ඉලෙක්ට්‍රොනික්ස් පාඩම (Electronics Lesson) - 10

අතිරේකය 2 (ගණිත අතිරේකය)

*** ඉලෙක්ට්‍රොනික්ස් පළමු පොතට අයත් ගණිත අතිරේකය ***

නිවැරදි විද්‍යා දැනුමක් සේම හොඳ ගණිත දැනුමක්ද අවශ්‍ය වෙනවා ඉලෙක්ට්‍රොනික්ස් සඳහා. මා මෙම අතිරේකයෙන් සරල ගණිත සිද්ධාන්ත හා කරුණු කිහිපයක් කෙටියෙන් සඳහන් කරනවා. ගණිතය (mathematics) යනු විද්‍යාවේ භාෂාවයි. එය නිකංම ලස්සන කියමනක් නොව, ඇත්තටම ගණිතයේ ස්වභාවය ඉන් කි‍යවෙනවා. මා උදාහරණයකින් එය පෙන්වන්නම්. “යම් වස්තුවකට භාහිර බලයක් ලබා දුන් විට, එම වස්තුව යම් ත්වරණයකින් යුතුව ගමන් කරන අතර, එම යොදන බලය එම වස්තුවේ ස්කන්ධය හා ත්වරණය යන දෙක මත පමණක් සමානුපාතිකව පවතිනවා.” මෙම වාඛ්‍යය සිංහලෙන් හෝ ඉංග්‍රිසියෙන් හෝ වෙනත් භාෂාවකින් ලියන්නට පුළුවන්. එවිට, එය ඒ ඒ භාෂාවන් දන්නා අයට පමණක් තේරුම් යාවි. එහෙත් එය විද්‍යාවේ භාෂාව වන ගණිතයෙන් ලියූ විට F=ma යන ඉතා කුඩා සූත්‍රයක් බවට පත් වෙනවා. ගණිතයේදී දිගු වචන වෙනුවට බොහෝ විට F, m, a ආදී ලෙස කෙටි කේත භාවිතා කෙරෙනවා. ගණිත භාෂා‍ව කෙටි පමණක් නොව, ලොව ඕනෑම කෙනෙක්ට පහසුවෙන් හා විවිධ අර්ථ නොනැගෙන පරිදි තේරුම් ගැනීමටද හැකියි.

දිග, කාලය, ධාරාව, උෂ්ණත්වය ආදී ලෙස අප නොයෙක් දේවල් මනිනවා. එසේ මැනගත් අගයන් (values) ගණිතයේ සංඛ්‍යා (numbers) මගින් නිරූපණය කෙරෙනවා. ඉන්පසු මෙම අගයන් (සංඛ්‍යා) වලට එකතු කිරීම, වැඩි කිරීම ආදී නොයෙකුත් ආකාරයේ ගණිත කර්ම (mathematical operations) සිදු කරනවා. ඕනෑම කෙනෙකු එකතු කිරීම (addition), අඩු කිරීම (subtraction), ගුණ කිරීම (multiplication), බෙදීම (division) යන සරල ගණිත කර්ම හතර කිරීමට දන්නවා. මීට අමතරව සරල එහෙත් ඔබට එදිනෙදා ජීවිතයේදී එතරම් හුරු නැති නමුත් තාක්ෂණයේදී වැදගත් තවත් ගණිත කර්ම දෙකක් ගැන දැන් බලමු.

“නිඛිල බෙදීම” (integer division) යනුවෙන් ගණිත කර්මයක් ඇති අතර, එහිදී පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් (නිඛිලයක්) පමණක් පිළිතුර සේ ලැබෙන පරිදි බෙදනවා. උදාහරණ බලමු. 9 යන සංඛ්‍යාව 4න් නිඛිල බෙදීම කළ විට පිළිතුර 2 වේ. එනම්, නවයට හතරෙ ඒවා දෙකක් ඇත. ඉතිරිය ගණන් ගන්නේ නැත. සාමාන්‍ය බෙදීම අනුව පිළිතුර වනුයේ 2.25 වේ. සාමාන්‍ය බෙදීම  හෝ / යන සලකුණුවලින් දක්වන අතර, නිඛිල බෙදීම \ යන සලකුණින් දක්වමු.

9\4 = 2 11\3 = 3 17\9 = 1

අනෙක් ගණිත කර්මය “ශේෂ බෙදීම” (modulus හෝ mod) ලෙස හඳුන්වමු. මෙය ඉහත නිඛිල බෙදීමට නෑකමක් ඇති ගණිත කර්මයයි. යම් සංඛ්‍යාවක් තවත් සංඛ්‍යාවකින් බෙදන විට, ඉතිරි වන අගය මින් ලබා දේ. මෙහි සංඛේතය % හෝ mod වේ.

9 % 4 (හෝ 9 mod 4) = 1 11 % 3 = 2 17 mod 9 = 8

යම් සංඛ්‍යා දෙකක හෝ කිහිපයක ඇති අගයන් සංසන්ධනාත්මකව පවසන විට අප අනුපාත (ratio) යොදා ගන්නවා. යමකට වඩා යමක් කී ගුණයක් පවතිනවාද යන්න ඉන් පැහැදිලි කෙරේ. අනුපාත බොහෝ විට ලියා දැක්වන්නේ x : y : w අදී ලෙසයි. උදාහරණයක් ලෙස, බදාම සෑදීමේදී සිමෙන්ති, වැලි, හා කළුගල් යන කොටස් තුන “එකට දෙකට එක” අනුපාතයෙන් මිශ්‍ර කරන්න යැයි කිවූ විට, එය ඉහත ගණිතානුකූලව 1:2:1 ලෙස ලියනවා. යම් අනුපාතයක් (එනම් එම අනුපාතයේ ඇති සියළු සංඛ්‍යා) යම් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කළ විට හෝ බෙදූ විට අනුපාතය වෙනස් නොවේ. ඒ අනුව ඉහත 1:2:1 යන අනුපාතය දෙකෙන් ගුණ කළ විට (එනම්, අනුපාතයේ ඇති සෑම අගයක්ම දෙකෙන් ගුණ කෙරේ), 2:4:2 යන අනුපාතය ලැබුණත් එම අනුපාත දෙකෙන්ම කියවෙන්නේ එකම දේ බව පේනවා. ගුණ කිරීම, බෙදීම මෙලෙස සිදු කළ හැකි වුවත්, අනුපාතකයට යම් සංඛ්‍යාවක් එකතු කිරීම හෝ අඩු කිරීම සිදු කළ නොහැකිය.

අප බොහෝ දේවල් ප්‍රතිශත (percentage) ආශ්‍රයෙන් කියනවා. ප්‍රතිශතයක් යනු, සලකා බලන දෙයින් 100ට කොච්චරද යනුයි. උදාහරණයක් ලෙස, පාසලේ 30%ක ශිෂ්‍යයන් පිරිසක් ගණිතය ෆේල් යැයි කිව්වොත්, ඉන් කිසිවිටක හැඟවෙන්නෙ නැහැ පාසලේ ශිෂ්‍යයන් සිටින්නේ 100ක් බව. ඉන් කියන්නේ, 100ක් සිටියා නම් ඉන් 30ක් ෆේල් බව පමණයි. පාසලේ ශිෂ්‍යයන් 1000ක් සිටියා නම්, මෙම ප්‍රතිශතය අනුව 300 දෙනෙක් ගණිතය ෆේල් බව ගණනය කළ හැකියි. සියයට කොච්චරද කියා දන්නවා නම්, වෙනත් ඕනෑම ගාණකට කොච්චරද යනුවෙන් අපට ගණනය කළ හැකියි නේද? ප්‍රතිශතයක් හැම විටම භාග සංඛ්‍යාවකි. “අච්චර ගණනකින් මෙච්චරක් වේ” යන තේරුම හැමවිටම එහි ඇත. එමනිසා, ප්‍රතිශතයක් සෑදීමට භාග සංඛ්‍යාවක් තිබිය යුතුයි. උදාහරණයක් ලෙස, පංතියක ළමුන් තිහක් සිටින අතර, ඉන් විස්සක් ගණිතය සමත් යැයි සිතමු. ඒ අනුව පංතියේ ඇති ළමුන් ගණනින් ගණිතය සමත් සිසුවන් ගණන භාගයක් ලෙස 20/30 ලෙස ලිවිය හැකියි. දැන් මෙම භාගය දශම සංඛ්‍යාවක් බවට පත් කරන්න. එම දශම සංඛ්‍යාව දැන් ප්‍රතිශතයක් බවට පත් කරන්නේ එම සංඛ්‍යාව 100න් වැඩි කර, එම ලැබෙන උත්තරයට පිටුපසින් % යන සලකුණ දැමීමෙන්ය. ඒ අනුව ඉහත උදාහරණයේ 20/30 යන භාගය සුළු කර 0.66 යන දශම සංඛ්‍යාව ලබා ගෙන එය 100න් වැඩි කර ලැබෙන පිළිතුර වන 66ට පිටුපසින් % යන්න යෙදීමෙන් එය ප්‍රතිශතයක් (66%) බවට පත් වේ.

ගණිතයේ ලිවිය හැකි විශාලතම හෝ කුඩාතම සංඛ්‍යාව කුමක්ද? ඇත්තටම එවැනි සංඛ්‍යාවක් දැක්විය නොහැකිය. කෙනෙකු පැවසුවොත් අහවල් සංඛ්‍යාව තමයි ගණිතයේ තිබෙන විශාලතම සංඛ්‍යාව කියා, ඔබට පැවසිය හැකියි එම සංඛ්‍යාවට එකක් (හෝ වෙනත් ඕනෑම ගණනක්) එකතු කළ විට ඊට වඩා විශාල සංඛ්‍යාවක් නිර්මාණය කිරීමට හැකි බව. ගණිතයේ විශාලතම (හෝ කුඩාතම) සංඛ්‍යාවක් නැතත්, සංකල්පයක් ලෙස අනන්තය (infinity) යන අදහස පවතිනවා. අනන්තය යනු ඉලක්කමක් නොවේ, සංකල්පයක් පමණි. ඔබට පොත් දහක් තිබෙනවා කියා කිව හැකි වුවත් පොත් අනන්තයක් තිබෙනවා කියා කිව නොහැකියි. අනන්තය ගණිතයේ  යන සංඛේතයෙන් දැක්වෙනවා. + (ධණ අනන්තය) විශාලතම අගය යන අදහස ඇතිවත් - (ඍණ අනන්තය) කුඩාතම අගය යන අදහස ඇතිවත් අප භාවිතා කරනවා.

අනන්තය යොදා අපට සීමිත අංක ගණිත කර්ම කිහිපයක් කළ හැකියි. එනම්,

• ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් අනන්තයෙන් ගුණ කළ විට ලැබෙන්නේද අනන්තයමයි.
• ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් අනන්තයෙන් බෙදූ විට ශූන්‍යය ලැබේ.
• ඕනෑම සංඛ්‍යාවකට අනන්තයක් එකතු කළ විටද ලැබෙන්නේ අනන්තයයි.
• ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් බිංදුවෙන් බෙදූ විට ලැබෙන්නේ අනන්තයයි.

මේ සෑම අවස්ථාවකදීම ධණ-ඍණ සමග භාවිතා වෙන සාමාන්‍ය රීතින් අනුගමනය කළ යුතුයි. උදාහරණයක් ලෙස, ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් අනන්තයෙන් ගුණ කළ විට ලැබෙන්නේ අනන්තය වුවත්, එම සංඛ්‍යාව ධණ නම් ධණ අනන්තයත් (4 x  =  ), එම සංඛ්‍යාව ඍණ නම් ඍණ අනන්තයත් ලැබෙනවා (-4 x  = -). එලෙසමයි, ගුණ කරනු ලබන්නේ ධණ සංඛ්‍යාව ඍණ අනන්තයෙන් නම් පිළිතුර ලෙස ඍණ අනන්තයත් (4 x -  = - ), සංඛ්‍යාවත් අනන්තයත් දෙකම ඍණ නම් පිළිතුර ලෙස ධණ අනන්තයත් (-4 x - =  ) ලැබෙනවා.

අනන්තය අනන්තයෙන් බෙදීම ගණිතයේ තහනම් දෙයක්. ‍එලෙසම බිංදුව බිංදුවෙන්ද බෙදීම ගණිතයේදී කිසිසේත් කළ නොහැකිය.

අපට ඉහත ආකාරයට අනන්තය යන්න තේරුම් ගැනීමට එතරම් අපහසු නැත. ඉහත දැක්වූයේ සංඛ්‍යාවකට යා හැකි උපරිම සීමාව අනන්තය ලෙසයි. එහෙත් අනන්තයේ තවත් ස්වරූපයක් පවතී. යම් අගයන් දෙකක් අතර තිබිය හැකි අතරමැදි අගයන් ගණන කොපමණද? උදාහරණයක් ලෙස, 8 හා 9 යන සංඛ්‍යා දෙක අතර තවත් සංඛ්‍යා කොපමණ තිබිය හැකිද? සිතා බලන්න. පිළිතුර අනන්තයකි. සලකනු ලබන සංඛ්‍යා දෙක කොතරම් ලොකු වුවත්, කොතරම් කුඩා වුවත් එම ඕනෑම සංඛ්‍යා දෙකක් අතර තවත් සංඛ්‍යා (අවස්ථා) අනන්ත ගණනක් ඇත. (අප ඇනලොග් හා ඩිජිටල් වෙනස පෙන්වීමට යොදා ගත්තේ මෙන්න මෙම සංකල්පයයි.) මේ දෙයාකාරයෙන්ම අනන්තය ගැන අවබෝධය ලබා ගන්න.

ඉතාම කුඩා සංඛ්‍යාවේ සිට ඉතා විශාල සංඛ්‍යාව දක්වා වූ විවිධාකාර අගයන්/සංඛ්‍යාවන් සමග අපට වැඩ කිරීමට සිදුවනවා. මෙම සියලුම සංඛ්‍යා රූපමය වශයෙන් සංඛ්‍යා රේඛාවකින් (number line) දැක්විය හැකියි.

ඉහත රූපයේ පැහැදිලිවම පේනවා ඍණ අනන්තයේ සිට ධණ අනන්තය දක්වා ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් මෙම සංඛ්‍යා රේඛාව මත පෙන්විය හැකි බව. -4, -1, 0, 3, 5, 2908 ආදී ලෙස ඇති (දශම නැති) සංඛ්‍යා පූර්ණ සංඛ්‍යා (whole number) හෙවත් නිඛිල (integer) ලෙස හැඳින්වෙන බව ඔබ දන්නවා. එම පූර්ණ සංඛ්‍යා ඔත්තේ (odd) හා ඉර‍ට්ටේ (even) ලෙස නැවත දෙකොටසකට වර්ගීකරණය කළ හැකියි. (2න් බෙදූ විට 1ක් ඉතිරිවන සංඛ්‍යා ඔත්තේ ලෙසත් කිසිවක් ඉතිරි නොවන විට ඉරට්ටේ ලෙසත් හැඳින්වෙන බවද ඔබ දන්නවා). ධණ නිඛිල අතරේ ප්‍රථමක සංඛ්‍යා (prime number) ලෙස හැඳින්වෙන වැදගත් සංඛ්‍යා ජාතියක් ඇත. ප්‍රථමක සංඛ්‍යා යනු එකෙනුත් එම සංඛ්‍යාවෙනුත් පමණක් ඉතිරි නැතිව බෙදිය හැකි, වෙනත් කිසිම සංඛ්‍යාවකින් ඉතිරි නැතිව බෙදිය නොහැකි සංඛ්‍යා වේ (හා 1 යනු ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවක් ලෙස අතීතයේ සැලකුවත් දැන් 1 ප්‍රථමක සංඛ්‍යා ගොඩෙන් ඉවත් කර ඇත). 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 යනු ආරම්භක ප්‍රථමක සංඛ්‍යා වන අතර, මෙම සංඛ්‍යා අතරින් පතර අනන්තය තෙක් සංඛ්‍යා රේඛාව තුළ පවතී. ඉහත දැක්වූයේ ආරම්භක ප්‍රථමක සංඛ්‍යා පෙළ වන අතර ඒවා මතකේ තබා ගන්න. භාග ගණන් සෑදීමට ප්‍රථමක සංඛ්‍යා නැතිවම බැරිය. 2 හැර අනෙක් සියලුම ප්‍රථමක සංඛ්‍යා ඔත්තේ ‍සංඛ්‍යාවක් වේ. (ඒකෙන් කියන්නෙ නැහැ හැම ඔත්තේ සංඛ්‍යාවක්ම ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවක් බව.) ප්‍රථමක නොවන සෑම සංඛ්‍යාවක්ම සෑදී ඇත්තේ ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවක හෝ කිහිපයක ගුණිතයකින්ය. උදාහරණ ලෙස, 4 = 2x2; 9 = 3x3; 12 = 2x2x3. එමනිසා, ප්‍රථමක නොවන සෑම නිඛිලයක්ම සංයුක්ත (composite) සංඛ්‍යා නමින් හැඳින් වේ.

ඉහත සංඛ්‍යා රේඛාවෙ ඕනෑම නිඛිල දෙකක් අතර නිඛිල නොවන සංඛ්‍යා අනන්ත ගණනක් ඇති බව ඔබ දන්නවා. මේ අතර, භාග සංඛ්‍යා (fractions) පවතිනවා. ½, ¾, 5/8 ආදී ලෙස ඒවා ලිවිය හැකියි. භාග සංඛ්‍යාවක ඉරෙන් උඩ (හෝ වම් අත පැත්තේ ඇති) අගය ළවය (nominator) ලෙසද, ඉරෙන් යට කොටස (හෝ දකුණු අත පැත්ත) හරය (denominator) ලෙසද හැඳින්වෙන අතර එය බොහෝ දෙනා “හරකා උඩ ළමයා” යන කෙටි කියමනින් මතක තබා ගන්නවා. සෑම නිඛිලයක්ම අවශ්‍ය නම් භාගයක් විදියට සලකන්නත් පුළුවන් මොකද සෑම නිඛිලයක්ම යට 1 හරය ලෙස පවතිනවා. ඒ කියන්නේ,

1 = 1/1       3 = 3/1       496 = 496/1

භාගයක හරයට වඩා ළවය වැඩි වූ විට, එය මිශ්‍ර භාගයක් ලෙස ලිවිය හැකියි. (ළවය හරය මෙන් කී ගුණයක්ද හා ඉතිරිය හරයෙන් කීයෙන් පංගුවක්ද කියා වෙන වෙනම දැක්වීම මින් සිදු වේ.)

6/4 = 1  2/4

එහෙත් මිශ්‍ර භාග සමග ගණන් සෑදීම අපහසු නිසා අප ගණන් සාදන විට මිශ්‍ර භාග සාමාන්‍ය භාග ලෙස පළමුව හරවාගත යුතුය. (එය කිරීමද ඉතා පහසුය. මිශ්‍ර භාගයේ මුලින් ඇති නිඛිල කොටස හරයෙන් වැඩි කර එය ළවයට එකතු කරන්න.)

භාග ගැන කතා කරන විට, තුල්‍ය භාග (equivalent fraction) ගැන දත යුතුය. තුල්‍ය භාග යනු සමාන භාග යන්නයි. එනම්, යම් භාගයක් එහි දැනට ඇති වටිනාකම වෙනස් නොවී එහෙත් වෙනස් ආකාරයක භාගයක් ලෙස ලිවීම මින් සිදු වේ. හරය හා ළවය යම් ඕනෑම සංඛ්‍යාවකින් එක විට වැඩි කිරීමෙන් (හෝ බෙදීමෙන්) මෙය සිදු ‍කළ හැකිය. මේ අනුව ½ කිව්වත් 3/6 කිව්වත් 10/20 කිව්වත් ඒ සියල්ලම අගයෙන් සාමානයි.

½ = {  = } 2/4 = {(1x3)/(2x3 )= } 3/6 = {(1x10)/(2x10) = } 10/20

භාග දෙකක් ගුණ කිරීම ඉතාම පහසුය. කළ යුත්තේ භාග දෙකෙහි හරයන් දෙක හා ළවයන් දෙක වෙන වෙනම ගුණ කිරීම පමණයි.

 = (4x3)/(7x2) = 12/14

භාගයක් තවත් භාගයකින් බෙදීමට සරලයි. පළමු භාගය එලෙසම තබා, දෙවැනි භාගයේ හරය හා ළවය උඩ යට මාරු කර බෙදීම වෙනුවට වැඩි කිරීම සිදු කළ යුතුයි.

(4/7) / ( 3/2) = 4/7 x 2/3 = 8/21

භාග එකතු කිරීම (හා අඩු කිරීම) කිරීමේදී පළමුව භාග දෙකෙහි හරයන් සමාන කළ යුතුයි. මෙය සිදු කරන්නේ භාග දෙකම හරය එකම අගය ලෙස එන සේ තුල්‍ය භාග දෙකක් බවට හැරවීමෙනි. හරයන් දෙක දැනටමත් සමාන නම් එය කිරීමේ අවශ්‍යතාවක් නැත. එවිට, (හරයන් සමාන නිසා) පිළිතුර ලියන විට ළවන් දෙක පමණක් එකතු කර (හෝ අඩු කර), හරය නිකංම ලිවීම පමණි කළ යුත්තේ.

4/6 + 1/6 = (4+1)/6 = 5/6 4/5 – 3/5 = (4-3)/5 = 1/5

හරයන් සමාන නැති විට ඉහත කියූ ලෙස පළමුව තුල්‍ය භාග කළ යුතුයි. එය ප්‍රායෝගිකව කරන්නේ පෙර උගත් ප්‍රථමක සංඛ්‍යා උපයෝගි කර ගෙනයි. හරයන් දෙක (හෝ කිහිපයක් වුවත්) කොමා යොදා ලියා ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවලින් බෙදාගෙන යා යුතුයි අවසන් පේලියේ සියලුම අගයන් ප්‍රථමක සංඛ්‍යා වන තුරු (ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවල ගුණිතයක් ‍බව ඉහත ඉගෙන ගත්තා මතකද? එනිසා ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් ඉතිරි නැතිවම ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවලින් බෙදිය හැකියි). මෙසේ බෙදන විට, කුඩාම ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවෙන් පටන්ගත යුතුයි. එම සංඛ්‍යාවෙන් හරයන් කිහිපයම හෝ එකක් හෝ බෙදිය හැකි විය යුතුයි (එකවර සංඛ්‍යා කිහිපයම බෙදිය හැකි වීම අවශ්‍ය නැහැ. යම් සංඛ්‍යාවක් බෙදෙ‍න්නේ නැතිනම්, එම සංඛ්‍යාවට මුකුත් නොකර එලෙසම ඊළඟ පේලියට ගෙන යා යුතුය). තවදුරටත් එම ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවෙන් බෙදිය නොහැකි විට, ඊ ළඟට විශාල ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවෙන් බෙදීම කළ යුතුය. මේ ආකාරයට බෙදාගෙනම යන්න.

ඉන්පසු වම්පස හා යටම ඇති සියලු ප්‍රථමක සංඛ්‍යා එකට ගෙන ගුණ කළ යුතුයි. මෙලෙස ලැබෙන අවසන් සංඛ්‍යාව කුඩා පොදු ගුණාකාරය (Least Common Denominator/ Multiple – LCD හෝ LCM) ලෙස හැඳින් වේ. ඉහත බෙදීම මගින් LCD සෙවීම කුඩා පොදුගුණාකාරය සෙවීම යනුවෙන් හැඳින් වේ. භාග දෙකෙහි (හෝ කිහිපයෙහි) කු.පො.ගු. සොයාගත් පසු, එම අගය භාග දෙකෙහිම හරයන් ලෙස දැන් ලිවිය යුතුය. එක් එක් භාගයෙහි ළවයෙන් එම LCD අගය බෙදූ විට ලැබෙන සංඛ්‍යාව අදාළ තුල්‍ය භාගයේ නව ළවය ලෙස ලිවිය යුතුය. දැන් ඇත්තේ මුල් භාග දෙකට සමාන තුල්‍ය භාග කිහිපයක් වන අතර, එම තුල්‍ය භාග කිහිපයෙහිහි හරයන් සමාන නිසා සාමාන්‍ය පරිදි එකතු කිරීම (අඩු කිරීම) සිදු කළ හැකියි. දී ඇති භාගවල සියලුම හරයන් දැනටත් පවතින්නේ ප්‍රථමක සංඛ්‍යා ලෙස නම්, එම හරයන් සියල්ල එකට ගුණ කළ විට කු.පො.ගු. ලැබේ පහසුවෙන්ම.

