දෛශික (vectors) - 17 (eigenvector)

අයිගන්දෛශික

විද්‍යාව හා තාක්ෂණයේදී බහුලවම භාවිතා කෙරෙන ගණිත සංකල්පයකි අයිගන්දෛශික (Eigenvector හෙවත් characteristic vector හෙවත් latent vector) කියන්නේ. ඉතාම කෙටියෙන් අයිගන්දෛශිකයක් යනු දැනට පවතින යම් දෛශිකයක අගය පමණක් වෙනස් කර දිශාව වෙනස් නොකර සාදා ගන්නා දෛශිකවලට කියන නමකි.

ඔබ දන්නවා යම් දෛශිකයක් ගත් විට ඊට විශාලත්වයක් හා දිශාවක් පවතිනවා. එනිසාම එය යම් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් ඇසුරින් පිහිටුම් දෛශිකයක් ආකාරයට නිරූපණය කළ හැකියි; ඊතලයේ දිගෙන් දෛශික විශාලත්වයත් එහි දිශාවෙන් දෛශික දිශාවත් නිරූපණය වේ. දැන්, එම පිහිටුම් දෛශිකය පෙන්වන ඊතලයේ දිග කොට හෝ දික් කළ විට (එවිට දිශාව වෙනස් වන්නේ නැහැනෙ) ලැබෙන්නේ අයිගන්දෛශිකයකි.

ඉහත විස්තරය අනුව අයිගන්දෛශික යනු ඉතා සරල සංකල්පයක්නෙ. එම සංකල්පය අපට න්‍යාස සමඟ බද්ධ කළ හැකිය (ඇත්තටම ගණනය කිරීම්වලදී න්‍යාස හා නිශ්චායක තමයි යොදා ගන්නේ). මීට හේතුව සරලය. යම් දෛශිකයක් අප නිතරම න්‍යාස මඟින් නිරූපණය කරනවා. එය කරන හැටි බලමු. පලමුවෙන්ම, යම් දෛශිකයක් යම් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ඒකක දෛශික ඇසුරින් දක්වනවා v = a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃ + ... + a_ne_n ලෙස (මේ ගැන ඔබ දැන් හොඳටම දන්නවානෙ; ටෙන්සර් නිරූපණය ගැන මෙහිදි සැලකිලිමත් වී නැති නිසා උඩකුරු යටකුරු වෙනස නොසලකා හැරේ). දෙවනුව මේ එක් එක් පදයේ පදනම්/ඒකක දෛශික කොටස තීරු න්‍යාසයකිනුත්, ඒ එක් එක් පදනම් දෛශිකයේ සංරචක කොටස් පේලි න්‍යාසයකිනුත් දක්වනවා. පහත දැක්වෙන්නේ පදනම් දෛශික 3ක් සඳහා එම න්‍යාස ලියන ආකාරයයි.

සටහන

අයිගන්දෛශික සමඟ වැඩ කිරීමට අනිවාර්යෙන්ම න්‍යාස හා නිශ්චායක ගැන අවබෝධයක් අවශ්‍ය වේ. න්‍යාස සමඟ සිදු කරන ගණිත කර්ම (එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, වැඩි කිරීම ආදිය) ගැන දැන සිටිය යුතුය. මීට පෙර න්‍යාස ගැන හැඳින්වීමක් තිබූ අතර, න්‍යාස වර්ග හා න්‍යාස මත සිදු කරන ගණිත කර්ම කිහිපයක් ගැන පමණක් කෙටියෙන් මෙම සටහන තුල බලමු.

න්‍යාස වර්ග

අවයව එක් පේලියක පමණක් ඇති විට ඊට පේලි න්‍යාසයක් (row matrix/vector) ලෙසත්, එම අවයව තීරුවක ඇති විට ඊට තීරු න්‍යාසයක් (column matrix/vector) ලෙසත් හඳුන්වන බව මීට පෙරත් ඔබ හැඳින ගත්තා. තවද, යම් න්‍යාසයක පේලි ගණන තීරු ගණනට සමාන වන විට, ඉට සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයක් (square matrix) යැයි කියනවා.

සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයක ප්‍රධාන විකර්ණය දිගේ ඇති අවයවවල එකතුවට න්‍යාසයක ලැකිය (trace of a matrix) යැයි කියනවා. යම් සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයක නිශ්චායකය ගණනය කළ විට ලැබෙන අගය ශූන්‍ය වේ නම්, එම න්‍යාසය අපූර්ව න්‍යාසය (singular matrix) ලෙසත්, ශූනය නොවේ නම්, එය අනපූර්ව න්‍යාසයක් (non-singular matrix) ලෙසත් හැඳින්වෙනවා.

සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයේ විවිධ අවස්ථා කිහිපයක් තිබේ. යම් සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයක ප්‍රධාන විකර්ණය දිගේ ඇති අවයව හැර අනෙක් අවයව සියල්ල 0 නම්, ඊට විකර්ණ න්‍යාසය (diagonal matrix) යැයි කියනවා. යම් විකර්ණ න්‍යාසයක ප්‍රධාන විකර්ණය දිගේ ඇති අවයවවල අගයන් සියල්ලම සමාන විට, ඊට අදිශ න්‍යාසය (scalar matrix) යැයි පවසනවා. යම් අදිශ න්‍යාසයක අගයන් සියල්ල 1 වන විට, ඊට ඒකක න්‍යාසය (identity matrix) යැයි පවසනවා.

යම් සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයක පේලි තීරු ලෙසත් තීරු පේලි ලෙසත් හැරවූ විට ලැබෙන න්‍යාසයට එම මුල් න්‍යාසයේ පෙරලූ න්‍යාසය (transposed matrix) යැයි කියනවා. පෙරළූ න්‍යාසය හඟවන්නේ මුල් න්‍යාසයට පසුව උඩකුරක් ලෙස T යෙදීමෙන් හෝ මුල් න්‍යාසයට පසුව කුඩා ඇල ඉරි කැබැල්ලක් ගැසීමෙනි.

යම් සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයක් පෙරලූ පසුව මුල් න්‍යාසයට සමාන නම් (එනම් පෙරළූ න්‍යාසයේ එක් එක් අවයවය මුල් න්‍යාසයේ අනුරූප එක් එක් අවයවයට සමාන නම්; කෙටියෙන් මෙය a_ij = a_ji ලෙස ලියනවා), එවැනි න්‍යාසයක් සමමිතික න්‍යාස (symmetric matrix) ලෙස හැඳින්වෙනවා. තවද, යම් සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයක් පෙරලූ පසුව පෙරලූ න්‍යාසයේ එක් එක් අවයවය මුල් න්‍යාසයේ අනුරූප අවයවයට අගයෙන් සමාන ලකුණින් විරුද්ධ නම් (එනම්, a_ij = -a_ji), එවැනි න්‍යාසයක් කුටික සමමිතීය න්‍යාස (skew-symmetric matrix) යැයි කියනවා. කුටීක සමමිතියේදී ප්‍රධාන විකර්ණය දිගේ තිබෙන අවයව 0 විය යුතුය (යම් සංඛ්‍යාවක + අගය එහි - අගයට සමාන විය හැකි එකම අවස්ථාව 0 වේ).

යම් සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයක ප්‍රධාන විකර්ණයට ඉහල හෝ පහල අවයව සියල්ල 0 නම්, එවැනි න්‍යාසයක් ත්‍රිකෝණික න්‍යාස (triangular matrix) යැයි කියනවා.

යම් A නම් න්‍යාසයක් තවත් න්‍යාසයකින් බෙදිය හැකිය. මෙවිට පිලිතුර 1 හෙවත් I (ඒකක න්‍යාසයක්) ලැබේ නම්, එම බෙදන්නට යොදා ගත් (divider) න්‍යාසය අනෙක් න්‍යාසයේ ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය (inverse matrix) ලෙස හැඳින්වේ; එය A^-1 ලෙස සංඛේතවත් කෙරේ.

A/A =AA^-1 = I

ඕනෑම න්‍යාසයක සියලු අගයන් 0 නම්, ඊට ශූන්‍ය න්‍යාසය (null/zero matrix) යැයි කියනවා. සාමාන්‍යයෙන් තද 0 කින් එය දක්වනවා.

