ඉලෙක්ට්‍රොනික්ස් II (Electronics) - 24

අතිරේකය

අවකලනය (differentiation)

මෙම පාඩම් මාලාවේදී අවස්ථා කිහිපයකදීම අවකලනයේ සරල යෙදීම් කිහිපයක් යොදා ගත්තා. ඇත්තටම විද්‍යා හා තාක්ෂණ ක්ෂේත්‍රයේ ඉතාම වටිනා ගණිත කර්මයක් තමයි අවකලනය කියා පවසන්නේ. පාසලේ උසස් පෙළ ගණිතයේදී මෙම ගණිත කර්මය පළමු වරට ඉගැන්වෙන නිසා, බොහෝ පිරිසක් මෙම වටිනා ගණිත කර්මය මින් පෙර දැක නැති වීමට පුලුවන්. සරලව හා කෙටියෙන් අවකලනය ගැන සලකා බලමු.

ගණිතයේ හමුවන සෑම ගණිත කර්මයක්ම හැමවිටම වාගේ පවතින්නේ යුගල වශයෙනි. එකකින් කරන වැඩේට විරුද්ධ දේ අනෙකෙන් සිදු කරනවා. එකතු කිරීම - අඩු කිරීම, වැඩි කිරීම - බෙදීම ඊට කදිම උදාහරණ දෙකක්. එලෙසම අවකලනයේ විරුද්ධ ගණිත කර්මය අනුකලනය (integration) වේ. අවකලනය හා අනුකලනය යන දෙකම එකට ගත් විට ඊට කලනය (calculus) යන නම ව්‍යවහාර වේ. අවකලනය ඉතා ගැඹුරට අධ්‍යයන කළ හැකි විෂයක් වුවත් සාමාන්‍ය විද්‍යා තාක්ෂණ අවශ්‍යතා සඳහා දැන මතක තබා ගැනීමට ඇත්තේ ටිකකි. අවකලනය දෙයාකාරයකින් පැහැදිලි කළ හැකියි. එකක් නම් ප්‍රස්ථාරයක් ඇසුරින් රූපමය ස්වරූපයෙනි; අනෙක වීජීය ශ්‍රිත මඟින්ය. දැන් මේ ගැන විමසා බලමු. (ඉලෙක්ට්‍රොනික්ස් පළමු පොතේ තිබූ ගණිත අතිරේකය ඉගෙන තිබීම මෙහිදී අවශ්‍ය කෙරේ.)

පහත රූපය බලන්න. මෙහි x අක්ෂයෙන් කාලය (තත්පරවලින්) හා y අක්ෂයෙන් දුර (මීටර්වලින්) දැක්වේ (ඒ කියන්නේ මෙය දුර-කාල ප්‍රස්ථාරයකි). එහි නිල්පාට වක්‍රය/ඉර සලකා බලමු. එහි x අක්ෂයේ A සිට B දක්වා වෙනස තත්පර 1කි. කාලය අක්ෂය දිගේ A සිට B ට යනවා යනු 4 වැනි තත්පරයේ සිට 5 වැනි තත්පරයට ගමන් කිරීමයි; වෙනස තත්පර 5 – 4 = 1කි. කාලය අක්ෂය දිගේ එම විචලනය සිදුවන විට, ඊට අනුරූපව y අක්ෂයේ විචලනය බලන්න. එය 16 සිට 20 දක්වා වැඩි වේ. ඒ කියන්නේ දුර අක්ෂයේ වෙනස 20 – 16 = 4කි. ඔබ දන්නවා ප්‍රස්ථාරයක y අක්ෂය දිගේ වෙනස ඊට අනුරූපව පවතින x අක්ෂය දිගේ වෙනසින් බෙදූ විට ලැබෙන්නේ එම ප්‍රස්ථාරයේ අනුක්‍රමයයි (රේඛාවේ බෑවුමයි). එ් අනුව, නිල් වක්‍රයේ අනුක්‍රමය/බෑවුම වන්නේ 4/1 = 4 වේ. මෙය කාලය සමග දුර වෙනස් වන ප්‍රස්ථාරයක් නිසා, මින් ඔබට දැන් ලැබී තිබෙන්නේ වේගයයි. ඒ අනුව, නිල් වක්‍රයේ වේගය තත්පරයට මීටර් 4 වේ. නිල් වක්‍රයේම B සිට C දක්වා වූ කොටස බලන්න. එම කොටස අනුවද වේගය ගණනය කරන්න. කාල වෙනස 9 – 5 = 4 වේ. දුර වෙනස 36 – 20 = 16 වේ. එවිට, වේගය වන්නේ 16/4 = 4 යි. නැවත ඔබට වේගය ලෙස ලැබෙන්නේද තත්පරයට මීටර් 4 වේගයයි. 