 =  = 146/180  (12, 18, 20, 30 හි LCD එක 180 බව ඉහත ඇත)

භාග සංඛ්‍යාවක් ලෙස ලිවිය හැකි සෑම ඉලක්කමක්ම පරිමේය (rational) සංඛ්‍යා ලෙස හැඳින් වේ. ඒ අනුව සියලු නිඛිල හා භාග සංඛ්‍යා පරිමේය වේ. ඉහත සංඛ්‍යා රේඛාවේ ඕනෑම ඉලක්කම් දෙකක් අතර එලෙස භාග ස්වරූපයෙන් ලිවිය නොහැකි තවත් සංඛ්‍යාද ඇති අතර, එම සංඛ්‍යා අපරිමේය (irrational) සංඛ්‍යා ලෙස හැඳින් වේ. ‍(1 (=1²), 4 (=2²), 9 (=3²), 16 (=4²), 25 (=5²) ආදි වර්ග සංඛ්‍යා හැර)  ,   ආදී ඕනෑම නිඛිලයක වර්ගමූලය අපරිමේය වේ. මේ ආකාරයට (1 (=1³), (8=2³), 27 (=3³), 64 (=4³), 125 (=5³) ආදි ඝන සංඛ්‍යා හැර) ඕනෑම සංඛ්‍යාවක ඝනමූලයන්ද අපරිමේය වේ. ඒ ආකාරයටම හතරවැනි පස්වැනි ආදී වෙනත් මූලවලද අපරිමේය සංඛ්‍යා හමු වේ. නිතර හමුවන π හා e යන නියත පදද අපරිමේය වේ.

දශම සංඛ්‍යා (decimal numbers) යනුවෙන්ද සංඛ්‍යා වර්ගයක් හමු වේ. ඒවා අනිවාර්යෙන්ම නිඛිල නොවේ. සෑම දශම සංඛ්‍යාවක්ම භාග සංඛ්‍යාවක් ලෙස දැක්විය හැකිය. භාග සංඛ්‍යාවක් දශම ආකාරයටද ලිවිය හැකියි. යම් සංඛ්‍යාවක් තවත් සංඛ්‍යාවකින් බෙදන විට නිතරම වාගේ දශම සංඛ්‍යා ලැබේ. ඊට අමතරව මූල සෙවීමේදී ආදි ක්‍රමවලිනුත් දශම ලැබිය හැකිය. මේ කුමන ආකාරයකින් ලැබුණත්, දශම සංඛ්‍යා වර්ග තුනක් හමු වේ. සමාවර්ත දශම (recurring decimal) යනු ඉන් එක් වර්ගයකි. මෙහිදී යම් දශමස්ථානයට පසුව ඇති යම් දශම කොටසක් ඉවරයක් නැතිවම නැවත නැවත මතු වේ. උදාහරණ ලෙස, එක තුනෙන් බෙදන්න.

1/3 = 0.33333333

මෙහි 3 ඉලක්කම ඉවරයක් නැතිවම ලැබේ. තවත් උදාහරණයක් බලමු.

2430/999 = 2.432432432

මෙහි 432 යන කොටස නැවත නැවත මතු වේ. මෙවැනි සංඛ්‍යා ලියා ඉවරයක් කළ නොහැකිය. සාමාන්‍යයෙන් කරන්නේ නැවත නැවත ‍මතුවන කොටසට ඉහළින් ඉරි කැබැල්ලක් (bar) ඇඳීමයි. ඒ අනුව ඉහත දශම සංඛ්‍යා දෙක 0. හා 2. ලෙස ලිවිය හැකියි. සමාවර්ත දශම සංඛ්‍යාවක් ඉතා පහසුවෙන්ම භාග සංඛ්‍යාවකට හැරවිය හැකිය. එය කරන ආකාරය පහත දැක්වේ. පළමුව දශම සංඛ්‍යාව x විචල්‍යයට සමාන කරන්න. දැන් දශම සංඛ්‍යාවේ පළමුවෙන්ම හමුවන සමාවර්ත කොටස ඉවත්වන තෙක් වැඩි කරන්න දහයේ ගුණාකාර‍යකින්. සමාවර්ත දශමයක් නිසා, එක් දශම කොටසක් දශමස්ථානයෙන් වමට ගියද තවත් එවැනිම දශම කොටසක් මතු වන බවද මතක තබා ගන්න. ඉන්පසු, මෙම නව ප්‍රකාශනයෙන් පළමු ප්‍රකාශනය අඩු කරන්න. ඉන්පසු X උක්ත කරන්න.

X = 2. -------------------------- (1) සමාවරථ දශමය X ට සමාන කර
1000X = 2432. --------------------(2) පළමු සමාවර්ථ වන දශම කොටස ඉවත් වීමට 1000න් ගුණ කර
(2) – (1): 1000X – X = 2432. - 2. එක ප්‍රකාශනයක් අනෙක් ප්‍රකාශනයෙන් අඩු කර
999X = 2430 => X = 2432/999 X උක්ත කර

මෙම X කියන්නේ දශම සංඛ්‍යාවම වන අතර එය දැන් ඇත්‍තේ භාගයක් ආකාරයෙනි.

අනෙක් දශම සංඛ්‍යා වර්ගය අන්ත දශම (terminating decimal) වේ. මෙහි නමින්ම කියන පරිදි, දශම සංඛ්‍යාව සමාවර්ත නොවී බෙදීම කෙළවර වේ. උදාහරණ ලෙස ½ යන භාගය 0.5 ලෙස ලැබේ. මෙවැනි දශම සංඛ්‍යාවක් භාග සංඛ්‍යාවක් කිරීමද ඉතාම පහසුය. දශමය ලියන්න. ඕනෑම ඉලක්කමක් යට 1 තිබෙන බව මුලදී පැවසුවා මතකද? දැන් ළවය ලෙස දශම සංඛ්‍යාවත් හරය ලෙස 1 ත් තිබෙන පරිදි ලියා, ළවයේ සියලු දශමස්ථාන ඉවත්වන තුරු හරය හා ළවය දෙකම එකම විදියට වැඩි කරන්න. උදාහරණයක් බලමු.

0.432 =>  =>  => 432/1000

මෙය දැන් පවතින්නේ භාග සංඛ්‍යාවක් ලෙසයි. අනෙක් දශම සංඛ්‍යා වර්ගය නම් අනන්ත දශම (non-terminating decimals) වේ. එහිදී කොපමණ බෙදාගෙන ගියත් දශමස්ථාන නවතින්නේ නැත. සමාවර්ත සේ එකම කොටසද නැවත නැවත මතු නොවේ. මෙවැනි දශම තමයි ඉහත අපරිමේය සංඛ්‍යා කියා කියන්නෙත්. සාමාන්‍යයෙන් දශමස්ථාන අනන්ත ගණනක් ලිය ලියා ඉන්නේ නැතිව අපට අවශ්‍ය දශමස්ථානය දක්වා පමණක් නිවැරදිව දැක්වීම සම්ප්‍රදාය වෙනවා. එලෙස ආසන්න ලෙස නිවැරදිතාවක් පවතින දශම සංඛ්‍යාව (එය දැන් අන්ත දශම ස්වරූපයක් ගෙන ඇති බව පෙනේ) අවශ්‍ය නම් භාග සංඛ්‍යාවක් ලෙස ලිවිය හැකියි. එලෙස අප පහත දැක්වෙන අපරිමේය (හෙවත් අනන්ත දශම) සංඛ්‍යාවල ආසන්න අගයන්, එදිනෙදා ගණන් සෑදීමේදි භාවිතා කළ හැකියි. මෙම අගයන් බහුලවම භාවිතා වන බැවින් කටපාඩම් කරගන්න.

e = 2.7183
π = 3.1416 (මෙයම අප 22/7 ලෙස බොහෝ අවස්ථාවල භාග ස්වරූපයෙන් ලියනවා.)

යම් සංඛ්‍යාවක් අපට අවශ්‍ය ආසන්න සංඛ්‍යාවක් දක්වා නිවැරදි වන ලෙස ලිවීමට අපට නිතර සිදු වෙනවා. එය ඔබ සාමාන්‍ය ජීවිතයෙදිත් සිදු කරනවා නේද? ඔබ ක‍ඩයකින් කලිසමක් ගත්තේ රුපියල් 2430කට නම්, ඔබ කියන්නේ කලිසම 2500ක් වූවා කියලයි. එතැනදී ඔබ කළේ නිවැරදිම අගය වෙනුවට ආසන්න අගයක් ප්‍රකාශ කිරීමයි. සාමාන්‍ය ජීවිතයේ පමණක් නොව, ඉලෙක්ට්‍රොනික්ස් හා වෙනත් තාක්ෂණික අවශ්‍යතාවලදී ඔබට මෙම දේ නිතරම සිදු කිරීමට සිදු වෙනවා. මෙම ගණිත කර්මය සන්නිකර්ෂණය (approximation හෝ rounding off) ලෙස හැඳින් වෙනවා. ඔබට සාමාන්‍ය ජීවිතයේදී කිසිදු මෙවැනි ගණිත දැනුමක් නැතිවම සන්නිකර්ෂණය සිදු කරන්නේ ඔබේ සාමාන්‍ය බුද්ධිය හේතුකොට ගෙනය. එහෙත් නිවැරදිවම එය ගණිතය තුළ සිදු කරන ආකාර කිහිපයක් ඇත.

1. දශම සංඛ්‍යාවක දශම කොටස සම්පූර්ණයෙන්ම ඉවත් කිරීම (උදා: 3.45 -> 3). මෙය තවදුරටත් දශම නොවන සංඛ්‍යා සඳහාද සිදු කළ හැකියි (එහෙත් මෙහිදී දශමවලදී කළාක් මෙන්, සම්පූර්ණයෙන් එම කොටස ඉවත් කළ නොහැකිය. එසේ කළොත් ආසන්න අගයකට පත් වීම නොව, සංඛ්‍යාව බරපතල ලෙස අගයෙන් කුඩා වීම සිදු වේ. ඒ වෙනුවට කරන්නේ එම ඉලක්කම් බිංදු බවට පත් කිරීමයි). උදාහරණ ලෙස, 34632 -> 34000 (ඔබේ පඩිය ඇත්තටම 34632 වුවත් ඔබ එය කියන්නේ මට 34000ක පඩියක් ලැබෙනවා කියා නේද?) සාමාන්‍ය ජීවිතයේදී සිදු කරන සන්නිකර්ෂණය මීට සමානයි නේද?
   
   
2. සන්නිකර්ෂණය සිදු කිරීමට යන ස්ථානයට පසුව ඇති ඉලක්කම 5ට අඩු නම්, එම ඉලක්කමද ඇතුළුව එතැන් සිට දකුණට ඇති ඉලක්කම් 0 කළ යුතු අතර, එම ස්ථානයේ තිබුණේ 5 හෝ ඊට වැඩි ඉලක්කමක් නම්, සන්නිකර්ෂණය සිදු කරන ස්ථානයේ ඉලක්කමට 1 ක් එකතු කර, ඊට පසුව ඇති ඉලක්කම් 0 කළ යුතුය. උදාහරණ ලෙස
   
   244624 -> 240000 (සන්නිකර්ෂණය කරන ස්ථානය වම් අත පැත්තෙන් දෙවැනි ඉලක්කම සේ ගත් විට)
   244624 -> 245000 (දැන් සන්නිකර්ෂණය කරන ස්ථානය වම් අත පැත්තෙන් තෙවැනි ඉලක්කමයි.)
   
   
3. යම් අගයක් සන්නිකර්ෂණය කරන විට, සමහර විට අපට අවශ්‍ය වෙනවා එසේ සන්නිකර්ෂණය කළ පසු ලැබෙන සංඛ්‍යාව මුල් සංඛ්‍යාවට වඩා අගයෙන් අඩු නොවීමට වග බලාගන්නට. මෙහිදී බොහෝ විට කරන්නේ සන්නිකර්ෂණය කිරීමට යන ස්ථානයට එකක් එකතු කර ඊට පසුව ඇති ස්ථාන 0 ලෙස ලිවීමයි. උදා: 24535 ->25000 (වමේ සිට දෙවැනි ඉලක්කම සලකා බැලූ විට). මෙම සන්නිකර්ෂණය flooring යන විශේෂ නාමයෙන්ද හැඳින් වේ
   
   මෙම flooring එකේ අනෙක් පැත්තටද සන්නිකර්ෂණය කළ හැකි අතර එය ceiling යන නාමයෙන් හැඳින් වේ. මෙහිදී, සන්නිකර්ෂණය කරපු සංඛ්‍යාව හැමවිටම මුල් සංඛ්‍යාවට වඩා අගයෙන් වැඩි නොවිය යුතුය. මෙය කරන්නේ සන්නිකර්ෂණය කරන ස්ථානයේ සිට දකුණට ඇති ඉලක්කම් නිකංම 0 බවට පත් කිරීමෙනි. උදා: 4245 -> 4200

අවශ්‍යතාවේ හැටියට ඉහත තමන් කැමැති සන්නිකර්ෂණ ක්‍රමයක් ඔබට භාවිතා කළ හැකිය.

 භාග සේම දශම සංඛ්‍යාද එකතු කිරීම බෙදීම ආදී ගණිත කර්ම සිදු කරනවා. දශම සංඛ්‍යාවක අගට ඇති බිංදුවල වටිනාකමක් නැත. එමනිසා, 2.0420000 = 2.042 ලෙස ලිවිය හැකියි. තවද, දශම දෙකක් එකතු (හෝ අඩු) කරන විට, දශම තිත් දෙක එක එල්ලේ තබා එය කළ යුතුය (තවද, දශම සංඛ්‍යා දෙකෙහිම ගණනය කිරීමේදි පළමුව දශම කොටසද ඉන්පසු නිඛිල කොටසද ගණනය කිරීම කළ යුතුය.)

43113.34031

      45.82      +
43159.16031

දශම සංඛ්‍යා දෙකක් ගුණ කරන විට, පළමුව දශම තිත් නැතැයි සිතා ගුණ කර, පසුව එම සංඛ්‍යා දෙකෙහිම තිබූ දශමස්ථාන ගණනට සමාන දශමස්ථාන ගණනක් ලැබුණු ගුණිතයේ (product) දකුණු පස සිට වම් පසට බලා දශම තිත තබන්න.
 

32.56 x 3.4 = 120.904 (පළමුව දශම තිත් නැතැයි සිතා ගුණ කළ විට, 120904 ලැබේ. දැන් පළමු සංඛ්‍යාවේ දශමස්ථාන දෙකත් දෙවැනි සංඛ්‍යාවේ එක් දශමස්ථානයත් එකතු කළ විට දශමස්ථාන තුනක් වෙන් කළ යුතුය. එනිසා දශම තිත දකුණු පස සිට ස්ථාන තුනක් වමට ගිය තැන තැබිය යුතුය.)
 

දශම සංඛ්‍යාවක් තවත් දශම සංඛ්‍යාවකින් බෙදන විට, පළමුව හරයේ හා ළවයේ ඇති දශම ඉවත් වන තුරු ඒවා (10, 100, 1000, ආදී සුදුසු දහයේ ගුණාකාරයකින්) වැඩි කරන්න (එනම්, හරයේ හෝ ළවයේ වැඩිම දශමස්ථාන ගණනට සමාන දහයේ ගුණාකාරයකින් හරය හා ළවය දෙකම වැඩි කරන්න). ඉන්පසු සාමාන්‍ය පරිදි බෙදීම සිදු කළ හැකියි.

43.13/3.345 (=> 43130/3345) = 12.89387144992526
 

යම් සංඛ්‍යාවක් එම සංඛ්‍යාවෙන්ම වැඩි කළ විට, එම ගුණිතයට අප වර්ගය (squared) යැයි පවසනවා. 4 (=2x2), 81 (=9x9), ආදි සංඛ්‍යා ඒ අනුව වර්ග සංඛ්‍යා වේ. X නම් යම් සංඛ්‍යාවක් එම සංඛ්‍යාවෙන්ම වැඩි කළ විට එය X² ලෙස ලියා දක්වනවා. එහි විලෝමය හෙවත් “රිවර්ස් එක” හඳුන්වන්නේ වර්ගමූලය (square root) කියාය. එය සංඛේතාත්මකව  යන සලකුණින් දැක්වේ. ඒ අනුව යම් x නම් සංඛ්‍යාවක් සෑදී ඇත්තේ, y නම් සංඛ්‍යාවක් එම y සංඛ්‍යාවෙන්ම වැඩි වීමෙන් නම්, එම y සංඛ්‍යාව x හි වර්ගමූලය ලෙස හැඳින් වේ.
 

X = Y x Y නම්, Y යනු X හි වර්ගමූලයයි. එය සංඛේතාත්මක ලියන්නේ  = Y ලෙසයි.

යම් X නම් සංඛ්‍යාවක් එම සංඛ්‍යාවෙන්ම වැඩි කර නැවත එම සංඛ්‍යාවෙන්ම වැඩි කළ විට (එනම් එම සංඛ්‍යාව තුන් වරක් වැඩි වේ), එය X³ ලෙස ලියන අතර එය ඝනය (cubed) ලෙස හැඳින් වේ. ඒ අනුව 8 = 2x2x2 = 2³ ලෙස ලිවිය හැකි අතර, 8 යනු 2 හි ඝනය වේ. එහි ‍විලෝමය ඝන මූලය (cubic root) වන අතර එය සංඛේතාත්මකව  ලෙස දැක්වේ. ඒ අනුව 2 යනු 8 හි ඝන මූලය වේ (  = 2).

මේ ආකාරය හතර වැනි බලය (X⁴), පස්වැනි බලය (X⁵) ආදි ලෙස විවිධ බල සහිත සංඛ්‍යා තිබිය හැකියි. එලෙසම, ඒ සෑම බලයකටම අනුරූපව ඒවායේ විලෝමයන් ලෙස හතරවැනි මූලය, පසුවැනි මූලය ආදී ලෙස මූලයන්ද සෙවිය හැකියි.

බලයකට නැංවූ සංඛ්‍යාවක අගය සෙවීම ඉතාම පහසු වුවත් මූල සෙවීම අපහසුය. 4, 9, 16 ආදී සංඛ්‍යාවලට ලස්සනට නිඛිල මූල හමු වුවත් අනෙක් සෑම සංඛ්‍යාවකම වර්ගමූල ලැබෙන්නේ අපරිමේය (අනන්ත දශම) සංඛ්‍යා ලෙස බව පෙර අවස්ථාවකත් පැවසුවා මතකද? බලයකට නැංවීම හා මූල යනුද වැඩි කිරීම හා බෙදීම යන ගණිත කර්ම දෙකෙහි දියුණු අවස්ථා දෙකක් බව මතක තබා ගන්න (එනම් බලයකට නැංවීම හා මූල යනු වැඩිකිරීම හා බෙදීමෙහි නෑයන් දෙදෙනෙකි).

1 වර්ග කළ විට ලැබෙන්නේද 1 මයි. එක‍ තුන්වැනි සිව්වැනි හෝ ඕනෑම බලයකට නැංවුවද ලැබෙන්නේම එකමයි. එමනිසාම 1 හි ඕනෑම මූලයක් ගත් විටද ලැබෙන්නේ එකමයි. එය 1 නම් සංඛ්‍යාවේ ඇති සුවිශේෂිතාවයි.

තවද, 2 x 2 = 4 වූවා සේම, -2 x -2 = 4 වේ (එකම ජාතියේ සලකුණු දෙකක් වැඩි කරන විට හෝ බෙදන විට ධණ ලැබෙන බව ඔබ දන්නවා). මේ නිසා 4 හි මූලය 2 වූවා සේම -2 යනුද 4 හි වර්ගමූලයක් විය යුතුයි නේද? (මෙම ගතිගුණය 2 මූලය, 4 මූලය , 6 මූලය ආදී සෑම ඉරට්ටේ මූලවලට පොදුය. ඒ අනුව, 16 හි හතරවැනි මූලය 2 සේම -2 ද වේ.) එහෙත්, තෙවැනි මූලය, පස්වැනි මූලය ආදී ඔත්තේ මූල එසේ නොවේ (උදා: 2x2x2 = 8 වුවත් -2 x -2 x -2 = -8 වේ).

ඉහත දැක්වෙන ආකාරයට 5x5x5x5x5x5 වෙනුවට 5⁶ (පහේ හයවැනි බලය ලෙස මෙය ශබ්ද කරනවා) ලෙස කෙටියෙන් ලිවිය හැකියි. මෙහි ඉහළට එසවී තිබෙන ඉලක්කම (superscript), බලය (power හෝ exponent) හෝ දර්ශකය (index) ලෙසද පහතින් සාමාන්‍ය පරිදි ඇති ඉලක්කම පාදය (base) ලෙසද හැඳින්වෙනවා. එමනිසා, මෙවැනි සංඛ්‍යා දර්ශක සංඛ්‍යා ලෙසද හැඳින් වෙනවා.

මෙම බලයට නැංවීම (හෙවත් X^y ආකාරය සංඛ්‍යා ලිවීම) තවත් ආකාරයකින් දැක්විය හැකියි. බලය ඉහළට ඔසවන්නේ නැතිව ^ (hat) යන සංඛේතය සමග එය යොදන ක්‍රමයක් තිබෙනවා. එනම්, 5^6 ලෙසද ඉහත සංඛ්‍යාවම ලිවිය හැකියි. බලයට නැංවීමේදී ඇත්තේ ලිවීමේ පහසුව පමණක් නොවේ. දර්ශක සංඛ්‍යා සමග අපට වටිනා ගණිත කර්ම කිහිපයක්ද සිදු කළ හැකියි. ඒවා මා සංක්ෂිප්තව පහත දක්වනවා.

1. T^a x T^b = T^a+b
   (එනම්, එකම පාදය ඇති දර්ශක සංඛ්‍යා දෙකක් ගුණ කරන විට එම දර්ශක දෙක එකතු වේ.)
   
   
2. T^a / T^b = T^a-b
   (එකම පාදය ඇති දර්ශක සංඛ්‍යා දෙකක් බෙදන විට, ළ‍වයේ දර්ශකයෙන් හරයේ දර්ශකය අඩු වේ.)
   
   
3. (T^a)^b = T^ab
   (යම් දර්ශක සංඛ්‍යාවක් නැවත බලයකට නංවන විට, එම දර්ශක දෙක පමණක් ගුණ කෙරේ.)
   
4. ‍T^-a = 1/T^a හා T^a = 1/T^-a
   (යම් දර්ශකයක ප්‍රතිලෝමය (inverse) ගැනීමේදී දර්ශකයේ සලකුණ පමණක් මාරු වේ.)
   
   
5. T⁰ = 1 හා T¹ = T
   (ඕනෑම සංඛ්‍යාවක බිංදුව වැනි බලය 1 ට සමාන වන අතර, ඕනෑම සංඛ්‍යාවක පළමු වැනි බලය එම සංඛ්‍යාවටම සමාන වේ.)
   
