 යනු තත්පරද , පැයද , දවස්ද , අවුරුදුද ආදි ලෙස නිශ්චිත නොවේ . මේ දෙවර්ගයේම අගයන් අදිශ (scalar) ලෙස හැඳින්වේ . අදිශයක් හෙවත් අදිශ රාශියක් යනු විශාලත්වයක් පමණක් ඇති දිශාවක් නැති අගයන්ය . ඔබේ වයස කියන විට , “ උතුරට 24 යි , නැගෙනහිරට 16 යි” කියා කියන්නේ නැහැනෙ මොකද දිශාව යන සාධකය / කාරණය වයස නමැති රාශියට වැදගත්කමක් නැත . එහෙත් සමහර අවස්ථා තිබෙනවා අගයක් / විශාලත්වයක් (magnitude) මෙන්ම දිශාවක්ද (direction) පැවසීමට සිදු වන . මෙවැනි රාශි දෛශික (vector) ලෙස හැඳින්වේ . උදාහරණයක් ලෙස , ඔබ යම් “බලයක්

දැනගත යුතු ඉංග්‍රිසි වචන -1

ඉංග්‍රිසි බස ඉගැනීමේදී වචන කොපමණ උගත යුතුද, එම වචන මොනවාදැයි බොහෝ දෙනෙකුට මතුවන ගැටලුවක් වන අතර, බොහෝ දෙනා ඊට විවිධ පිලිතුරුද සපයා ඇත. මේ ගැන හොඳින් පරීක්ෂණය කර ඇමරිකානු ආයතනයක් විසින් වචන 5000ක ලැයිස්තුවක් ඉදිරිපත් කර ඇත. එම ලැයිස්තුව මා කෙටස් දෙකකට (දිගු වැඩි නිසා) සිංහල තේරුම්ද සහිතව ඉදිරිපත් කර ඇත. (මේවා සැකසුවත් සෝදුපත් බලා නැති නිසා සුලු සුලු දෝෂ සමහරවිට තිබිය හැකිය). පහත ලැයිස්තුවේ වචන 2500ක් ඇත.    Word    තේරුම        be    ඉන්නවා    and    හා    of    ගේ    in    තුල    to    ට    have    තියෙනවා    to    ට    it    ඒක, ඌ    I    මම    that    ... කියලා, ඒ/අර, ඒක/අරක    for    සඳහා    you    ඔබ, ඔබලා    he    ඔහු    with    සමඟ    on    මත    do    කරනවා, "මෙව්ව කරනවා"    say    කියනවා    this    මේ, මේක    they    උන්, ඒවා, ඒගොල්ලෝ    at    දෙස, අසල    but    නමුත්    we    අපි    his    ඔහුගේ    from    සිට, ගෙන්    not    නැහැ    by    විසින්, මඟින්    she    ඇය    or    හෝ, හෙවත්    as    විට, නිසා, වශයෙන්    what    මොකක්ද,