අනුකලනය (integration) - 10

බහුවිධ අනුකලනය

∫ f(x) dx යන පොදු අනුකලය නැවත සලකා බලමු. එහි එක් අර්ථකථනයක් වූයේ, f(x₁).δx₁ , f(x₂).δx₂ ,f(x₃).δx₃ ,f(x₄).δx₄ ,f(x₅).δx₅ වැනි පද අනන්ත සංඛ්‍යාවක එකතුව බවයි (එවිට ශ්‍රිතයේ මුලු වර්ගඵලයෙන් අනුකලනය හැඟවේ). එනම්,

රූපයක් වශයෙන් එය පහත ආකාරයට දැක්විය හැකියි (මේ ගැන මීට කළින් විස්තර කර ඇත).

මෙහිදී δx යනු x අක්ෂය දිගේ පවතින ඉතාම කුඩා පරතරයකි. Δx හෙවත් δx යනු ඒ අනුව යම් දිගක් පමණක් නිසා, එය ඒකමාන (one dimensional) මිම්මක් හෙවත් ඒකමාන අවකාශයකි. Δx වැනි ඒකමාන අවකාශයක් වෙනුවට ද්විමාන (two dimensional) අවකාශයක් සැලකුවොත් කුමක් වේද? කුඩා ඒකමාන අවකාශය δx ලෙස නිරූපණය කළා සේම, කුඩා ද්විමාන අවකාශය δR හෝ δA හෝ ලෙස නිරූපණය කරමු. ඇත්තටම එලෙස ද්විමාන අවකාශයක් යොදාගෙනත් ඉහත ඒකමාන අනුකල ප්‍රකාශය පහත ආකාරයට සකස් කර ලිවිය හැකියි.

මතකයට

අවකාශය (space) යනු ගණිතයේදී හා විද්‍යාවේදී ඉතාම අපූරුතම සංකල්පයකි. ඇත්තටම ගණිතය තුළ විවිධාකාරයේ අවකාශයන් ගැන කතා කෙරේ. එහෙත් සාමාන්‍යයෙන් ගත් කළ, අවකාශය යනුවෙන් ඔබ අප හඳුනාගැනීමට පුරුදුව ඇත්තේ අප අවට තිබෙන අපට අතපය විසි කිරීමට ඇති ඉඩකඩ ලෙසයි. හොඳයි... අපි අන්න ඒ සරල අවකාශය ගැන මොහොතක් සිතමු. එය ත්‍රිමාණ අවකාශය (3 dimensional space – 3D) ලෙස හඳුන්වනවා. ඊට හේතුව එම අවකාශය තුළ දිගක්, පළලක්, හා උසක් ලෙස එකිනෙකට වෙනස් හා ලම්භක දිශා හෙවත් මාන 3ක් සැලකිය හැකියි. ඒ අනුව අපේ ලෝකය ත්‍රිමාන ලෝකයකි. එම ත්‍රිමාන ලෝකයේ පවතින සියලු වස්තුන්ද ත්‍රිමාන වේ.

දැන් යම් ත්‍රිමාන වස්තුවක් ගන්න. පොතක් ගමු. පොතට දිගක් පළලක් හා උසක් තිබෙනවා. මෙම පොතේ උස දැන් ක්‍රමයෙන් අඩු කරගෙන යමු (කොල එකින් එක ගලවමින් යන්න). අවසානයේ ගොඩක් ගණකමට තිබුණු පොත බොහෝම තුනී පොතක් බවට පත් වූවා නේද? දැන් පොතේ තිබෙන්නේ එක කොලයයි. එම කොලයේ ගණකමත් අඩු කරමු. එය අඩු කරන්න සිතා ගත නොහැකි තරම්. ශූන්‍යයට ඉතාම ආසන්න කරමු; "ශූන්‍යය වන - නොවන" මට්ටමට එය දැන් තුනීය. ඒ කියන්නේ ගණකමක් නැති තරම්. ඇත්තටම දැන් සිදු වූයේ ත්‍රිමාන පොත ද්විමාන බවට පත් වීමයි. එනම්, දිග හා පළල පමණක් තිබෙන තත්වයට පත්ව ඇත.

