දෛශික (vectors) - 12

ද්විමාන ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය ත්‍රිමාන අවකාශයට ගැලපෙන ලෙස සකස් කළ විට එය සිලින්ඩර් ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය (Cylinder coordinates system) ලෙස හැඳින්වේ. ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ දැනට තිබෙන ඛණ්ඩාංක 2න් තලයක් (ද්විමාන අවකාශයක්) සෑදෙන නිසා, එම තලයට ලම්භකව අක්ෂයක් ඇතුලත් කළ විට සිලින්ඩර් ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය සෑදේ. එම අක්ෂය z ලෙස හැඳින්වේ. ඇත්තටම මෙම z අක්ෂය කාටිසියානු පද්ධතියේ z අක්ෂයම තමයි.

බිම (එනම්, ධ්‍රැවක පද්ධතියේ තලය මත) තිබෙන රවුමක් ඉහලට (z අක්ෂය ඔස්සේ) ඇද්ද හැකි නම් ඔබට බැරල් එකක් හෙවත් සිලින්ඩරයක හැඩය ලැබෙනවා නේද? මෙම ඛණ්ඩාංක පද්ධතියට එම නම ලැබී තිබෙන්නේ එනිසාය. r ඛණ්ඩාංකය නියත විට (අනෙක් ඛණ්ඩාංක විචලනය වී), ඉබේම සිලින්ඩරය ලැබේ. එලෙසම, එක් ඛණ්ඩාංකයක් පමණක් වෙන වෙනම නියත කළ විට ලැබෙන පෘෂ්ට 3 පහත රූපයේ දැක්වේ.

ඒ අනුව ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක ගැන දැනගත් සියල්ලම සිලින්ඩර් පද්ධතියටත් අදාල වේ. z අක්ෂයද කාටිසියානු z අක්ෂයට සමාන නිසා ඒ දෙක අතර සම්බන්දතාව z (සිලින්ඩර්) = z (කාටිසියානු) වේ. කෙසේ වෙතත් මා සිලින්ඩර් හා කාටිසියානු පද්ධති දෙක අතර සම්බන්දතාව වඩා පැහැදිලි වීම පිනිස නැවත පහත දක්වනවා.

       x = rcos(θ)

       y = rsin(θ)

       z (cylinder) = z (Cartesian)

       r = √(x² + y²)

       θ = atan2(y/x)

ධ්‍රැවක හා සිලින්ඩර් ක්‍රම දෙක ගත් විට, ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය සිලින්ඩර් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ උපකොටසක් ලෙස සැලකිය හැකියි. කාටිසියානු පද්ධතියේ ත්‍රිමාන හා ද්විමාන අවස්ථා දෙකක් පැවතියා සේ, ත්‍රිමාන සිලින්ඩර් ක්‍රමයේ ද්විමාන අවස්ථාව ධ්‍රැවක ක්‍රමය ලෙස සලකන්න. එනිසා මෙතැන් සිට සිලින්ඩර් ක්‍රමය ගැන පමණක් අවධානය යොමු කරමු.

සිලින්ඩර් ඛණ්ඩාංක මඟින් දෛශික නිරූපණය

දෛශිකයක විශාලත්වයක් හා දිශාවක් පවතිනවානෙ. කාටිසියානු මෙන්ම වෙනත් ඕනෑම ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් ඇසුරින් මෙම විශාලත්වය හා දිශාව යන දෙකම නිරූපණය කළ හැකිය. කාටිසියානු පද්ධතිය ඇසුරින් එය කරන හැටි ඔබ දන්නවා. දැන් බලමු සිලින්ඩර්/ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක ඇසුරින් එය කරන අයුරු.

