Skip to main content

අනුකලනය (integration) - 9


පුනර්කෘත අනුකලනය

යම් අනිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශයක් සුලු කළ පසු අපට ලැබෙන්නේ තවත් ශ්‍රිතයකි. නිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශයක් වුවද සුලු කර නමුත් පරාස අගයන් ආදේශ කිරීමට පෙර ශ්‍රිතයක් ආකාරයෙනුයි පවතින්නේ. මෙලෙස අනුකලයක් සිදු කළ පසු ලැබුණු ශ්‍රිතයක්, අවශ්‍ය නම්, නැවතත් අනුකලනය කිරීමට කිසිදු බාධාවක් නැත. එකම අනුකල ප්‍රකාශය නැවත නැවත අනුකලනය කිරීම පුනර්කෘත අනුකල (iterated integral හෝ repeated integral) ලෙස හැඳින්වෙනවා (පුනර්කෘත යනු “නැවත නැවත කරන” යන තේරුම සහිතයි; ඉංග්‍රිසියෙන් එයට iterated හෝ repeated යැයි පවසනවා). උදාහරණයක් ලෙස f(x) = x2 යන ශ්‍රිතය x විෂයෙන් අනුකලනය කිරීම පහත ආකාරයට ලිවිය හැකියිනෙ.

f(x) dx = x2 dx

ඔබ දන්නවා ඉහත අනුකල ප්‍රකාශය සුලු කළ විට x3/3 + c යන්න පිළිතුර ලෙස ලැබෙන බව. දැන් එලෙස ලැබෙන පිළිතුර නැවතත් x විෂයෙන් අනුකලනය කළ හැකියි නේද?

(x3/3 + c) dx

ඉතිං ඉහත ප්‍රකාශය පහත ආකාරයටත් ලිවිය හැකි බව ඔබට පහසුවෙන් තේරුම්ගත හැකියි.

(x3/3 + c) dx = [ f(x)dx] dx

පියවරවල් පැහැදිලි වනු පිණිස මා වරහන් යෙදුවත්, බොරුවට වරහන් ගොඩක් අවශ්‍ය නැත. එවැන්නක් ලස්සනට හා පහසුවෙන් පහත ආකාරයටයි ලියන්නේ.

∫ ∫ f(x) dx dx

ඉහත ශ්‍රිතය තේරුම්ගත යුත්තේ මෙසේය. පළමුව x විෂයෙන් අනුකලනය කරපු f(x) ශ්‍රිතය නැවතත් x විෂයෙන් අනුකලනය කළ යුතුය. මෙලෙස අනුකල සලකුණු කිහිපයක් හා ඊට සමාන dx පද ගණනක්ද පැවතිය යුතු වෙනවා. එවිට, ඇතුලතින්ම ඇති සලකුණ හා ඇතුලතින්ම ඇති d පදය පළමුව සලකා පිටත ඇති කොටස් නොසලකා සාමාන්‍ය අනුකල සුලු කිරීම සිදු කරන්න. එය සුලු කළ පසු ඊට පිටින් ඊළඟට තිබෙන හා d පදය සලකා සුලු කරන්න. ඒ ආකාරයට අවසානයේදී පිටතින්ම ඇති හා d පදය සුලු කරන්න. වෙනත් අමුතු දෙයක් කිරීමට නැත.

ඇත්තටම, අනිශ්චිත අනුකලයක් ඉහත ආකාරයට නැවත නැවත අනුකලනය කරන විට, ඒ සෑම අවස්ථාවකදීම අලුත් නියත පදයක් බැගින් එකතු වේ. උදාහරණයක් ලෙස ex ශ්‍රිතය සලකමු. පළමුවර අනුකල කළ විට c1 ලැබේ.

ex dx = ex + c1

එය දෙවැනි වරටත් අනුකලනය කළ විට, ඊට පෙර ලැබුණු c1 ට අමතරව c2 යන තවත් නියත පදයක් එකතු වේ. තෙවැනිවරටත් අනුකලනය කළ විට ඒ දෙකට අමතරව තවත් c3 වැනි නියත පදයක් ලැබේ.