සැබෑ ජීවිතයේදී ද්විමාන වස්තුන් අපට හමු නොවුණත්, සෙවනැල්ල යනු ද්විමාන අවස්ථාවකට හොඳම උපමාවකි. යම් වස්තුවක සෙවනැල්ලට දිගක් පළලක් තිබුණත්, එහි කිසි ගණකමක් නැහැ නේද? සෙවනැල්ලට ගණකමක් තිබුණේ නම්, සෙවනැල්ලේ කකුල හැප්පිලා අපව කොතෙකුත් වැටෙන්නට ඉඩ තිබුණා. දිගක් පමණක් ඇති යැයි සිතන අවකාශය ද්විමාන අවකාශය (2 dimensional space – 2D) ලෙස හඳුන්වනවා.

දැන් ද්විමාත පොත නැවත ගමු. එහි දිග (හෝ පළල) ක්‍රමයෙන් අඩු කරගෙන යන්න. එවිට, ක්‍රමයෙන් කොටුවක හැඩය නූලක හැඩයක් බවට පත් වේවි. එය පෙර කළා සේම, ශූන්‍යය දක්වාම අඩු කරන්න. දැන් ඉතිරි වන්නේ දිගක් පමණි. මෙය ඒකමාන අවස්ථාවකි. එනම් දැන් අපට හමු වී තිබෙන්නේ ඒකමාන අවකාශයකි (1 dimensional space – 1D). එය සිතින් පමණයි මවා ගත හැක්කේ. සමහරවිට කෙනෙකුට ඒකමාන අවකාශය සිතින් මවා ගන්නටත් තරමක් කල්ගත වේවි. ද්විමාන අවස්ථාවක් සඳහා සෙවනැල්ලක් උපමා කළත්, ඒකමාන අවස්ථාවක් පහසුවෙන් පෙන්වා දිය නොහැකියි.

ඉහත කතා කළේ ත්‍රිමාන, ද්විමාන, හා ඒකමාන යන මාන 3යි. සැබෑ ජීවිතයේ කොහොම වෙතත්, ගණිතයේදී නම් මෙම අවස්ථා 3ම ප්‍රයෝජනවත් වෙනවා ගණිත කර්ම සිදු කිරීමට. එනිසා පුලුවන් තරම් මෙම මාන සංකල්පයට හුරු වන්න. ඉහත මාන 3 පමණක් නොව, හතරවැනි, පස්වැනි, ආදී ලෙස ඉහලට තවත් මාන ගැන ගණිතයේදී කතා කළ හැකියි. මානවලට සීමාවක් නැත. එනිසා මාන අනන්ත ගණනක් ඇතැයි සාමාන්‍යයෙන් පැවසිය හැකියි.

සෑම මානයකම ඊටම සුවිශේෂි වූ ගතිගුණ ඇත. ඒකමාන අවකාශයකදී හමුවන්නේ දිගක්/දුරක් පමණි. ද්විමාන අවකාශයකදී ඊට අමතරව ක්ෂේත්‍රඵලයද අලුතින් හමු වේ. ත්‍රිමාන අවකාශයේදී ඒ දෙකටම අමතරව පරිමාව අලුතින් හමු වේ. තවත් ඉහලට මාන සහිත අවකාශයන් ගැන කතා කිරීමේදී එලෙස වැඩිවෙන සෑම එක් මානයක් වෙනුවෙන්ම එක් ගතිගුණය බැගින් හමු වේ.

ඒ අනුව ∫ f(x) dx යනු ඒකමාන සමීකරණයක් සේ සැලකිය හැකියි. ඒකමාන නිසා එක් ස්වායත්ත විචල්‍යයක්ද (x), එක් විෂයක්ද (dx), එක් ∫ සංඛේතයක්ද පවතිනවා. එම අනුකලනයම ද්විමාන අවස්ථාවකට යොදන විට, ∫ ∫_R f(x,y) dR ලෙස ලිවිය යුතුයි. මාන දෙකට ගැලපෙන්නට ස්වායත්ත විචල්‍ය 2ක් (x,y) අවශ්‍යයි. ද්විමාන නිසා විෂයද ද්විමාන විය යුතුය. ඒ අනුව dR යනු x අක්ෂය දිගේ යම් දුරක් (දුර හැමවිටම ඒකමාන වේ) නොව, ඉතා කුඩා ක්ෂේත්‍රඵලයකි (ක්ෂේත්‍රඵලයක් හැමවිටම ද්විමාන වේ). තවද, අනුකල සංඛේතද දෙකක් යොදන්නට අවශ්‍යයි මාන දෙක නියෝජනය කිරීමට. සාමාන්‍යයෙන් කුඩාවට R (හෝ A හෝ) අකුර ලියනවා මෙය ද්විමාන අනුකලයක් බව නැවතත් මතක් කර දීමට (R යන්න "ප්‍රදේශය" යන තේරුම සහිත region යන වචනයේ මුල් අකුර වන අතර, A යනු “ක්ෂේත්‍රඵලය” යන තේරුම සහිත area යන වචනයේ මුල් අකුරයි). මෙම නිරූපණ ක්‍රමයට හුරුවන්න.