මෙහිදීත් ප්‍රලම්භක ඛණ්ඩාංක ඔස්සේ ඒකක දෛශික 3ක් නිර්වචනය කර ගත යුතුය. ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේදී පහත තුන්වැනි ඒකක දෛශිකය අර්ථ දක්වා නැත (තුන්වැනි මානයක් නැති නිසා). ඒවා නම්:

       T_ρ - අරීය ඛණ්ඩාංකය ඔස්සේ

       T_ϕ - කෝණික ඛණ්ඩාංකය ඔස්සේ

       T_Z - Z ඛණ්ඩාංක අක්ෂය ඔස්සේ

ඒකක දෛශික ρ, ϕ, z යන අක්ෂර උඩින් හැට් හෝ බාර් සලකුණක් යොදාද දැක්විය හැකිය (ρ, ϕ, z ). මෙම ඒකක දෛශික කාටිසියානු පද්ධතියේ ඒකක දෛශිකවල තිබූ ගුණාංක එලෙසම අත්පත් කර ගනී (පද්ධතිය වෙනස් වුවත් ගතිගුණ එකම වේ). ඒවා නැවත සංක්ෂිප්තව පහත දක්වා තිබෙනවා.

       T_ρ . T_ρ = T_ϕ . T_ϕ = T_z . T_z = 1

       T_ρ . T_ϕ = T_ρ . T_z = T_ϕ . T_z = 0

       T_ρ x T_ϕ = T_z T_ϕ x T_ρ = -T_z

       T_ϕ x T_z = T_ρ T_z x T_ϕ = -T_ρ

       T_z x T_ρ = T_ϕ T_ρ x T_z = -T_ϕ

මෙවිට එම ඒකක දෛශික ආශ්‍රයෙන් දෛශිකයක් F(ρ,ϕ,z) = f_ρT_ρ + f_ϕT_ϕ + f_ZT_Z ලෙස නිරූපණය කළ හැකියි. ඩෙල් කාරකය පහත ආකාරයට සිලින්ඩර් ඛණ්ඩාංක ආශ්‍රයෙන් ලිවිය හැකිය.

ඉහත ඩෙල් කාරකයේ ප්‍රකාශය දෙස බලන විට, එහි දෙවැනි කොටසේ 1/ρ ඇත. එය තිබිය යුතු අතර එහි අවශ්‍යතාව සාධනය කරද පෙන්විය හැකිය. එහෙත් ලොකු සාධනයකින් තොරව, එහි අවශ්‍යතාව මෙසේ පෙන්විය හැකියි. ϕ යනු කෝණයක් වන අතර, ρ හා z යනු දිගවල් වේ. මාන වශයෙන් විශ්ලේෂණය කරන විට, කොටස් සියල්ලේම තිබිය යුත්තේ දිගවල්ය. කෝණය යම් දිගක් බවට පත් වූයේ අර 1/ρ යන කොටසිනි.

දැන් මෙම ඩෙල් කාරකය ඇසුරින් සුපුරුදු ග්‍රැඩ්, ඩිව්, කර්ල් ගණිත කර්මත් ලාප්ලාස් කාරකයත් පහත ආකාරයට පවතී. අදිශ ශ්‍රිතය f ලෙසද, දෛශික ශ්‍රිතය F(ρ,ϕ,z) = f_ρT_ρ + f_ϕT_ϕ + f_ZT_Z ලෙසද පවතී යැයි සිතමු.

අනුකලයේදී රේඛා අනුකලය, පෘෂ්ට අනුකලය, හා පරිමා අනුකලය යන අවස්ථා 3හි පොදු සංඛේතවල වෙනසක් නැත. අනුකල සිදු කරන විෂය පද වෙනස් විය හැකිය. එනිසා අමුතුවෙන් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ වෙනස අනුකලයේදී අවකලනයේදී මෙන් දිස් නොවේ. සාමාන්‍ය අනුකල උපක්‍රම යොදා සුලු කිරීම් සිදු කරන්න.

ගෝලීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය

ගෝලීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය (Spherical coordinates system) හෙවත් ගෝලීය ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය (Spherical polar coordinates system) ස්වභාවයෙන්ම ත්‍රිමාන පද්ධතියකි. යම් කේන්ද්‍රයක සිට අරීයව අවටට (විදුලි බුබුලකින් ආලෝකය වටේට විහිදුවනවා සේ) හෝ අවට සිට යම් කේන්ද්‍රයක් දෙසට පවතින විසිරී පැතිරීමක් සම්බන්දයෙන් ගණනය කිරීම්වලදී අනෙක් පද්ධතිවලට වඩා මෙම පද්ධතිය ඉතාම පහසු හා යෝග්‍ය වේ. මෙහිද එකිනෙකට ප්‍රලම්භක ඛණ්ඩාංක 3ක් තිබිය යුතුය (මාන 3 සඳහා).