   
6. T ^1/a = ^a T
   (ඕනෑම සංඛ්‍යාවක 1/a වැනි බලය යනු එම සංඛ්‍යාවේ a වැනි මූලයට සමානයි.)

ඉහත රීති දර්ශක නීති ලෙස හැඳින් වේ. දර්ශක සංඛ්‍යා දෙකක් අතර එකතු කිරීම හා අඩු කිරීම එලෙස සිදු කළ නොහැකි අතර, ඒ සඳහා අමුතුවෙන් රීතිද නැත.

සංඛ්‍යාවක ප්‍රතිලෝමය යනු හරය හා ලවය මාරු කිරීම හෙවත් උඩ යට මාරු කිරීමයි.

අපට නිතරම හමුවන දර්ශක සංඛ්‍යාවල පාදය 10 වේ (ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් ඔබට අවශ්‍ය නම් දර්ශක සංඛ්‍යාවක පාදය ලෙස ගත හැකිය).

ඕනෑම නිඛිල හෝ දශම සංඛ්‍යාවක් සම්මත ආකාරය (standard notation) යැයි පවසන ක්‍රමයකට ලිවිය හැකිය. එය කිරීම ඉතාම පහසුය. මුල් සංඛ්‍යාව ගෙන, එය දශම තිතට මුලින් බිංදුව නොවන වෙනත් එක් ඉලක්කමක් පමණක් දශම තිතට වම් පැත්තට එන පරිදි දශම සංඛ්‍යාවක් ලෙස ලියන්න. ඉන්පසු, එම දශම සංඛ්‍යාව මුල් සංඛ්‍යාවට අගයෙන් සමාන වීමට වැඩි කළ යුතු දහයේ ගුණාකාරය ලියන්න. මෙම දහයේ ගුණාකාරය දර්ශක ක්‍රමයට ලිවූ විට අපට ලැබෙන්නේ සම්මත ආකාරයට ලියූ සංඛ්‍යාවකි. උදාහරණයක් ගෙන බලමු.

75325.14 ( -> 7.532514 x 10000 ) = 7.532514 x 10⁴
0.0034 ( -> 3.4 x 0.0001 = 3.4 x (1/1000) ) = 3.4 x 10^-3

ඉහත සම්මත ආකාරය ලියන තවත් ක්‍රමයක් ඇත. ඊට e (හෝ E) යන අකුර යොදා ගන්නවා. එහිදී, 10 යන පාදය ලියන්නේ නැත; ඉහළට එසවූ දර්ශක ලියන්නේද නැත (එමනිසා පහසුයි මෙම ක්‍රමයෙන් සම්මත ආකාරයට සංඛ්‍යා ලිවීම). ඉහත සංඛ්‍යා දෙක මෙම දෙවන ආකාරයට පහත ලෙස ලිවිය හැකියි.

7.532514 x 10⁴ = 7.532514e4 හෝ 7.532514+e4
3.4 x 10^-3 = 3.5e-3

දර්ශක ගැන පැවසීමේදී තවත් ‍වැදගත් වචනයක් අපට හමු වනවා order (ඕර්ඩර්) නමින්. ඔර්ඩර් එක යනු දර්ශක සංඛ්‍යාවක දර්ශකයෙන් පෙන්වන අගයම වේ. උදාහරණයක් ලෙස, 10⁵ යන දර්ශක සංඛ්‍යාවේ ඕර්ඩර් එක 5 වේ. මෙම වචනය නිතර භාවිතා වෙන්නේ යම් අගයක් තවත් අගයකට වඩා කොතරම්ද (එනම්, අනුපාතය කොපමණද යන වග) යන්න පැවසීමේදීය. උදාහරණයක් ලෙස, යම් x නම් රෙසිස්ටරයක ප්‍රතිරෝධය තවත් y නම් රෙසිස්ටරයක ප්‍රතිරෝධයට වඩා ඕර්ඩර් දෙකකින් වැඩියි කියූ විට ඉන් අදහස් කෙරෙන්නේ, එම x රෙසිස්ටරයේ ප්‍රතිරෝධය y හි ප්‍රතිරෝධයට වඩා 100 (10²)ගුණයකින් “වැඩි” බවයි. එලෙසම, 10^-5 යන්නෙහි ඕර්ඩර් එක -5 වේ. මෙය ඍණ සංඛ්‍යාවක් නිසා අනුපාතය “අඩු” (ධණ වූ විට “වැඩි” වේ) ලෙස සැලකිය යුතුයි. උදාහරණයක් ලෙස, x හි ප්‍රතිරෝධය y හි ප්‍රතිරෝධයට වඩා ඕර්ඩර් 2ක් “අඩුයි” කියා පැවසුවොත් ඉන් අදහස් වෙන්නේ x හි අගය y හි අගයට වඩා 100 ගුණයකින් අඩු බව හෙවත් x හි අගය y හි අගය මෙන් 1/100 (1/10² = 10^-2)‍ ගුණයක් බවයි.

බොහෝ අවස්ථාවලදී ඕර්ඩර් එක පැවසීමේදී 10 යන්න පාදය ලෙස සැලකේ (ඉහත උදාහරණ දෙක බලන්න). එහෙත් හැමවිටම එය එසේ විය යුතු නැත. බොහෝ වෙලාවට පාදය ලෙස දහය ගැනෙන්නේ අප එදිනෙදා වැඩ කටයුතු කරන්නේ දහයේ පාදයෙන් නිසාය. එහෙත් තාක්ෂණික ලෝකයේදී දෙකේ පාදය, දහසයේ පාදයද නිතරම භාවිතා වේ (විශේෂයෙන් ඩිජිටල් ඉලෙක්ට්‍රොනික්ස් හා පරිගණක තාක්ෂණයේදී). මෙවැනි අවස්ථාවල ඕර්ඩර් එක ඒ ඒ අදාළ පාදයට අනුව සැලකිය යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස, දෙකේ පාදයෙන් වැඩ කරන විටක, 2⁵ ලෙස ඇති අවස්ථාවක 5 යනු ඕර්ඩර් එක වුවත්, දැන් එහි පාදය දහය නොව, 2 බව මතක තබා ගන්න. ඒ අනුව එම අවස්ථාවේ x හි අගය y හි අගයට වඩා ඕර්ඩර් පහකින් වැඩි යැයි පැවසූ විට, ඉන් අදහස් ව‍න්නේ y හි අගය x හි අගය මෙන් 2⁵ හෙවත් (2x2x2x2x2 =) 16 ගුණයකින් වැඩි බවයි. මේ ආකාරයට ඕර්ඩර් යන වචනය තේරුම් ගැනීමට පුරුදු වන්න. පොත පතෙහි මෙම වචනය නිතරම හමු වෙතත් බොහෝ දෙනෙක්ට මෙහි ඇති සරල තේරුම අවබෝධ වී නැති නිසයි මෙලෙස එය පැහැදිලි කළේ.

අප උපන්දා සිට වැඩ කිරීමට පුරුදුව ඇත්තේ දහයේ පාදයේ සංඛ්‍යා සමගයි. දහයේ පාදයේ සංඛ්‍යා යනු එකිනෙකට වෙනස් සංඥා හෙවත් ඉලක්කම් (digits) දහයක් ආශ්‍රයෙන් ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් (number) ලිවීමයි. මෙම එකිනෙකට වෙනස් ඉලක්කම් දහය වන්නේ ඔබ කවුරුත් දන්නා 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 වන ඉන්දු අරාබි ඉලක්කම් වේ. වේ. ඕනෑම ලොකු කුඩා අගයක් මෙම ඉලක්කම් දහය උපයෝගි කරගෙන සංඛ්‍යාවක් ලෙස ලිවිය හැකි බව ඔබ දන්නවා.

සංඛ්‍යා හා ඉලක්කම් (හෙවත් අංක) යනු බොහෝ දෙනා සමාන තේරුම් ඇති පද ලෙස සැලකු‍වත්, ඒ දෙක වෙනස් බව තේරුම් ගන්න. සංඛ්‍යාවක රාජකාරිය වන්නේ අගයක් (value හෝ magnitude) ප්‍රකාශ කිරීමයි. ඉලක්කම්වල රාජකාරිය වන්නේ එම සංඛ්‍යා ලිවීමට උපකාරි කිරීමයි. ඒ අනුව උපමාවකින් දක්වන්නේ නම්, ඉලක්කම් යනු භාෂාවක හෝඩිය බදුයි. හෝඩියක ඇත්තේ සීමිත අකුරු ගණනක්. උදාහරණයක් ලෙස ඉංග්‍රිසි හෝඩියේ ඇත්තේ අකුරු 26ක් පමණයි. එලෙසම ඉලක්කම් යනුද ගණිතය නම් භාෂාවේ හෝඩිය වන අතර එහි ඉලක්කම් ගණන 10 වේ (දහයේ පාදයේ සංඛ්‍යා සඳහා). සීමිත අකුරු විවිධ විදියට කලවම් කර අනන්ත වූ වචන ප්‍රමාණයක් සෑදිය හැකි සේම, ඉලක්කම් මිශ්‍ර කර අනන්ත ගණනක් වූ සංඛ්‍යා නිර්මාණය කළ හැකියි. ඒ අනුව සංඛ්‍යා යනු භාෂාවක වචන බදුයි. මා මෙම අතිරේකය පටන් ගන්න කොටත් පැවසුවා ගණිතය යනුද භාෂාවක් බව. දැන් එය තවදුරටත් ඔබට ප්‍රත්‍යක්ෂ වූවා යැයි මා සිතනවා.

ගණිත හෝඩියේ ඉලක්කම් ගණන හැම විටම දහයම විය යුතු නැත. එය ඕනෑම ගණනක් විය හැකියි. අප බහුලවම භාවිතා කරන්නේ දහය, දෙක, හා දහසයයි. එමනිසා, මේ එක් එක් ක්‍රම ගැන දැන් සලකා බලමු. යම් සංඛ්‍යාවක් ලිවීමට භාවිතා කරන හෝඩියේ ඉලක්කම් ගණන එම සංඛ්‍යාවේ පාදය (base) ලෙස හැඳින් වේ. ඒ අනුව නිතර භාවිතා කරන සංඛ්‍යා දහයේ (decimal) පාදයේ සංඛ්‍යා ලෙස සැලකේ. ඉලක්කම් දෙකක් පමණක් යොදාගෙන ලියනු ලබන සංඛ්‍යා දෙකේ (binary) පාදයේ වේ. ඉලක්කම් දහසයක හෝඩියකින් ලියන සංඛ්‍යා දහසයේ (hexadecimal හෝ hex) පාද‍යේ සංඛ්‍යා වේ. යම් සංඛ්‍යාවක වැඩිම ස්ථානීය අගය ඇති ඉලක්කම හෙවත් වම් අත පැත්තේ කෙළවරම ඇති ඉලක්කම MSD (Most Significant Digit) ලෙසද, අඩුම ස්ථානීය අගය පෙන්වන ඉලක්කම හෙවත් දකුණත පැත්තේ කෙළවරම ඇති ඉලක්කම LSD (Least Significant Digit) ලෙසද හැඳින් වේ. (දෙකේ පාදයේ සංඛ්‍යා සඳහා MSD හා LSD හි අවසන් D අකුර වෙනුවට B අකුර ආදේශ වී MSB හා LSB ලෙස සකස් වේ. ඊට හේතුව එම නම්, Digit වෙනුවට Bit යන්න ආදේශ වීමයි.)

යම් සංඛ්‍යාවක් ලියන විට, එම සංඛ්‍යාව තුළ එක් එක් ඉලක්කම් පිහිටා ඇති ස්ථානය අනුව ඒ ඒ ඉලක්කමට ස්ථානීය අගයක් හිමි වේ. එම ස්ථානීය අගය එම සංඛ්‍යාව ලියන පාදයේ විවිධ බල ලෙස පහසුවෙන් දැක්විය හැකියි. ස්ථානීය අගයට අමතරව, ඒ ඒ ඉලක්කමටද එම ඉලක්කමෙන් ඉබේම පෙනෙන අගයද (මුහුණත් අගය) ඇත. එනම්, 5 යන ඉලක්කමේ අගය පහය. 9 යන ඉලක්කමේ අගය නවයයි. පහත දැක්වෙන්නේ දහයේ පාදයේ සංඛ්‍යාවක ස්ථානීය අගයන් සහිතව පෙන්වා දීමකි.

ඉහත 5 ‍ඉලක්කම පිහිටා ඇත්තේ 10⁴ හෙවත් 10000 යන ස්ථානීය අගය සහිත ස්ථානයේය. එමනිසා, 5 යන ඉලක්කම 10000 යන ස්ථානීය අගය සහිත ස්ථානයේ පිහිටීම නිසා, සංඛ්‍යාව තුළ එම ඉලක්කම විසින් ඇති කරගන්නා මුළු අගය වන්නේ 5x10000 හෙවත් 50000 වේ. එලෙසම, 3 යන ඉලක්කමට 10² යන ස්ථානීය අගය ඇති නිසා, එම ඉලක්කම එම සංඛ්‍යාව තුළ 3x100 හෙවත් 300 යන මුළු අගයක් හිමි කර ගන්නවා. ඒ ආකාරයට යම් සංඛ්‍යාවක් තුළ ඇති එක් එක් ඉලක්කම්වල මුළු අගයන් එකතු කළ විට ලැබෙන්නේ එම සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවේ අගය බව පෙනෙනවා.

එලෙසම දෙකේ පාදයේ සංඛ්‍යාවක ස්ථානීය අගයන්ද පහත රූපයේ දැක්වේ. දෙකේ පාදය සඳහා 1 හා 0 යන සංඥා දෙක පමණක් යොදා ගැනේ. බයිනරි ඉලක්කම (binary digit) යන්න බිට් (bit) යන කෙටි “සුරතල්” නාමයෙන් හැඳින් වේ. Bit යන්න සෑදී ඇත්තේ binary + digit = bit ලෙසය.

මේ ආකාරයට ඕනෑම පාදයකින් දක්වා ඇති සංඛ්‍යා ගැන පහසුවෙන් තේරුම් ගත හැකි වෙනවා.

එක් පාදයකින් දක්වා ඇති සංඛ්‍යාවක් තවත් පාදයකින්ද දැක්විය හැකියි. මෙලෙස ඉහත ප්‍රධාන පාද අතර සංඛ්‍යා පෙරලන (conversion) අයුරු දැන් බලමු. සංඛ්‍යාවේ දශම කොටසක් ඇත් නම්, නිඛිල කොටස හා දශම කොටස වෙන වෙනම සලකා බැලිය යුතුය.

පළමුව දහයේ පාදයේ සංඛ්‍යාවක නිඛිලයක් පෙරලන අයුරු බලමු. දහයේ පාදයේ සංඛ්‍යාවක් දෙකේ (හෝ වෙනත් ඕනෑම) පාදයකට පෙරලන්නේ, එම සංඛ්‍යාව අඛණ්ඩව එම ‍නව පාදයෙන් බෙදාගෙන යෑමෙනි. එසේ බෙදාගෙන යන විට, ඉතිරි වන ඉලක්කම ඊට ඉදිරියෙන් ලියන්න. එවිට, නව පාදයට වඩා අඩු ඉලක්කමකට පත් වූ විට, තව දුරටත් බෙදිය නොහැකි නිසා, බෙදීම එතැනින් අවසන් කළ යුතුය. ඉන්පසු, එම ඉතිරි ඉලක්කම් පහළ සිට ඉහළට පිළිවෙලින් ලියූ විට, මුල් දහයේ පාදයේ සංඛ්‍යාවම අලුත් පාදයේ සංඛ්‍යාව ලෙස ලැබී ඇත.

දැන් දශම කොටසක්ද සහිත සංඛ්‍යාවක් බලමු. උදාහරණයක් ලෙස 4215.257 යන සංඛ්‍යාව බලමු. පෙර සේම නිඛිල කොටස පළමුව පෙරළා ගන්න.

දෙවනුව, දශම කොටස බයිනරි දශමවලට පෙරළන හැටි බලමු. දශම කොටස දශම තිත සමගම ලියා එය දෙකෙන් වැඩි කරන්න. එවිට, දශම තිතට වම් පැත්තෙන් එක්කො 0 නැතහොත් 1 ලැබේ. එලෙස ලැබෙන ඉලක්කම බයිනරි දශ‍මයේ පළමු ඉලක්කම බවට පත් වේ. දැන්, නැවත දශම තිතට දකුණු පැත්තේ ඇති කොටස පමණක් දෙකෙන් වැඩි කරන්න. ඉන්ද දශම තිතට වම් පැත්තට ලැබෙන ඉලක්කම බයිනරි දශමයේ දෙවැනි අංකය බවට පත් වේ. මෙය දිගින් දිගටම කරන්න දශම කොටස බිංදුව වන තුරුම. එහෙත් සමහර ඩෙසිමල් අංක බයිනරි කරන විට කිසි විටක ‍‍බිංදුව හමු නොවන (අනන්ත දශම) අවස්ථාද හමු වේ. එවිට, අපට අවශ්‍ය නිරවද්‍යතාව දක්වා පමණක් මෙම ක්‍රියාව සිදු කර නවත්වන්න.

දැන් මෙම බයිනරි දශම කොටස හා නිඛිල කොටස එකට ලියන්න (1000001110111.11001). ඇත්තටම දශම (ඩෙසිමල්) සංඛ්‍යාවලදී හමුවන ඩොට් එක “දශම තිත” (decimal point) ලෙස හැඳින් වූයේ එම තිත හමු වූයේ දශම සංඛ්‍යාවක් තුළ නිසාය. බයිනරි සංඛ්‍යාවක් තුළ ඇති එම ඩොට් එකම “දශම තිත” යනුවෙන් බොහෝ දෙනා පැවසුවත් එය වැරදි බව ඔබටද දැන් වැටහිය යුතුයි. බයිනරි සංඛ්‍යාවක් තුළ එය හැඳින්විය යුත්තේ “බයිනරි තිත” (binary point) කියාය. එලෙසම ඒ ඒ පාදයේ නමින් එම ඩොට් එක හැඳින් විය යුතුයි. හෙක්ස් සංඛ්‍යාවකදී එම ඩොට් එක ඒ අනුව hex point ලෙස හැඳින්විය යුතුයි නේද? ඒ ඒ පාදයේ නමින් නැතිව අවශ්‍ය නම් ඒ සියල්ලම වෙනුවට පොදු නමකින්ද එම ඩොට් එක හඳුන්වන්න පුළුවන්. එම පොදු නම වන්නේ radix point ය.

සංඛ්‍යාවක පාදය දැක්වීමට බොහෝ විට, සංඛ්‍යාවට පසුව subscript එකක් ලෙස පාදය සලකුණු කෙරේ. බොහෝ අවස්ථාවල දහයේ පාදය බහුලවම භාවිතා කරන නිසා දහයේ පාදයේ සංඛ්‍යාවල එය සලකුණු කිරීමට බොහෝ අය උත්සුක නොවූවත් අනෙක් පාද සඳහා එය සලකුණු කළ යුතුය (කල‍බලේට සමහර අයට මෙය සලකුණු කිරීමට අමතක වන අවස්ථා බහුලයි).

24094₁₀ 10111001₂ 98A90F4₁₆ = 98A90F4_h (දහසයේ පාදයේදී 16 වෙනුවට h ද ලිවිය හැකියි.)

දෙකේ පාදයේ සංඛ්‍යාවලදී ති‍බෙන්නේ සංඥා හෙවත් ඉලක්කම් දෙකක් පමණි. ඒ සඳහා දහයේ පාදයේ සංඛ්‍යා සඳහා යොදා ගත් සංඥාවලින්ම පළමු සංඥා දෙක වන 1 හා 0 ඒ සඳහා යොදා ගත්තා. අමුතුවෙන් සංඥා දෙකක් නිර්මාණය කරනවාට වඩා එය පහසු මෙන්ම බුද්ධිමත් තීරණයක් නේද? එලෙසම, තෙවැනි, සිව්වැනි ආදී ලෙස දහයේ පාදය දක්වාම වූ සංඛ්‍යා පද්ධති සඳහා මෙම ඉලක්කම්ම යොදා ගත හැකි බව තේරෙනවා. එහෙත් දහයෙන් එහාට ගිය සංඛ්‍යා පද්ධති සඳහා අපට අලුතින් ඉලක්කම උවමනා වෙනවා. ඊටද පහසු ක්‍රමයක් යොදා ගෙන තිබෙනවා. ඒ සඳහා ඉංග්‍රිසි හෝඩියේ අකුරු යොදා ගන්නවා. ඉංග්‍රිසි හෝඩිය ලොව පුරා ප්‍රචලිතම හෝඩිය නිසා එයද බුද්ධිමත් තීරණයක් නේද? ඒ අනුව, එකොලොස් වැනි පාදයේ සංඛ්‍යා සඳහා අලුතින් A (හෝ a. ඇත්තටම කැපිටල් සිම්පල් භේදය ගණන් ගන්නේ නැත.) යන්න යොදා ගත හැකියි. ඒ අනුව, දහ‍සයේ පාදය සඳහා අලුතින් අවශ්‍ය වන ඉලක්කම 6 සඳහා A, B, C, D, E, F යන අකුරු හය යොදා ගන්නවා. ඒ අනුව, දහ‍සයේ පාද‍යට අයිති ඉලක්කම් වන්නේ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F වේ. මෙම අකුරු සාමාන්‍ය ඉලක්කම් සේම නිශ්චිත අගයන් සහිත ඉලක්කම් සේම සැලකිය යුතුය. ඒ අනුව, A යනු 10 යන අගයද, B යන්නට 11 යන අගයද ආදි වශයෙන් F යනු 15 යන අගයද ඇති සේ සැලකිය යුතුයි.

දැන් අප බලමු ඉහතදී ඩෙසිමල් සංඛ්‍යාවක් බයිනරි කළාක් සේම, ඩෙසිමල් සංඛ්‍යාවක් හෙක්ස් සංඛ්‍යාවක් බවට පත් කරන අයුරු. ක්‍රියාවලිය වෙනසක් නැත.

දැන් අපි බලමු විවිධ පාදයේ සංඛ්‍යාවක් දහයේ පාදයේ සංඛ්‍යාවකට හරවන හැටි. බයිනරි (හෝ වෙනත් ඕනෑම පාදයක) සංඛ්‍යාවක් ඩෙසිමල් වලට පෙරළිම ඉතාම පහසුය. කළ යුත්තේ, ඒ ඒ ඉලක්කමේ ස්ථානීය අගයෙන් ඉලක්කමෙන් නිරූපණය කරන (මුහුණත්) අගයෙන් වැඩි කර, එම සියලුම අගයන් එකතු කිරීම පමණයි. පහත උදාහරණ බලන්න.

දහයේ පාදයේ සංඛ්‍යා සමග එකතු කිරීම අඩු කිරීම වැඩි කිරීම ආදිය සිදු කළාක් සේම, අනෙක් පාදයේ සංඛ්‍යා සමගද ඒවා සිදු කළ හැකියි. රීතීන්වල වෙනසක් නැත. ධණ ඍණ සම්බන්ධ රීතින්ද වෙනස් නොවේ. දර්ශක නීතිද වෙනස් නොවේ.

හෙක්ස් සංඛ්‍යාවක් බයිනරිවලටත් බයිනරි සංඛ්‍යාවක් හෙක්ස් බවටත් පත් කිරීමට ඉතා පහසු කෙටි ක්‍රමයක් ඇත. සෑම හෙක්ස් ඉලක්කමකටම බයිනරි ඉලක්කම් හතරකින් යුත් නිශ්චිත බයිනරි රටාවක් (combination) බැගින් ඇත. ඒවා ටික මතක නම්, ක්ෂණිකව එකක් අනිකට හැරවිය හැකියි. මේවා කටපාඩම් කිරීමද අත්‍යවශ්‍ය නැත. බයිනරි සංඛ්‍යා සමග හුරු වී ටික කලකින් ඉබේම වාගේ මෙම කම්බිනේෂන්ස් ඔබේ සිතින්ම සාදා ගත හැකියි.