මතකයට

එක් ස්වායත්ත විචල්‍යයක් සහිත ශ්‍රිතයක් ප්‍රස්ථාර ගත කරන විට, අපට ලැබෙන්නේ නිකංම වක්‍රයකි (curve). ශ්‍රිතයෙන් ශ්‍රිතයට මෙම වක්‍රය වෙනස් වේ. මෙම වක්‍රය දිගේ ගමන් කරන විට, ශ්‍රිතයේ විවිධ ස්ථාන අපට හමු වෙනවා.

එහෙත් ස්වායත්ත විචල්‍යන් දෙකක් ඇති ශ්‍රිතයක් ප්‍රස්ථාර ගත කරන විට, අපට ලැබෙන්නේ යම් "මතුපිටකි" (surface). ශ්‍රිතයෙන් ශ්‍රිතයට මෙම මතුපිට විවිධ හැඩ ගනී. මෙම මතුපිට දිගේ ගමන් කරන විට, ශ්‍රිතයේ විවිධ ස්ථාන හමු වෙනවා.

ඉහත විස්තරය පහත රූප සටහන ඇසුරින් තවදුරටත් පැහැදිලි කරගමු. මෙහිදී ස්වායත්ත විචල්‍ය 2 සඳහා x හා y අක්ෂ දෙකද, එම අක්ෂ දෙකෙන් සාදන xy තලයද දක්වා තිබේ (මෙම xy තලය කාමරයක බිමකට උපමා කළ හැකියි). මෙම xy තලය කොටුවලට බෙදා ඇත. තවද, f(x,y) ශ්‍රිතය නිල් පාටින් දක්වා ඇත (ඔබ දන්නවා ස්වායත්ත විචල්‍ය 2ක් ඇති විට ලැබෙන්නේ මෙවැනි මතුපිටක් බව).

 

xy තලයේ කුඩා කොටුවක වර්ගඵලය/ක්ෂේත්‍රඵලය R යැයි සිතමු. දැන් මේ එක් කොටුවක් ප්‍රස්ථාර මතුපිට දක්වා උස්සමු (හරියට ගොඩනැඟිල්ලක් හදන කොට කොන්ක්‍රිට් කණුවක් තනනවා වාගේ). දැන් මුලු ප්‍රස්ථාරය පුරාවටම මෙම දේ සිදු කළ හැකියිනෙ. ප්‍රස්ථාර මතුපිට දක්වා R ක්ෂේත්‍රඵලය සහිත කුඩා කොටුවක් ඉස්සීම නිසා කුඩා "කණුවක්" සෑදෙනවානෙ. මෙම කණුවේ පරිමාව වන්නේ එම R ක්ෂේත්‍රඵලය එහි උසෙන් වැඩි කළ විට ලැබෙන අගයයි. ක්ෂේත්‍රඵලය R වුවත් උස කොපමණද? උස ප්‍රස්ථාරයේ තැනින් තැනට වෙනස් වේ. යම් x,y නම් ලක්ෂ්‍යයකදී උස යනු එම ලක්ෂ්‍යයේදී ශ්‍රිතයේ අගයයි - f(x,y). එය පහත ආකාරයට ලිවිය හැකියි.

ප්‍රස්ථාරයේ යම් තැනක ඇති "කණුවක පරිමාව" = R . f(x,y)

එවිට, ප්‍රස්ථාර මතුපිට තෙක් ඇඳි මෙවැනි කණු සියල්ලෙහිම අගය එකතු කළ විට ලැබෙන්නේ මෙම (විචල්‍ය 2ක් ඇති) ශ්‍රිතයේ මුලු පරිමාවයි. එනම්, ශ්‍රිතයේ පරිමාව වන්නේ f(x₁, y₁).δR₁ , f(x₂,y₂).δR₂ ,f(x₃,y₃).δR₃ ,f(x₄,y₄).δR₄ ,f(x₅,y₅).δR₅ වැනි පද වල එකතුවයි.