 

ඇත්තටම මෙම ප්‍රස්ථාරයේ කුමන ස්ථාන දෙකක් ගෙන ගණනය කළත් ලැබෙන්නේ එකම වේගයයි. ඊට හේතුව මෙම නිල්පාට වක්‍රය සරල ඍජු රේඛාවක් වීමයි. එම නිල්පාට ප්‍රස්ථාරය වීජීය ශ්‍රිතයක් ආකාරයටත් ඔබට දැක්විය හැකියි (ඔව්, ඕනෑම ප්‍රස්ථාරයක් සුදුසු කොන්දේසි යටතේ වීජීය ශ්‍රිතයක් ආකාරයට ලිවිය හැකියි). ඉහතදී වේගය ගණනය කළ සූත්‍රයම මීට යොදා ගන්නට පුලුවන්.
 

වේගය = දුර/කාලය → දුර = (වේගය)(කාලය) → d = (s)(t)

ඉහත අවසානයේ ඇත්තේ වලංගු වීජීය සමීකරණයකි (ශ්‍රිතයකි). එහෙත් ඔබට ශ්‍රිත බහුලවම දැකීමට ලැබෙන්නේ x හා y යන අක්ෂර දෙක ආශ්‍රයෙනි (x යනු ස්වායත්ත විචල්‍ය හා y යනු පරායත්ත විචල්‍ය වේ). අවශ්‍ය නම්, x, y ඉහත සමීකරණයට අදේශ කළ හැකියි t, d වෙනුවට. ඇත්තටම t යනු x අක්ෂයද d යන්න y අක්ෂයද නිරූපණය කරන බව පැහැදිලිවම පෙනෙනවා. y වෙනුවට f(x) යන්නද ආදේශක කළ හැකියි.

d = st → y = sx හෝ f(x) = sx

මෙලෙසම කහ පාට ප්‍රස්ථාරය ගැනද සිතන්න; වේගය ගණනය කරන්න. එහි වේගය තත්පරයට මීටර් 8ක් ලෙස ලැබේවි. එය නිල්පාට ප්‍රස්ථාරයෙන් පෙන්වන වේගයට වඩා වැඩිය. වේගය වැඩි බව එම රේඛාවේ බෑවුම වැඩි වීමෙන් පෙනේ. මෙලෙසම රතුපාට ප්‍රස්ථාරය බැලූගමන්ම දැන් ඔබට පේනවා එහි බෑවුම අනෙක් දෙකටම වඩා අඩු බව. ඒ කියන්නේ රතුපාට ප්‍රස්ථාරයෙන් පෙන්වන වේගය ඉතා අඩුයි. ගණනය කළ විට එය තත්පරයට මීටර් 2ක් ලෙස ලැබේ.

ඉහත ප්‍රස්ථාර තුනෙන් ඕනෑම එකක් ගන්න (නිල් එක තෝරාගමු). එහි වේගය මැනීමට ඔබ සිදු කළේ y අක්ෂයේ යම් පරාසයක් (වෙනසක්) ගෙන ඊට අනුරූපව x අක්ෂයේ පවතින පරාසය (වෙනස) ගෙන, y අක්ෂයේ පරාසයෙන් x අක්ෂයේ පරාසය බෙදීමයි. ගණිතයේදී "වෙනස" (“පරාසය") නිරූපණය කිරීමට ග්‍රීක් හෝඩියේ (කැපිටල් හෝ සිම්පල්) ඩෙල්ටා අක්ෂරය (Δ හෝ δ) යොදා ගන්නවා. ඒ අනුව,