න්‍යාසයක අවයව තාත්වික (real number) මෙන්ම අතාත්වික (imaginary number) හෝ සංකීර්ණ සංඛ්‍යාද (complex number) විය හැකිය. සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් ආකාර 3කින් නිරූපණය කළ හැකිය. පොදුවේ එම ආකාර 3 වන්නේ a + bi, r(cosθ + isinθ), re^iθ වේ. යම් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක ප්‍රතිබද්ධය (complex conjugate) ලැබෙන්නේ ඉහත ආකාර 3න් එකකින් දක්වනු ලබන සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව a - bi, r(cosθ - isinθ), re^-iθ වැනි ආකාරයකින් ලියන විටයි. යම් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් z ලෙස දැක්කුවොත් එහි ප්‍රතිබද්ධය අප දක්වන්නේ z ලෙසයි.

 

පහත දැක්වෙන්නේ සංකීර්ණ සංඛ්‍යා න්‍යාසයකි. යම් A නම් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා න්‍යාසයක අවයව සියල්ල එහි සංකීර්ණ ප්‍රතිබද්ධ බවට පත් කළ විට ලැබෙන න්‍යාසය සංකීර්ණ ප්‍රතිබද්ධ න්‍යාසය (conjugate matrix) ලෙස හැඳින්වේ; එය A ලෙස සංඛේතවත් කළ හැකිය.

 

A නම් යම් සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයක අවයව පවතින්නේ A^T = A ලෙස නම් (එනම් එම න්‍යාසය පෙරලූ විට ලැබෙන පෙරලුම් න්‍යාසය එම න්‍යාසයේ ප්‍රතිබද්ධ න්‍යාසයට සමාන නම්), එවැනි න්‍යාසය හර්මිෂන් න්‍යාස (Hermitian matrix) යැයි කියනවා (ප්‍රංශ ජාතික Hermite නම් ගනිතඥයාට ගෞරව පිනිස ඔහුගේ නමින් එය නම් කර ඇත). ක්වන්ටම් භෞතික විද්‍යාව තුල මෙම න්‍යාස අතිබහුල ලෙස භාවිතා වෙනවා. පහත දැක්වෙන්නේ හර්මිෂන් න්‍යාසයකි. හැමවිටම හර්මිෂන් න්‍යාසයක ප්‍රධාන විකිර්ණය දිගේ ඇති සංඛ්‍යා තාත්වික විය යුතුය (ඊට හේතුව සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් එහි ප්‍රතිබද්ධයට කිසිසේත් සමාන විය නොහැකිය; තාත්වික සංඛ්‍යාවක ප්‍රතිබද්ධය එම තාත්වික සංඛ්‍යාවම තමයි).

යම් සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයක අවයව පවතින්නේ A^T = -A ලෙස නම්, එවැනි න්‍යාස කුටීක හර්මිෂන් න්‍යාස (skew-Hermitian matrix) ලෙස හැඳින්වේ. මෙම ගතිලක්ෂණය පවත්වා ගෙන යෑමට නම්, ප්‍රධාන විකර්ණය ඔස්සේ ඇති සංඛ්‍යා එක්කේ 0 විය යුතුය නැතහොත් අතාත්වික විය යුතුය.

න්‍යාස ගණිත කර්ම

ගනයෙන් සමාන න්‍යාස දෙකක් සමාන වන විට, එම න්‍යාස දෙකෙහි අනුරූප අවයව එකිනෙකට සමාන (matrix equality) වේ.

න්‍යාසයක යම් නියත පදයකින් ගුණ කළ විට, එම න්‍යාසයේ තිබෙන සියලු අවයව එම නියත පදයෙන් ගුණ වේ. මෙම ගණිත කර්මය න්‍යාසයක් අදිශයකින් ගුණ කිරීම (matrix multiplication by a scalar) ලෙස හැඳින්වේ.