මෙහිද ධ්‍රැවයක් තිබේ. එම ධ්‍රැවයේ සිට යම් ලක්ෂ්‍යයකට අඳින ඍජු රේඛාව පළමු ඛණ්ඩාංකය වන අතර, එය අරය හෝ අරීය ඛණ්ඩාංකය ලෙස හැඳින්වේ. r හෝ ρමඟින් එය සංඛේතවත් කෙරේ (පහත රූපයේ කොලපාටින් එය ඇඳ ඇත).

පද්ධතියේ ධ්‍රැවයේ සිට යම් දිශාවක් ඔස්සේ (සාමාන්‍යයෙන් සිරස්ව) නිර්දේශ අක්ෂයක් අර්ථ දක්වා තිබෙන අතර, එම අක්ෂය මධ්‍යාංශ නිර්දේශ අක්ෂය (zenith reference) ලෙස හැඳින්වේ (එය ඛණ්ඩාංකයක් නොවන නමුත්, යම් ඛණ්ඩාංකයක් නිර්ණය කිරීමට යොදා ගන්නා උපකාරයකි). මෙම මධ්‍යාංශයේ හා අරීය ඛණ්ඩාංකය අතර අවපාතනය වන කෝණය දෙවැනි ඛණ්ඩාංකය වන අතර එය ධ්‍රැවක කෝණය (polar angle) ලෙස හැඳින්වේ. එයම මධ්‍යංශ කෝණය (zenith angle), ආනති කෝණය (inclination angle) යන නම්වලින් හැඳින්වෙන අතර, θ මඟින් සංඛේතවත් කෙරේ.

ධ්‍රැවක කෝණය නිර්ණය කිරීමට යොදා ගත් මධ්‍යාංශයට ලම්භක තලයක් ධ්‍රැවයද කැපී යන සේ පිහිටනවා යැයි සිතන්න. දැන්, මෙම තලය මතට අරීය ඛණ්ඩාංකයේ ප්‍රක්ෂේපණය පවතී යැයි සිතන්න. මෙලෙස තලය මත ප්‍රක්ෂේපිත ඍජු රේඛාව (ඉහත රූපයේ x-y තලය මත අලුපාටින් ඇඳ ඇති ඊහිස සහිත රේඛාව) හැමවිටම ධ්‍රැවයෙන් පටන් ගැනේ. එම ප්‍රක්ෂේපිත රේඛාව එකිනෙකට ලම්භක වන සේ අක්ෂ දෙකකට විභේදනය කරනවා යැයි සිතන්න. එවිට එම අක්ෂ දෙකෙන් දකුණු අතේ ඇඟිලි කරකවන විට (මාපොට ඇඟිල්ල මධ්‍යාංශය දෙසට යොමු වන සේ), හමුවන පළමු අක්ෂය (එය උද්දිගංශ නිර්දේශ අක්ෂය - azimuth reference ලෙස හැඳින්වේ) තෙවැනි ඛණ්ඩාංකයේ නිර්දෙශ අක්ෂය ලෙස දැන් ක්‍රියා කරනවා (ඒ කියන්නේ දකුණත් පද්ධතියක්). මෙම නිර්දේශ අක්ෂයේ සිට තලය මත අරීය ඛණ්ඩාංකයේ ප්‍රක්ෂේපිත රේඛාවට සාදන කෝණය තෙවැනි ඛණ්ඩාංකය වේ. එය උද්දිගංශ කෝණය (azimuthal angle) ලෙස හැඳින්වෙන අතර, φ (ග්‍රික් අකුරක් වන සයි) මඟින් සංඛේතවත් කෙරේ.

මෙම පද්ධතිය තුල ඛණ්ඩාංක අගයන් දක්වන විට ඒකමතික ස්වභාවයක් නැති වීම කනගාටුදායකය. සමහරෙක් (අරය,උද්දිගංශ කෝණය,මධ්‍යංශ කෝණය) ලෙස දක්වන අතර තවත් සමහරෙක් (අරය,මධ්‍යංශ කෝණය,උද්දිගංශ කෝණය) ලෙස එය දක්වයි. එනිසා පරිස්සම් විය යුතුයි ඛණ්ඩාංක කියවීමේදී.

