අවකලනය (differentiation) - 2

අවකලනය යනු…

අවකලනය යනු ශ්‍රිතයක ස්වායත්ත විචල්‍යට සාපේක්ෂව පරායත්ත විචල්‍යය වෙනස් වීමේ සීඝ්‍රතාව (rate of change) සොයන ගණිත කර්මයයි. තවත් අයුරකින් කියතොත්, ශ්‍රිතයේ ස්වායත්ත විචල්‍යය යම් ප්‍රමාණයකින් වෙනස් කළ විට කොතරම් ප්‍රමාණයකින් පරායත්ත විචල්‍යය වෙනස් වන්නේද යන්න සෙවීමයි. මෙය තවදුරටත් උදාහරණයක් ආශ්‍රයෙන් පැහැදිලි කර ගමු.

y = 2x යන ශ්‍රිතය සලකන්න. මෙහි x නම් ස්වායත්ත විචල්‍යය වෙනස් කරන විට y නම් පරායත්ත විචල්‍යය වෙනස් වන්නේ එම x වෙනස් වන අගය මෙන් දෙගුණයක සීඝ්‍රතාවකිනි. මෙම ශ්‍රිතය බැලූ ගමන්ම එය කිව හැකියි මොකද මෙම ශ්‍රිතය එච්චරටම සරල නිසා. එහෙත් බහුතරයක් ඔබට හමුවන ශ්‍රිතවල එලෙස එකවරම ස්වායත්ත විචල්‍යයට සාපේක්ෂව පරායත්ත විචල්‍යය වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව පැවසිය නොහැකියි.

මතකයට

යම් ශ්‍රිතයක ස්වායත්ත (independent) විචල්‍යයට සාපෙක්ෂව පරායත්ත විචල්‍යයේ (dependent variables) වෙනස්වීම සොයන විදිය පහසුය. ස්වායත්ත විචල්‍ය යම් අගයක (x₁) සිට තවත් අගයක් (x₂) දක්වා වෙනස් කරන්න. එවිට ඔබට ස්වායත්ත විචල්‍යයේ වෙනස සොයා ගත හැකියි එම අගයන් දෙකෙහි වෙනස (x₂-x₁) ලබා ගැනීමෙන්. උදාහරණයක් ලෙස x විචල්‍යය 3 සිට 4 දක්වා වැඩි කළ විට වෙනස (4-3) හෙවත් 1 වේ.

යම් රාශියක "වෙනස" හැඟවීමට ක්‍රමයක්ද ගණිතයේ සම්මත කරගෙන ඇත. විචල්‍යයේ සංඛේතයට ඉදිරියෙන් ග්‍රීක් හෝඩියේ ඩෙල්ටා නම් අක්ෂරය යොදන්න (කැපිටල් ඩෙල්ටා හා සිම්පල් ඩෙල්ටා අකුරු දෙකෙන් ඕනෑම එකක් යෙදිය හැකියි). ඒ අනුව “x වල වෙනස" යන්න ∆x (කැපිටල් ඩෙල්ටා යොදා ගෙන) ලෙස හෝ ∂x (සිම්පල් ඩෙල්ටා යොදා ගෙන) ලෙස සංඛේතවත් කරනවා. ඒ අනුව ඉහත උදාහරණයේ ∆x = 4-3 = 1 වේ.

ස්වායත්ත විචල්‍යය එසේ වෙනස් වන විට, ඊට අනුරූපව පරායත්ත විචල්‍යයද වෙනස් වෙනවා. එනම්, x අගය x₁ වන විට y අගය y₁ වන අතර, x අගය x₂ වන විට y අගය y₂ වේ. එම වෙනස (y₂-y₁) නිරූපණය කරන්නේ පරායත්ත විචල්‍යයට ඉදිරියෙන් පුරුදු ලෙසම ඩෙල්ටා යෙදීමෙනි. පරායත්ත විචල්‍යය y නම්, පරායත්ත විචල්‍යයේ වෙනස ∆y වේ.

බලන්න x₂-x₁ නිසා, y₂-y₁ ලෙසයි වෙනස ගණනය කරන්නේ. ඔබ x හි වෙනස ලබා ගත්තේ x₁-x₂ ලෙස නම්, y හි වෙනස y₁-y₂ විය යුතුය.

දැන් ස්වායත්ත විචල්‍යය වෙනස් වීමේදී පරායත්ත විචල්‍යය වෙනස් වේ. වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව (rate of change) ලෙස අර්ථ දක්වා තිබෙන්නේ පරායත්ත විචල්‍යයේ වෙනස ස්වායත්ත විචල්‍යයේ වෙනසින් බෙදීම ලෙසයි.