MxN න්‍යාසයක් තවත් එවැනිම න්‍යාසයක් සමඟ එකතු කිරීම (matrix adition) හෝ අඩු කිරීම (matrix subtraction) සිදු කළ හැකියි. මෙහිදී න්‍යාස දෙකම එකම වර්ගයේ විය යුතුය (එනම් පේලි හා තීරු ගණන දෙකේම සමාන විය යුතුය).

MxN න්‍යාසයක් NxP න්‍යාසයක් සමඟ ගුණ කළ හැකි (matrix multiplication) අතර එවිට පිලිතුර ලෙස MxP වර්ගයේ න්‍යාසයක් ලැබේ. මෙහිදී පළමු න්‍යාසයේ තීරු ගණන දෙවැනි න්‍යාසයේ පේලි ගණනට අනිවාර්යෙන්ම සමාන විය යුතුය (එය කොන්දේසියකි). මෙවිට පළමු න්‍යාසයේ පළමු පේලියේ අවයව වලින් දෙවැනි න්‍යාසයේ පළමු තීරුවේ අවයව ගුණ වී ලැබෙන පද සියල්ල එකට එකතු කෙරේ; එම එකතුව තමයි දැන් පිලිතුර ලෙස ලැබෙන න්‍යාසයේ පලමු පේලියේ පළමු අවයවය වන්නේ. ඉන්පසුව, එලෙසම පලමු න්‍යාසයේ පලමු පේලිය නැවත දෙවැනි න්‍යාසයේ දෙවැනි තීරුව සමඟත් පෙර සේම සුලු කිරීම සිදු කෙරේ; මෙවිට ලැබෙන එකතුව තමයි පිලිතුරු න්‍යාසයේ පලමු පේලියේ දෙවැනි අවයවය වන්නේ. එලෙස පලමු න්‍යාසයේ පලමු පේලියෙන් දෙවැනි න්‍යාසයේ සෑම තීරුවක්ම සුලු කර ලැබෙන අගයන් පිලිතුරු න්‍යාසයේ පලමු පේලියේ අවයව බවට පත් වේ.

මෙලෙසම, පලමු න්‍යාසයේ දෙවැනි පේලියේ අවයව මඟින් දෙවැනි න්‍යාසයේ පලමු තීරුව පෙර සේ සුලු කර ලැබෙන අගය එකතුව දැන් පිලිතුරු න්‍යාසයේ දෙවැනි පේලියේ පලමු අවයවය බවට පත් වේ. මෙලෙස පලමු න්‍යාසයේ දෙවැනි පේලියෙන් දෙවැනි න්‍යාසයේ සියලු තීරු සුලු කරන්න. මේ ආදි ලෙස පලමු න්‍යාසයේ තෙවැනි පේලියෙන් දෙවැනි න්‍යාසයේ සියලු තීරු සුලු කරන්න. ක්‍රමය එකම රටාවට සිදු වන බව පැහැදිලියිනේ.

යම් සංඛ්‍යාවක් 1න් ගුණ කළ විට ලැබෙන්නේ එම සංඛ්‍යාවම නේද? එලෙසම යම් A නම් න්‍යාසයක් තවත් I නම් න්‍යාසයකින් ගුණ කළ විට නැවත A න්‍යාසයම ලැබේ නම්, මෙම I න්‍යාසය ඒකක න්‍යාසය (identity matrix) ලෙස හැඳින්වේ. ඒකක න්‍යාසයක ප්‍රධාන විකර්ණය (main/leading diagonal) දිගේ 1 අගය ඇති අතර, අනෙක් සියලු අවයව 0 වේ. පහත දැක්වෙන්නේ විවිධ ගන/වර්ගවල න්‍යාස සඳහා ඒකක න්‍යාස කිහිපයකි. තවද හැමවිටම ඒකක න්‍යාසයක් සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයකි (square matrix).

යම් න්‍යාසයක් 0ට සමාන කර ඇති විට, අපට හැකියි එම න්‍යාසයේ එක් එක් පේලිය 0ට සමාන කරන්නට. ඊට හේතුව 0 යන්න ශූන්‍ය න්‍යාසයක් සේ සලකා, ඉන්පසුව සමාන න්‍යාස දෙකක අනුරූප අවයව සමාන වේ යන සරල සිද්ධාන්තය මෙහිදී යෙදේ.