∫ ∫ ex dx dx = (ex + c1) dx = ex + c1x + c2
∫ ∫ ∫ ex dx dx dx = (ex + c1x + c2) dx = ex + c1x2/2 + c2x + c3

දැක්කද, සෑම පුනර්කෘත අනුකලයකට පසුව අලුත් නියත පදය බැගින් එකතු වෙනවා. එය නම් බැලූ බැල්මට අර්බුදයකි මොකද අවිනිශ්චිත වුවත් නිශ්චිත වුවත් නියත පද අනුකලනය වන විට, ඒවාට විචල්‍ය (එනම් ඉහත දැක්වෙන පරිදි x පද) ඈඳෙනවා. ඒ කියන්නේ අපට පිළිතුරු ලෙස ලැබෙන ශ්‍රිතයේ අවිනිශ්චිත ස්වභාවය එන්න එන්නම වැඩි වෙනවා.

එහෙත් වාසනාවකට මෙන් පුනර්කෘත අනුකලයක් හැමවිටම වාගේ සිදු කරන්නේ නිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශ සමගයි (එනම්, පරාස අගයන් සහිතවයි). එවිට, පුනර්කෘත අනුකලයේ සෑම එක් වටයකටම පසු (එනම්, ඇතුලත අනුකලයක් සුලු කළ පසු), ඊට අදාල පරාස අගයන් ආදේශ කරනවා. එවිට ඔබ දන්නවා එම වටයෙන් එකතු වූ අවිනිශ්චිත පදය අහෝසි වෙනවා. එවිට ඊළඟ වටය/අනුකලය සඳහා ඔබට ලැබී තිබෙන්නේ අනිශ්චිත නියත පද නැති ශ්‍රිතයකි. පහත දැක්වෙන්නේ (පරාස අගයන් සහිත) නිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශයක් පුනර්කෘත අනුකලනය කරන්න කියා කියන අනුකල ප්‍රකාශයකි.

 
ඇත්තටම, dx වැනි එකම විෂයෙන් නොවෙයි සාමාන්‍යයෙන් පුනර්කෘත අනුකල සිදු කරන්නේ. වෙනස් වෙනස් විෂයන් (dx, dt, ds වැනි) කිහිපයක් තමයි බොහෝවිට පවතින්නේ. ඉහත උදාහරණයේ dt, dy ලෙස වෙනස් විෂයන් දෙකක් පවතිනවා. පළමුව 4t යන ශ්‍රිතය t විෂයෙන් අනුකලනය කර, එවිට ලැබෙන ප්‍රකාශයට උඩත් පරාස අගය ලෙස y2 , යටත් පරාස අගය ලෙස y ද ආදේශ කර සුලු කරන්න. එවිට ලැබෙන්නේ y සහිත ශ්‍රිතයකි. නියත පද නැත. මෙම නව ශ්‍රිතය නැවතත් y විෂයෙන් අනුකලනය කර, ඊට 1 හා 4 යන අගයන් ආදේශ කර අවසන් ප්‍රතිපලය ලබා ගත හැකියි. මෙවිටද නියත පද අහෝසි වේ. පේනවාද පරාසයන් දී ඇති විට නියත පද අර්බුදයක් මතු වන්නේ නැති බව?



ඉහත උදාහරණය සිදු කළ ආකාරයටයි හැමවිටම පුනර්කෘත අනුකලයක් සිදු කරන්නේ. හරිම පහසුයි. සාමාන්‍යයෙන් ඇතුලතම ශ්‍රිතය අනුකලනය කර පරාස අගයන් ආදේශ කිරීමෙන් පසු ලැබෙනේ ඊට පිටින් තිබෙන අනුකල විෂයට හා පරාස අගයන්ට ගැලපෙන ශ්‍රිතයකි. ඉහත උදාහරණයෙන්ම එය පැහැදිලි වේ. තිබුණේ t නම් විචල්‍යයේ ශ්‍රිතයකි. එය t විෂයෙන් අනුකලනය කර අදාල පරාස අගයන් ආදේශ කළ පසු ලැබුණේ y විචල්‍යය සහිත ශ්‍රිතයකි. එය එසේ විය යුතුයි මොකද ඊ ළඟට එය අනුකලනය කිරීමට තිබෙන්නේ y විෂයෙන් නිසා. එනිසා ඉතාම පැහැදිලියි අනුකලනය සිදු කළ යුත්තේ හැමවිටම ඇතුලත සිට පිටතට බව.