ඇත්තටම R ක්ෂේත්‍රඵලය විශාල විට, කණුව ප්‍රස්ථාර මතුපිට හමුවන තැන හරියටම ආවරණය නොවේවි (සමපාත නොවේවි). ඉහත රූපයේද මෙම විකෘතිය හොඳින් පෙනෙනවා (එනිසයි සුමට මතුපිටක් වෙනුවට ගොරෝසු කැඩුණු කොටු කොටු මතුපිටක් දිස් වන්නේ). මෙම විකෘතිය සම්පූර්ණයෙන්ම ඉවත් වෙනවා R ක්ෂේත්‍රඵලය/අගය ශූන්‍ය දක්වා ගෙන ගියොත්. එවිට කොටු ලෙස කැඩුණු ගොරෝසු ගතිය අඩු වී ගොස් මතුපිට සුමට වෙනවා. ඉහත සිදු කළ මුලු ක්‍රියාවලියම පහත ආකාරයට නිරූපණය කළ හැකියි.

R අගය ශූන්‍ය කරා ළඟා වෙනවා යනු කුඩා කොටු අනන්ත ගණනක් ඇති වන බවයි. ඉහත සූත්‍රය මීට පෙර ඔබ දුටුවා නේද? මෙයත් එක්තරා විදියක අනුකලනයක් බව පැහැදිලියිනෙ දැන්. මෙය ද්විමාන අවස්ථාවක් සඳහා (එනම් ස්වායත්ත විචල්‍යය දෙකක ශ්‍රිතයක් සඳහා) වන අනුකලයයි. එනිසා පෙරත් පෙන්වූ ලෙස අනුකල සංඛේතය යොදා ගෙන එය පහසුවෙන් නිරූපණය කළ හැකියි දැන්.

dR වෙනුවට අවශ්‍ය නම්, dxdy ලෙසද ලිවිය හැකිය. ඊට හේතුව dR යනුද කුඩා ක්ෂේත්‍රඵලයකි; dxdy යනුද කුඩා ක්ෂේත්‍රඵලයකි.

මෙවැනි ස්වායත්ත විචල්‍ය 2ක් සහිත ශ්‍රිතයක අනුකලය ද්විත්ව අනුකලය (double integral) ලෙස හැඳින්වෙනවා. මෙලෙසම ස්වායත්ත විචල්‍ය 3ක් සහිත ශ්‍රිතයක් අනුකලය කළ හැකියි. එවිට එය ත්‍රිත්ව අනුකලය (triple integral) ලෙස නම් කෙරෙනවා. අවශ්‍ය නම්, ස්වායත්ත විචල්‍ය 4, 5, 100 ආදී ලෙස ඕනෑම ගණනක් ඇති ශ්‍රිතත් ඒ ආකාරයෙන්ම අනුකලනය කළ හැකි. මේ සියලුම අවස්ථාවන්ට පොදුවේ බහුවිධ අනුකලය (multiple integral) ලෙස හැඳින්වෙනවා. බහුවිධ අනුකලවලදී බහුලවම හමුවන්නේ ද්විත්ව හා ත්‍රිත්ව අනුකල අවස්ථා වේ. පහත දැක්වෙන්නේ ත්‍රිත්ව අනුකලයක් නිරූපණය කරන ආකාරයයි (දැන් ඔබට බහුවිධ අනුකලයක් ලියන පොදු රටාව අවබෝධ වී තිබිය යුතුය).

 

මෙහිදී δE යනු කුඩා පරිමාවකි. මෙම ශ්‍රිතයේ විචල්‍ය 3ක් තිබෙන නිසා, විෂයද මාන 3ක් සහිත විය යුතුය. මාන 3ක් සහිත අවකාශය යනු දුරක් හෝ ක්ෂේත්‍රඵලයක් නොව, පරිමාවකි.

විචල්‍ය ගණන 3ට වඩා වැඩි වන විට එය රූපමය වශයෙන් ඇඳීමට පමණක් නොව, සිතින් සිතා ගැනීමටත් බැරි වෙනවා. එහෙත් එය ගණිතයේදී සුලු කිරීම්වලට ප්‍රශ්නයක් නොවේ. සිතින්වත් සිතා ගත නොහැකි බොහෝ දේවල් ගැන අප අධ්‍යනය කරන්නේ ගණිතය මඟිනි (ගණිතයේ තිබෙන ඉතා වැදගත් ලක්ෂණයකි එය). මීට හොඳම උදාහරණය ක්වන්ටම් භෞතික විද්‍යාවයි. එහි තිබෙන බොහෝ සංකල්ප අපට සිතාගන්නවත් බැහැ. එහෙත් ඒවායේ ගතිගුණ ආදිය අපි අධ්‍යනය කරනවා ගණිත සූත්‍රවලින්.