යම් සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයක් එම සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයෙන්ම ගුණ කළ හැකියි. මෙය සාමාන්‍යයෙන් "වර්ග කරනවා" ලෙස හැඳින්වෙන සංකල්පයම තමයි (දැන් වර්ග වන්නේ න්‍යාසයකි). එලෙසම සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයක තෙවැනි, සිව්වැනි ආදි ලෙස ඕනෑම බලයක් ගත හැකිය. කුමන බලයට නැඟුවත් ලැබෙන පිලිතුර හැමවිටම එම මුල් ගණයේම සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයක්ම තමයි. A², A³, ..., Aⁿ ආදි ලෙස මෙම අවස්ථා නිරූපණය කෙරේ.

යම් A නම් සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයක් වර්ග කළ පසුත්, එය මුල් සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයට සමාන නම් (AA = A² = A නම්), එවැනි ගතිගුණයක් සහිත A න්‍යාසය තදේවභාවි න්‍යාසයක් (idempotent matrix) ලෙස හැඳින්වේ.

න්‍යාස සම්බන්දයෙන් තවත් සුලු කිරීම් හා උපක්‍රම තිබෙන බව න්‍යාස වැඩිදුරටත් ඉගෙනීමේදී දැනගන්නට ලැබේවි.

නිශ්චායක

නිශ්චායකයක් (determinant) යනුද න්‍යාස මෙන් අවයව රාශියකින් සමන්විත යම් සංඛ්‍යා ගොන්නකි. නිශ්චායකයක හැමවිටම පේලි ගණන හා තීරු ගණන සමාන වේ. පේලියක හෝ තීරුවක තිබෙන අවයව ගණන මත නිශ්චායකයේ ගණය (order of a determinant) තීරණය කෙරේ. සංඛ්‍යා ගොන්න දෙපසින් ඉරි කැබැලි (bar) ලිවිය යුතුය (න්‍යාසයක සාමාන්‍යයෙන් කොටු වරහනක්නෙ තිබුණේ). පහත දැක්වෙන්නේ නිශ්චායක කිහිපයකි. වම් පැත්තේ උඩම අගයේ සිට දකුණු පැත්තේ යටම අගය දක්වා කොන් දෙක යා කරන විට, ඊට ප්‍රධාන විකර්ණය (primary/leading/principal diagonal) කියා කියනවා (සමචතුරස්‍ර න්‍යාසවලදී මෙන්ම). එලෙසම උඩ දකුණු කෙලවරේ සිට යට වම් කෙලවරට අඳින රේඛාව අප්‍රධාන විකර්ණය (secondary diagonal) යැයි කියනවා.

න්‍යාසයකට වඩා නිශ්චායකයක් සපුරා වෙනස් වේ. ඊට හේතුව සංඛ්‍යා පද්ධතියකින් සමන්විත ඉහත ආකාරයේ ඕනෑම නිශ්චායකයක් අවසානයේදී තනි සංඛ්‍යාවක් බවට සුලු වේ (එය අනිවාර්යෙන්ම සිදු වේ). දැන් ඔබ දැනගත යුත්තේ සංඛ්‍යා පද්ධතියක්/ගොන්නක් ලෙස දක්වා ඇති නිශ්චායකයක් කොහොමද තනි අගයක්/සංඛ්‍යාවක් බවට පත් කර ගන්නේ (සුලු කර ගන්නේ) කියා. මෙහි රටාවක් හා ක්‍රමයක් තිබේ.

මුලින්ම දැනගත යුතුයි කුඩාම නිශ්චියකය හෙවත් දෙවැනි ගනයේ නිශ්චායකය (second order determinant) සුලු කර ගන්නා අන්දම. එහිදී, අවයව 4ක් පමණයි තිබෙන්නේ. පළමුව ප්‍රධාන විකර්ණය ඔස්සේ ඇති සංඛ්‍යා දෙක එකිනෙකට ගුණ කර, දෙවැනුව අප්‍රධාන විකර්ණය ඔස්සේ ඇති සංඛ්‍යා දෙකත් එකිනෙකට ගුණ කර, පළමු ගුණිතයෙන් දෙවැනි ගුනිතය අඩු කරන්න. මෙවිට පිලිතුර තනි අගයක් බවට පත් වූවා නේද?