ර්ශක සංඛ්‍යා සමග වැඩ කටයුතු කිරීමේදී ලඝු (logarithm හෝ log) යන ගණිත කර්මයද බිහිවිය. ලඝුවලදී කරන්නේ පාදය හා දර්ශකය යන දෙකම සහිත දර්ශක සංඛ්‍යාව සමග ගණිත කර්ම සිදු කරනු වෙනුවට දර්ශක කොටස සමග ගණිත කර්ම සිදු කිරීමයි. දර්ශක සංඛ්‍යාවලදී පාදය වැදගත් සේම ලඝුවලදීද පාදය වැදගත්ය. යම් සංඛ්‍යාවක ලඝු සෙවීමේදී කුමන පාදයේ ලඝුද යන්න පැවසිය යුතු වෙනවා.

b^y = x නම්, log_b x = y

පාදය කුමක්දැයි කුඩා අකුරින් පහළින් (subscript එකකින්) ඉහත රූපයේ පෙන්වා ඇති ආකාරයට ලඝු (log) යන වචනය සමග ලිවිය යුතුයි. දර්ශකවල සේම, දහය පාදය සමග අප බොහෝ වැඩ කරන බැවින්, දහයේ පාදය බොහෝ විට එලෙස දක්වන්නේ නැත. දර්ශක නීති කිහිපයක් තිබුණා සේ, ලඝුවලටද රීතින් කිහිපයක් තිබේ.

විද්‍යාවේදී අපූරු නියතයක් තිබෙනවා. එය e අකුරින් දක්වන අතර එහි අගය අපරිමේය (අනන්ත දශම) වේ. එහි දශමස්ථාන හතරකට නිවැරදි අගය වන්නේ 3.7183 වේ. මෙම නියතය පාදය කරගෙන ලඝු සෙවිය හැකියි. එවිට එය ලඝු_e (log_e) ලෙස ලිවිය හැකියි. එම e පාදයට ලඝු බහුලවම භාවිතා වන බැවින් ඒ වෙනුවට ln යන කෙටි රූපයද ‍භාවිතා කෙරෙනවා. විද්‍යාව හා තාක්ෂණය තුළ බහුලවම භාවිතා වන ලඝු පාද තුන වන්නේ දහය, දෙක, හා e යි. ඉහත ලඝු රීතින් අනුව පහත සම්බන්ධතා ලබා ගත හැකිය.

ln(10) = 2.3026 ln(2) = 0.6931 log₁₀(e) = 0.4343

එවිතරක් නොවේ, e පාදයට නැංවූ බලයන්ද නිතර භාවිතා වේ. ඕනෑම පාදයකින් දර්ශක සංඛ්‍යා සෑදිය හැකි බවත් ඕනෑම පාදයකින් ලඝු සෑදිය හැකි බවත් කියා තිබියදීත් මා විශේෂයෙන් මෙම e පාදය ගැන නැවත නැවත සඳහන් කරන්නේ බොහෝ දෙනෙක්ට e තවම හුරු පුරුදු නැති නිසාය. ලඝුද දර්ශක (exponentiation) මෙන්ම ගුණ කිරීම්/බෙදීම්වලට නෑකමක් දක්වන ගණිත කර්මයකි. මේ අනුව, වැඩි කිරීම, බෙදීම, දර්ශක, ලඝු, මූල, ප්‍රතිශත යන සියල්ලම එකම පවුලේ ගණිත කර්ම බව මතක තබා ගන්න. එකතු කිරීම හා අඩු කිරීම යන දෙක තවත් පවුලක ගණිත කර්ම වේ.

යම් පාදයකින් තිබෙන ලඝු සංඛ්‍යාවක් තවත් පාදයකින් දැක්වීමට සරල සූත්‍රයක් ඇත.

log_a(x) = log_b(x).log_a(b)
 

(a පාදයෙන් තිබුණ ලඝු b පාදයෙන් දැන් ඇත. a හා b යන දෙකම නියත නිසා, log_a(b) යනුද නියතයකි.)

උදාහරණයක් ලෙස, දහයේ පාදයෙන් තිබෙන ලඝු e පාදයේ ලඝු බවට ඉහත සූත්‍රය අනුව පහත ආකාරයට ලැබේ.

ln(x) = log₁₀(x).ln(10) = 2.3026Log₁₀(x) ( ln(10)= 2.3026 බව ඉහත පෙන්වා ඇත.)

මෙලෙසම යම් පාදයකින් තිබෙන දර්ශකයක් තවත් පාදයකින් දැක්වීමට පහත සූත්‍රය භාවිතා කළ හැකියි.

මෙතෙක් අප සලකා බැලූ එකතු කිරීම්, බෙදීම්, ලඝු, දර්ශක ආදීය අංකගණිත කර්ම (arithmetic operations) ලෙස පොදුවේ හැඳින් වේ. Relational operations යනුවෙන්ද ගණිත කර්ම විශේෂයක් ඇත. මෙහිදී සිදුවන්නේ යම් සංඛ්‍යා හෝ රාශින් දෙකක් සංසන්දනය (comparison) කිරීමය. මෙහි, සංසන්දනය කිරීම් හයක් පවතී. මේ සියලුම ඔපරේටර්ස් A > B (A ට වඩා B විශාලයි) , A = B ආදි ලෙස ලියනු ලැබේ.

• < less than (වඩා අඩුයි)
• > greater than (වඩා වැඩියි)
• <= (හෝ  ) ‍less than or equal to (වඩා අඩුයි හෝ සමානයි)
• >= (හෝ  ) greater than or equal to (වඩා වැඩියි හෝ සමානයි)
• = (හෝ = =) equal to (සමානයි)
• != (හෝ < >) not equal to (අසමානයි)
  

ඉහත ඔපරේටර්වලට අමතරව >> හා << ලෙසද ඔබට යම් ඔපරේටර් දෙකක් හමුවිය හැකියි. << යනු “ඉතා කුඩායි” යන තේරුමද, >> යනු “ඉතා විශාලයි” යන තේරුමද ඇත.

සංඛ්‍යා තනි තනිව පවතින්නේ නැත. තනි තනි සංඛ්‍යාවන් පද (term) ලෙස හැඳින් වේ. ඒවැනි සංඛ්‍යා පද +, x ආදී ගණිත කර්ම හඟවන පද හෙවත් mathematical operators සමග ලියනු ලබනවා. එවිට ලැබෙන්නේ ගණිත ප්‍රකාශනයකි (expression). ප්‍රකාශනයක ඇති පද හඳුනා ගැනීම ඉතා වැදගත්ය. + හා - යන ඔපරේටර්වලින් පද වෙන් වේ. එහෙත් ගුණ කිරීම හා බෙදීම හා ඉහත දැක්වූ පරිදි ඒවායේ “නැදෑ” ඔපරේටර්ස් මගින් පද වෙන් නොවී, ඒ වෙනුවට ඇත්තටම සිදු වන්නේ වෙන වෙනම තිබෙන පද පවා එම ඔපරේටර්වලින් තනි පද බවට පත් වීමයි. උදාහරණයක් ලෙස, “4 + 5” යන ප්‍රකාශනයේ පද 4 හා 5 ලෙස පද දෙකක් ඇතත්, “4 x 5” යන ප්‍රකාශයේ ඇත්තේ තනි පදයක් පමණි (මක්නිසාද වැඩි කිරීම් බෙදීම් හා එම දෙකට නෑකම් දක්වන ලඝු, මූල, බල ආදී ඔපරේටර්වලින් පද වෙන් නොවනවා පමණක් නොව, වෙන්ව පැවැති පද එක් පදයක් බවට පත් කරනවා). තවද, වරහනක් තුළ ඇති සියල්ලම තනි පදයක් සේ සැලකේ.

ඉහත කියූ කරුණු වැදගත් වන්නේ යම් ගණිත ප්‍රකාශනයක් සුළු කිරීමේදීය. එහිදී “වන්බෙගුඑඅ” යන වචනය මතක තබා ගන්න. “වරහන්, න්, බෙදීම, ගුණකිරීම, එකතු කිරීම, අඩු කිරීම” යන්න කෙටියෙන් හඳුන්වන්නේ වන්බෙගුඑඅ ලෙසයි. ඉන් කියන්නේ සුළු කිරීමකදී, පළමුව වරහන් තුළ ඇති කුඩා ප්‍රකාශන තනි පදයක් දක්වා (හෝ හැකි පමණ) සුළු කර ගත යුතු බවත්, ඉන්පසු “න්” යන්න යොදා ඇති ඒවා සුළු කළ යුතු බවත්, ඉන්පසු බෙදීම් හා ගුණකිරීම් සිදු කළ යුතු බවත්, ඊටත් පසුව එකතු කිරීම අඩු කිරීම් කළ යුතු බවයි.

වරහන් (brackets) තුළ වරහන් ඇති විට, ඇතුළතම ඇති වරහනින් පටන් ගත යුතුය. සාමාන්‍යයෙන් වරහනක් යෙදීමෙන් ගණිත ප්‍රකාශයක් තනි ඒකකයක් ලෙසට පත් කරනවා. තවද, ගණිතයේදී විවිධාකාරයේ වරහන් භාවිතා වේ. වැඩිපුරම යොදන වරහන වන්නේ “( )” යන සාමාන්‍ය වරහනයි (parantheses). තවත් වරහනක් නම් “{ }” යන සඟල වරහනයි (curling brackets හෝ curls). තවත් වරහනක් නම් “[ ]” යන කොටු වරහනයි (square brackets). සාමාන්‍ය ගණිත ප්‍රකාශනවල මෙම ඕනෑම වරහනක් යෙදිය හැකි අතර, ඉන් වෙනසක් ඇති නොවේ (එහෙත් ප්‍රකාශනවල වැඩිපුරම භාවිතා වන්නේ සාමාන්‍ය වරහන බව පෙනේ). ඊට අමතරව විවිධ විශේෂ තේරුම් වෙනුවන්ද එම වරහන් භාවිතා කරනවා. ඊටත් අමතරව, විශේෂිත වරහන්ද ගණිතයේ පවතිනවා . “< >” ලෙසින් angle brackets ලෙස හැඳින්වෙන වරහන් ජාතිය එවැනි විශේෂිත වරහන් වර්ගයකි..

“න්” (ඉංග්‍රිසියේදී of යනුවෙන් එය භාවිතා වේ) යනු සත්‍ය ලෙසම භාග සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කරයි. උදාහරණයක් ලෙස, “5 න් 2 ක්” යන තැන “න්” ඇති අතර එම කොටසින් කියැවෙන්නේ 2/5 යන්නයි. එමනිසා න් යෙදී ඇති සෑම තැනක්ම භාග ස්වරූපයට ගෙන එන්න.

වන්බෙගුඑඅ යන වචන‍යේ මුලින් බෙදීමට පසුව ගුණ කිරීම ඇතත්, ඇත්ත වශයෙන්ම එම දෙකම සම මට්ටමේ පවතින ගණිත කර්ම දෙකක් බව ඔබ දන්නවා. එමනිසා, බෙදීම පළමුව කර ඉන්පසු ගුණ කළත්, පළමුව ගුණ කර දෙවනුව බෙදුවත් ප්‍රශ්නයක් නැත. තවද බෙදීම-ගුණකිරී‍මට නෑකම් දක්වන ගණිත කර්මත් මෙම අකුරු දෙකෙන් නියෝජනය වන බව මතක තබා ගන්න.

එලෙසමයි එකතු කිරීම හා අඩු කිරීමත්. ඒ දෙකත් එකිනෙකට සම තත්වයේ තිබෙන නිසා කුමක් මුලින් සිදු කළත් ප්‍රශ්නයක් නැත.

මෙම වන්බෙගුඑඅ යන මතක තබා ගැනීම පිණිස සාදා ගත් පදයෙන් (එවැනි මතක තබා ගැනීමට සාදාගත් වචන ඉංග්‍රිසියෙන් pneumonic ලෙස හැඳින් වේ) ඇත්තටම කියන්නේ ගණිත ප්‍රකාශයක් සුළු කිරීමේ අනුපිළිවෙල (order of precedence) වේ. මෙම අනුපිළිවෙල අනුගමනය නොකළොත් ලැබෙන පිළිතුර නිවැරදි නොවේ. පහත උදාහරණ‍ විසඳන විට ඉහත අනුපිළිවෙල අනුගමනය කර ඇත.

යම් ගණිත ප්‍රකාශයක් තවත් ගණිත ප්‍රකාශයකට හෝ අගයකට සමාන කළ විට ලැබෙන්නේ සමීකරණයකි (equation). කොටස් දෙකක් සමාන කරපු නිසා එම නම භාවිතා කෙරෙන බව පහසුවෙන්ම පෙනෙනවා.

තවද, ඕනෑම ගණිත ප්‍රකාශයක් එය කෙතරම් ‍විශාල වුවත් කුඩා වුවත් අවසානයේ තනි සංඛ්‍යාවක් දක්වා එය සුළු වෙනවා. එම සුළුවී ලැබෙන සංඛ්‍යාව කුමක්දැයි එකවර කීමට නොහැකි වන්නට පුළුවන්. ඊට හේතුව සංඛ්‍යා වෙනුවට x, y, t, θ ආදී සංඛ්‍යා නොවන සංඥාද ගණිත ප්‍රකාශයක් තුළ තිබිය හැකි වීමයි. මෙවැනි සංඛ්‍යා ස්වරූපෙන් නොතිබෙන පද “අඥාත පද” (unknown terms) ලෙස හැඳින් වෙන අතර, අඥාත යන්නෙහි ‍තේරුම “තවම දන්නේ නැති” යන්නයි. අඥාත පද විචල්‍යය (variable) නමින්ද හැඳින් වෙනවා. එනම්, එවැනි අඥාත පදයක රාජකාරිය වන්නේ දැනට දන්නේ නැති නමුත් නිසි වෙලාවට සංඛ්‍යාවක් ඒ වෙනුවට ආදේශ කර ගැනීමයි. එහෙත් අවසානයේදී එය තනි සංඛ්‍යාවකි. මෙවැනි විචල්‍ය භාවිතා කර ගණිත ප්‍රකාශ සෑදීමේ ගණිත ක්‍රමවේදය වීජ ගණිතය (algebra) යනුවෙන් හැඳින් වෙනවා. එවැනි විචල්‍යයන් ඇතුළත්ව ඇති ගණිත ප්‍රකාශ වීජීය ප්‍රකාශ (algebraic expression) ලෙසද හැඳින් වෙනවා. ගණිතයේදී වීජීය ප්‍රකාශ කියා හැඳින්වෙන දේම විද්‍යාවේදී සූත්‍ර (formula) කියා කියනවා. සූත්‍රයකින් (හෙවත් වීජීය ප්‍රකාශයකින්) සාමාන්‍යයෙන් සිදුවෙන්නේ යම් යම් රාශින් කිහිපයක් අතර ඇති සම්බන්ධතාවක් පෙන්වා දීමයි. උදාහරණයක් ලෙස F=ma (බලය = ස්කන්ධය x ත්වරණය) යන සූත්‍රයෙන් බලය, සකන්ධය, හා ත්වරණය යන රාශි තුන අතර තිබෙන සම්බන්ධතාවක් පෙන්වාදෙනවා.

යම් වීජීය ප්‍රකාශයක අවසන් පිළිතුර තවම දන්නේ නැත. එවැනි අවස්ථාවක එම වීජිය ප්‍රකාශය තවත් අඥාත පදයකට සමාන කරන සිරිතක් ගණිතයේ තිබෙනවා. උදාහරණයක් ලෙස

Y = 4x²

බැලූ බැල්මට මෙය සමීකරණයකි (මොකද = පදය දෙපස ප්‍රකාශ හෝ අගයන් දෙකක් පවතින නිසා). එහෙත් මෙවැනි අවස්ථාවකට සමීකරණයක් සතු සියලු ගුණාංග පැවතියත් ඊට සමීකරණයක් කියා කියන්නේ නැත. මේවාට ශ්‍රිත (function) යැයි පවසනවා. ඊට හේතුවක් ඇත. සමීකරණයකදී = ලකුණ දෙපස ඇත්තේ ස්වාධීන වෙන් වෙන් ප්‍රකාශ දෙකකි. එම ප්‍රකාශ දෙකම අවසානයේදී තනි සංඛ්‍යා දෙකකට සුළුවන බවත්, එලෙස ලැබෙන සංඛ්‍යා දෙක සමාන බවත් තමයි සමීකරණයකදී කියන්නේ. එහෙත් ශ්‍රිතයකින් කියවෙන්නේ එය නොවේ. සමීකරණයේ එක් පසක (බොහෝ විට එය = ට දකුණු අත පැත්තේ ඇති කොටසයි) ඇත්තේ ස්වාධීන (වීජීය) ප්‍රකාශයක් වන අතර එය යම් අවසාන අගයකට සුළු කළ හැකි අතර, අනෙක් පස ඇති අඥාත පදය යනු එම අවසානයට සුළුකර ලැබෙන අගය ලැබෙන තෙක් එම අගය නියෝජනය කරන නිකංම නමක්/ලේබල් එකක් පමණි. වීජීය ප්‍රකාශයක් තුළ ඇති විචල්‍යයන් ස්වායත්ත විචල්‍යයන් (independent variable) ලෙසත්, = ට අනෙක් පසින් ඇති වීජිය ප්‍රකාශයට පිටින් ඇති විචල්‍යය පරායත්ත විචල්‍යය (dependent variable) ලෙසත් හැඳින් වෙනවා. මේ අනුව පරායත්ත විචල්‍යය යනු නිකංම නිකං තාවකාලික නමක් පමණයි නේද? ශ්‍රිත මගින් විද්‍යා සූත්‍ර නිරූපණය කෙරෙන නිසා ගණිතයේදී ශ්‍රිතවලට විශේෂ තැනක් හිමිවෙනවා.

සමීකරණයකදී = ලකුණට දෙපැත්තෙන් කොටස් දෙකකි. දකුණු අත පැත්ත (Right Hand Side – RHS) හා වම් අත පැත්ත (Left Hand Side – LHS) යනුවෙන් එම පැති දෙක සාමාන්‍යයෙන් හැඳින් වෙනවා. හැමවිටම එක පැත්තක් තනි ඒකකයක් ලෙස සලකන්න (සිතින් වරහන් දමාගන්න පැති දෙකටම).

y² + 3y = x² + 30 <-> (y² + 3y) = (x² + 30)

ඒ ඒ පැත්ත තනි ඒකකයක් ලෙස සිතීමේ ප්‍රයෝජනයක් ඇත. සමීකරණයකදී පැති දෙකටම එකම ගණිත කර්මය සිදු කරන්නේ නම්, එම සමීකරණය තවදුරටත් සමාන වේ; එනම් සමීකරණය බිඳ නොවැටී තවදුරටත් සමානව පවතී. උදාහරණයක් ලෙස, යම් සමීකරණයකට වම් අත පැත්තට යම් අගයක් එකතු (හෝ අඩු) කරන විට, අනෙක් පැත්තටද එම අගය එකතු (හෝ අඩු හෝ ගුණ කිරීම හෝ බෙදීම හෝ) කළ විට, සමීකරණය තවදුරටත් සමානය.

(y² + 3y) + 10 = (x² + 30) + 10

එලෙසම, එක පැත්තක් යම් අගයකින් ගුණ කර (හෝ බෙදා) අනෙක් පසද එම අගයෙන්ම ගුණ කිරීම (හෝ බෙදීම) මගින්ද සමීකරණය තවදුරටත් සමාන වේ. එහෙත් ඉහත කියූ ලෙසට ඔබට එක් පැත්තක් තනි ඒකකයක් ලෙස සිතීමට බැරි වුවොත් ඔබ අතින් සිදු වන්නේ සමහරවිට පහත ආකාරයට වැරදි ගුණ කිරීමකි. මෙහිදී t වලින් බෙදීම සිදු වී ඇත්තේ (වරහන් යොදා නොතිබූ බැවින්) සම්පූර්ණ ප්‍රකාශයට නොව, දෙපැත්තේම ප්‍රකාශයේ එක් පදයකට පමණි.

y² + 3y/t = x² + 30/t ---------------- X (වැරදියි)

එහෙත් ඔබ පැති දෙකට වරහන් යෙදීමට පුරුදුව සිටියොත් එම වැරැද්ද සිදු නොවී පහත ආකාරයට නිවැරදිව ඒ දේ සිදු වේ.

(y² + 3y)/t = (x² + 30)/t --------------------- (නිවැරදියි)

අඩු කිරීම එකතු කිරිම බෙදීම ගුණ කිරීමට අමතරව තවත් ගණිත කර්ම කිහිපයක් සමීකරණයකට නිවැරදිව සිදු කරන අයුරු පහත අවස්ථා අධ්‍යනය කර විමසන්න.

 ------------ දෙපැත්තම වර්ගමූල කර

(y² + 3y)⁴ = (x² + 30)⁴ ------------------ දෙපැත්තම හතරවැනි බලයට නංවා

T^{(y2 + 3y)} = T^{(x2 + 30)} ---------------------- දෙපැත්තම T හි බලයට නංවා

= පදය පමණක් නොව, ඉහතදී relational operators හි සලකා බැලූ අනෙක් ඒවා සමගද ප්‍රකාශ සෑදිය හැකිය. එවැනි ප්‍රකාශන සමීකරණ ලෙස නොව “අසමානතා” ලෙස හැඳින් වේ.

(y² + 3y) > (x² + 30)

මේ සඳහාද ඉහත කී රීතින් සියල්ල අදාළ වේ. ඊට අමතරව අසමානතා අවස්ථාවලදී  විශේෂ කරුණු දෙකක් කීමට ඇත. එනම්,

1. අසමානතාවකදී, දෙපැත්තම -1 න් වැඩි කළ විට, අසමානතා සලකුණ විරුද්ධ සලකුණට මාරු වේ.
   
   9 > 4 (දෙපැත්තම -1න් වැඩි කළ විට) -9 < -4
   34 >= x  -34 <= x
   
   
2. අසමානතාවකදී. දෙපැත්තම ප්‍රතිලෝම කිරීමේදීද, අසමානතා සලකුණ විරුද්ධ සලකුණට මාරු වේ.
   
   9 > 4         1/9 < 1/4
   

වීජීය ප්‍රකාශන බොහෝ විට රූපමය ආකාරයකටද දැක්විය හැකිය. ඒවා ප්‍රස්ථාර (graph) ලෙස හැඳින්‍ වේ. වීජීය ප්‍රකාශ ඉතා සරල ස්වභාවයේ සිට අති සංකීර්ණ ස්වභාවය දක්වා පුළුල් පරාසයක් දක්වා පවතී. සමහර ශ්‍රිතවල ස්වායත්ත විචල්‍ය ඇත්තේ එකක් පමණි. මේවා බොහෝ විට ඉතා සරලයි. තවත් ශ්‍රිතවල ස්වායත්ත විචල්‍යයන් දෙකක් තිබිය හැකියි. මෙලෙස ස්වායත්ත විචල්‍යයන් ගණන වැඩි වන විට, බොහෝ විට සංකීර්ණ බවද වැඩි වෙනවා. ප්‍රස්ථාර ගත කල හැක්කේද ස්වායත්ත විචල්‍යයන් දෙකකට වඩා අඩු අවස්ථා පමණි.