තවත් උදාහරණයක් බලමු. අනුකලය නිසා එකතු වන නියත පද ඉබේම අහෝසි වන නිසා, මෙතැන් සිට අමුතුවෙන් ඒවා නොලියා සිටිමු.


ඉහත පළමුව අනුකලය සෙවීමට තිබුණේ y විෂයෙනි. අමුතුවෙන් ශ්‍රිතයක් පෙනෙන්ටද නැත. ඒ කියන්නේ එතැන තිබුණේ 1 යන ශ්‍රිතයයි. එවිට, 1 යන ශ්‍රිතය y විෂයෙන් අනුකලනය කළ විට පිළිතුර y වේ. දැන් අදාල පරාස අගයන් ආදේශ කර එසේ ලැබෙන ශ්‍රිතය නැවත x විෂයෙන් අනුකලනය කර ඇත.

දැන් තෙවරක්ම අනුකලනය සිදු කරන අවස්ථාවකුත් බලමු. මෙහි ශ්‍රිතය xyz වේ. බැලූබැල්මට ස්වායත්ත විචල්‍යන් 3ක් එකවර ඇත. විචල්‍ය කොච්චර තිබුණත් වරකට එකක් පමණයි විචල්‍යය ලෙස සලකන්නේ (අනුකලනය කරන විෂයට ගැලපෙන විචල්‍යය). ඒ අනුව, පළමුව අනුකලය කරන්නට තිබෙන්නේ z විෂයෙන් නිසා, xyz යන ශ්‍රිතයේ z යන්න පමණයි විචල්‍යය ලෙස සලකන්නට සිදු වන්නේ. xy යන කොටස නිකංම නියත පද කොටසක් ලෙස සලකන්න (ඒ කියන්නේ මෙවිට, xyz යන ශ්‍රිතය හරියට 5z වැන්නක් බව සිතිය යුතුය). ඉන්පසු අගයන් ආදේශ කර, දෙවැනි වර y විෂයෙන් අනුකලනය කිරීමට ඇත. මේ වන විට z යන විචල්‍යය ශ්‍රිතයෙන් ඉවත්ව ගොස් x හා y පමණයි තිබෙන්නේ. එවිට, x යන්නද පෙර සේම නියත පදයක් ලෙස සලකා y යන්න විචල්‍යය ලෙස සලකා අනුකලනය සිදු කළ යුතුය. තෙවැනිවරට අනුකලනය කරන විට ඉතිරිව තිබෙන්නේ x පමණි. අමුතුවෙන් උපකල්පනය කර කර ඉන්නට දෙයක් නැති නිසා කෙලින්ම එය අනුකලනය කර දමන්න.



මතකයට
අවකලනයේදීත් ස්වායත්ත විචල්‍ය කිහිපයක් සහිත ශ්‍රිත හමුවන අතර, එවිට ඒවා විසඳන්නේ පාර්ශ්විය අවකලනය මඟිනි. ඇත්තටම ඔබ මේ දැන් සලකා බැලුවේ පාර්ශ්විය අවකලනයේ විලෝම ගණිත කර්මයම තමයි. එසේ වුවත් මෙයට පාර්ශ්විය අනුකලනය කියා කියන්නේ නැත.