 

උදාහරණයක් ලෙස y=2x යන සරල ශ්‍රිතයේ වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව සොයා බලමු.

* මෙම ශ්‍රිතයේ x අගය 2 සිට 4 දක්වා වැඩි කරන්න. එවිට ∆x = 4-2 = 2 වේ.

* මෙම වෙනස නිසා y හි ඇතිවන වෙනස කීයද? එය සෙවීමට y අගයන් ගණනය කරන්න එම ශ්‍රිතයේ x=4 හා x=2 වන විට. x=4 විට, y = 2x4 = 8 වේ; x=2 විට, y = 2x2 = 4 වේ.

* දැන් ∆y = 8-4 = 4 වේ.

* ඒ අනුව වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව හෙවත් ∆y/∆x = 8/4 = 2 වේ.

ඔබට හැකියි ඉහත ශ්‍රිතය ප්‍රස්ථාරගත කරන්නටත්. එවිට එම ප්‍රස්ථාරය ඇසුරිනුත් සීඝ්‍රතාව සෙවිය හැකියි. පහත ඇත්තේ y = 2x ට අදාල ප්‍රස්ථාරයයි. මෙම ප්‍රස්ථාරයෙන් ∆y/∆x සොයන අයුරු එහි ඇඳ තිබේ. x අක්ෂය දිගේ යම් වෙනසක් සලකන්න. එවිට එම x පරාසය තුළදී සිදුවන වෙනසට අනුරූප y වෙනස සොයන්න. ඉන්පසු ∆y/∆x ගණනය කරන්න.

මෙම වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව ප්‍රස්ථාරයේදී සරල රේඛාවකින් ඇඳ පෙන්වනවා (ඉහත රූපයේ මහතට නිල් පාටින් එය ඇඳ ඇත). එම රේඛාවෙන් ඇත්තටම ප්‍රස්ථාරයේ බෑවුමයි (slope) පෙන්වන්නේ. මෙලෙස ප්‍රස්ථාරයක බෑවුම හෙවත් වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව පෙන්වන රේඛාව ස්පර්ශකය (tangent) ලෙස හඳුන්වනවා.

y=2x නම් ශ්‍රිතයට අදාල ඉහත ප්‍රස්ථාරයේදී මෙම ස්පර්ශකය ප්‍රස්ථාර රේඛාව මත සමපාත වෙනවා. මෙම රේඛාවේ බෑවුම වැඩි වන විට, ඉන් හැඟවෙන්නේ ප්‍රස්ථාරයේ වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව වැඩි බවයි. පහත රූපයේ දැක්වෙන්නේ විවිධ ශ්‍රිත කිහිපයක් සඳහා ප්‍රස්ථාර කිහිපයකි. ඒවායේ සීඝ්‍රතාවන් හා හැඩයන් අතර පවතින සම්බන්ධතා රූපය බලා අවබෝධ කර ගන්න.

හරි... දැන් බලමු y=x² නම් ශ්‍රිතයේ වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව සොයන විදිය. ඔබට ගණිත ශ්‍රිත ගැන පූර්ව දැනුමක් හා හුරුවක් ඇත් නම් පමණක් මෙම ශ්‍රිතයේ බෑවුම ගැන එකවර අවබෝධ වේවි. එහෙත් එවැනි දැනුමක් හෝ හුරුවක් නැතිනම්, එකවර මෙහි බෑවුම පිළිබඳ අදහසක් පැන නොනැඟේ. එනිසා මේ ගැන පියවරින් පියවර සොයා බලමු.

මෙහි වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව ප්‍රස්ථාරය ඇසුරින් සොයා බලමු. y=x² හි ප්‍රස්ථාරය පහත ඇත. සුපුරුදු ලෙස ∆y/∆x ගණනය කර වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව සොයන්නට බලමු. x අගය 1 සිට 4 දක්වා වැඩි කරමු; එවිට ∆x = 4-1 = 3 වේ. x=1 වන විට y=1²=1 හා x=4 වන විට y=4²=16 වේ. එවිට ∆y = 16-1 = 15 වේ. එවිට වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව = ∆y/∆x = 15/3 වේ. මෙම සීඝ්‍රතාව සොයන්නට කළ දේවල් පහත ප්‍රස්ථාරයේද (රතු පාටින්) ඇඳ ඇත.