ස්වායත්ත විචල්‍යය යනු ස්වාධීනව අගයන් ලබා ගත හැකි විචල්‍යයන්ය. ඒ කියන්නේ එම විචල්‍යයකට ඊට සුදුසු අගය පරාසයෙන් ඕනෑම අගයක් ඔබට ලබා දිය හැකියි. ඒ ඒ ශ්‍රිතය නිර්මාණය කර තිබෙන පරිසරය හෝ එම ශ්‍රිතය (සූත්‍රය) යොදාගන්නා අවස්ථාව අනුව ඊට ලබා දිය හැකි අගය පරාසය තීරණය වෙනවා. උදාහරණයක් ලෙස, පුද්ගලයකුගේ වයස (A) ස්වායත්ත විචල්‍යය ලෙස ගෙන වයස හා එම පුද්ගලයාගේ බුද්ධිය (I) අතර පහත දැක්වෙන ආකාරයේ ශ්‍රිතයක් (සූත්‍රයක්) ඔබ විසින් පර්යේෂණ සිදු කර සොයාගත්තා යැයි සිතන්න.

බුද්ධිය = 0.1(වයස)² (I = 0.1A²)

දැන් වයස යනු ස්වායත්ත විචල්‍යය නිසා, ඔබට කැමැති අගයක් ඊට ආදේශ කර එවිට ඔහුගේ බුද්ධි මට්ටම කොතෙක්දැයි දැන් සොයාගත හැකියි නේද? එහෙත් මදක් සිතා බලන්න. වයස යන විචල්‍යයට ඔබට කැමැති ඕනෑම අගයක් දිය හැකිද? නොහැකිය. උදාහරණයක් ලෙස ඔබට වයසට ඍණ අගයක් ලබා දිය නොහැකිය. ඒ විතරක් නොවේ. ඔබට වයසට බොහෝ විට 150 ට වැඩි අගයක්ද ලබා දිය නොහැකියි (මොකද වයස 150ට වඩා ජීවත් වන මිනිසුන් නැති නිසා). ඒ අනුව මේ අවස්ථාව අනුව ඔබට මෙම ස්වායත්ත විචල්‍යයට දිය හැකි පරාසය වනුයේ 0 සිට 150 දක්වා අගයකි.

ඔබ අප ජීවත්වන ලෝකය ත්‍රිමාණ අවකාශයකින් (3 Dimensional space – 3D space) යුක්තයි. ඒ කියන්නේ සෑම වස්තුවකටම දිගක්, පළලක්, හා උසක් (ගැඹුරක්) තිබෙනවා. උදාහරණයක් ලෙස මේසය උඩ තිබෙන පොතක් දෙස බලන්න. එහි පිටුවක දිගක් පළලක් තිබෙනවා. තවද, සෑම කොලයකම සිහින් ගණකමක්ද තිබෙනවා. එම පොතේ කොල බොහෝ ගණනක් තිබෙනවා. එමනිසයි එම පොතට ගැඹුරක්/උසක් ලැබී තියෙන්නේ.

දැන් එම පොතේ කොල ගණන අඩු කරමින් යන විට උස ක්‍රමයෙන් අඩු වෙනවා. එක කොලයක් පමණක් දක්වා එම උස අඩු කරනවා යැයි සිතන්න. උස අඩු කළත් දිග පළල වෙනස් නොවේ. සිතන්න දැන් එම තනි කොලයේද ඝනකම ක්‍රමයෙන් අඩු කරමින් යනවා කියා. එලෙස එහි ඝනකම බිංදුව දක්වා අඩු කළා යැයි සිතමු. එවිට, දැන් එම වස්තුවට ඇත්තේ දිගක් හා පළලක් පමණයි නේද? මෙවැනි දිගක් හා පළලක් පමණක් ඇතැයි සිතිය හැකි අවකාශයක් ද්විමාණ (2D) අවකාශයක් ලෙස හැඳින් වේ. ඝනකම ශූන්‍ය වූ කොල කොපමණ ප්‍රමාණයක් එක උඩ එක තිබ්බත් ඉන් (සාමාන්‍ය හුරුපුරුදු පොත මෙන්) උසක් ඇති වන්නේ නැති බවද ඔබට වැටහිය යුතුය. ඇත්තටම අප ත්‍රිමාණ සත්වයන් නිසා, තුනට වඩා අඩු මාන හා තුනට වඩා වැඩි මාන ගැන එකවරම පහසුවෙන් වැටහීමක් ලබා ගත නොහැකියි. ටික වේලාවක් තමන්ම ඒ ගැන සිතා බලා මනස හුරුකර ගත හැකියි. ත්‍රිමාණ ලෝකයේ තිබෙන හැම වස්තුවක්ම ත්‍රිමාණ වේ. එලෙසම ද්විමාන අවකාශයේ තිබිය යුත්තේ ද්විමාන වස්තූන් විය යුතුයි නේද? ඇත්තටම එවැනි වස්තුන් අප අත් දැක නොමැත. ආසන්න වශයෙන් සෙවනැල්ල ද්විමාන දෙයක් ලෙස සැලකිය හැකිය. සෙවනැල්ලකට දිග පළලක් තිබුණත් එහි ඝනකමක් නැහැ නේද?

ද්විමාන අවකාශයෙනුත් එක් මානයක් ඉවත් කළ විට ලැබෙන්නේ ඒකමාන (1D) අවකාශයයි. එය තේරුම් ගැනීම ද්විමාන අවකාශය තේරුම් ගැනීමටත් වඩා තරමක් අපහසුය. ඒකමාන අවකාශයක ඇත්තේ දිගක් පමණි. එය අනන්තයක් තරම් දිග වූ සරල රේඛාවක් බදුය. ඇත්තටම ද්විමාන හා ඒකමාන (හා ත්‍රිමානවලට ඉහළ සිව්මාන පංචමාන ආදි) අවකාශ මනසින් පමණක් මවාගත හෝ සිතාගත යුතු අවකාශ වේ. උසස් විද්‍යා සංකල්ප තිබෙනවා අවකාශ මාන එකොලහක් පමණ ඇතැයි උපකල්පනය කරන (String Theory, M – Theory). න්‍යායාත්මකව අවකාශීය මාන අනන්ත ගණනක් පැවැතිය හැකිය. අන්ධයෙකුට රතු හෝ වෙනත් වර්ණයක් වටහ දෙන්න ඔබට පුළුවන්ද? සිතා බලන්න. එලෙසම ත්‍රිමාන අවකාශයක් පමණක් අත් දැකිය හැකි අපට ඊට වඩා ඉහළ මාන තිබුණත් අවබෝධ කර ගැනීමට බැරිය. එය හරියට අන්ධයාට වර්ණ නොතේරෙන්නාක් වැනිමය.

ඕනෑම අවකාශයක යම් අංශුවක පිහිටීම හරියටම කිව හැකි ක්‍රමයක් විද්‍යාව තුළ ඇත. ඊට ඛණ්ඩාංක තල පද්ධති (coordinate system) යැයි කියනවා. ඒක මාන අවකාශ සඳහා අවශ්‍ය නම්, මුලින්ම අප කතා කළ සංඛ්‍යා රේඛාවම එම අවකාශයට සුදුසු ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය ලෙස ගැනීමට පුළුවන්. ඒකමාන අවකාශ‍ය යනු නිකංම සරල රේඛාවක් බදු නිසා, එම රේඛාවේ ඕනෑම පිහිටීමක් යනු සංඛ්‍යා රේඛාවේ එම ස්ථානයට හිමි අගය වේ. එහෙත් අපට ඒකමාන අවකාශය එතරම් වැදගත් නැත.

දෙවනුව ද්විමාන අවකාශය සලකා බලමු. මෙය ඉතා වැදගත්ය. ඒකමාන අවකාශයට තනි සංඛ්‍යා රේඛාවකින් වැඩේ කළ හැකි නිසා, එයම තවදුරටත් වර්ධනය කර පහත රූපයේ ආකාරයට එකිනෙකට ලම්භකව ඇති සිරස් හා තිරස් සංඛ්‍යා රේඛා දෙකක් යොදා ගැනීමෙන් ද්විමාන අවකාශයේ ඕනෑම ස්ථානයක් අනන්‍යව ලකුණු කළ හැකි වෙනවා.

ඛණ්ඩාංක තලයක පවතින් මෙම එකිනෙකට ලම්භක රේඛා අක්ෂ (axis) ලෙස නම් කෙරේ. ලම්භක අක්ෂ එකිනෙකට කැපෙන ස්ථානය මූලය (origin) ලෙස හැඳින් වේ. යම් ස්ථානයක පිහිටුම X අක්ෂය දිගේ කීවෙනි තැනද, Y අක්ෂය දිගේ කීවෙනි තැනද යන්න සම්මතයක් ලෙස (x-අගය,y-අගය) ලෙස ලියනු ලබයි. මෙම (x,y) යන්න ඛණ්ඩාංක (coordinate) ලෙස හැඳින් වේ.

ඉහත කුරුසයක් ආකාරයෙන් ඇති ඛණ්ඩාංක තලය ගැන විධිමත්ම මුලින්ම හඳුන්වා දුන‍්නේ Descarte නම් ගණිතඥයා විසින් නිසා, එම ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය කාටීසියානු (Cartesian) ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය ලෙස ඔහුගේ නමින් නම් කර ඇත. එහි කොටු (quadrant) හතරක් ඇත.

සම්මතයක් ලෙස x අක්ෂයේ ධණ අගයන් ඇති පැත්තේ සිට ඔරලෝසුවේ කටු යන පැත්තට විරුද්ධ පැත්තට (anticlockwise හෝ counter-clockwise) යන විට පළමුව හමුවන Y අක්ෂයේ කොටස ධණ ලෙස හැඳින් වේ. මෙම ක්‍රමයෙන් අක්ෂ විවිධ දිශාවලට ඇඳ තිබුණත් ඒවා නිවැරදිව ධණ හා ඍණ පැති ඔබට හඳුනාගත හැකිය. පහත රූපයෙන් එය තවදුරටත් දක්වා ඇත.

කාටිසියානු තලයට අමතරව, polar coordinate system ආදී තවත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතිද පවතී (එහෙත් ඒවා ගැන මා මෙහි පැහැදිලි කරන්නේ නැත). විවිධ ආකාරයේ ශ්‍රිත සඳහා විවිධ ඛණ්ඩාංක පද්ධති ගැලපේ. බොහෝම අවස්ථාවල භාවිතා වන්නේ කාටිසියානු ක්‍රමය බව පෙනේ.

ශ්‍රිතයක් ප්‍රස්ථාරගත කරන විට, මෙවැනි ඛණ්ඩාංක තලයක ලකුණු කළ යුතුය. X හා Y යන අක්ෂ දෙකක් පමණක් ඇති කාටිසියානු තලයක විචල්‍යයන් දෙකකට පමණක් ඉඩ ඇත. එක විචල්‍යයක් X අක්ෂය මගින්ද අනෙක් විචල්‍යය Y අක්ෂය මගින්ද නිරූපණය කෙරේ. ශ්‍රිතයක අනිවාර්යෙන්ම එක් පරායත්ත විචල්‍යයක් ඇත. එහෙත් ශ්‍රිතයක ස්වායත්ත විචල්‍යය එකක් හෝ කිහිපයක් තිබිය හැකිය. ඒ අනුව, x-y ඛණ්ඩාංක තලයක ලකුණු කළ හැක්කේ එක් ස්වායත්ත විචල්‍යයක් සහිත ශ්‍රිත බව වටහා ගන්න. එම ස්වායත්ත විචල්‍යය තිරස් හෙවත් x අක්ෂය මගින්ද, පරායත්ත විචල්‍යය සිරස් හෙවත් y අක්ෂය මගින්ද නිරූපණය කළ යුතුය. මේ හේතුව නිසාම බොහෝ විට ස්වායත්ත විචල්‍යය තිරස් අක්ෂයේ අකුරින්ද, පරායත්ත විචල්‍යය සිරස් අක්ෂයේ අකුරින්ද නම් කරනවා.

ශ්‍රිතයක ස්වායත්ත විචල්‍යයට ඊට ගත හැකි සෑම අගයක්ම ඇතුළු කර ඉන් ප්‍රස්ථාරයක් ඇඳීම ප්‍රායෝගිකව සිදු කළ නොහැකිය (එනම්, ඍණ අනන්තයේ සිට ධණ අනන්තය දක්වා වූ පරාසයම අපට ඇඳිය නොහැකි බව පහසුවෙන් වැටහෙනවා). අප ප්‍රස්ථාරයකින් බලාපොරොත්තු වන්නේ ශ්‍රිත‍යකින් කුමන ජාතියේ මූලික හැඩයක් ලැබෙනවාද යන්න බැලීමයි. ඒ සඳහා අප තීරණය කළ යුතුයි ලබා දිය යුතු අගය පරාසය. ප්‍රස්ථාරයක් ඇඳීමේදී මූලිකම කටයුත්ත නම්, ඛණ්ඩාංක තලය මත තැනින් තැන, ඛණ්ඩාංක කිහිපයක් ලකුණු කිරීමයි. ඒ සඳහා ඛණ්ඩාංක කිහිපයක් සොයාගත යුතුයි. එය කිරීමට, ස්වායත්ත විචල්‍යයට අප විසින් තීරණය කරන අගයන්ද, එම අගයන් ශ්‍රිතයට ආදේශ කර සුළු වීමෙන් ලැබෙන පරායත්ත විචල්‍යයද පහත ආකාරයට සටහන් කරගන්න. උදාහරණයක් ලෙස අප ඉහතදී සඳහන් කරපු “බුද්ධිය = 0.1(වයස)² “ යන ශ්‍රිතයට මෙය සිදු කරමු. මෙහි වයසට 0, 10, 20 ආදී ලෙස දහයෙන් දහය පරාසය සිටින සේ අගයන් දුන්නේ මාගේ කැමැත්ත අනුවයි.

දැන් ඉහත සොයාගත් ඛණ්ඩාංක නිවැරදිය කාටීසිය තලයේ ලකුණු කර, එම තනි තනි ඩොට් සුමට රේඛා මගින් යා කරන්න. එවිට ලැබෙන්නේ එම ශ්‍රිතයට අදාළ ප්‍රස්ථාරයයි.

ඉහත දැක්වූයේ ද්විමාන අවකාශය සඳහා වූ කාටිසියාන තලයක් හා එවැනි තලයක ප්‍රස්ථාරයක් ඇඳීමයි. මෙලෙසම ත්‍රිමාණ අවකාශය සඳහාද කාටිසියානු තලය දියුණු කළ හැකිය. එනම්, x, y අක්ෂ දෙකට අමතරම z නම් තවත් අක්ෂයක් x, y යන අක්ෂ දෙකටම ලබ්භක ලෙස ඇඳ ත්‍රිමාන අවකාශයේ ඕනෑම තැනක් එහි ලකුණු කළ හැකියි. ඉහත දැක්වූ දකුණත් රීතිය මගින් ඒ ඒ අක්ෂවල ධණ ඍණ පැති හඳුනාගත හැකියි.

මෙහි ඛණඩාංක (x,y,z) ලෙස ලියා දක්වයි. මෙහිද අක්ෂ දිගේ ධණ ඍණ ක්‍රමාංක කිරීමේදී ඉහතදී පෙන්වූ ආකාරයෙන්ම දකුණත තබා x අක්ෂයේ සිට y අක්ෂය දක්වා ඇඟිලි කරකවන්න මාපට ඇඟිල්ල කෙලින් තබාගෙන. එවිට, එම මාපට ඇඟිල්ල එල්ල වී ඇති දිශාවට z අක්ෂයේ ධණ අගයන් ලකුණු කරන්න. කොලයක් යනු ද්විමාන තලයක් බැවින් ත්‍රිමාන ඛණ්ඩාංක කොලයක ඇඳ පෙන්විය නොහැකිය. එහෙත් පරිගණක තිරයක් මත මෙම ත්‍රිමාන ඛණ්ඩාංග ඇඳිය හැක මොකද එවිට ප්‍රස්ථාරය කරකවමින් බැලිය හැකි නිසා. Z අක්ෂය පරායත්ත විචල්‍යය සඳහාද x හා y අක්ෂ දෙක ස්වායත්ත විචල්‍යය දෙකක් සඳහාද වෙන් කළ හැකි නිසා, ත්‍රිමාණ ඛණ්ඩාංක තලයකින් පෙන්විය හැක්කේ ස්වායත්ත විචල්‍යයන් දෙකක් සහිත ශ්‍රිත බව පෙනේ.

ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ඇති අක්ෂ ක්‍රමාංකණය කරන විධි කිහිපයක් ඇත. ඉහත ප්‍රස්ථාරවල පෙන්වා ඇත්තේ එක් ක්‍රමයකි. එනම්, මූල ලක්ෂ්‍යයෙ සිට එකම පරතරයක් සහිතව අගයන් ලකුණු කර ඇත. මෙලෙස ලකුණු කිරීම රේඛීය (linear) ක්‍රමාංකණයයි. තවත් ක්‍රමයක් නම්, ලඝු (log) ක්‍රමාංකණයයි. ලඝුද (10, 2, e ආදි ලෙස) පාදය අනුව වෙනස් වන බව ඔබ දන්නවා. ඔබට අවශ්‍ය පාදයකින් යුතු ලඝු පරිමාණයකින් අක්ෂ ක්‍රමාංකණය කළ හැකිය. එවිතරක් නොවේ, විවිධ අක්ෂවල ක්‍රමාංකණය වෙනස් පරිමාණවලින් දැක්වීමටද ඔබට පුළුවන්. පහත රූප දෙකෙන්ම දැක්වෙන්නේ අක්ෂ දෙකම දහයේ ලඝු පරිමාණයෙන් ක්‍රමාංකණය කර ඇති ප්‍රස්ථාර දෙකකි.

පරිමාණ (ක්‍රමාංකණ පරිමාණය) වෙනස් වන විට ප්‍රස්ථාරයේ හැඩයද වෙනස්වන බව මතක තබා ගන්න. ඉහත අක්ෂ දෙකම රේඛීය පරිමාණයෙන් ඇඳි ප්‍රස්ථාරයම අක්ෂ පරිමාණ වෙනස් කිරීමේදී ප්‍රස්ථාර හැඩය වෙනස් වන බව පහත ප්‍රස්ථාර කිහිපය බැලීමෙන් ඔබට පැහැදිලි වෙනවා (මෙම ප්‍රස්ථාර Excel නම් පරිගණක වැඩසටහන උපයෝගි කරගෙන නිර්මාණය කර ඇත).

ඔබ ටෙනිස් බෝලයක් ගැන සිතන්න. දැන් එය ක්‍රමයෙන් කුඩා කරගෙන යන්න. අවසානයේ එය ඇසට නොපෙනෙන තරමේ කුඩා අංශුවක් තරමටම කුඩා කර, එයද ශූන්‍යය දක්වා කුඩා කරන්න. එවිට එම ටෙනිස් බෝලය දැන් අවකාශයේ කිසිදු ඉඩක් ගන්නේ නැත. එය දැන් තිබෙන ස්ථානය ඔබ සිතින් මවා ගත යුතුයි. සත්‍ය ලෙසම නොපවතින මෙම කුඩා තිත ලක්ෂ්‍යය (point) යන නමින් හැඳින් වේ. ප්‍රායෝගිකව අප කුඩා ඩොට් එකක් මගින් ලක්ෂ්‍යය ඇද පෙන්වනවා. ගණිතයේදී මෙවැනි ලක්ෂ්‍ය මගින් රේඛා, ත්‍රිකෝණ, ගෝල ආදී විවිධාකාරයේ හැඩතල හා වස්තුන් සාදනවා කළ හැකිය. ලක්ෂ්‍යය හා මෙම හැඩතල පිළිබඳ සලකා බලන ගණිතය ජ්‍යාමිතිය (geometry) නමින් හැඳින් වෙනවා. ගණිතයේ ප්‍රධාන කොටස් තුන අංක ගණිතය (arithmetic), වීජ ගණිතය, හා ජ්‍යාමිතිය වේ.

ලක්ෂ්‍යයක් අඛණ්ඩව හෙවත් සන්තතකිව (continuously) චලනය කරවීමෙන් රේඛාවක් (line) නිර්මාණය වේ. ‍ලක්ෂ්‍යය එක කෙලින් ගමන් කළ විට, සරල රේඛාත් (simple line හෝ straight line) වක්‍රව ගමන් කිරීමෙන් වක්‍ර රේඛාත් (curved line) සෑදේ. සත්‍ය ලෙසම, රේඛාවක් ඇන්ද විට එය ඇසට නොපෙනිය යුතුයි මොකද එය ඒකමාන නිසා. එහෙත් ප්‍රායෝගිකව ඇ‍සට නොපෙනෙන ඉරි සමග කටයුතු කළ නොහැකි නිසා රේඛා සිහින් ඉරි මගින් නිරූපණය කෙරෙනවා.

සරල රේඛා දෙකක් කිසි විටෙක එකිනෙකට නොකැපී තිබෙන ලෙස පැවතියොත් එම රේඛා දෙක එකිනෙකට සමාන්තර (parallel) යැයි පවසනවා. සමාන්තර රේඛා දෙකක් හෝ කිහිපයක් එකිනෙකට සමාන්තර යැයි හැඟවීමට > යන සලකුණ එකිනෙකට සමාන්තර රේඛා මත සලකුණු කරනවා. එවැනි සමාන්තර රේඛා “සෙට්” කිහිපයක් ඇති විට, එම එක එක සෙට් එක වෙන වෙනම හඳුනා ගැනීමට පහසුවනු පිණිස එම සංඛේතය >>, >>> ආදී ලෙසද දැක්විය හැකියි.

රේඛා දෙකක් එකිනෙකට හමු වීමෙන් හෝ කැපීමෙන් කෝණ (angle) නිර්මාණය වෙනවා.

කෝණයේ අංශක ගණන අනුව කෝණවලට නම් ලබා දී ඇත. අංශක 90ට වඩා කුඩා කෝණ සුළු කෝණ (acute angle) ලෙසද, අනූවේ කෝණ ඍජු කෝණ (right angle) ලෙසද, අනූවට වඩා වැඩි කෝණ මහා කෝණ (obtuse angle) ලෙසද, අංශක 180 වූ විට straight angle ලෙසද, 180ට වැඩි වූ විට reflex angle ආදි ලෙස කෝණ නම් කරනවා.

රේඛා දෙකක් එකිනෙක කැපීමෙන් (intersect) ඇතිවන ප්‍රතිමුඛ කෝණ (opposite angle) යුගලය එකිනෙකට සමාන වේ. තවද, සමාන්තර රේඛා දෙකක් තවත් රේඛාවකින් හරහාට කැපීමේදී ඇතිවන අනුරූප කෝණ (corresponding angles)‍ යුගලය එකිනෙකට සමාන වේ (රේඛා දෙක සමාන්තර නොවේ නම්, අනුරූප කෝණ සමාන නොවේ). තවද, සමාන්තර ‍රේඛා දෙකක් තවත් රේඛාවකින් හරහාට කැපීමේදී ඇතිවන ඒකාන්තර කෝණ (alternate angle) යුගලය එකිනෙකට සමාන වේ (රේඛා දෙක සමාන්තර නොවේ නම් ඒකාන්තර කෝණ සමාන නොවේ). පහත රූපය ආශ්‍රයෙන් ඒකාන්තර, ප්‍රතිමුඛ, හා අනුරූප කෝණ හඳුනා ගන්න.

රේඛා දෙකකින් සෑදෙන ජ්‍යාමිතික රූප අනිවාර්යෙන්ම විවෘත (open) වේ. රේඛා දෙකක් හෝ කිහිපයක් දිගින් එකිනෙකට සමාන බව හැඟවීමට එම රේඛා මත ඉරි කැබැල්ලක් ගසනු ලැබේ. එකිනෙකට සමාන ඉරි සෙට් කිහිපයක් ඇති විට (පෙර සමානත්රතාව පෙන්වීමේදී මෙන්ම) ඉරි කැබැලි ගණන වැඩි කර ‍සමාන සෙට් වෙන වෙනම පෙන්විය හැකියි.

