අනුකලනය (integration) - 9

පුනර්කෘත අනුකලනය

යම් අනිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශයක් සුලු කළ පසු අපට ලැබෙන්නේ තවත් ශ්‍රිතයකි. නිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශයක් වුවද සුලු කර නමුත් පරාස අගයන් ආදේශ කිරීමට පෙර ශ්‍රිතයක් ආකාරයෙනුයි පවතින්නේ. මෙලෙස අනුකලයක් සිදු කළ පසු ලැබුණු ශ්‍රිතයක්, අවශ්‍ය නම්, නැවතත් අනුකලනය කිරීමට කිසිදු බාධාවක් නැත. එකම අනුකල ප්‍රකාශය නැවත නැවත අනුකලනය කිරීම පුනර්කෘත අනුකල (iterated integral හෝ repeated integral) ලෙස හැඳින්වෙනවා (පුනර්කෘත යනු “නැවත නැවත කරන” යන තේරුම සහිතයි; ඉංග්‍රිසියෙන් එයට iterated හෝ repeated යැයි පවසනවා). උදාහරණයක් ලෙස f(x) = x² යන ශ්‍රිතය x විෂයෙන් අනුකලනය කිරීම පහත ආකාරයට ලිවිය හැකියිනෙ.

∫ f(x) dx = ∫ x² dx

ඔබ දන්නවා ඉහත අනුකල ප්‍රකාශය සුලු කළ විට x³/3 + c යන්න පිළිතුර ලෙස ලැබෙන බව. දැන් එලෙස ලැබෙන පිළිතුර නැවතත් x විෂයෙන් අනුකලනය කළ හැකියි නේද?

∫ (x³/3 + c) dx

ඉතිං ඉහත ප්‍රකාශය පහත ආකාරයටත් ලිවිය හැකි බව ඔබට පහසුවෙන් තේරුම්ගත හැකියි.

∫ (x³/3 + c) dx = ∫ [∫ f(x)dx] dx

පියවරවල් පැහැදිලි වනු පිණිස මා වරහන් යෙදුවත්, බොරුවට වරහන් ගොඩක් අවශ්‍ය නැත. එවැන්නක් ලස්සනට හා පහසුවෙන් පහත ආකාරයටයි ලියන්නේ.

∫ ∫ f(x) dx dx

ඉහත ශ්‍රිතය තේරුම්ගත යුත්තේ මෙසේය. පළමුව x විෂයෙන් අනුකලනය කරපු f(x) ශ්‍රිතය නැවතත් x විෂයෙන් අනුකලනය කළ යුතුය. මෙලෙස අනුකල සලකුණු කිහිපයක් හා ඊට සමාන dx පද ගණනක්ද පැවතිය යුතු වෙනවා. එවිට, ඇතුලතින්ම ඇති ∫ සලකුණ හා ඇතුලතින්ම ඇති d පදය පළමුව සලකා පිටත ඇති කොටස් නොසලකා සාමාන්‍ය අනුකල සුලු කිරීම සිදු කරන්න. එය සුලු කළ පසු ඊට පිටින් ඊළඟට තිබෙන ∫ හා d පදය සලකා සුලු කරන්න. ඒ ආකාරයට අවසානයේදී පිටතින්ම ඇති ∫ හා d පදය සුලු කරන්න. වෙනත් අමුතු දෙයක් කිරීමට නැත.

ඇත්තටම, අනිශ්චිත අනුකලයක් ඉහත ආකාරයට නැවත නැවත අනුකලනය කරන විට, ඒ සෑම අවස්ථාවකදීම අලුත් නියත පදයක් බැගින් එකතු වේ. උදාහරණයක් ලෙස e^x ශ්‍රිතය සලකමු. පළමුවර අනුකල කළ විට c₁ ලැබේ.

∫ e^x dx = e^x + c₁

එය දෙවැනි වරටත් අනුකලනය කළ විට, ඊට පෙර ලැබුණු c₁ ට අමතරව c₂ යන තවත් නියත පදයක් එකතු වේ. තෙවැනිවරටත් අනුකලනය කළ විට ඒ දෙකට අමතරව තවත් c₃ වැනි නියත පදයක් ලැබේ.