ඔබ දැන් සිතන්නේ y=x² ශ්‍රිතයේ වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව සොයා ගෙන අවසන් කියාද? එසේ සිතුවා නම් ඔබට වැරදිලා. ඊට හේතුව ඔබට පැහැදිලි වෙනවා ප්‍රස්ථාරය දෙස හොඳින් බැලුවොත්. මෙම ප්‍රස්ථාරය y=2x හි මෙන් සරල රේඛාවකින් ඇඳ තිබෙන ප්‍රස්ථාරයක් නොව, කෝප්පයක හැඩයක් සහිත වක්‍ර ප්‍රස්ථාරයකි. එනිසා එම ප්‍රස්ථාරයේ විවිධ තැන්වල බෑවුම විවිධ වේ. එම වෙනස් වෙනස් බෑවුම් කිහිපයක් (6ක්) පහත රූපයේ ඇඳ තිබේ.

ඒ කියන්නේ මෙවැනි ප්‍රස්ථාරයක එක සීඝ්‍රතාවක් නොව සීඝ්‍රතා විශාල ප්‍රමාණයක් තිබෙන බව නේද කියන්නේ? ඔව්. ඒ කියන්නේ ඔබට සිදු වෙනවා ඉහත ආකාරයට ගණනය කිරීම් සිය දහස් ගණනක් සිදු කරන්නට ප්‍රස්ථාරයේ විවිධ තැන්වල. සිතා බලන්න එය කොතරම් අපහසු දෙයක් වේවිද කියා. එහෙත් මෙය තත්පර කිහිපයකින් විසඳිය හැකියි අවකලනය නම් ගණිත කර්මය සිදු කළොත්. ඉවසන්න, එය කරන හැටි තව මොහොතකින් පැහැදිලි කරනවා.

පහත රූපය බලන්න. එහි x වල කුඩා වෙනසක් හා ඊට අනුරූප y වල කුඩා වෙනසක් ලකුණු කොට ඇත. මෙම වෙනස්කම් දෙකෙන් ∆y/∆x ගණනය කර යම් වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාවක්ද ලබා ගත හැකියි. එහෙත් ඔබට පේනවා එලෙස ගණනය කළ සීඝ්‍රතාව එතරම් නිවැරදි නොවන බව. ඊට හේතුව A හා B අතර කොටස තුලදීත් ප්‍රස්ථාරයේ වක්‍ර බව තිබෙන නිසා, එම කොටස තුලද සෑම ස්ථානයකම බෑවුම වෙනස් වීමයි (රතු පාට සරල ඍජු රේඛාවට සාපෙක්ෂව ප්‍රස්ථාරයේ වක්‍ර බව හොඳින් දර්ශනය වෙනවා). එහෙත් ඔබ දැන් සිදු කළේ ඒ සියලු බෑවුම් වෙනුවට එක් බෑවුමක් පමණක් "පොදුවේ" ලබා ගැනීමයි.

මෙය හරියට ඔබ ගමනක් යන වේගය මනින විට කරන දේමයි. ඔබ ගමන යන්නේ එකම වේගයකින් නොවේ. වෙලාවකදී වේගයෙන් යයි. තවත් වෙලාවකින් සෙමින් යයි. තවත් මොහොතක ටික වේලාවක් නැවතී සිටීමටද හැකියි. එහෙත් මුලු ගමන ගොස් අවසන් වූ පසු ඔබ ගමන් කළ මුලු දුර, ඒ ගමන සඳහා ගත වූ කාලයෙන් බෙදූ විට ලැබෙන අනුපාතයයි ඔබ ගමන් කළ වේගය ලෙස දක්වන්නේ. ඒ කියන්නේ ඔබ පවසන්නේ "සාමාන්‍ය වේගයයි" (average speed). එලෙසම ඉහත ප්‍රස්ථාරයේ සොයා බැලුවේ සාමාන්‍ය සීඝ්‍රතාවයි (average rate of change).