ඉහත ආකාරයට අප බහුවිධ අනුකල ප්‍රකාශ රූපමය වශයෙන් හෝ සාංකල්පීය වශයෙන් හෝ අවබෝධ කර ගත්තත්, එම සූත්‍රවලින් ඒවා විසඳීමට අපහසුය. අනුකලනයේදී හැමවිටම අපට ඉතා පහසුවෙන් විසඳිය හැක්කේ ඒකමාන විෂයක් සහිත අනුකල ප්‍රකාශයි. ඒ කියන්නේ dx වැනි x අක්ෂය දිගේ කුඩා දුරක් හඟවන අවස්ථා තමයි අපට සුලු කළ හැක්කේ (එවැනි සුලු කිරීම් පාඩම් මාලාවේදී අප සිදු කළානෙ). එහෙත් dR, dE වැනි බහුමාන විෂයන් හඟවන්නේ ඒකමාන දුරක් නොව ද්විමාන ක්ෂේත්‍රඵලයක් හෝ ත්‍රිමාන පරිමාවකි. ඉතිං එවැන්නක් ඍජුවම සිදු කරන්නට අපහසුයි.

එවැනි අනුකල ප්‍රකාශ ඍජුවම සුලු කිරීමට අපහසු වුවත්, වක්‍ර ක්‍රමයකින් ඒවා පහසුවෙන්ම සුලු කරගත හැකියි. ඒ සඳහා කරන්නට තිබෙන්නේ බහුවිධ අනුකල ප්‍රකාශයක් ඔබ මීට කළින් උගත් පුනර්කෘත අනුකල ප්‍රකාශයක් බවට පත් කර ගැනීමයි. දැන් එය සිදු කරන අයුරුත්, එලෙස පරිවර්තනය කිරීම නිසා අවුලක් හෝ වැරැද්දක් සිදු නොවන බවත් දැන් මා පෙන්වා දෙන්නම්.

ඇත්තටම බහුවිධ අනුකල ප්‍රකාශයක් හැමවිටම වාගේ පවතින්නේ නිශ්චිත අනුකලයක් ලෙසයි - එනම්, පරාස අගයන් සහිතවයි. එහෙත් ඒකමාන හෙවත් සාමාන්‍ය නිශ්චිත අනුකලයකදී කළා මෙන් බහුවිධ අනුකලයකදී මෙම සීමා අගයන් දක්වන්නට පහසු ක්‍රමයක් නැත. සාමාන්‍ය නිශ්චිත අනුකලයේදී නම් x අහවල් අගයේ සිට අහවල් අගය දක්වා අනුකලය සිදු කරන්න යැයි කිව හැකිය. සිතා බලන්න එවැනි පහසු ක්‍රමයක් තිබේද ද්විත්ව අනුකලයක ක්ෂේත්‍රඵලය සීමා කිරීමට? අහවල් දිශාවෙන් අහවල් අගය දක්වාද අහවල් දිශාවෙන් අහවල් අගය දක්වාද ආදී ලෙස දිශා අතිවිශාල ගණනක සීමා අගයන් දැක්වීමට බැරිය. ත්‍රිත්ව අනුකලයේදී මෙම ගැටලුව තවත් සංකීර්ණ වෙනවා. එනිසා, සාමාන්‍යයෙන් බහුවිධ අනුකල ප්‍රකාශයක අනුකල සංඛේතය සමග පරාස/සීමා අගයන් දක්වන්නේ නැත. ඒනිසා එකවරම බහුවිධ අනුකල ප්‍රකාශ ඔබට දිස් වන්නේ අනිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශ ලෙසයි. එහෙත් සත්‍ය වශයෙන්ම ඒවා නිශ්චිත අනුකල ප්‍රකාශ බව තේරුම් ගන්න.