කෝණ අගයන් ඛණ්ඩාංක ලෙස පවතින නිසා මෙහිදීත් වාමාවර්තව හෝ දක්ෂිණාවර්තව අංශක 360ක් කරකැවීමේදී නැවත සිටි තැනටම එන නිසා, යම් ලක්ෂ්‍යයකට අදාල ඛණ්ඩාංක අනන්ත ගණනක් දැක්විය හැකිය (මෙම ලක්ෂණය ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංකවලත් අප දුටුවා). එහෙත් අනන්‍ය ඛණ්ඩාංක ලබා ගැනීමට උද්දිගංශ කෝණය පළමු අංශක 360 පරාසය තුලද, මධ්‍යංශ කෝණය පළමු අංශක 180 පරාසය තුලද සීමා කළ යුතුය.

දැන් අපි බලමු කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක හා ගෝලීය ඛණ්ඩාංක අතර තිබෙන සම්බන්දතා. පළමු සූත්‍ර 3න් කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක ගෝලීය ඛණ්ඩාංක බවටත්, දෙවැනි සූත්‍ර 3න් ගෝලීය ඛණ්ඩාංක කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක බවටත් පත් කෙරේ.

එලෙසම ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක හා ගෝලීය ඛණ්ඩාංක අතරද පහත ආකාරයට සම්බන්දතා පවතී. පලමු සූත්‍ර 3න් ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක ගෝලීය ඛණ්ඩාංක බවටත්, දෙවැනි සූත්‍ර 3න් ගෝලීය ඛණ්ඩාංක ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක බවටත් පත් කෙරේ.

ගෝලීය ඛණ්ඩාංක මඟින් දෛශික නිරූපණය

පළමුවෙන්ම ප්‍රලම්භක ඛණ්ඩාංක ඔස්සේ පවතින ඒකක දෛශික 3 මොනවාදැයි බලමු.

       T_r - අරීය ඛණ්ඩාංකය ඔස්සේ

       T_θ - මධ්‍යංශ ඛණ්ඩාංකය ඔස්සේ

       T_ψ - උද්දිගංශ ඛණ්ඩාංක අක්ෂය ඔස්සේ

ඉහත ඒකක දෛශික නිරූපණය සඳහා r, θ, ψ යන අක්ෂරවලට ඉහලින් හැට් හෝ බාර් සලකුනද යෙදිය හැකිය (r, θ, ψ ). එකිනෙකට ප්‍රලම්භක නිසා සුපුරුදු ලෙසම පහත ලක්ෂණ එම ඒකක දෛශික අතර ඇත.

       T_r . T_r = T_θ . T_θ = T_ψ . T_ψ = 1

       T_r . T_θ = T_r . T_ψ = T_θ . T_ψ = 0

       T_r x T_θ = T_ψ T_θ x T_r = -T_ψ

       T_θ x T_ψ = T_r T_ψ x T_θ = -T_r

       T_ψ x T_r = T_θ T_r x T_ψ = -T_θ

දැන් මෙම ඒකක දෛශික ඇසුරින් යම් දෛශිකයක් F(r,θ,ψ) = f_rT_r + f_θT_θ + f_ψT_ψ ලෙස ලිවිය හැකියි. ගෝලීය ඛණ්ඩාංක ඇසුරින් ඩෙල් කාරකය හා ඉන් ව්‍යුත්පන්න වන අනෙක් ගණිත කර්ම පහත ආකාරයෙන් තිබිය යුතුය. පහත සූත්‍රවල අදිශ ශ්‍රිතය f ලෙසද, දෛශික ශ්‍රිතය F(r,θ,ψ) = f_rT_r + f_θT_θ + f_ψT_ψ ලෙසද සලකමු.

ඉහත දැක්වූයේ ඛණ්ඩාංක පද්ධති ගැනත්, දෛශික හා දෛශික කලනයේදී එම ඛණ්ඩාංක පද්ධති නිසා ඇති වන බලපෑමත් ඉතා සංක්ෂිප්ත අයුරිනි. ඛණ්ඩාංක පද්ධතිවල සුවිශේෂිතා හොඳින් අවබෝධ කරගන්නා තරමට දෛශිකවලදී ඒවා භාවිතා කෙරෙන අන්දමද ඉතා පහසුවෙන් අවබෝධ වේවි.