සාමාන්‍යයෙන් පාර්ශ්විය අවකලනයේදී අවකලනය කරන අනුපිළිවෙල මාරු වුවත් අවසන් ප්‍රතිඵලය සමාන වේ. එහෙත් පුනර්කෘත අනුකලයේදී කිසිසේත් අනුකලය කරන පිළිවෙල මාරු කරන්නට එපා. ඉහතදී පැහැදිලි කළ ලෙසටම නිසි අනුපිළිවෙල අනුගමනය කරන්න (එනම්, ඇතුලත ශ්‍රිතයේ සිට ක්‍රමයෙන් පිටත ශ්‍රිතය දක්වා).

Comments

Popular posts from this blog

දන්නා සිංහලෙන් ඉංග්‍රිසි ඉගෙන ගනිමු - පාඩම 1

මෙම පොත (පාඩම් මාලාව) පරිශීලනය කිරීමට ඔබට එදිනෙදා සිංහල භාෂාව භාවිතා කිරීමේ හැකියාව හා සාමාන්‍ය බුද්ධිය පමණක් තිබීම අවම සුදුසුකම ලෙස මා සලකනවා.  තවද, ඇසෙන පරිදි ඉංග්‍රීසි අකුරින් ලිවීමට හැකිවීම හා ඉංග්‍රීසියෙන් ලියා ඇති දෙයක් කියවීමට හැකි නම්, ඔබට මෙතැන් සිට මෙම පාඩම් මාලාව කියවා ඉගෙන ගත හැකිය.  ඔබට එසේ ඉංග්‍රීසි කියවීම හා ලිවීම ගැන දැනීමක් දැනටමත් නොමැත්තේ නම්, කරුණාකර මෙ‍ම පොතෙහි “අතිරේකය - 1 ”  බලා පළමුව එම හැකියාව ඇති කරගන්න.  තවද, හැකි පමණ ඉංග්‍රීසි වචනද පාඩම් කරගන්න. ඔබ හිතවතෙකුගේ නිවසකට හෝ වෙනත් පිටස්තර තැනකට යන විටෙක හැසිරෙන්නේ ඔබට අවශ්‍ය විදියටම නෙමේ නේද?  එනම්, පිට නිවසකට ගිය විට අහවල් පුටුව තිබෙන තැන හරි නැහැ, අහවල් එක මෙහෙම තිබෙන්නට ඕනෑ ආදී ලෙස ඔවුනට පවසන්නේ නැහැ, මොකද අප සිටින්නේ අනුන්ගේ තැනක නිසා.  එලෙසම, ඉංග්‍රීසි භාෂාව යනු සිංහල නොවේ.  ඔබ කැමැති වුවත් නැතත් ඉංග්‍රීසි ඉගෙනීමේදීද අප ඉංග්‍රීසි ව්‍යාකරණ රීති හා රටා එපරිද්දෙන්ම උගත යුතුය.  එනම්, සෑම සිංහල වගන්ති රටාවක්ම ඉංග්‍රීසියට ඔබ්බන්නට නොව, ඉංග්‍රීසියේ ඇති රටා ඔබ දන්නා සිංහල භාෂාව තුළින් ඉගෙනීමට උත්සහ කළ යුතුය. 

කතාවක් කර පොරක් වන්න...