බහුවිධ අනුකලයක් පුනර්කෘත අනුකලයකට හැරවීම

පළමුව බලමු ද්විත්ව අනුකල ප්‍රකාශයක් පුනර්කෘත අනුකල ප්‍රකාශයක් බවට පත් කරන අයුරු. ඒ සඳහා පහත ආකාරයේ පොදු සූත්‍රයක් තමයි තිබෙන්නේ

මෙය දැන් තරමක් දුරට විශ්ලේෂණය කොට එහි ඇති රටාව හා තේරුම වටහගන්නට උත්සහ කරමු. ද්විත්ව අනුකලයක් නිසා පැහැදිලිවම ඉන් කියන්නේ ද්විමාන අනුකලයක් බවයි. එනම්, ශ්‍රිතයෙන් ලැබෙන්නේ යම් මතුපිටකි. මෙම ශ්‍රිතයට අයත් "මුලු පරිමාව" හෙවත් අනුකලය, ඉතා කුඩා පරිමාවන් අතිවිශාල ගණනකට (අනන්ත ගණනකට) කඩා, අවසානයේ එලෙස වෙන් වෙන්ව ලැබුණු කුඩා පරිමාවන් සියල්ලම එකතු කිරීමෙන් ලැබෙනවා.

ද්විත්ව අනුකලයක් ඍජුවම සුලු කිරීමට ඇති ගැටලුව මෙයයි. කෙසේද පරාස අගයන් දක්වන්නේ? ඔබට තවමත් මේ කාරණාව තේරුම් ගියේ නැතිනම්, මෙහෙම උපමාවක් සලකන්න. ඔබ දැන් ඔබේ කාමරයේ මැද හිටගෙන ඉන්නවා යැයි සිතන්න. ඔබට පුලුවන් ඔය ඉන්න තැන සිට වටේට ඕනෑම දිශාවකට ගමන් කරන්න. ඔබ තෝරාගන්නා දිශාව කුමක්ද? දිශා අනන්ත ගණනක් තිබෙනවානේ (සියුම්ව දිශා තීරණය කළොත්). එවිට, ඔබට ඒ සෑම දිශාවක් ඔස්සේම උපරිමව ගමන් කළ හැකි දුරක්ද තිබෙනවා යැයි සිතන්න. ඒ කියන්නේ දිශා අතිවිශාල ගණනක් පවතින බැවින් ඒ සෑම දිශාවක් සඳහාම පරාස අගයක් තිබෙනවා නේද? ද්විත්ව අනුකලයත් හරියටම අන්න ඒ වගෙයි. එයත් හරියට කාමරයේ බිම වගේ. ශ්‍රිතයෙන් පැවසෙනවා කුමන වර්ගයේ/හැඩයේ "බිමක්ද" බව. හැඩය කුමක් වුවත්, කාමර බිම සේම වටේට අනන්ත දිශාවන් ගණනක් සැලකිය හැකියිනෙ. එවිට අනන්ත පරාස අගයන් ගණනකුත් ඇති වෙනවා. එය තමයි ප්‍රධාන ප්‍රායෝගික ගැටලුව ඍජුවම එය විසඳීමට නොහැකි වීමට.

දැන් එම ද්විත්ව අනුකලය වෙනුවට ලිවිය හැකි එහි පුනර්කෘත අනුකල ස්වභාවය වෙතට අවධානය යොමු කරමු. මෙහිදී කරන්නේ අපූරු හා සරල උපක්‍රමයක්. ඉතා කුඩා පරිමා සහිත "කනු" ගොඩනඟා ඇති ක්ෂේත්‍රඵලය හෙවත් භූමිය කුඩා කුඩා "භූමිවලට" කඩා ඒ එක් එක් කුඩා භූමි හැසිරෙන ආකාරය සොයනවා වෙනුවට (එය කිරීම අපහසු බව ඉහත පෙන්වා දුන්නනෙ), එම භූමියම x හා y අක්ෂ ඔස්සේ පවතින ඛණ්ඩාංක තලයක් ආශ්‍රයෙන් සිතන්න. දැන් "ශ්‍රිතයේ මුලු භූමිය" පළමුව x අක්ෂය ඔස්සේ බලාගෙන යන්න. දෙවනුව y අක්ෂය ඔස්සේ බලාගෙන යන්න. එසේත් නැතිනම්, පළමුව y අක්ෂය ඔස්සේ බලාගෙන ගොස්, දෙවනුව x අක්ෂය ඔස්සේ බලාගෙන යන්න. මෙය හරියට ඔබ පොතක් කියවන විදියට උපමා කළ හැකියි. ඔබ පොතක් කියවන්නේ වම් කෙළවර සිට දකුණු කෙළවර දක්වා උඩ සිට පහළට නේද? එනම් වරකට වමේ සිට දකුණට එක් පේලියක් පමණයි ඔබ කියවන්නේ. ඉන්පසු දෙවැනි පේලිය ආදී ලෙස පේලියෙන් පේලිය ඉතුරු ටිකත් කියවනවා. එසේ කියවගෙන යන විට, නිකංම මුලු කොලයම ඔබ කියවා අවසන් වෙනවා නේද? ද්විත්ව අනුකලයත් ඒ විදියටයි සලකන්නට අවශ්‍ය. එකවම ක්ෂේත්‍රඵලයක් (එනම්, බහු-මානයක්) ගැන සිතනවා වෙනුවට වරකට එක මානයක් බැගින් සලකන්නට අවශ්‍යයි.