සංවෘත (closed) රූපයක් සෑදීමට අනිවාර්යෙන්ම අවම වශයෙන් සරල රේඛා තුනක් අවශ්‍ය වන අතර, එසේ සෑදෙන සරලතම සංවෘත රූපය ත්‍රිකෝණය (triangle) ලෙස නම් කෙරේ. අවශ්‍ය නම්, රේඛා තුනකින් නොව රේඛා දහස් ගණනක් යොදාගෙන වුවද විවෘත රූප සෑදිය හැකි බව වටහ ගන්න.

රේඛා මගින් සෑදෙන සෑම ද්විමාන (හෙවත් තලයක් මත පවතින හෙවත් තලීය) රූපයක්ම බහුඅස්‍ර (polygon) යන නමින් හැඳින් වේ. ඒ අනුව, ත්‍රිකෝණ, චතුරස්‍ර, පංචාස්‍ර ආදී සියලුම තලීය රූප බහුඅස්‍ර වේ. බහුඅස්‍රයක ශීර්ෂ නම් කිරීමෙදී කැපිටල් ඉංග්‍රිසි අකුරු යොදා ගැනේ. එහිදීද ක්‍රමයක් ඇත. එක් ශීර්ෂයක් A ලෙස නම් කර, එතැන් සිට වාමාවර්තව හෝ දක්ෂිණාවර්තව B, C ආදි ලෙස අනෙක් ශීර්ෂ පිළිවෙළින් ලකුණු කළ යුතුය.

ත්‍රිකෝණයක ශීර්ෂ සාමාන්‍ය පරිදි කැපිටල් ඉංග්‍රිසි අකුරුවලින් නම් කළ පසු, ඒ ඒ ශීර්ෂ ඉදිරියෙන් ඇති පාද එම ප්‍රතිමුඛව ඇති ශීර්ෂ‍ය දක්වා ඇති ඉංග්‍රිසි අකුරේම සිම්පල් අකුරින් ලිවිය යුතුය. එවිට එය සම්මත ත්‍රිකෝණ ලකුණු කිරීමක් ලෙස සැලකේ (පහත වම් පැත්තේ ත්‍රිකෝණයෙන් සම්මත ත්‍රිකෝණයක් දක්වා ඇත.)

සෑම බහුඅස්‍රයකම පරිමිතියක් (perimeter) ඇත. පරිමිතිය යනු බහුඅස්‍රය සෑදී ඇති රේඛා කැබැලිවල (හෙවත් පාදවල) මුළු දිග වේ. සෑම බහුඅස්‍රයකම ක්ෂේත්‍රඵලයක්ද ඇත. ක්ෂේත්‍රඵලය මනින විධිය බහුඅස්‍රය අනුව වෙනස් වේ. සෑම බහුඅස්‍රයකම භාහිර කෝණ (external/exterior angles) සියල්ලේම එකතුව අංශක 360 කි. භාහිර කෝණ සාදන්නේද ශීර්ෂ නම් කරන විට මෙන් වාමාවර්තව හෝ දක්ෂිණාවර්තව පළමුව හමුවන පාදය දික් කිරීමෙනි (පහත රූප බලන්න). තවද, එක් ශීර්ෂයක පවතින අභ්‍යන්තර හා භාහිර යන කෝණ දෙකෙහිම එකතුව හැමවිටම 180^o වේ.

 එහෙත් අභ්‍යන්තර කෝණවල (internal/interior angles) එකතුව බහුඅස්‍රයේ පවතින කෝණ ගණන අනුව තීරණය වේ. ඊට සූත්‍රයක්ද ඇත.

n කෝණ ගණනක් ඇති බහුඅස්‍රයක අභ්‍යන්තර කෝණ සියල්ලේ එකතුව = (n-2) x 180^o

ඉහත සූත්‍රය අනුව ත්‍රිකෝණයක අභ්‍යන්තර කෝණ තුනෙහි එකතුව = (3-2) x 180 = 180 වේ. ත්‍රිකෝණයක වර්ගඵලය සෙවීමට පළමුවෙන්ම ත්‍රිකෝණයේ එක් පාදයක් ගෙන (මෙම පාදය base ලෙස හැඳින් වේ) ඒ මතට ඊට කෙළින්ම විරුද්ධව තිබෙන ‍ශීර්ෂයේ සිට ලබ්භකයක් අඳින්න. එවිට, ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය වන්නේ බේස් එකේ දිගත් ලම්භකයේ දිගත් වැඩි කර එය දෙකෙන් බෙදූ විට ලැබෙන අගයයි. (පහත තැනක සියලු බහුඅස්‍ර එක් රූපයක ඇඳ ඇත.)

යම් ත්‍රිකෝණයක එක පාදයක් දික් කළ විට සෑදෙන භාහිර කෝණය ත්‍රිකෝණය තුළ ඊට ඈතින් ඇති අභ්‍යන්තර කෝණ දෙකෙහි එකතුවට සමාන වේ.

යම් ත්‍රිකෝණයක පාද දෙකක් (කෝණ දෙකක් කීවත් වරදක් නැත) සමාන විට, එය සමද්විපාද ත්‍රිකෝණයක් (isosceles) සේ හැඳින් වේ. සමාන පාද දෙක සමග සාදන කෝණ දෙකද එකිනෙකට සමාන වීම මෙහි ඇති විශේෂත්වයයි. පාද (හෝ කෝණ) තුනම සමාන විට, එය සමකෝණි ත්‍රිකෝණයක් (equilateral triangle) ලෙස හැඳින් වේ. මෙහිදී පාද තුනම සේම කෝණ තුනද එකිනෙකට සමාන වේ. යම් ත්‍රිකෝණයක එක කෝණයක් අංශක 90ක් වූ විට, එය ඍජුකෝණි ත්‍රිකෝණයක් (right triangle හෝ right angle triangle) සේ හැඳින් වේ. එහිදී එම ඍජුකෝණයට ඉදිරියෙන් ඇති පාදය කර්ණය (hypertenuse) යන විශේෂ නාමයෙන්ද හැඳින් වේ (කර්ණය හැමවිටම පාද තුනෙන් දිගම පාදයද වේ). ඍජුකෝණි ත්‍රිකෝණයක 90^o ‍වන කෝණය හැර වෙනත් ඕනෑම කෝණයක් ගත් විට, අනිවාර්යෙන්ම එම කෝණය සාදන සාදන පාද දෙකෙන් එක පාදයක් වන්නේ කර්ණයයි. එම කෝණය සාදන්නට හවුල් වන අනෙක් පාදය බද්ධ පාදය (adjacent side) ලෙසද, එම කෝණය සෑදීමට හවුල් නොවන පාදය (එනම්, එම කෝණයට විරුද්ධව ඉදිරියෙන් තිබෙන පාදය) සම්මුඛ පාදය (opposite side) ලෙසද නම් කෙරෙනවා.

ත්‍රිකෝණ ගැන පැවසීමෙදී පයිතගරස් නම් ගණිතඥයා විසින් සොයාගත් ඉතාම වැදගත් ගණිත සිද්ධාන්තයක් තිබෙනවා. ඉන් කියනනේ ඍජුකෝණි ත්‍රිකෝණයක කර්ණයේ වර්ගය හැම විටම අනෙක් පාද දෙ‍ක තනි තනිව වර්ග කර එම වර්ග සංඛ්‍යා දෙක එකතු කළ විට ලැබෙන අගයට සමාන බවයි. මෙය පයිතගරස් ප්‍රමේයය (Pythagoras Theorem) ලෙස හැඳින් වෙනවා. එහි රූපමය තේරුමද පහත රූපයේ දැක් වෙනවා.

සරල රේඛා හතරකින් නිර්මාණය වන සංවෘත රූපය චතුරස්‍රය (quadrangle හෝ quadrilateral) ලෙස හැඳින් වේ. චතුරස්‍ර වර්ග කිහිපයක්ම ඇත. චතුරස්‍රයක එකිනෙකට විරුද්ධ ශීර්ෂ දෙකක් අතර අභ්‍යන්තරිකව අඳිනු ලබන ඍජු රේඛාව විකර්ණය (diagonal) ලෙස හැඳින් වේ. එලෙස චතුරස්‍රයකට විකර්ණ දෙකක් ඇත. මේ සෑම චතුරස්‍රයකම අභයන්තර කෝණවල එකතුව අංශක (4-2)x180 = 360 වේ.

පාද හතරම සමාන හා එකිනෙකට විරුද්ධ දිශාවල ඇති පාද යුගල සමාන්තරව පවතින විට එවැනි චතුරස්‍රයක් සමචතුරස්‍රය (square) ලෙස හැඳින් වේ. සමතුරස්‍රයකදී විකර්ණ දෙක කැපෙන විට ඒවා එකිනෙකට ලම්භක වීම හා විකර්ණ දෙක හරි මැදින් වෙන්වීම (සමච්ඡේද වීම) සමචතුරස්‍රයක ස්වාභවයයි. දිග පළලින් වැඩි කළ විට එහි වර්ගඵලය ලැබේ (මෙහිදී දිග හා පළල සමානද වේ).

එකිනෙකට විරුද්ධ පැතිවල පාද යුගල් සමාන්තර හා සමාන වූ විට (පාද හතරම සමාන නොවී) ලැබෙන්නේ ඍජුකෝණාස්‍රයකි (rectangle). පෙර සේම දිග පළලින් වැඩි කළ විට, වර්ගඵලය ලැබේ. විකර්ණ සමච්ඡේද වුවත් ඒවා එකිනෙකට ලම්භක නොවේ. ඍජුකෝණාස්‍රය හා සමචතුරස්‍රය යන දෙකෙහිම කෝණ සියල්ල ඍජුකෝණි වේ.

සමචතුරස්‍රයක එක පැත්තක් තල්ලු කළ විට, එහි කෝණ ඍජු කෝණි බවින් නිදහස් වේ. එවිට එය රොම්බසයක් (rhombus) ලෙස හැඳින් වේ. එලෙසම, ඍජුකෝණාස්‍රයක් ඇල කළ විට ඇති වන්නේ සමාන්තරාස්‍රයකි (parallelogram). රොම්බසයේ හා සමාන්තරාස්‍රයේ යන දෙකෙහිම වර්ගඵලය සොයන්නේ එකම ක්‍රමයකටයි. එනම් එක් පාදයක් මත (ඉහත ත්‍රිකෝණයට කළාක් මෙන්) ලබ්භකයක් අඳින්න උඩ ඇති ශීර්ෂයකට. එවිට, එම ලම්භ උසෙත් ලම්භකය ගොඩනඟා ඇති පාදයෙත් ගුණිතය රොම්බසයේ හෝ සමානත්රාස්‍රයේ වර්ගඵලය වේ.

චතුරස්‍රයේ එක් පාද ‍යුගලයක් සමාන්තර හා අසමාන නම්, එය ත්‍රපීසියම (trapezium හෝ trapezoid) ලෙස හැඳින් වේ. ත්‍රපීසියමක වර්ගඵලය සොයන්නේ සමාන්තර පාද දෙක එකතු කර එය දෙකෙන් බෙදා, සමාන්තර පාද දෙක අතර ඇති ලම්භක දුරින් එය වැඩි කිරීමෙනි.

ඉහත විශේෂිත අවස්ථා හැර විවිධ හැඩවලින් යුතු චතුරස්‍රද ඇඳිය හැකිය. ඒවාට විශේෂිත නාමයන් නැත.

සරල රේඛා පහකින් සෑදෙන රූප පංචාස්‍ර (pentagon) ලෙස හැඳින් වේ. ‍පාද පහම සමාන විට, ඒවා විධිමත් හෙවත් සවිධි (regular) පංචාස්‍ර ලෙස හැඳින් වේ. මෙලෙම පාද හයක් ඇති විට, සඩාස්‍ර (hexagon) ලෙසත්, පාද හතක් ඇති විට සප්තාස්‍ර (septagon) ලෙසත්, පාද අටක් ඇති විට අෂ්ටාස්‍ර (octagon) ලෙසත් ආදී ලෙස තමන්ට කැමති පාද ගණනක බහුඅස්‍ර පහසුවෙන් නිර්මාණයක කළ හැකිය.

යම් ලක්ෂ්‍යයක් ගමන් කරන්නේ යම් කේන්ද්‍රයක (center) සිට සමාන දුරකින් නම්, ඉන් නිර්මාණය වන්නේ වෘත්තයකි (circle). කේන්ද්‍රය වටා ලක්ෂ්‍යය ගමන් කළ පථය පරිධිය (circumference) (මීට සමාන අදහස බහුඅස්‍ර‍වලදී පරිමිතිය ලෙස හැඳින් වේ) ලෙසද, කේන්ද්‍රයේ සිට පරිධියට ඇති කෙටිම දුර අරය (radius) ලෙසද, පරිධියේ එක් තැනක සිට කේන්ද්‍රය හරහා පරිධියේ අනෙක් කෙළවරකට ඇති කෙටිම දුර විශ්කම්භය (diameter) ලෙසද හැඳින් වේ. මේ නිසා, හැමවිටම විශ්කම්භය අරය මෙන් දෙගුණයකි. පරිධියේ එක් තැනක සිට පරිධියේම තවත් තැනකට ඍජු රේඛාවක් ඇන්ද විට ඊට ජ්‍යාය (chord) කියා කියනවා. මේ අනුව විශ්කම්භය යනුද විශේෂ ජ්‍යායක් බව පේනවා. තවද, ජ්‍යායක් ඇන්ද විට, පරිධිය කොටස් දෙකකට කැඩෙනවා. එම කොටස් චාප (arc) ලෙස හැඳින් වෙනවා. විශ්කම්භය නම් ජ්‍යායකින් සෑදෙන චාප කොටස් එකිනෙකට සමාන වන අතර එය සම්පූර්ණ වෘත්ත පරිධියෙන් හරි අඩක් බැගින් වේ. විශ්කම්භ නොවන ජ්‍යායකින් හැමවිටම සෑදෙන චාප කොටස් දෙකෙන් එකක් අනෙකට වඩා විශාල වේ. පරිධියේ ලක්ෂ්‍ය දෙකක සිට කේන්ද්‍රයට ඇඳි ඍජු රේඛා දෙකක් මගින් කේන්ද්‍රයේ කෝණයක් ඇති කළ (ආපාතනය කළ) හැකිය. එවැනි කොටසක් sector ලෙස හැඳින් වේ.

පරිධියේ විශාලත්වය (හෙවත් දිග) හා වෘත්තයක වර්ගඵලය සොයන සූත්‍ර වන්නේ

පරිධිය, C = 2πR (R යනු අරයයි. බොහෝ දෙනා “සී සමානයි ටූ පයි ආර්” යනුවෙන් මෙය කටපාඩම් කරනවා)

වර්ගඵලය, A = πR² 
 

සෙක්ටර් එකකට අයිති පරිධියේ කොටසේ දිග හා සෙක්ටර් එකක වර්ගඵලය සෙවීමටද සූත්‍ර ඇත. මෙහිදී කෝණය අනිවාර්යෙන්ම රේඩියන් වලින් ලිවිය යුතුමය (රේඩියන් ගැන විද්‍යා අතිරේකයේ විස්තර කර ඇත).

පරිධියේ ලක්ෂ්‍ය දෙකක් මගින් (එනම්, ජ්‍යායකින්) කේන්ද්‍රයේ මෙන්ම කේන්ද්‍රයට එහා පැත්තෙන් පරිධිය මතද කෝණයක් ආපාතනය කළ හැකිය. එලෙස පරිධිය මත (පරිධියේ ඕනෑම තැනකට) අපාතනය කරන කෝණය එම ජ්‍යාය විසින්ම කේන්ද්‍රය මත ආපාතනය කරන කෝණයෙන් භාගයකි.

තවද, විශ්කම්භය විසින් පරිධියේ ඕනෑම තැනකට ආපාතනය කරන කෝණය හැමවිටම ඍජුකෝණී වේ.

යම් කේන්ද්‍රයක් මැදි කරගෙන විවිධ අරයන් සහිත වෘත්ත ගණනාවක් වුවත් එක විට ඇඳිය හැකිය. එවිට, ඒ එක් එක් පරිධියක් සංකේන්ද්‍රියව (concentric) පවතිනවා යැයි පවසනවා. විද්‍යා හා තාක්ෂණික විස්තර කිරීමවල මෙම වචනය බහුලව යොදා ගැනෙනවා. කොන්සෙන්ට්‍රික් යන්න හරියට සරල රේඛා දෙකක් සමාන්තරයි කියන්නාක් බදු වේ.

ඉහත සියලුම සංවෘත හා විවෘත ජ්‍යාමිතක හැඩතල තලීය (හෙවත් ද්විමාන) වේ. ත්‍රිමාන හැඩතලද අපට නිර්මාණය කළ හැකියි. එවැනි විශේෂිත ත්‍රිමාන රූප කිහිපයක් දැන් සලකා බලමු. ‍ත්‍රිමාන වස්තුන් කොලයක ඇඳීමේදි අපහසුතාවක් පවතින බවද තේරුම්ගන්න. චතුස්තලය (tetrahedron) යනු ත්‍රිමාන හැඩතලවල සරලතම හැඩතලයයි. ත්‍රිමාන ලෝකයේදී චතුස්තලය යනු හරියටම ද්විමාන ලෝකයේදී සරලතම සංවෘත රූපය වූ ත්‍රිකෝණය බදුය. නමින්ම කියවෙන පරිදි මෙය සෑදී තිබෙන්නේ තල හතරක් එකතු වීමෙනි (මෙම තල ත්‍රිකෝණ හතරක් බව පෙනේ). තල පහකින් පිරමීඩ (pyramid) සෑදිය හැකිය. තල හයකින් ඝනකාභය (cuboid) හා ඝනකය (cube) සෑදිය හැකිය. ඝනකයක් යනු තල සියල්ලම සමාන හෙවත් සමචතුරස්‍ර ආකාරයෙන් පවතින ඝනකාභයේම විශේෂ අවස්ථාවකි (ඝනකාභය හා ඝනකය හරියට ද්විමාන ලෝකයේදී ඍජුකෝණාස්‍රය හා සමචතුරස්‍රය යන දෙක බදුය). ත්‍රිමාන රූපයක තල “මුහුණත්” (face) ලෙස හැඳින්වේ. මුහුණත් එකිනෙකට මුණගැසෙන ස්ථාන දාර (edge) ලෙස හැඳින්වේ. ඝනකයේ හා ඝනකාභයෙහි පරිමාව, දිග පළල හා උස යන තුන එකිනෙකට වැඩි කිරීමෙන් පහසුවෙන්ම ගණනය කළ හැකියි. මෙම සියල්ලෙහිම තලවල වක්‍රතා නොමැත.

සිලින්ඩරය (cylinder) හා කේතුවද (cone) හා ගෝලය (sphere) යනු තවත් සුවිශේෂි ත්‍රිමාන ජ්‍යාමිතක හැඩතල තුනකි. මේ තුනෙහිම වක්‍ර තල (curved planes) ඇත. ද්විමාන ලෝකයේ හමු වූ වෘත්තයේ ත්‍රිමාන ස්වරූපය ගෝලය වේ. වක්‍රතාව ඇතිව හෝ නැතිව හෝ පවතින තලයන්‍ට මතුපිට හෝ මුහුණත් (surface හෝ face) යන වචන ව්‍යවහාර වේ. ත්‍රිමාන හැඩයකට පරිමාවක් ඇත. ඒ විතරක් නොවේ, ත්‍රිමාන හැඩයකට භාහිර ‍මතුපිටවල් සියල්ලේම ක්ෂේත්‍රඵලයක්ද (භාහිර මතුපිට ක්ෂේත්‍රඵලය) ගණනය කළ හැකිය. සමහර ත්‍රිමාණ හැඩතලවලට ඒවා මැනීමට සූත්‍රද ඇත (ඒවා සොයා බලන්න).

 මින් ගෝලය ගැන තරමක් දුරට සොයා බලමු මොකද එය විද්‍යා න්‍යායන් ගැන කතා කරන විට නිතර හමුවන නිසා. වෘත්තයක සේම ගෝලයකටද කේන්ද්‍රයක්ද, අරයක්ද ඇත. ඊට අමතරව “(ගෝල) මතුපිටක්” ඇත. ගෝලයක පරිමාව (volume) ‍හා මතුපිට ක්ෂේත්‍රඵලය (surface area) සෙවීමට පහත සූත්‍ර දෙක ඇත.

 වෘත්තයදී කෝණ හමු වුණා. එම කෝණ තල කෝණ වන අතර අංශකවලින් හෝ රේඩියන්වලින් තල කෝණ මැනිය හැකි බව ඔබ දන්නවා. ගෝලයකදී හමු වන්නේ ඝන කෝණ වන අතර එය ස්‍ටරේඩියන්වලින් මනිනවා. මේ ගැන විස්තර විද්‍යා අතිරේකයේ තිබෙන නිසා මෙහිදී නැවත විස්තර කරන්නේ නැහැ. එහෙත් ස්ටෙරඩියන් හා රේඩියන් අතරද යම් සම්බන්ධතාවක් ඇත.

1 steredian = 1 radian²

අප දැන් ත්‍රිකෝණමිතිය (trigonometry) ගැන සලකා බලමු. මූලිකවම ඍජුකෝණි ත්‍රිකෝණයක පාද හා කෝණ ආශ්‍රය කරගෙන මෙය ගොඩනගා ඇත. ඍජුකෝණි ත්‍රිකෝණයක (ඍජුකෝණය නොවන) කෝණයක් සැලකූ විට, එම කෝණය හා එම ත්‍රිකෝණයේ ඕනෑම පාද දෙකක් අතර අනුපාත (එනම්, එක් පාදයක් තවත් පාදයකින් බෙදීම) අතර ඇති සම්බන්ධතා මෙමගින් පැහැදිලි කෙරේ.

ඉහත රූපයේ A නම් කෝණය ගනිමු (සාමාන්‍යයෙන් ශීර්ෂයේ සංඛේතයෙන්ම කෝණය නම් කෙරේ). එවිට, එම කෝණයට සම්මුඛ පාදය වන BC, කර්ණය වන AC වලින් බෙදූවිට එම අනුපාතයට sine යන නම ලැබේ. එය ශ්‍රිතයක් ආකාරයට ලියන ක්‍රමයක් ඇත. එහිදී සලකා බලන කෝණයේ නම වරහනක් ඇතුව හෝ නැතිව අනුපාත නාමයට පසුව ලිවිය යුතුයි.

Sine (A) හෝ Sine A

එහෙත් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත අකුරු තුනක නමකින් සාමාන්‍යයෙන් ලියන සම්ප්‍රදායක් ඇත. ඒ අනුව ඉහත sine වෙනුවට sin යන නම නිතරම පාහේ භාවිතා වේ. ඒ අනුව සයින් අනුපාතය වන්නේ,

Sin(A) = BC/AC = සම්මුඛ පාදය / කර්ණය

ඉහත ත්‍රිකෝණයේ A සඳහාම cosine යන නමින් හැඳින්වෙන අනුපාතයක්ද අර්ථ දැක්විය හැකියි. එය,

Cos(A) = AB/AC = බද්ධ පාදය / ‍කර්ණය

එලෙසම tangent යන අනුපාතයක්ද පහත ආකාරායට අර්ථ දැක්විය හැකියි.

Tan(A) = BC/AB = සම්මුඛ පාදය / බද්ධ පාදය

ඉහත ටෑන් අනුපාතයේ BC හා AB යන ළවය හා හරය යන දෙකම AC වලින් බෙදන්න (හරය හා ළවය දෙකම එකම අගයෙන් බෙදන විට භාග අගය වෙනස් නොවේ). ඒ අනුව, BC/AC යන්න සයින් අනුපාතය හා AB/AC යන්න කොස් අනුපාතය බව පෙනේ. ඒ අනුව, ටෑන් අනුපාතය සයින් බෙදීම කොස් ලෙසද අර්ථ දැක්විය හැකියි.