ගැටලුව වන්නේ ඇවරේජ් රේට් එක නිවැරදි නොවීමයි. එය නිවැරදි වීමට නම්, ස්වායත්ත විචල්‍යයේ වෙනස (∆x) තව දුරටත් කුඩා කළ යුතුය. එවිට ඉබේම ∆y ද කුඩා වේ. එවිට මතු වන ප්‍රශ්නය වන්නේ ∆x කොතරම් කුඩා කළ යුතුද යන්නයි. පිළිතුර වන්නේ පුලුවන් තරම් කුඩා කළ යුතුය යන්නයි. ඒ කියන්නේ ශූන්‍යයට ඉතාම ඉතා ආසන්න තරමට කුඩා අගයක් විය යුතුයි. එය ශූන්‍යයට ආසන්න වන්නට වන්නට ∆y/∆x සීඝ්‍රතාව වඩ වඩාත් නිවැරදි වේ. එහෙත් ∆x කිසිවිටක 0 බවට පත් විය නොහැකියි මොකද 0 යනු කිසිදු වෙනසක් නැත යන්නයි. කිසිදු වෙනසක් නැතිනම් වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාවක් ගැන කතා කළ නොහැකියිනෙ.

මතකයට

සීමා (Limit)

සීමාවක් යනු යම් දෙයක එක කෙළවරක්. සිතන්න යම් රාශියක් කිසිවිටක 0 විය නොහැකි වුවත් 0ට ඉතාම ඉතාම ඉතාම ආසන්න අගයක් තිබෙනවා කියා. සමහරවිට එය බිංදුවයි දශම බිංදුවයි බිංදුවයි ආදී වශයෙන් බිංදු ලක්ෂ කෝටි ගාණකට පසු 1 ලෙස ලිවිය හැකි තරමේ (0.000…..1) සිතා ගත නොහැකි තරමේ ශූන්‍යයට ඉතාම ආසන්න අගයකි. එහෙත් එය 0ට සමාන විය නොහැකියි. මෙවන් අවස්ථාවල 0 යනු සීමාවක් ලෙසයි ගණිතයේදී සලකන්නේ. ගණිත සීමාවක් හරියට ගොඩනැඟිල්ලක වහලය බඳුයි. ගොඩනැඟිල්ල තුල ඔබ යමක් ඉහලට විසි කළොත් ඊට යා හැකි වැඩිම උස වහලය දක්වා පමණි. ඒ කියන්නේ වහලය යනු සීමාවක්.

සීමා ගැන සිතීමේදී ඇත්තටම අපව දාර්ශනික පැතිකඩකට රැගෙන යනවා. එදිනෙදා (විද්‍යාත්මක) පරිසරයේ/ජීවිතයේ අප පුරුදුව ඇත්තේ ඔව්-නැහැ හෝ සත්‍ය-අසත්‍ය යන ද්වි-ස්වභාවයටය. යමක් සත්‍ය නම් එය අසත්‍ය විය නොහැකියි. යමක් ඔව් නම් එය නැහැ විය නොහැකියි. ඔබ අප තර්ක කරන්නට හා සිතන්නට පුරුදුව තිබෙන්නේ එවැනි රටාවකට නේද? උදාහරණයක් ලෙස, ඔබ උදේට කෑවාද කියා ප්‍රශ්නයක් නැඟුවොත් ඊට පිළිතුර එක්කෝ ඔව්ය; නැතහොත් නැහැය. ඔව්-නැහැ දෙකම එකට කිව නොහැකියිනෙ. එහෙත් යම් දෙයක/ප්‍රපංචයක/සංසිද්ධියක ඔව්-නැහැ (හෝ සත්‍ය-අසත්‍ය) දෙකම එකම මොහොතෙ තිබිය හැකියි.

ඉහත සීමා ගැන කතා කරන විටත් අපට හමුවන්නේ මෙවැනි ඔව්-නැහැ යන දෙකම එකට පවතින ලෝක ස්වභාවයකි. එනම්, යම් සංඛ්‍යාවක් යම් සීමාවක් කරා යන විට (උදාහරණයක් ලෙස x බිංදුවේ සීමාවට ගමන් කරන විට) එම සංඛ්‍යාව එක අතකින් කිසිවිටක එම සීමාකාරී අගය හා සමපාත නොවේ; එහෙත් එම සංඛ්‍යාව සීමාකාරි අගය මතට සමපාතද වේ. බැලූ බැල්ටම මේ දෙකම එකට සිදු විය නොහැකියි යැයි සිතුවත් සීමාවක් යනු එබඳු හැසිරීමක් පෙන්වන "විකාර" අවස්ථාවකි. මෙම අදහස හා සීමා ගැන මා පෙන්වා දුන් පරිදි තවත් සිතන්න. එවිට එම සංකල්ප ගැන ඔබට අමාරු බවක් හෝ ගුප්ත බවක් නොදැනේවි.