ඒ අනුව ඉහත සූත්‍රය සුලු කරන්නේ මෙසේය. ද්විත්ව අනුකල ප්‍රකාශයේ ඇති ශ්‍රිතය දෙපාරක් පුනර්කෘත අනුකලය කරන්න. මෙවිට විෂයන් (dx, dy වැනි) දෙකක් තිබෙනවානෙ. වරකට එක් විෂය බැගින් ගෙන ඔබ මීට පෙර උගත් ආකාරයට පුනර්කෘත අනුකලය සිදු කරන්නට අවශ්‍යයි. තවද, අනුකල අවස්ථා දෙක සඳහා අවශ්‍ය පරාස අගයන්ද ගැටලුව සමගම ලබා දිය යුතුය. එච්චරයි.

තවත් අපූරු දෙයක් ඉහත සූත්‍රයේ සැඟව පවතිනවා. එහි අභ්‍යන්තරයේ ඇති අනුකල ප්‍රකාශයේ සීමා අගයන් c හා d ලෙස දක්වා තිබුණත්, හැමවිටම වාගේ එම අගයන් වන්නේ ඊළඟට/පිටත තිබෙන අනුකලයේ විචල්‍ය ලෙස සැලකීමට තිබෙන පදය ආශ්‍රයෙන් සකස් කළ පරාස අගයන්ය. උදාහරණයක් ලෙස, ඉහත සූත්‍රයේ විචල්‍ය ලෙස ලියා තිබෙන්නේ x හා y ය. ඒ දෙකෙන් පළමුව අනුකලනය සිදු කරන්නේ y විෂයෙනි (dy). එවිට එම අනුකලයේ c හා d ලෙස දක්වා තිබෙන පරාස අගයන් ඇත්තටම x විචල්‍යවලින් සාදා ගත් ප්‍රකාශ වේවි. උදාහරණයක් ලෙස, c හා d වෙනුවට 2x හා x²+3 ලෙස එම පරාස අගයන් දක්වා තිබෙන්නට පුලුවන්.

ඉතිං අභ්‍යන්තර අනුකලයේ පරාස අගයන් ඊළඟ අනුකලයේ විචල්‍ය ලෙස සලකන පදවලින් සකස් කර තිබීමෙහි ඇති අමුත්ත කුමක්ද? ඇත්තටම මෙම පරාස අගයන් දෙක නියත පද නොව, වෙනත්ම ශ්‍රිත දෙකක් ලෙසයි සැලකිය හැක්කේ. ඉතිං මෙම පරාස ප්‍රකාශ ආදේශ කළ විට, ඔබට ලැබෙන්නේ ශ්‍රිතයක් තවත් ශ්‍රිතයකින් අඩු කරන සංයුක්ත ප්‍රකාශයකි. ඒ කියන්නේ අභ්‍යන්තර තනි ශ්‍රිතයක වෙනුවට සත්‍ය ලෙසම අභ්‍යන්තර ශ්‍රිත දෙකක් දැන් පවතිනවා. එම අලුත් ශ්‍රිත දෙක දැන් G(x) හා H(x) ලෙස හඳුන්වමු.

එවිට එම ප්‍රතිපලයෙන් දැන් කියන්නේ පළමුව G(x) ශ්‍රිතයේ අගය සොයාගෙන, ඉන්පසුව H(x) හි අගයෙන් අඩු කරන්න කියා නේද? පහත දැක්වෙන්නේ එම ශ්‍රිත දෙක එකම ප්‍රස්ථායක ඇඳ ඇති අවස්ථාව ලෙස සලකන්න. එවිට එම ශ්‍රිත දෙකෙහි වෙනස (G(x) - H(x)) තමයි අඳුරු කර A ලෙස දක්වා තිබෙන්නේ.