Tan(A) = sin(A)/cos(A)

සයින්, කොස්, හා ටෑන් යනු ත්‍රිකෝණමිතියේ මූලිකම අනුපාත තුන වේ. ඊට අමතරව තවත් අනුපාත තුනක් අර්ථ දැක්විය හැකියි. ඒවා නම්,

Cosec(A) = csc(A) = AC/BC = කර්ණය / සම්මුඛ පාදය
Sec(A) = AC/AB = කර්ණය / බද්ධ පාදය
Cotangent(A) = cot(A) = AB/BC = බද්ධ පාදය / සම්මුඛ පාදය

ඉහත කොසෙක්, සෙක්, හා කොට් අනුපාත තුන බැලීමේදී ඒවා පිළිවෙලින් සයින්, කොස්, හා ටෑන් අනුපාතවල ප්‍රතිලෝමය (හරය ළවය උඩ යට මාරු වී) බවද පෙනේ. එනිසා, එම අනුපාත ප්‍රධාන අනුපාත ආශ්‍රයෙන්ම අවශ්‍ය නම් ලිවිය හැකියි නේද? (මේ නිසා, බොහෝ විට මූලික අනුපාත තුන ගැන පමණක් කතා කරමු මෙතැන් සිට.)

csc(θ) = 1/sin(θ)
sec(θ) = 1/cos(θ)
cot(θ) = 1/tan(θ)

නැවැත ඉහත ත්‍රිකෝණය දෙසට අවධානය යොමු කරමු. ඊට පයිතගරස් සූත්‍රය AC² = AB² + BC² ලෙස ලිවිය හැකියි නේද? දැන් ඉහත සූත්‍රය පළමුව AC², දෙවනුව AB², තෙවනුව BC² වලින් වෙන වෙනම බෙදන්න. එවිට අපට ලැබෙන්නේ එම අනුපාත අතර ගොඩනැගෙන පහත දැක්වෙන සම්බන්ධතා තුනකි. මේවා Pythagorean Identities ලෙස හැඳින් වෙනවා.

2, 3, 4 ආදී ලෙස යම් බලයකට නංවා ඇති විට ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයක් (sinA)², (cosB)³ ආදි ලෙස වරහන් යොදා බලය පෙන්විය හැකි වුවත් වඩාත් පහසු හා ලස්සන ක්‍රමය වන්නේ ඉහත ආකාරයට sin²A, tan⁴A ආදි ක්‍රමයට ලිවීමයි.

ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත සඳහා පහත දැක්වෙන ඉතාම වැදගත් සම්බන්ධතා කිහිපයද මතක තබා ගන්න (ඒවා සාධනය කිරීම පයිතගරස් සම්බන්ධතාව මෙන් පහසු නොවන නිසා, මා සූත්‍ර පමණක් දක්වනවා. ඒවා කටපාඩම් කර ගත යුතුයි.)

sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB – cosAsinB

ඉහත සූත්‍ර දෙකම වෙනස්වන්නේ + හා - ලකුණුවලින් පමණි. එමනිසා එම සූත්‍ර දෙකම ලියන විට තනි සූත්‍රයකින් පහත ආකාරයට දැක්විය හැකියි.

sin(A  B) = sinAcosB  cosAsinB

cos(A+B) = cosAcosB – sinAsinB
cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB

(මෙම දෙකම කෙටියෙන් cos(A  B) = cosAcosB  sinAsinB ලෙස ලිවිය හැකියි. එහෙත් විමසිල්ලෙන් බලන්න මෙය ඉහත ඒ පරිද්දෙන් ලියපු එකට වඩා වෙනසක් තිබෙනවා. ධණ ඍණ උඩු යටි වෙලා තියෙනවා.)

tan(A B) = tanA tanB / 1 tanAtanB

ඉහත සූත්‍රවල A හා B ලෙස වෙනස් කෝණ දෙකක් නොව, එකම θ කෝණය වූවා නම්, (හෝ A=θ/2 හා B=θ/2 වූවා නම්) ඉහත සූත්‍රවල කෝණ එකතු වූ අවස්ථා තුන පහත ආකාරයට ලිවිය හැකියි නේද?

sin(A+A) = sin(2A) = sinAcosA + cosAsinA => sin(2A) = 2sinAcosA
cos(A+A) = cos(2A) = cosAcosA – sinAsinA => cos(2A) = cos²A – sin²A

‍(මෙහි cos² හා sin² යන පදවලට 1 = sin²A + cos²A යන පයිතගරස් සූත්‍රය ආදේශ කළ හැකියි. එවිට,
cos²A – sin²A = cos²A – (1-cos²A) = 2cos²A – 1 හා
cos²A – sin²A = (1-sin²A) – sin²A = 1 – 2sin²A යන සූත්‍ර දෙකද ගොඩ නගා ගත හැකියි.)

ත්‍රිකෝණයක් ආශ්‍රයෙන් ඉහත ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත ගොඩ නැංවූ නිසා, සමහරවිට ඔබට සිතීමට පුළුවන් එම අනුපාතවලට අදාළ කෝණය හැමවිටම 90^oට අඩු විය යුතුය කියා මක්නිසාද ඍජුකෝණි ත්‍රිකෝණයක කෝණ තුනම අත්‍යවශ්‍යයෙන්ම අංශක අනූවට අඩු නිසා. එහෙත් එසේ නොවේ. මෙම අනුපාත ඍණ අනන්තයේ සිට ධණ අනන්තය දක්වා වූ ඕනෑම අංශක ගණනකට වලංගු වේ. එය තේරුම් ගැනීමට දැන් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත වෘත්තයක් ආශ්‍රයෙන් ගොඩ නඟා ගන්නා ආකාරය කෙටියෙන් සලකා බලමු. වෘත්තයක් ආශ්‍රයෙන් මේවා දැන් සලකා බැලුවත් මෙහිදීද ඍජුකෝණි ත්‍රිකෝණය සැඟව පවතී. එයද මා පෙන්වා දෙන්නම්.

ඉහත රූපයේ පෙන්වා ඇත්තේ අරය “ඒකක එකක්” වන වෘත්තයකි. අරයේ විශාලත්වය ඒකක (ඒකකය අඟල්ද, අඩිද, කිලෝමීටර්ද යන්න වැදගත් නැහැ) එකක් වන වෘත්ත “ඒකක වෘත්ත” (unit circle) ලෙස හැඳින් වේ. එහි x y ඛන්ඩාංක අක්ෂ ඇඳ තිබෙනවා වෘත්ත කේන්ද්‍රය හා ඛණ්ඩාංක මූල ලක්ෂ්‍යය සමපාත වන ලෙස. එහි θ නම් කෝණයක් x අක්ෂයේ ධණ කොටස සමග OA යන රේඛාව මගින් ආපාතනය කර තිබෙනවා. OA රේඛාවේ දිග වෘත්ත අරයේ දිගම වේ (එනම්, ඒකක වෘත්තයක් නිසා, එහි දිග එකකි). OA රේඛාව x අක්ෂය මත තිබුණා නම් කෝණය බිංදුව වේ. ‍එම රේඛාව ඔරලෝසුවේ කටු කැරකෙන දිශාවට විරුද්ධ දිශාවට කැරකී විවිධ කෝණ සාදනවා. එම පැත්තට කැරකීමෙන් ඇතිවන කෝණ ධණ ලෙස සම්මත කරගෙන තිබෙනවා. ඒ අනුව, අනෙක් පැත්තට (එනම්, ඔරලෝසුවේ කටු කැරකෙන පැත්තට) කැරකුණොත් එම‍ කෝණ ඍණ කෝණ ලෙස සැලකෙනවා. කුමන පැත්තකට හෝ වේවා ඕනෑ තරම් ලොකු කුඩා කෝණයක් මේ අනුව සෑදිය හැකියි නේද? කෝණය බිංදුව නම් OA රේඛාව xහි ධණ කොටස සමග සමපාතව පවතිනවා. කෝණය ක්‍රමයෙන් විශාල වී එය y අක්ෂයේ ධණ රේඛාව සමග සමපාත වූ විට, ඉන් +90^oක කෝණයක් සාදනවා. OA රේඛාව තවදුරටත් කැරකෙමින් x අක්ෂයේ ඍණ කොටස සමග සමපාත වූ විට කෝණය ධණ 180 කි (OA රේඛාව OC යන රේඛාව මතට පැමිණි විට). තවදුරටත් කැරකී එය y අක්ෂයේ ඍණ කොටස සමග සමපාත වූ විට, ධණ 270ක කෝණයක් සාදනවා. තවදුරටත් කැරකී OS ස්ථානයට හෙවත් කෝණය (කැරකීම) පටන්ගත් ස්ථානය වෙත ආ විට, අංශක 360ක් හෙවත් සම්පූර්ණ වටයක් OA රේඛාව කැරකී තිබෙනවා. පැහැදිලිව පෙනෙන පරිදි අංශක 0 හා 360 යන දෙකම සමපාත වේ. අවශ්‍ය නම්, රේඛාව නැවත එතැන් සිට කැරකිය හැකිය. එලෙස කැරකී OC ස්ථානයට පැමිණියේ නම්, එය අංශක 360+180 හෙවත් 540ක කෝණයක් ගෙවා ඇත. මේ ආකාරයට ඕනෑ තරම් වට කැරකෙමින් ඕනෑ තරම් අංශක ගණනක් ගමන් ගත හැකියි. OA රේඛාව කැරකුණේ අනෙක් පැත්තට නම්, ඉහත කළ පරිදිම එය පැහැදිලි කළ හැකි නමුත් ඉන් සාදන සියලු කෝණ ඍණ ලෙස සැලකිය යුතුයි.

දැන් අප බලමු ඉහත වෘත්තයෙන් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත ‍ගොඩ නඟා ගන්නා අයුරු. OA රේඛාවෙ A කෙළවරේ සිට x අක්ෂය මත ලම්භකයක් අඳින්න (AP). OA රේඛාව කැරකෙන විට මෙම ලම්භකයේ උස වෙනස් වෙනවා නේද? ඒ විතරක් නොවේ, මූල ලක්ෂ්‍යයේ සිට Pට ඇති දුරද වෙනස් වෙනවා OA කැරකෙන විට. OA රේඛාවේ x අක්ෂය මත ප්‍රක්ෂේපණය (projection) ලෙස OP හැඳින් වෙනවා. (ප්‍රක්ෂේපණය යනු “සෙවනැල්ලයි”. යම් වස්තුවක සෙවනැල්ලක් යම් තලයක් හෝ රෙඛාවක් මතට වැටෙන විට, එම සෙවනැල්ල එම වස්තුව විසින් එම තලයේ (හෝ රේඛාව මත) ඇති කරන ප්‍රක්ෂේපණය ලෙස සැලකේ.) එලෙසම PA යනු OA රේඛාවේ y අක්ෂය මත ප්‍රක්ෂේපණයයි. දැන් θ කෝණයක් නිර්මාණය කරමින් OA රේඛාව හා x, y අක්ෂ මත ඇති කරපු තමන්ගේම ප්‍රක්ෂේපණ දෙකත් සමග හැමවිටම ඍජුකෝණි ත්‍රිකෝණයක් සාදනවා (OAP නම් ත්‍රිකෝණය). මෙම ත්‍රිකෝණය වෘත්තය තුළ සැඟව පවතිනවා. දැන් මෙන්න මෙම ත්‍රිකෝණය ආශ්‍රයෙන් සුපුරුදු පරිදි ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත අර්ථ දක්වන්න පුළුවන්. වෘත්තයට ඉහතදී පෙන්වා දුන් පරිදි ඕනෑම ධණ ඍණ කෝණයක් ඇති කළ හැකි නිසා දැන් ඕනෑම කෝණ අගයකට ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත වලංගු වේ. ඒ අනුව,

sin(θ) = AP/OA => (y අක්ෂය මත ප්‍රක්ෂේපණය) / අරය
cos(θ) = OP/OA => (x අක්ෂය මත ප්‍රක්ෂේපණය) / අරය
tan(θ) = AP/OP => (y අක්ෂය මත ප්‍රක්ෂේපණය) / (x අක්ෂය මත ප්‍රක්ෂේපණය)

වෘත්තයේ අරය (ඉහත රූපයේ OA, OS, OC යන සියල්ලම නියෝජනය කරන්නේ එම අරයයි) හැම විටම ධණ වේ (ඍණ අරයක් කියා දෙයක් නොමැත). ඉහත θ කෝණයට අඳාල අවස්ථාවේ නිර්මාණය වී ඇති AP හා OP ද x හා y අක්ෂ දෙකෙහි ධණ පැතිවල ඇති වූ ප්‍රක්ෂේපණ නිසා ඒවාද ධණ වේ. ඒ අනුව ඉහත අනුපාත තුනම ධණ වේ. ඉන් කියවෙන්නේ ඛණ්ඩාංක තලයේ පළමු කොටුව තුළ, සියලු අනුපාතවලට ඇත්තේ ධණ අගයන් බවයි. දැන් බලන්න Φ කෝණය හා ඒ අවස්ථාවේ ඇති වී ඇති ප්‍රක්ෂේපණ දෙස. එවිටද, සුපුරුදු ලෙස අනුපාත අර්ථ දක්වන්න පුළුවන් පහත ආකාරයට.

sin(Φ) = (Y අක්ෂය මත ප්‍රක්ෂේපණය) / අරය = BQ/OB
cos(Φ) = (X අක්ෂය මත ප්‍රක්ෂේපණය) / අරය = OQ/OB
tan(Φ) = BQ/OQ

එහෙත් දැන් තත්වය පෙරට වඩා තරමක් වෙනස්ය. එහි BQ යන ප්‍රක්ෂේපණය y අක්ෂයේ ධණ පැත්තේ ඇතත්, OQ ප්‍රක්ෂේපණය දැන් පවතින්නේ x අක්ෂයේ ඍණ පැත්තේය. ඒ අනුව, සයින් අනුපාතයට අයත් දිගවල් දෙකම ධණ නිසා සයින් අනුපාතය ධණ වේ. එහෙත්, කොස් හා ටෑන් දෙකටම OQ යන ඍණ අගය ඇති නිසා, එම අනුපාත දෙකෙහි අගයන් දෙකම ඍණ වේ. ඉන් කියන්නේ දෙවැනි කොටුවේදී සයින් ධණ වන බවත් අනෙක් අනුපාත දෙක ඍණ වෙන බවත්ය.

මෙලෙසම අනෙක් කොටු දෙක ගැනත් සිතා බලන්න. ඔබට පෙනේවි තෙවැනි කොටුවේදී ටෑන් අනුපාතය පමණක් ධණ වන බවත්, සිව්වැනි කොටුවේදී කොස් පමණක් ධණ වන බව. මෙය මා කෙටියෙන් මතක තබා ගන්නේ “All Saint Thomas College” යන pneumonic එකෙන්ය (මින් කොටු හතරේ ධණ වන අනුපාත පමණක් කියැවේ. පළමු කොටවෙදී ඕල් (සියල්ල) ධණ බවත්, දෙවැනි කොටුවෙදි සෙන්ට් (සයින්) ධණ බවත්, තෙවැනි කොටුවෙදි තෝමස් (ටෑන්) ධණ බවත්, සිව්වැනි කොටුවේදි කොලෙජ් (කොස්) ධණ බවත් ඉන් පහසුවෙන් මතක තබා ගන්නා පුළුවන්.)

කෝණය ඕනෑම අගයක් විය හැකි බව ඉහතදී පැවසුවත් සෑම එක් වටයකටම සැරයක්ම හෙවත් සෑම අංශක 360කට සැරයක්ම එකම දේ සිදුවන නිසා පළමු අංශක 360 පමණක් සැලකීම ප්‍රමාණවත් නේද? ඔව්. එවිතරක් නොවේ, මෙය වෘත්ත චලිතයකි (එය ඉහත රූපයේම දකුණුපස ඇති තරංග චක්‍රය දැකීමෙන් ඔබ විද්‍යා අතිරේකයේ තරංග ආකෘතිය ඉගෙන ගත් තොරතුරුවලින් වටහ ගත හැකි විය යුතුය). එම තරංග වක්‍රයේ උඩට පිහිටි අර්ධය යට පිහිටි අර්ධයට අගයන්ගෙන් හා හැඩයෙන් සමාන වන අතර, එකම වෙනස නම්, ධණ ඍණ මාරු වීම පමණි (ඉන් කියන්නේ ඔබ තරංගයේ එක් අර්ධයක් කපා කරකවා අනෙක් අර්ධය මත තැබූ විට ඒ දෙක සියයට සියයක් හොඳට මැච් වෙන බවයි). මින් ගම්‍ය වන්නේ, පළමු අර්ධය නියෝජනය කරන අංශක 180 පමණක් සැලකීම ප්‍රමාණවත් බව නේද? ඔව්. එවිතරක්ද නොවේ. තරංගයේ එක් අර්ධයක් ගත් විට, එහි උපරිම අගය ඇති ස්ථානයෙන් වම් හා දකුණු කොටස් ලෙස දෙකට කැපූ විට, එම කොටස් දෙකද සමපාත වේ. ඉන් කියන්නේ, පළමු අංශක 90 ගැන දන්නේ නම් ඕනෑම අංශක ගණනක ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත අගයන් දැන ගත හැකි බවයි. ඒ අනුව, ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත සමග වැඩ කිරීමට සකසා ඇති වගුවල ඇත්තේ අංශක බිංදුවේ සිට අනූව දක්වා පමණ අගයන් පමණි. වෙනත් ඕනෑම අංශක ගණනකින් ඇති අනුපාතයක් මෙම 0-90 පරාසයේ කෝණයක අනුපාතකට පළමුව පරිවර්ථනය කර ගත යුතු බවයි මින් කියැවෙන්නේ. එය කරන්නේ කෙලෙසද? ඊට පහත පහසු සූත්‍රය/උපක්‍රමය අනුගමනය කරන්න.

1. මුල් අනුපාතය ලෙස, සයින්, කොස්, ටෑන් යන ඕනෑම අනුපාතයක් සමග ඇති ඕනෑම කෝණයක් අංශක 90 කොටස් n ගණනකට කඩන්න (n x 90)+ θ වන ආකාරයට.
   
   
2. n ඉරට්ටේ අගයක් නම්, අනුපාත මාරූ නොවේ (එනම්, සයින් සයින් ලෙසම, කොස් කොස් ලෙසම, හා ටෑන් ටෑන් ලෙසම පවතී). n ඔත්තේ අගයක් නම්, අනුපාත මාරු වේ (එනම්, සයන් කෝසයින් ලෙසද, කෝසයින් සයින් ලෙසද, ටෑන් කෝටෑන් ලෙසද, කෝටෑන් ටෑන් ලෙසද වෙනස් වේ).
   
   සයින් හා කොස් (කෝසයින්) දෙක එක ජෝඩුවකි. ටෑන් හා කෝටෑන් දෙකද එක ජෝඩුවකි. එමනිසා එම ජෝඩු trigonometric co-ratio ලෙස හැඳින් වේ (ඒ ඒ දෙක ජෝඩු බව හැඟවීමට ජෝඩුවේ එක අනුපාතයක නම සාදා තිබෙන්නේ ජෝඩුවේ අනෙක් අනුපාතයේ නමට ඉදිරියෙන් co යන්න යෙදීමෙන් බව ඔබටද පේනවා නේද?)
   
   
3. අවසාන වශයෙන් අනුපාතවලට සුදුසු ධණ ඍණ සලකුණු දිය යුතුය. ඒ සඳහා ඉහත ඉගෙන ගත් All Saint Thomas College යන්න වැදගත්ය. මුල් අනුපාතය සමග ඇති කෝණය පවතින කොටුව කුමක්දැය හඳුනාගන්න. ඉන්පසු එම කොටුව තුළ අදාළ අනුපාතයට හිමි ලකුණ තීරණය කරන්න.

අප උදාහරණ දෙකක් සලකා බලමු. sin(550^o) හා tan(320^o) යන අනුපාත දෙක ගනිමු.

sin(550) = sin(6 x 90^o + 10) = -sin(10^o) (මෙම 550 කෝණය තිබෙන්නේ තෙවැනි කොටුව තුළයි. 90 කොටස් හයකුත් තවත් කෝණයක් යනු තෙවැනි කොටුව‍ නේද? තෙවැනි කොටුව තුළ සයින් අනුපාතවල අගය ඍණ බව All Saint Thomas College යන්නෙන් පෙනෙනවා.)

tan(320) = sin(3 x 90^o + 50) = -cot(50^o)

තවද, ඍණ ඕනෑම කෝණයක ත්‍රිකෝණමිතික අගය සෙවීමේදී පහත ආකාරයට කෝණය ධණ කරගත හැකිය.

sin (-A) = -sin(A)
cos(-A) = cos(A)
tan(-A) = -tan(A)

මූලික අනුපාත තුනේ විශේෂ අංශක කිහිපයක් සඳහා අගයන් පහත දැක්වේ. මේ අගයන් කටපාඩම් කරගන්න.

	0o	30o	45o	60o	60o	180o	270o	360o
sin	0					0	-1	0
cos	1				0	-1	0	1
tan	0		1			0	-	0

සයින්, කොස්, හා ටෑන් අනුපාත යනු ශ්‍රිත වේ. එමනිසා ඒවා ප්‍රස්ථාරගත කළ හැකිය. එම තුනෙහි ප්‍රස්ථාර පහත දැක්වේ. (සයින් ප්‍රස්ථාරය ඉහතදී ඒකක වෘත්තය සමගද පෙන්වා ඇත.) එහි x අක්ෂයෙන් අංශක ගණන නිරූපණය කරන අතර, y අක්ෂයෙන් අනුපාත අගය නිරූපණය වේ.

 මින් සයින් හා කෝසයින් ප්‍රස්ථාර දෙ‍කම බැලූ බැල්මට සමාන බව පේනවා. එකම වෙනස නම්, සයින් ප්‍රස්ථාරයක 0^o පටන් ගන්නා විට සයින් අගයද බිංදුවෙන් පටන් ගෙන ක්‍රමයෙන් වැඩිවන අතර, කොස් ප්‍රස්ථාරය 0^o පටන් ගන්නා විට කොස් අගය එකෙන් පටන් ගෙන ක්‍රමයෙන් අඩු වේ. එනම්, සයින් හා කොස් ප්‍රස්ථාරය එක මත එක සමපාත කරන්නට පුළුවන් අංශක 90කින් ප්‍රස්ථාරය එහා මෙහා කිරීමෙන්. සයින් ප්‍රස්ථාරය ඔබට හොඳට හුරු පුරුදුයි නේද? ඊට හේතුව තරංග ආකෘතිය පැහැදිලි කිරීමටද යොදා ගන්නේ මෙම සයින් ප්‍රස්ථාරය වීමයි (එමනිසාමයි, එයට “සයිනාකාර” තරංග යන නම ලැබී තිබෙන්නේ).