යම් රාශියක් යම් සීමාකාරි අගයක් දක්වා ගමන් කරනවා යැයි පවසන්නේ එම සීමාකාරි අගය එම රාශිය විසින් ලබා ගන්නවා යන්නයි. උදාහරණයක් ලෙස, x නම් රාශිය/විචල්‍යය 5 නම් සීමාකාරි අගයට ළං වෙනවා හෙවත් ගමන් කරනවා යනු, එම x විචල්‍යයේ අගය 5ට ඉතාම ආසන්න වන බවයි. එනම් x = 4.999999999999….9 වැනි දශමස්ථාන කෝටි ප්‍රකෝටි ගණනක් දක්වාම 9 ඇති අගයක් විය හැකියි.

"යම් රාශියක් යම් සීමාවක් කරා යනවා" යන්න ගණිතමය වශයෙන් නිරූපණය කරන්නේ x→5 ආදී ලෙසයි. එනම් → ලෙස ඊතලයක් මිස = ලකුණ යොදා ගන්නේ නැත.

ශ්‍රිතයක ස්වායත්ත විචල්‍යය යම් සීමාවකට ළං වෙන විට, එම ශ්‍රිතයේ පරායත්ත විචල්‍යයද ඉබේම යම් අගයක් දක්වා ගමන් කරනවා. මෙම අවස්ථාවද ගණිතයේ නිරූපණය කරන ක්‍රමයක් ඇත.

 

සමහරවිට lim වෙනුවට L ලෙස තනි කැපිටල් එල් අකුර යෙදිය හැකියි. එහෙමත් නැතිනම් සිංහලින් සීමා ලෙසද ලිවිය හැකියි. ඒ අනුව ඉහත සීමා ප්‍රකාශය කියවිය (හෝ තේරුම් ගත) යුත්තේ මෙසේය - “x යන්න 5 කරා ළං වන විට x² ශ්‍රිතයේ සීමාව කුමක්ද" ලෙසයි.

සීමාවක් කරා ළං විය හැකි ආකාරද දෙකක් තිබෙනවා. උදාහරණයක් ලෙස 3 යන සංඛ්‍යාව සීමාවක් කියා සිතමු. දැන් මෙම 3ට දෙපැත්තකින් ළං විය හැකියි. එකක් නම් 3ට අඩු පැත්තෙන් හෙවත් වම් අත පැත්තෙන් (left hand). අනෙක 3ට වැඩි පැත්තෙන් හෙවත් දකුණු අත පැත්තෙන් (right hand) සීමාකාරි අගයට ළං විය හැකියි. මෙහි වම් අත හා දකුණු අත ලෙස පැති හැඳින්වීමට හේතුව තාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව මත අගයන් ලකුණු කරන්නේ වම් පැත්තේ සිට දකුණු අත පැත්තට ක්‍රමයෙන් අගයන් වැඩි වන ආකාරයෙන් නිසාය. එනම් වමේ සිට දකුණට යන විට පළමුව හමුවන්නේ අඩු අගයන් සහිත සංඛ්‍යාය.

අඩු පැත්තෙන් ළං වෙනවා යනු 2.99........9 ලෙස ඉතාම කුඩා අගයකින් 3ට වඩා අඩු එහෙත් 3ට ඉතාම ආසන්න අගයයි. වැඩි පැත්තෙන් ළං වෙනවා යනු 3.00000................1 වැනි 3ට වැඩි එහෙත් 3ට ඉතාම ආසන්න අගයයි. මෙම දෙක වෙන් වශයෙන් හඳුනා ගැනීමට පහත ආකාරයට නිරූපණය ක්‍රමය සකස් කරගෙන ඇත.

අඩු පැත්තෙන්: x → 3^-

වැඩි පැත්තෙන්: x → 3⁺

එවිට සීමා ප්‍රකාශද ලිවිය හැකියි.

සීමා ප්‍රකාශයක් සුලු කිරීම හරිම පහසුයි. x→ 5 වැනි කොටස x=5 ලෙස සිතා ගණනය කරන්න. උදාහරණයක් ලෙස යන්න සුලු කරන්නේ x→5 යන්න x=5 යැයි සිතා දැන් මෙම 5 අගය x² හි x ට ආදේශ කරන්න. එවිට, 5² = 25 ලෙස ලැබේ. ඒ කියන්නේ වේ. පහත උදාහරණ කිහිපය බලන්න.

 

 

 

ඉහත අවසානයට දක්වපු උදාහරණය විශේෂයෙන් මතක තබා ගත යුතු දෙයකි (එම ප්‍රකාශය සාධනය කිරීමකින් තොරවම මා දක්වා තිබෙනවා).