කෙනෙකුගේ ජීවිතය තුල අඩුම වශයෙන් එක් වතාවක් හෝ කතාවක් පිරිසක් ඉදිරියේ කර තිබෙනවාට කිසිදු සැකයක් නැත. පාසැලේදී බලෙන් හෝ යම් සංගම් සැසියක හෝ රැස්වීමක හෝ එම කතාව සමහරවිට සිදු කර ඇති. පාසලේදී කතා මඟ හැරීමට ටොයිලට් එකේ සැඟවුනු අවස්ථාද මට දැන් සිහිපත් වේ. එහෙත් එදා එසේ කතා මඟ හැරීම ගැන අපරාදේ එහෙම කළේ යැයි අද සිතේ. යහලුවන් ඉදිරියේ "පොර" වෙන්න තිබූ අවස්ථා මඟ හැරුණේ යැයි දුකක් සිතට නැඟේ. ඇත්තටම කතාවක් කිරීම "පොර" කමකි. දක්ෂ කතිකයන්ට සමාජයේ ඉහල වටිනාකමක් හිමි වේ. පාසැලේදී වේවා, මඟුලක් අවමඟුලක් හෝ වෙනත් ඕනෑම සමාජ අවස්ථාවකදී වේවා දේශපාලන වේදිකාව මත වේවා කතාවක් කිරීමේදී පිලිපැදිය යුත්තේ සරල පිලිවෙතකි. එහෙත් එම සරල පිලිවෙත තුල වුවද, තමන්ගේ අනන්‍යතාව රඳවන කතාවක් කිරීමට කාටත් හැකිය. පුද්ගලයාගෙන් පුද්ගලයා වෙනස් වේ. එම වෙනස ප්‍රසිද්ධ කතා (public speaking) තුලද පවත්වාගත හැකිය. මේ ගැන මට ලිපියක් ලියන්නට සිතුනේ මාගේ මිතුරෙකුට ප්‍රසිද්ධ කතාවක් කිරීමට අවශ්‍ය වී, ඒ ගැන මේ ළඟ දවසක අප පැයක් පමණ සිදු කළ සංවාදයක් නිසාය. මා ප්‍රසිද්ධ දේශකයකු නොවුණත් මේ විෂය සම්බන්දයෙන් පාසැල් කාලයේ සිටම පත

දන්නා සිංහලෙන් ඉංග්‍රිසි ඉගෙන ගනිමු - අතිරේකය 1

මූලික ඉංග්‍රීසි ලිවීම හා කියවීම ඉංග්‍රීසියෙන් ලියන්නේ හා ඉංග්‍රීසියෙන් ලියා ඇති දෙයක් කියවන්නේ කෙසේද?  ඉංග්‍රීසිය ඉගෙනීමට පෙර ඔබට මෙම හැකියාව තිබිය යුතුමය.  එය එතරම් අපහසු දෙයක්ද නොවේ.  ඔබේ උනන්දුව හොඳින් ‍තිබේ නම්, පැය කිහිපයකින් ඔබට මෙම හැකියාව ඇති කර ගත හැකිය.  මුල සිට පියවරෙන් පියවර එය උගන්වන්නම්.   මුලින්ම මිනිසා භාෂාවක් භාවිතා කළේ ශබ්දයෙන් පමණි.  එනම් ලිඛිත භාෂාව ඇති වූයේ පසු කාලයකදීය.  කටින් නිකුත් කරන ශබ්ද කනින් අසා ඔවුන් අදහස් උවමාරු කර ගත්තා.  පසුව ඔවුන්ට වුවමනා වුණා මෙම ශබ්ද කොලයක හෝ වෙනත් දෙයක සටහන් කර ගන්නට.  ඒ සඳහායි අකුරු නිර්මාණය කර ගත්තේ.  එම අකුරු නියෝජනය කරන්නේ ශබ්දයි .  මෙසේ මූලික අකුරු කිහිපයක් ඔවුන් එක එක භාෂාව සඳහා නිර්මාණය කර ගත්තා.  ඉංග්‍රීසියේදී මෙලෙස මූලික අකුරු 26ක් ඇත.   එය ඉංග්‍රීසි හෝඩිය ලෙස හැඳින් වෙනවා. අප ඉගෙන ගත යුත්තේ මෙම අකුරු මඟින් නියෝජනය කෙරෙන ශබ්ද මොනවාද යන්නයි.  එවිට ඔබට ඉංග්‍රීසි ලිවීමට හා කියවීමට හැකි වෙනවා.  ඊට පෙර අප අකුරු 26 දැනගත යුතුයි.  එම අකුරු 26 පහත දක්වා ඇත.  ඉංග්‍රීසියේදී සෑම අකුරක්ම “සිම්පල්” හා “කැපිටල්” ලෙස දෙයාකාර