ඉහත සුලු කිරීම පදනම් කර ගෙන තමයි ඕනෑම නිශ්චායකයක අගය සොයන්නෙත්. දැන් අවයව 9ක් තිබෙන ඊළඟට විශාල නිශ්චායකය හෙවත් තෙවැනි ගනයේ නිශ්චායකය බලමු.

මෙහිදී නිශ්චායකය මීට පෙර දුටු කුඩාම ආකාරයට පත් කර ගත යුතුය. මෙම නිශ්චායකයේ ඕනෑම පේලියක් (එනම් එම පේලියේ අවයව සෙට් එක) තෝරා ගන්න. අපි පලමු පේලිය තෝරා ගමු (a, b, c). දැන් එම පේලියේ පලමු අවයවය සලකන්න; දැන් එම අවයවය ඇතුලත් පේලිය හා තීරුව කපා දමන්න; මෙවිට ඉතිරි වන්නේ ඉහත ආකාරයේ කුඩාම නිශ්චායකය නේද (රතු පාටින් පෙන්වා ඇති අවයව)?

මෙලෙස යම් අවයවක් තෝරාගෙන එය ඇතුලත් පේලිය හා තීරුව කපා ඉවත් කළ පසු ලැබෙන නිශ්චායකය හඳුන්වන්නේ මුල් නිශ්චායකයේ කනිෂ්ඨය (minor) ලෙසයි. මෙම කනිෂ්ටය ඉදිරියෙන් + හෝ - ලකුණක් සුදුසු ලෙස යෙදූ විට ඊට සහසාධකය (cofactor) යැයි කියනවා. මෙම ලකුණ තීරණය වන්නේ එම අවයවය (එනම් a) තිබෙන පේලිය (i) හා තීරුව (j) මත (-1)^i+j යන සම්බන්දතාවට අනුවය. සහසාධකය සාමාන්‍යයෙන් කපා හැරපු අවයවයේ කැපිටල් අකුරින් සංඛේතවත් කරනවා.

දැන් මෙම සහසාධයක තුල තිබෙන්නේ දෙවැනි ගනයේ නිශ්චායකයක් නිසා, එය සුලු කළ හැකියිනෙ. අවසාන වශයෙන් කරන්නට තිබෙන්නේ, එක් එක් සහසාධකය ඊට අදාල අවයවයෙන් ගුණ කර, එම අගයන් සියල්ල එකතු කිරීමයි. මෙය ලාප්ලාස් ප්‍රසාරණය (Laplace's expansion) ලෙස හැඳින්වේ.

අවසානයේ අපට ලැබෙන්නේ තනි අගයක් නේද? උදාහරණයක් බලමු.

තෙවැනි ගනයේ නිශ්චායකය සුලු කළ රටාවටම ඊට ඉහල ගනවල නිශ්චායකත් සුලු කළ හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, සිව්වැනි ගනයේ නිශ්චායකයක් සුලු කරන හැටි බලමු. ගනය වැඩි වන්නට වන්නට ලාප්ලාස් ප්‍රසාරණය දික් වේ. කෙතරම් දික් වුවත් රටාව එකයි.

නිශ්චායක යනු න්‍යාස සංකල්පයෙන් ස්වාධින සංකල්පයක් වුවත්, එය න්‍යාස සමඟ හොඳින් පෑහේ. සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයක් බොහෝ ගණනය කිරීම්වලදී නිශ්චායකයක් බවට පත් කර ගන්නට සිදු වෙනවා. යම් සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයක් A මඟන් නිරූපණය කරන විට, එහි "නිශ්චායක අගය සොයන්න" කියා සංඛේතවත් කරන්නේ det(A) ලෙසයි. යම් සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයක් දෙපසට | | යන බාර් දෙකක් දැමූ විටද කියන්නේ එම න්‍යාසය නිශ්චායකයක් ලෙස සලකන්න කියා තමයි.