∆x ශූන්‍ය කරා ගමන් කරවා එවිට ∆y/∆x ගණනය කිරීම මොහොතකට පෙර උගත් සීමා නිරූපණ ක්‍රමය අනුව ලියා දක්වන්නේ පහත ආකාරයටයි.

 

මෙලෙස කිරීමෙන් ලැබෙන වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව 100% ක්ම නිවැරදිය. එහෙත් මෙවිට වෙනත් ගැටලුවක් මතු වෙනවා. එනම්, ප්‍රස්ථාරය රේඛීය නොවේ නම්, මේ විදියට ලැබෙන බෑවුම වලංගු වන්නේ ප්‍රස්ථාරය මත එක් ලක්ෂ්‍යයකට පමණයි. එනිසාම මෙම වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව ක්ෂණික වෙනස් වීමේ සීඝ්‍රතාව (instantaneous rate of change) ලෙස ව්‍යවහාර වෙනවා. ඊට හේතුව සිතා ගත හැකියිනෙ. x අගය වෙනස් වීම හෙවත් ∆x කොච්චර කුඩාද යත් එය ප්‍රස්ථාර වක්‍රය මත එක කුඩා ඩොට් එකකි.

එවිට ප්‍රස්ථාර වක්‍රයේ ඩොට් එකෙන් ඩොට් එකට මෙලෙස ස්පර්ශක සෙවීමට සිදු වෙනවා නේද? එහෙත් එලෙස ඩොට් එකෙන් ඩොට් එකට ගණනය කිරීම ප්‍රායෝගික නැත.

ඊට යෙදූ කදිම උපක්‍රමයක් වන්නේ බෑවුමද නැවත යම් ශ්‍රිතයක් ආශ්‍රයෙන් ලිවීමයි. උදාහරණයක් ලෙස y=x² නම් ශ්‍රිතයේ ඕනෑම තැනක බෑවුම 2x නම් ශ්‍රිතයෙන් කිව හැකියි යැයි සිතමු. එවිට ඔබට දැන් හැකියි එම ප්‍රස්ථාරයේ ඔබ කැමති ඕනෑම තැනක බෑවුම (හෙවත් ස්පර්ශකය හෙවත් වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව) සොයන්න එම 2x නම් ශ්‍රිතයේ x වලට තමන්ට බෑවුම සොයන්නට අවශ්‍ය ස්ථානවල x අගයන් ආදේශ කිරීමෙන්. උදාහරණ කිහිපයක් බලමු. x=0 විට, 2x = 2(0) = 0 වේ. එනම් බෑවුම 0යි (ඒ කියන්නේ ස්පර්ශකය තිරස් රේඛාවකි). x=1 විට, 2x = 2(1) = 2 වේ; එනම් ප්‍රස්ථාරයේ x=1 නම් ස්ථානයේ බෑවුම 2 වේ. එලෙසම x=4 නම්, එතැන බෑවුම 2(4) = 8 වේ. x=-3 නම්, එතැන බෑවුම 2(-3) = -6 වේ. මේ ආදී ලෙස y=x² ප්‍රස්ථාරයේ ඔබට ඕනෑම තැනක බෑවුම පහසුවෙන් සෙවිය හැකියි නේද? ඔව්.

දැන් අප දන්නවා ඕනෑම හැඩයක් සහිත ප්‍රස්ථාරයක (එනම් ඕනෑම ශ්‍රිතයක) වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව සෙවීමටත් එම රේට් එක ඉදිරිපත් කළ යුතු ආකාරයත්. මේ දෙකම එකට සිද්ධ වෙන ක්‍රමය තමයි අවකලනය කියන්නේ. අවකලනය කළ විට ලැබෙන්නේ වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව වන අතර, ඉබේම අවකලන ගණිත කර්මය යම් ශ්‍රිතයකට යෙදූ විට ලැබෙන්නේ ඉහත පෙන්වා දුන් ශ්‍රිතයක් ආකාරයේ පිළිතුරකි.

ඇත්තෙන්ම මේ වන විටත් ඔබ අවකලනයේ ස්වරූපය දැක්කා (එහෙත් එම අවස්ථාවේදී මං එය පැවසුවේ නැහැ). දැන් බලමු කොහොමද ශ්‍රිතයක් අවකලනය කරන්නේ කියා.