∫ ∫ e^x dx dx = ∫ (e^x + c₁) dx = e^x + c₁x + c₂

∫ ∫ ∫ e^x dx dx dx = ∫ (e^x + c₁x + c₂) dx = e^x + c₁x²/2 + c₂x + c₃

දැක්කද, සෑම පුනර්කෘත අනුකලයකට පසුව අලුත් නියත පදය බැගින් එකතු වෙනවා. එය නම් බැලූ බැල්මට අර්බුදයකි මොකද අවිනිශ්චිත වුවත් නිශ්චිත වුවත් නියත පද අනුකලනය වන විට, ඒවාට විචල්‍ය (එනම් ඉහත දැක්වෙන පරිදි x පද) ඈඳෙනවා. ඒ කියන්නේ අපට පිළිතුරු ලෙස ලැබෙන ශ්‍රිතයේ අවිනිශ්චිත ස්වභාවය එන්න එන්නම වැඩි වෙනවා.

එහෙත් වාසනාවකට මෙන් පුනර්කෘත අනුකලයක් හැමවිටම වාගේ සිදු කරන්නේ නිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශ සමගයි (එනම්, පරාස අගයන් සහිතවයි). එවිට, පුනර්කෘත අනුකලයේ සෑම එක් වටයකටම පසු (එනම්, ඇතුලත අනුකලයක් සුලු කළ පසු), ඊට අදාල පරාස අගයන් ආදේශ කරනවා. එවිට ඔබ දන්නවා එම වටයෙන් එකතු වූ අවිනිශ්චිත පදය අහෝසි වෙනවා. එවිට ඊළඟ වටය/අනුකලය සඳහා ඔබට ලැබී තිබෙන්නේ අනිශ්චිත නියත පද නැති ශ්‍රිතයකි. පහත දැක්වෙන්නේ (පරාස අගයන් සහිත) නිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශයක් පුනර්කෘත අනුකලනය කරන්න කියා කියන අනුකල ප්‍රකාශයකි.

 

ඇත්තටම, dx වැනි එකම විෂයෙන් නොවෙයි සාමාන්‍යයෙන් පුනර්කෘත අනුකල සිදු කරන්නේ. වෙනස් වෙනස් විෂයන් (dx, dt, ds වැනි) කිහිපයක් තමයි බොහෝවිට පවතින්නේ. ඉහත උදාහරණයේ dt, dy ලෙස වෙනස් විෂයන් දෙකක් පවතිනවා. පළමුව 4t යන ශ්‍රිතය t විෂයෙන් අනුකලනය කර, එවිට ලැබෙන ප්‍රකාශයට උඩත් පරාස අගය ලෙස y² ද, යටත් පරාස අගය ලෙස y ද ආදේශ කර සුලු කරන්න. එවිට ලැබෙන්නේ y සහිත ශ්‍රිතයකි. නියත පද නැත. මෙම නව ශ්‍රිතය නැවතත් y විෂයෙන් අනුකලනය කර, ඊට 1 හා 4 යන අගයන් ආදේශ කර අවසන් ප්‍රතිපලය ලබා ගත හැකියි. මෙවිටද නියත පද අහෝසි වේ. පේනවාද පරාසයන් දී ඇති විට නියත පද අර්බුදයක් මතු වන්නේ නැති බව?

ඉහත උදාහරණය සිදු කළ ආකාරයටයි හැමවිටම පුනර්කෘත අනුකලයක් සිදු කරන්නේ. හරිම පහසුයි. සාමාන්‍යයෙන් ඇතුලතම ශ්‍රිතය අනුකලනය කර පරාස අගයන් ආදේශ කිරීමෙන් පසු ලැබෙනේ ඊට පිටින් තිබෙන අනුකල විෂයට හා පරාස අගයන්ට ගැලපෙන ශ්‍රිතයකි. ඉහත උදාහරණයෙන්ම එය පැහැදිලි වේ. තිබුණේ t නම් විචල්‍යයේ ශ්‍රිතයකි. එය t විෂයෙන් අනුකලනය කර අදාල පරාස අගයන් ආදේශ කළ පසු ලැබුණේ y විචල්‍යය සහිත ශ්‍රිතයකි. එය එසේ විය යුතුයි මොකද ඊ ළඟට එය අනුකලනය කිරීමට තිබෙන්නේ y විෂයෙන් නිසා. එනිසා ඉතාම පැහැදිලියි අනුකලනය සිදු කළ යුත්තේ හැමවිටම ඇතුලත සිට පිටතට බව.