දෛශික (vectors) - 1

එදිනෙදා ජීවිතයේදිත් විද්‍යාවේදිත් අපට විවිධාකාරයේ අගයන් සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදු වෙනවා . ඉන් සමහරක් නිකංම සංඛ්‍යාවකින් ප්‍රකාශ කළ හැකි අගයන්ය . අඹ ගෙඩි 4 ක් , ළමයි 6 දෙනෙක් ආදී ලෙස ඒවා ප්‍රකාශ කළ හැකියි . තවත් සමහර අවස්ථාවලදී නිකංම අගයකින් / සංඛ්‍යාවකින් පමණක් ප්‍රකාශ කළ නොහැකි දේවල් / රාශි (quantity) හමු වේ . මෙවිට “මීටර්” , “ තත්පර” , “ කිලෝග්‍රෑම්” වැනි යම් ඒකකයක් (unit) සමඟ එම අගයන් පැවසිය යුතුය ; නැතිනම් ප්‍රකාශ කරන අදහස නිශ්චිත නොවේ . උදාහරණයක් ලෙස , “ මං 5 කින් එන්නම්” යැයි කී විට , එම 5 යනු තත්පරද , පැයද , දවස්ද , අවුරුදුද ආදි ලෙස නිශ්චිත නොවේ . මේ දෙවර්ගයේම අගයන් අදිශ (scalar) ලෙස හැඳින්වේ . අදිශයක් හෙවත් අදිශ රාශියක් යනු විශාලත්වයක් පමණක් ඇති දිශාවක් නැති අගයන්ය . ඔබේ වයස කියන විට , “ උතුරට 24 යි , නැගෙනහිරට 16 යි” කියා කියන්නේ නැහැනෙ මොකද දිශාව යන සාධකය / කාරණය වයස නමැති රාශියට වැදගත්කමක් නැත . එහෙත් සමහර අවස්ථා තිබෙනවා අගයක් / විශාලත්වයක් (magnitude) මෙන්ම දිශාවක්ද (direction) පැවසීමට සිදු වන . මෙවැනි රාශි දෛශික (vector) ලෙස හැඳින්වේ . උදාහරණයක් ලෙස , ඔබ යම් “බලයක්

දැනගත යුතු ඉංග්‍රිසි වචන -1

ඉංග්‍රිසි බස ඉගැනීමේදී වචන කොපමණ උගත යුතුද, එම වචන මොනවාදැයි බොහෝ දෙනෙකුට මතුවන ගැටලුවක් වන අතර, බොහෝ දෙනා ඊට විවිධ පිලිතුරුද සපයා ඇත. මේ ගැන හොඳින් පරීක්ෂණය කර ඇමරිකානු ආයතනයක් විසින් වචන 5000ක ලැයිස්තුවක් ඉදිරිපත් කර ඇත. එම ලැයිස්තුව මා කෙටස් දෙකකට (දිගු වැඩි නිසා) සිංහල තේරුම්ද සහිතව ඉදිරිපත් කර ඇත. (මේවා සැකසුවත් සෝදුපත් බලා නැති නිසා සුලු සුලු දෝෂ සමහරවිට තිබිය හැකිය). පහත ලැයිස්තුවේ වචන 2500ක් ඇත.    Word    තේරුම        be    ඉන්නවා    and    හා    of    ගේ    in    තුල    to    ට    have    තියෙනවා    to    ට    it    ඒක, ඌ    I    මම    that    ... කියලා, ඒ/අර, ඒක/අරක    for    සඳහා    you    ඔබ, ඔබලා    he    ඔහු    with    සමඟ    on    මත    do    කරනවා, "මෙව්ව කරනවා"    say    කියනවා    this    මේ, මේක    they    උන්, ඒවා, ඒගොල්ලෝ    at    දෙස, අසල    but    නමුත්    we    අපි    his    ඔහුගේ    from    සිට, ගෙන්    not    නැහැ    by    විසින්, මඟින්    she    ඇය    or    හෝ, හෙවත්    as    විට, නිසා, වශයෙන්    what    මොකක්ද,