 

ප්‍රමූලධර්මවලින් අවකලනය කිරීම

ප්‍රමූලධර්ම (fundamentals) යනු ප්‍රාථමිකම හෙවත් මූලිකම ක්‍රමවේදය යන තේරුම සහිත වචනයකි. ඒ කියන්නේ අප දැන් බලන්නට යන්නේ ප්‍රාථමික ආකාරයෙන් යම් ශ්‍රිතයක් අවකලනය කරන්නේ කෙසේදැයි පෙන්වීමටයි. මෙම ක්‍රමය දීර්ඝ හා සවිස්තාරාත්මකය. ප්‍රායෝගිකව යොදා ගන්නේද නැත මොකද අවකලනය ප්‍රායෝගිකව වෙනත් පහසු ආකාරවලින් ඉක්මනින් සිදු කර ගත හැකියි. එහෙත් ශ්‍රිතයක් අවකලනය කිරීම පියවරින් පියවර විස්තරාත්මකව පැහැදිලි කිරීමට ප්‍රමූලධර්මවලින් අවකලනය සිදු කිරීම ඉතා කදිමයි.

මතකද අවකලනය යන්න මීට කලින් හඳුන්වා දුන් ආකාරය? අවකලනයේදී සිදු වන්නේ යම් ශ්‍රිතයක ස්වායත්ත විචල්‍යය ඉතාම කුඩා ප්‍රමාණයකින් වෙනස් කරන විට, පරායත්ත විචල්‍ය ඊට සාපේක්ෂව කොතරම් සීඝ්‍රතාවකින් වෙනස් වන්නේද යන්න සොයා බැලීමයි. ස්වායත්ත විචල්‍යය ඉතාම කුඩා ප්‍රමාණයකින් වෙනස් කරනවා යැයි ව්‍යංගයෙන් අදහස් කරන්නේ ∆x→0 වන බවයි. ඒ කියන්නේ අවකලනය පහත ආකාරයට සීමා නිරූපණ ක්‍රමය මඟින් ඉදිරිපත් කළ හැකියි.

දැන් බලමු ප්‍රමූලධර්මවලින් ඉහත ගණිත කර්මය ප්‍රායෝගිකව සිදු කරන ආකාරය. උදාහරණය සඳහ y=x² යන සරල ශ්‍රිතය ගමු. x අගය x₁ වන විට y අගය y₁ ලෙස සිතමු. එවිට y₁ = x₁² වේ. දැන් x අගය x₂ දක්වා වෙනස් කරමු. එවිට y අගය y₂ වේ යැයි සිතමු. දැන් y₂ = x₂² වේ.

ඉහත සුලු කිරීමේදී අවසානයේ අපට ලැබී තිබෙන්නේ y=x² නම් ශ්‍රිතයේ අවකලනය කළ විට ලැබෙන පිළිතුරයි. ප්‍රමූලධර්මවලින් අවකලනය සිදු කරනනේ අන්න ඒ ආකාරයටයි. තවත් උදාහරණයක් බලමු. y = 3x³+5x²+9 ශ්‍රිතය අවකලනය කරන්න.

y = 3x³+5x²+9

∆y = [3(x+∆x)³ + 5(x+∆x)² + 9] – [3x³ + 5x² + 9]

= [3(x³+3x²(∆x)+3x(∆x)²+(∆x)³) + 5(x²+2x(∆x)+(∆x)² + 9)]

- [3x³ + 5x² + 9]

= [3x³+9x²(∆x)+9x(∆x)²+3(∆x)³ + 5x²+10x(∆x)+5(∆x)² + 9

- 3x³ - 5x² - 9]

= [9x²(∆x)+14(∆x)²+10x(∆x)+3(∆x)³+5(∆x)²]

∆y/∆x = [9x²(∆x)+14(∆x)²+10x(∆x)+3(∆x)³+5(∆x)²] / ∆x

= 9x²+14(∆x)+10x+3(∆x)²+5(∆x)

∆x → 0 විට,

∆y/∆x = 9x² + 14(0) + 10x + 3(0)² + 5(0) = 9x² + 10x

අවකලනය හා සම්බන්ධ විශේෂ වචන කිහිපයක් ඇත. යම් ශ්‍රිතයක් අවකලනය කරන හැම විටම, කුමන ස්වායත්ත විචල්‍යයට සාපේක්ෂව අවකලනය සිදු කරනවාද යන්න සඳහන් කළ යුතු වෙනවා. උදාහරණයක් ලෙස f(x) = 3x⁴+2x යන ශ්‍රිතයේ ස්වායත්ත විචල්‍යය x වේ. එවිට, අප පවසන්නේ "x විෂයට සාපේක්ෂව f(x) ශ්‍රිතය අවකලනය කරන්න"(differentiate f(x) with respect to x) කියාය. ශ්‍රිතය f(කාලය) = 2(කාලය)² නම්, එම ශ්‍රිතය කාලය විෂයෙන් අවකලනය කරනවා යැයි පවසනවා. මෙහි විෂය යන්න පදය යන්නට සමාන වචනයක් සේ සැලකීම සුදුසුය.