තවත් උදාහරණයක් බලමු. අනුකලය නිසා එකතු වන නියත පද ඉබේම අහෝසි වන නිසා, මෙතැන් සිට අමුතුවෙන් ඒවා නොලියා සිටිමු.

ඉහත පළමුව අනුකලය සෙවීමට තිබුණේ y විෂයෙනි. අමුතුවෙන් ශ්‍රිතයක් පෙනෙන්ටද නැත. ඒ කියන්නේ එතැන තිබුණේ 1 යන ශ්‍රිතයයි. එවිට, 1 යන ශ්‍රිතය y විෂයෙන් අනුකලනය කළ විට පිළිතුර y වේ. දැන් අදාල පරාස අගයන් ආදේශ කර එසේ ලැබෙන ශ්‍රිතය නැවත x විෂයෙන් අනුකලනය කර ඇත.

දැන් තෙවරක්ම අනුකලනය සිදු කරන අවස්ථාවකුත් බලමු. මෙහි ශ්‍රිතය xyz වේ. බැලූබැල්මට ස්වායත්ත විචල්‍යන් 3ක් එකවර ඇත. විචල්‍ය කොච්චර තිබුණත් වරකට එකක් පමණයි විචල්‍යය ලෙස සලකන්නේ (අනුකලනය කරන විෂයට ගැලපෙන විචල්‍යය). ඒ අනුව, පළමුව අනුකලය කරන්නට තිබෙන්නේ z විෂයෙන් නිසා, xyz යන ශ්‍රිතයේ z යන්න පමණයි විචල්‍යය ලෙස සලකන්නට සිදු වන්නේ. xy යන කොටස නිකංම නියත පද කොටසක් ලෙස සලකන්න (ඒ කියන්නේ මෙවිට, xyz යන ශ්‍රිතය හරියට 5z වැන්නක් බව සිතිය යුතුය). ඉන්පසු අගයන් ආදේශ කර, දෙවැනි වර y විෂයෙන් අනුකලනය කිරීමට ඇත. මේ වන විට z යන විචල්‍යය ශ්‍රිතයෙන් ඉවත්ව ගොස් x හා y පමණයි තිබෙන්නේ. එවිට, x යන්නද පෙර සේම නියත පදයක් ලෙස සලකා y යන්න විචල්‍යය ලෙස සලකා අනුකලනය සිදු කළ යුතුය. තෙවැනිවරට අනුකලනය කරන විට ඉතිරිව තිබෙන්නේ x පමණි. අමුතුවෙන් උපකල්පනය කර කර ඉන්නට දෙයක් නැති නිසා කෙලින්ම එය අනුකලනය කර දමන්න.

 

මතකයට

අවකලනයේදීත් ස්වායත්ත විචල්‍ය කිහිපයක් සහිත ශ්‍රිත හමුවන අතර, එවිට ඒවා විසඳන්නේ පාර්ශ්විය අවකලනය මඟිනි. ඇත්තටම ඔබ මේ දැන් සලකා බැලුවේ පාර්ශ්විය අවකලනයේ විලෝම ගණිත කර්මයම තමයි. එසේ වුවත් මෙයට පාර්ශ්විය අනුකලනය කියා කියන්නේ නැත.

සාමාන්‍යයෙන් පාර්ශ්විය අවකලනයේදී අවකලනය කරන අනුපිළිවෙල මාරු වුවත් අවසන් ප්‍රතිඵලය සමාන වේ. එහෙත් පුනර්කෘත අනුකලයේදී කිසිසේත් අනුකලය කරන පිළිවෙල මාරු කරන්නට එපා. ඉහතදී පැහැදිලි කළ ලෙසටම නිසි අනුපිළිවෙල අනුගමනය කරන්න (එනම්, ඇතුලත ශ්‍රිතයේ සිට ක්‍රමයෙන් පිටත ශ්‍රිතය දක්වා).