ඒ අනුව, පුනර්කෘත අනුකලයේ පළමු වටයෙන් අපට ලැබෙන්නේ අනුකලයේ පැති දෙකක සීමාවන්ය. එම සීමාවන් ශ්‍රිත ලෙස දක්වා තිබෙන නිසා, විවිධ හැඩ සහිත සීමා පවතින බව පැහැදිලියිනෙ. ඉන්පසුව දෙවැනි වර අනුකලනය කර, සීමා අගයන් ලබා දෙන විට ඉතිරි පැති දෙකෙහි සීමාවන්ද පැනවේ. එවිට "කුඩා කනු" උඩට ඔසවන මුලු භූමියම නිවැරදිව නිශ්චිතව නිර්ණය වේ. ඒ කියන්නේ දෙපාරක් පුනර්කෘත අනුකලනය කිරීමෙන් ලැබී තිබෙන්නේ ද්විත්ව අනුකලයම තමයි.

මේ විදියටම ත්‍රිත්ව හා අනෙක් ඉහල බහුවිධ අනුකල ගැන සිතන්නට අවශ්‍යයි. මුලදිත් පැවසූ ලෙසම ඉහල බහුවිධ ප්‍රකාශ ත්‍රිමානයෙන් ඔබ්බට යන නිසා, ඒවා ගැන සිතින් සිතීමටද බැරිය. සිතින් සිතා ගැනීමට හැකි වුවත් බැරි වුවත් ගැටලුවක් නැත. ප්‍රකාශය සුලු කරන ක්‍රමය පමණයි වැදගත් වන්නේ.

ඉහත දක්වා තිබෙන්නේ ත්‍රිත්ව අනුකලයක් තෙවරක් පුනර්කෘත අනුකලය කිරීමෙන් සුලු කරන ආකාරයයි. පළමුව z විෂයෙන් අනුකලය කරන්න. එහි සීමා/පරාස අගයන් y වල යම් ප්‍රකාශ/ශ්‍රිත ආකාරයෙන් පවතීවි. එම පරාසයන් ආදේශ කළ පසු ලැබෙන ශ්‍රිතය x හා y වලින් පමණක් සැදුම් ලද්දක් වේවි. දැන් y විෂයෙන් එම නව ශ්‍රිතය අනුකලනය කරන්න. මෙම අනුකලයේ පරාස අගයන් x වල ශ්‍රිත වශයෙන් පවතීවි. දැන් එම පරාසයන් ආදේශයෙන් පසුව ඉතිරි වන්නේ x පමණක් ඇති විචල්‍යය ලෙස පවතින ශ්‍රිතයකි. එයද සාමාන්‍ය ලෙසම සුලු කර, පරාස අගයන් ආදේශ කර අවසන් ප්‍රතිපලය ලබා ගන්න.

අවසාන වශයෙන් සඳහන් කළ යුතු දෙයක් තිබේ. ∫ ∫_A f(x,y) dA හෝ ∫ ∫ ∫ _E f(x,y,z) dE හෝ ආදී ලෙස බහුවිධ අනුකල ප්‍රකාශයක් එම නිරූපණ ක්‍රමයෙන් ලියන්නේ නිකංය. එම ප්‍රකාශය හුදු ප්‍රකාශයක් පමණි. ඉන් සුලු කරන්නට බැරිය. එම හුදු ප්‍රකාශ වන්නේ මෙම අනුකලය ද්විමාන අනුකලයකි, මෙම අනුකලය ත්‍රිමාන අනුකලයකි ආදී ලෙස කියවන කෙනාට තේරුම් කර දීමටයි. ගණනය කරන්නට අවශ්‍ය නම්, හැමවිටම පුනර්කෘත අනුකල ප්‍රකාශයක් ලෙසයි එය ඉදිරිපත් කළ යුත්තේ. උදාහරණයක් ලෙස, යම් කාරණාවක් විග්‍රහ කරගෙන යන විට, ද්විමාන අනුකල ප්‍රකාශයක් මතු වුණා යැයි සිතමු. එය නිකංම ∫ ∫ _A f(x,y) dA ලෙස දක්වනවා. එහෙත් එය විසඳන්නට යන විට, එම ප්‍රකාශය විස්තරාත්මකව පුනර්කෘත අනුකල ප්‍රකාශයක් ලෙස දැක්විය යුතු වෙනවා. පහත උදාහරණය බලන්න.