අවකලනයේදී අවසානයේ ලැබෙන පිළිතුර ව්‍යුත්පන්නය (derivative) ලෙස හැඳින්වෙනවා. උදාහරණයක් ලෙස f(x) = x² අවකලනය කළ විට ලැබෙන පිළිතුර වන්නේ 2x වේ. ඒ අනුව 2x යනු f(x) ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නයයි. එනිසා, "අවකලනය කරනවා" (differentiate) යන්න වෙනුවට "ව්‍යුත්පන්න කරනවා" (derive) යන වචනයද භාවිතා කළ හැකියි කැමති නම්.

අවකලනය යනු එකතු කිරීම, ලඝු වැනි තවත් ගණිත කර්මයකි. ඒ ඒ ගණිත කර්මය වෙන් වෙන්ව හඳුනා ගැනීමට විවිධ සංඛේත භාවිතා කරනවනෙ. එකතු කිරීම + වලින්ද, ලඝු ගණකය log හෝ ලඝු යන සංඛේතයෙන්ද ආදී වශයෙන් මතක් කර බලන්න ඔබ දන්නා ගණිත කර්මවල විවිධ සංඛේත. එලෙසම අවකලනය සඳහාත් සංඛේත ක්‍රමයක් හඳුන්වා දී තිබෙනවා. ඔබ ඉහතදී දුටුවා අවකලනය සීමා නිරූපණ ක්‍රමය ඔස්සේ  
  
වැනි ස්වරූපයකින් දැක්විය හැකි බව. තවද y වෙනුවට f(x) ආදේශ කළ හැකියි. එහෙත් මෙම නිරූපණ ක්‍රමය ලිවීමට තරමක් සංකීර්ණ නිසා ඊට වඩා සරල නිරූපණ ක්‍රමයක් (සංඛේතයක්) හඳුන්වා දී තිබෙනවා. එය පහත දැක්වේ (මෙහි d අකුරු 2ක් යොදා ගන්නවා; d අකුරු differentiate යන්න සිහි ගන්වනවා).

ඒ අනුව dy/dx යනු x විෂයෙන් y ශ්‍රිතයේ අවකලනයයි. dy හා dx යන පද දෙක අවකල (differential) ලෙස හැඳින්වෙනවා. සාමාන්‍යයෙන් dy/dx යන්න "y ශ්‍රිතය x විෂයෙන් අවකලනය කරන්න" යනුවෙන් කියවිය යුතු වුවත් එය දිග වැඩි නිසා "ඩී වයි ඩී එක්ස්" ලෙස එය ශබ්ද කරන පුරුද්දක් ඇත.

මීට අමතරව තවත් නිරූපණ ක්‍රමද තිබෙනවා අවකලනය දැක්වීමට. ශ්‍රිතයට ' යන සංඛේතය දැමූ විටද කියන්නේ එම ශ්‍රිතයේ අවකලනය බවයි. මෙම ' යන සංඛේතය prime (ප්‍රයිම්) ලෙස හැඳින්වෙනවා. ඒ අනුව පහත අවකලන දෙක "වයි ප්‍රයිම්" හා "එෆ් ප්‍රයිම් එක්ස්" ලෙසයි ශබ්ද කරන්නේ.

y'    f '(x)

අවකලනය පොදු සූත්‍රයක් ලෙස පත පොතෙහි සඳහන් වෙන්නේ පහත ආකාරවලටයි. මේ සියලු කාරණා ගැන තමයි ඔබ ඉහතදී ඉගෙන ගත්තෙත්.

ඉහත උදාහරණ දෙකක් පෙන්නුවා ප්‍රමූලධර්මවලින් අවකලනය කරන හැටි. එහෙත් එය පහසු නැත. වෙලාව බොහෝ ගත වෙනවා. එනිසා ඉක්මනින් හා පහසුවෙන් අවකලනය සිදු කිරීමටත් ක්‍රමවේද ගොඩ නඟා ගෙන තිබෙනවා. ඒ සඳහා අවකලන සාම්‍යයන් (differentiation identities) ඉගෙන ගෙන මතක තබා ගත යුතුය. ඒ ගැන දැන් විමසමු.