කෝණයක් දී ඇති විට (වගු භාවිතා කර) ඉහත න්‍යායන්ද භාවිතා කරගනිමින් අනුපාත පහසුවෙන්ම ගණනය කර ගත හැකි විය යුතුය. මෙහි විලෝමයද (“රිවර්ස් එක”) කිරීමට නිතර සිදු වෙනවා. එනම්, යම් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයක් දී ඇති විටක අදාළ කෝණය කුමක්දැය සෙවීමයි (මෙයද වගු භාවිතා සිදු කරනවා). මේවා “ප්‍රති අනුපාත” (inverse trigonometric ratio) ලෙස හැඳින් වෙනවා. ප්‍රතිඅනුපාතයකින් හැමවිටම කෝණයක් ලැබේ. ඒ අනුව, ඉහත සෑම අනුපාතයකටම අදාළ ප්‍රති අනුපාත පවතින අතර, ඒවා ලියන සම්මත ක්‍රමද පවතිනවා.

sin(θ) = y නම්, θ = sin^-1(y) හෝ θ = arcsin(y)
cos(θ) = y නම්, θ = cos^-1(y) හෝ θ = arccos(y)
tan(θ) = y නම්, θ = tan^-1(y) හෝ θ = arctan(y)
csc(θ) = y නම්, θ = csc^-1(y) හෝ θ = arccsc(y)
sec(θ) = y නම්, θ = sec^-1(y) හෝ θ = arcsec(y)
cot(θ) = y නම්, θ = cot^-1(y) හෝ θ = arccot(y)

මෙහි -1 ලෙස බලයක් සේ පෙනුනත් ඒ බලයක් සහිත දර්ශක අගයක් නොව නිකංම නිකං ප්‍රතිඅනුපාතයක් පෙන්වන විදියක් පමණක් බව මතක තබා ගන්න. ඔබට ප්‍රතිඅනුපාතයක් ධණ හෝ ඍණ බලයකට නැංවිය යුතු නම්, වරහන් යොදා එම බල ලකුණු කරන්න. උදාහරණ ලෙස: (sin^-1(y))² ; (sin^-1(y))^-1 ; (tan^-1(y))⁵ ; (cot^-1(y))^-2

ත්‍රිකෝණමිතිය ගැන අවසන් වශයෙන් කොස් සූත්‍රය (cos formula/rule) හා සයින් සූත්‍රය (sine formula/rule) ගැන හඳුන්වා දෙන්නම්.

  අවසාන වශයෙන් දෛශික (vector) ගැන සරල නමුත් වැදගත් විස්තරයකින් මෙම ගණිත අතිරේකය මා අවසන් කරනවා. විද්‍යා අතිරේකයේත් සඳහන් වූ පරිදි දෛශිකයක් යනු අගයක් (විශාලත්වයක්) සේම දිශාවක්ද සහිත රාශියකි. සාමාන්‍යයෙන් ලියන විට, තද (bold) අකුරින් හෝ ඉරි කැබැල්ලක් හෝ කුඩා ඊතලයක් ‍ඉහළින් යොදා රාශිය දෛශිකයක් බව හඟවනවා.

දෛශිකයකට රේඛිය දිශාවක් හෝ වෘත්ත දිශාවක් තිබිය හැකිය. දෛශිකයක් ඍණ හෝ ධණ ලෙස පවතින්නට පුළුවන්. යම් දෛශිකයක දිශාව විරුද්ධ පැත්තට මාරු කළ විට, එහි අගය වෙනස් නොවී සලකුණ වෙනස් වේ (එනම්, ධණ ඍණ බවට හා ඍණ ධණ බවට පත් වේ). ඒ අනුව, ‍ඕනෑම ධණ දෛශිකයක් පැත්ත මාරු කළ විගස පහසුවෙන්ම ඍණ දෛශිකයක් බවට පත් වේ. මෙම න්‍යාය වාමාවර්ත හා දක්ෂිණාවර්ත යන දෙයාකාර වෘත්ත චලිත දිශාවලටද වලංගුය.

දෛශික දෙකක් එකතු කිරීම, දෛශික ආකලනය (vector addition) ලෙස හැඳින් වෙන අතර, එය සාමාන්‍ය අදිශ ‍රාශි දෙකක් එකතු කරන ක්‍රමයට කළ නොහැකිය. X නම් දෛශිකයක් Y නම් ‍තවත් දෛශිකයකට එකතු කරන විට, එම දෛශික දෙකම පවතිනේ එකම දිශාවට නම් සාමාන්‍ය විදියට නිකංම එම අගයන් දෙක එකතු කළ හැකියි. දෛශික දෙක පවතින්නේ එකිනෙකට ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශා දෙකට නම්, එහිදී ධණ හා ඍණ අගයන් දෙක සාමාන්‍ය අංක ගණිතයමය යොදාගෙන සුළු කළ හැකියි (එවිට, වැඩි අගය සහිත දෛශිකයේ දිශාව නව දෛශිකයේ දිශාව බවට පත් වේ).

සටහන
දෛශික දෙකක එකතුව ගණනය කිරීමම රූපමය (graphical) ආකාරයටද පෙන්විය හැකියි. රූපමය ආකාරය පහසුවෙන් තේරුම් ගැනීමට උදව් වේ. සාමාන්‍යයෙන් දෛශික රූපමය ආකාරයෙන් පෙන්වන්නේ ඉරි කැබැලි වලිනි. ඉරි කැබැල්ලේ ‍දිග දෛශිකයේ විශාලත්වයද ඉරි කැබැල්ල අඳිනු ලබන දිශාව දෛශිකයේ දිශාවද නිරූපණය කරනවා. ඒ අනුව ඉහත X හා Y දෛශික දෙක පහත ආකාරයට ඉරි කැබැලි දෙකකින් දක්වමු. දැන් මෙම දෛශික දෙක එකතු කරනවා යනු, එක දෛශිකයක් (රේඛාවක්) පටන් ගෙන ඉවර වෙන කෙළවරට, අනෙක් රේඛාව දිශාව හා විශාලත්වය වෙනස් නොකරම මූට්ටු කිරීමයි. දැන්, පළමු දෛශිකයේ පටන් ගත් සථානයේ සිට දෙවැනි දෛශිකය ඉවර වෙන තැනට ඍජු රේඛාවක් ඇන්ද විට, එම රේඛාව එම දෛශික දෙකෙහි එකතුව නිරූපණය කරනවා. එනම්, එම රේඛාවේ දිගින් දෛශිකයේ විශාලත්වයද, එම රේඛා‍ව එල්ල වී ඇති දිශාවෙන් දෛශික දෙකේ එකතුවේ නව දිශාවද නිරූපණය වෙනවා. මේ ආකාරයට දෛශික ඕනෑම ගණනක එකතුව රූපමය ආකාරයට පහසුවෙන් පෙන්විය හැකියි.

එහෙත් ඉහත සුවිශේෂි අවස්ථා දෙක නොවන විටකදී, සරල අංක ගණිතය එලෙසම අපට යෙදිය නොහැකියි. එහිදි දෛශික ආකලනය සිදු කරන්නේ මෙසේය. දෛශික දෙක එකම ශීර්ෂයකින් පටන් ගන්නා අයුරින් අඳින්න (එහිදී දෛශික දෙක නියෝජනය කරන රේඛා දෙකෙහි විශාලත්වය හා එල්ල වී ඇති ‍දිශා වෙනස් නොකරන්න). දැන් එය යම් චතුරස්‍රයක පාද දෙකක් වැනියි. ඔබ මේ පාද දෙකට සමාන හා සමාන්තර පාද දෙක ඇඳ එම චතුරස්‍රය සම්පූර්ණ කරන්න. (මෙම චතුරස්‍රයට කියන්නේ සමානතරාස්‍රය බව ඉහත ජ්‍යාමිතය ‍විස්තරයේදී පෙන්වා දුන්නා මතකද?) දැන් එම සමානතරාස්‍රයේ දෛශික දෙක හමුවන මුල්ලේ (ශිර්ෂයේ) සිට විකර්ණය ඇන්ද විට, එම විකර්ණයෙන් ලැබෙන්නේ දෛශික දෙකේ එකතුවයි. එම එකතුව යනු යම් විශාලත්වයක් හා දිශාවක් ඇති අලුත් දෛශිකයකි. එම විකර්ණයේ විශාලත්වයෙන් නව දෛශිකයේ විශාලත්වයද, එය ඉල්ල වී ඇති දිශාවෙන් නව දෛශිකයේ දිශාවද දක්වනවා.

ඉහත සමාන්තරාස්‍රය වෙනුවට අවශ්‍ය නම් ත්‍රිකෝණයකින් වුවද එම ගණනය කිරීම කළ හැකියි. මෙහිදී ත්‍රිකෝණයේ එක් පාදයකින් පෙන්වන්නේ අනෙක් පාද දෙකින් නිරූපණය කෙරෙන දෛශික දෙකෙහි එකතුවයි.

රූප ඇඳ ඇඳ අපට දෛශික එකතු කිරීම අපහසුය. දෛශික දෙකක් එකතු කිරීමට අපට කොස් සූත්‍රය භාවිතා කළ හැකියි. එය සුළු කිරීමෙන් අපට ලැබෙන අගය දෛශික දෙකෙහි එකතුව වේ. එසේ ලැබෙන එකතුව පෙන්වන නව දෛශිකයේ දිශාව සුදුසු ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රතිඅනුපාතයක් ගෙන පහසුවෙන් තීරණය කළ හැකියි. දෛශික දෙක පවත්න්නේ එකිනෙකට ලම්භකව නම් (මෙයද විශේෂ අවස්ථාවකි), කොස් සූත්‍රය නොයොදා කෙලින්ම සරල ‍පයිතගරස් ප්‍රමේයම යෙදිය හැකිය.

දෛශිකයක් ගැන අපට තවත් ආකාරයකට සිතිය හැකියි. එනම්, එහි දිශාව නොසලකා විශාලත්වය පමණක් ගෙන එය වෙනම (අදිශ) කොටසක් ලෙසද, එම අදිශ කොටස අහවල් දිශාවට පවතින්නේ යැයි හැඟවීමට පමණක් “ඒකක දෛශිකය” (unit vector) යන (දෛශික) කොටසක්ද ගෙන, එම කොටස් දෙකම එකට ලියා දෛශිකයක් නිරූපණය කළ හැකියි (එය උපමාකින් කියන්නේ නම් මේ වගේය. ඔබ කියනවා ඔබ ගාව යම් එක් ජාතියක පළතුරු ගෙඩි 10ක් ඇති බව. එම පළතුර අඹ නම්, පළතුරු දහයම එකවර අඹ වේ. එය අන්නාසි නම්, පළතුරු දහයම අන්නාසි වේ. මේ ආකාරයටම අච්චර විශාලත්වයක් සහිත රාශියක් තිබෙන අතර (එවිට එය අදිශයකි), එය අහවල් දිශාව ඔස්සේ පවතී යනුවෙන් කී පමණින් එකවරම එය දෛශිකයක් බවට පත් වේ.) ඒකක දෛශිකයක් නිරූපණය කරන්නේ ඊට උඩින් ^ දැමීමෙනි. යම් දෛශිකයක් එහි විශාලත්වයෙන් බෙදූ විට ලැබෙන්නේ එම දෛශිකයට අදාළ ඒකක දෛශිකයයි (දෙවැනි රූ‍පයෙන් එය දැක් වේ).

 සටහන

යම් රාශියකට දෙපසට | | ලෙස ඉරි කැබැලි දෙකක් ගැසූ විට, ඉන් කියැවෙන්නේ එම ඉරි කැබැලි දෙක අතර ඇති රාශියේ විශාලත්වය පමණක් සලකන ලෙසයි. මෙය +, x වැනි තවත් එක්තරා විදියක ගණිත කර්මයක් ලෙස සැලකිය හැකි අතර එවිට ඊට “නිරපේක්ෂ අගය ඔපරේටර් එක” (absolute value operator) ලෙස හැඳින්විය හැකියි. අවශ්‍ය නම්, මෙය ශ්‍රිතයක් ලෙසද සැලකිය හැකි අතර එවිට එය නිරපේක්ෂ අගය ශ්‍රිතය (absolute value function) ලෙස හැඳින්විය හැකියි. උදාහරණයක් ලෙස, -34 යන ඍණ සංඛ්‍යාවේ විශාලත්වය හෙවත් නිරපේක්ෂ වටිනාකම 34 වේ. එය |-34| = 34 ලෙස ලිවිය හැකියි (එනම්, ඕනෑම ඍණ සංඛ්‍යාවක නිරපේක්ෂ අගය එහි ධන සංඛ්‍යාවට සමාන වේ). එලෙසම, යම් දෛශිකයක නිරපේක්ෂ අගය හෙවත් විශාලත්වය යනු එම දෛශිකයේ දිශාව නොසලකා හැර විශාලත්වය පමණක් සලකා බැලීම වේ. කෙටියෙන්ම කි‍යතොත් නිරපේක්ෂ අගය ඔපරේටර් එක ඕනෑම ගණිත ප්‍රකාශකයකට යෙදිය හැකි අතර, එහි තේරුම වන්නේ එම ප්‍රකාශය යම් එක් අගයක් දක්වාම සුළු කර, එහි ධණ ඍණ භේදය හෝ දිශාව හෝ වෙනත් ඕනෑම ගති ලක්ෂණයක් ඉවත් කර විශාලත්වය පමණක් පෙන්වා දීමයි.

යම් සංඛ්‍යාවකට පසුව ! යන සංඛේතය දමා ඇති විට ඉන් වැදගත් දෙයක් කියැවේ. ගණිතයේදී ක්‍රමාරෝපිතය (factorial) ලෙස එය හැඳින් වේ. එයද ගණිත කර්මයකි. යම් සංඛ්‍යාවකට පසුව එය යොදා ඇති විට, එම සංඛ්‍යාවේ සිට 1 දක්වා එකින් එක අඩු සෑම ඉලක්කමක්ම එකිනෙකට ගුණ කළ යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස

8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40,320

තවද, සම්මතයෙන්ම 0! = 1! = 1 ලෙස සැලකේ.      

යම් දෛශිකයක් අදිශයකින් (නිකංම ඉලක්කමක්) ගුණ කළ (හෝ බෙදිය) හැකිය. එය පහසුවෙන් තේරුම් ගන්න පුළුවන් ඉහත ඡේදයේ සඳහන් ආකාරයට ඒකක දෛශික ආශ්‍රයෙන් දෛශිකය ගැන සිතුවොත්. මෙහිදී සිදුවන්නේ දෛශිකයේ අදිශ කොටස හෙවත් අගය කොටස සාමාන්‍ය අංක ගණිතය අනුව ගුණ කර (හෝ බෙදා), ඒකක දෛශිකයට මුකුත් නොකර ඊට නිකංම බද්ධ කිරීමයි. තව විදියකින් කියතොත්, යම් දෛශිකයක් අදිශකයකින් වැඩි කළ විට, එම දෛශිකයේ විශාලත්වය වෙනස් වන අතර, දිශාව වෙනස් නොවේ. එහෙත් ඇත්තටම දිශාවද වෙනස් විය හැකි විශේෂ අවස්ථාවක්ද තිබෙනවා. එනම්, වැඩි කරන අදිශය/ඉලක්කම ඍණ නම්, වැඩි කළ පසු ලැබෙන නව දෛශිකයේ දිශාව ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශාවට මාරු වේ.

දෛශිකයක් තවත් දෛශිකයකින් කිසිම අවස්ථාවක බෙදිය නොහැකිය. එහෙත් දෛශිකයක් තවත් දෛශිකයකින් ගුණ කළ හැකිය. ඇත්තටම, දෛශික දෙකක් එකිනෙක ගුණ කරන ආකාර දෙකක්ම පවතී. ඉන් පළමු එක අදිශ ගුණිතය (scalar product) හෝ තිත් ගුණිතය (dot product) ලෙස හැඳින් වේ. මෙලෙස X නම් දෛශිකයක් තවත් Y නම් දෛශිකයක් අදිශ ගුණිතය සිදු කරන විට, පළමුව X (හෝ Y ; දෙකෙන් ඕනෑම එකක් වූවාට ප්‍රශ්නයක් නැහැ) දෛශිකය Y දෛශිකයේ දිශාව ඔස්සේ එහි ප්‍රක්ෂේපණය සොයා ගත යුතුයි. එය සෙවීම ඉතාම පහසුය. කළ යුත්තේ දෛශික දෙක සාදන කෝණයේ කොස් අගය X සමග වැඩි කිරීම පමණයි.

ඉන්පසු සාමාන්‍ය අංකගණිතය ඔස්සේ එම X හි ප්‍රක්ෂේපිත අගය හා Y හි අගය ගුණ කරන්න. මෙලෙස ලැබෙන අගය දෛශිකයක් නොව අදිශයකි. එනම්, මෙම ක්‍රමයෙන් ‍යම් දෛශික දෙකක් ගුණ කළ විට අනිවාර්යෙන්ම පිළිතුර ලෙස ලැබෙන්නේ අදිශයකි. අදිශ ගුණිතය යන නම් මීට ලැබී ඇත්තේ ඒ නිසයි. මෙය සංඛේතාත්මකව පැවසීමේදී අදිශ ගුණිතය හඟවන්නේ හැමවිටම ඩොට් එකකිනි. එමනිසයි මෙයට තිත් ගුණිතය ලෙසද නම ලැබී ඇත්තේ. (මෙහි දෛශික දෙකෙහි විශාලත්ය පමණක් සලකා බලන බව නිරපේක්ෂ අගය ඔපරේටර් යෙදීමෙන් අර්ථවත් වේ.) මෙය සූත්‍රයක් ආකාරයට ලියන්නේ.

මෙම ගුණිතයෙන් ලැබෙන්නේ අදිශයක් නිසා, ඉහත සූත්‍රයට පළමුව කුමන දෛශිකය ලියනවාද යන්න එතරම් වැදගත් නොවේ. එමනිසා,

a.b = |a| |b|cosA = |b| |a|cosA

විද්‍යාව තුළ සමහර දෛශික රාශි පවතිනවා ඉහත ගුණාංගය දක්වන. උදාහරණයක් ලෙස, යම් කිසි බලයක් (F) යොදා යමක් යම් දුරක් (d) චලනය කරවූ විට, එය කාර්යයක් (w) ලෙස හැඳින්වෙන බව ඔබ දැන් දන්නවා (විද්‍යා අතිරේකය කියවා මතක නම්). මෙහි F, හා d යන දෙකම දෛශික වේ. එහෙත් ඒ දෙක වැඩි කළ විට ලැබෙන කාර්යය අදිශයකි (කාර්ය හා ශක්තිය අදිශයි). ඒ අනුව කිව හැක්කේ w=f.d යන ඉහත සම්බන්ධතාව ගණිතානුකූලව අදිශ ගුණිතය තුළින් සිදු කළ යුතු බවයි.

දෛශික දෙක පවතින්නේ එකම දිශාවට නම් cos0 = 1 නිසා, තිත් ගුණිතයෙන් උපරිම අගය ලැබෙන අතර, දෛශික දෙක එකිනෙකට ලම්භකව පවතින්නේ නම්, cos90 = 0 නිසා, තිත් ගුණිතය ශූන්‍යයද ලැබේ.

මීට අමතරව අවස්ථා තිබෙනවා, යම් දෛශික දෙකක් පෙර සේම ගුණ වී තවත් දෛශිකයක්ම සාදන. එවිට, තිත් ගුණිතය ඊට යෙදිය නොහැකියි නේද? ඒ සඳහා දෛශික ගුණිතය (vector product) හෙවත් කතිර ගුණිතය (cross product) නම් ගුණ කිරීම් ක්‍රමය අර්ථ දක්වා තිබෙනවා. තිත වෙනුවට මෙහිදි කතිරය (x) යොදා ගැනෙනවා එය තිත් ගුණිතයෙන් වෙන් කොට පෙන්වීමට.

තිත් ගුණිතයේදී දෛශික දෙක අතර කොස් අගය ගත්තද, කතිර ගුණිතයේදී ගන්නේ සයින් අගයයි. තිත් ගුණිතයේදී කොස් අගය ගත් නිසා, ඊට අදාළ රූපය බැලූ විට පැහැදිලිවම පේනවා දෛශික දෙකම එකම දිශාවකට සකස් කරන බවක්. එහෙත් කතිර ගුණිතයේ සිදු වන්නේ එක් දෛශිකයක ප්‍රක්ෂේපණය අනෙක් දෛශිකයේ දිශාවට ලම්භක වන සේ සකස් කරගත් බව. ඉන් පසු දෛශිකය හා (අනෙක් දෛශිකයේ) ප්‍රක්ෂේපණය යන දෙක එකට ගුණ කරනවා යනු ඍජුකෝණාස්‍රයක දිග හා පළල එකිනෙකට ගුණ කරනවා බදු වීමයි. එනම්, ‍මෙහිදී අපට වර්ගඵලයක් ලැබෙනවා.

යම් රේඛාවක නම් අපට එම රේඛාව එල්ල වී ඇති දිශාව පැවසිය හැකියි (එනිසානේ දෛශික නිරූපණයට රේඛා භාවිතා කරන්නෙත්). එහෙත් කතිර ගුණිතය ඉහත ආකාරයට සිදු කළ විට අපට ලැ‍බු‍ණේ ක්ෂේත්‍රඵලයක් හෙවත් තලයකි. තලයක දිශාව යනු කුමක්ද? තලයකට පැවැතිය හැකි දිශාව වන්නේ තලයේ සිට උඩු පැත්තට නැතහොත් යටි පැත්තට පවතින දිශා දෙකින් එකක් වේ. මෙන්න මෙම දිශාව තමයි n මතට ^ යොදා ඒකක දෛශිකයක් මගින් නිරූපණය වන්නේ. ඒ අනුව පැහැදිලි වන්නේ, කතිර ගුණිතයෙන් ලැබෙන නව දෛශිකය තරමක් අමුතු එකක් බවයි. එහි දිශාව හැමවිටම එය සෑදීමට හවුල් වූ දෛශික දෙකෙහිම දිශා දෙකට ලම්භකව පවතින බවයි. මෙවැනි දෛශික ඇත්තටම pseudovector ලෙස හැඳින් වේ. වෘත්ත චලිත අවස්ථාවලදී හමුවන සියලුම දෛශික මෙම ගණයට වැටේ.

ඉහත විස්තරය අනුව ලැබෙන ස්‍යුඩොවෙක්ටර් එකේ දිශාව තලයෙන් උඩටද යටටද යන්නත් දත හැකිය. එහිදී ඉහත සූත්‍රයේ පළමුව ලියන දෛශිකයේ සිට දෙවැනියට ලියන දෛශිකය දෙසට පහත රූපයේ පරිදි දකුණතේ ඇඟිල් කරකැවූ විට, මාපට ඇඟිල්ල එල්ල වී ඇත්තේ උඩට නම් තලයෙන් උඩටද, පහළට නම් තලයෙන් පහළටද ලෙස එම දිශාව නිර්ණය කළ යුතුය.

මින් කියන්නේ තිත් ගුණිතයේ මෙන් නොව, කතිර ගුණිතයේදී දෛශික දෙක ලියන අනුපිළිවෙල වැදගත් වන බවයි. එනම්, දෛශික දෙක මාරු කළ විට, අගය වෙනස් නොවුණත් ඉහත ඇඟිලි උපක්‍රමය යොදා දිශාව සොයන විට දිශාව මාරු වේ. එනම්,

මා මෙම අතිරේකයෙන් ඉතා සරල කාරණාවේ සිට සමහරවිට ඔබ නොදත් කාරණාද කෙටියෙන් සලකා බැලුවා. ඒ සියලු ගණිත කාරණා ඔබ දත යුතු යැයි මා සිතනවා. මෙහිදී මා කළේ ඔබ දත යුතු දේවල් මේවා යැයි පෙන්වා දීමත්, අමතකව ඇත්නම් නැවත මතක් කර දීමත් හා සමහර කාරණා බොහෝ පොත්පත්වල තිබෙනවාට වඩා සරල හා වෙනස් ආකාරයට පෙන්වා දීමත් පමණි. ගණිතය නිකංම කට පාඩම් කරනවා වෙනුවට, ඒවා පිටුපස ඇති රහස් හා රටා තේරුම් ගත් විට, ගණිතය දැනගැනීමෙන් පමණක් ලෝකයේ බොහෝ දේවල් ගැන අවබෝධයක් ලබා ගත හැකියි. ඉදිරි පොත්වලද මෙවැනිම විද්‍යා හා ගණිත අතිරේක මා ඇතුලු කරනවා. ඒවා මීට වඩා උසස් විද්‍යා හා ගණිත සංකල්ප හා න්‍යායන් ඇතුළත් වේ.