ඉහතදී පෙන්වා දුන් පරිදිම සරල රේඛාවකින් පෙන්වන ප්‍රස්ථාරයකදී මෙම වෙනස/පරාසය ඔබට අවශ්‍ය තරම් ලොකු කුඩා කළ හැකියි. ඒ අනුව, ඔබට x හි කුඩා පරාසය/වෙනස තව තවත් ඉතාම ඉතාම ඉතා කුඩා කළ හැකියි. එය බිංදුවට/ශූන්‍යයට ආසන්න කළ හැකියි (එනම්, දශම තිතට පසුව බිංදු කෝටි ප්‍රකෝටි ගණනක් ලියා අවසානයේ 1 දැමීම). x පරාසය එතරම් කුඩා වන විට, ඉබේම y පරාසයද ඊට අනුරූපව කුඩා වෙන බව පැහැදිලියිනෙ. ඉහත රූපයේ ආකාරයේ ප්‍රස්ථාරයකට (එනම් රේඛීය ප්‍රස්ථාරයකට) මෙවැනි ඉතාම කුඩා පරාස ගෙන ගණනය කළත් ලැබෙන්නේද ඉහත ආකාරයට විශාල පරාස යොදා ගෙන ගණනය කළ බෑවුම් අගයම තමයි. මෙන්න මෙම ක්‍රියාවලිය පහත ආකාරයට නිරූපණය කළ හැකියි (ඔබ දන්නවා ගණිතයේදී දිගු වාඛ්‍යවලින් කියන දේ කෙටි සංඛේතාත්මක ක්‍රමවලින් නිරූපණය කරන බව).

ඔය දැන් සිදු කළ ගණිත කර්මය තමයි අවකලනය කියා පවසන්නේ. ඉහත dy/dx ලෙස දක්වා ඇත්තේ එයයි. dy/dx යන්න “x විෂයෙන් y අවකලනය කරනවා" යැයි වචනයෙන් පවසනවා (ස්වායත්ත විචල්‍යයේ විෂයෙන් පරායත්ත විචල්‍යය අවකලනය කෙරේ). "ඩී වයි ඩී එක්ස්" ලෙස එය සාමාන්‍යයෙන් ශබ්ද කෙරේ. ඇත්තටම අවකලනය පෙන්වීමට ක්‍රම කිහිපයක්ම තිබේ. පහත දැක්වෙන්නේ මෙම නිරූපණ ක්‍රමයි.

 

අවකලනයෙන් හැමවිටම අපට ලැබෙන්නේ යම් දෙයක වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාවයි. ඒ කියන්නේ යම් දෙයක් (එනම් ස්වායත්ත විචල්‍යය) විචලනය කරන විට, ඊට බද්ධව පවතින තවත් දෙයක් (එනම් පරායත්ත විචල්‍යය) වෙනස්වන සීඝ්‍රතාව සෙවීමයි අවකලනයෙන් සිදු කරන්නේ. උදාහරණය ලෙස, කාලයට අනුව/සාපේක්ෂව දුර වෙනස්වන සීඝ්‍රතාව, ds/dt (හෙවත් වේගය), කාලයට අනුව ප්‍රවේගය වෙනස් වන සීඝ්‍රතාව, dv/dt (හෙවත් ත්වරණය), කාලයට අනුව ආරෝපණ ගමන් කරන ප්‍රමාණය හෙවත් ආරෝපණ වෙනස් වීමේ සීඝ්‍රතාව, dQ/dt (හෙවත් ධාරාව), කාලයට අනුව ධාරාව වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව, dI/dt, කාලයට අනුව වෝල්ටියතාව වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව, dV/dt, කාලයට අනුව චුම්භක ස්‍රාවය වෙනස් වීමේ සීඝ්‍රතාව, dΦ/dt, සපයන විදුලි ශක්තියට සාපේක්ෂව ආලෝකය/තාපය ජනනය වන සීඝ්‍රතාව ආදිය පහසුවෙන් සුලු කළ හැකියි අවකලනය භාවිතා කරමින්.

ඉහත පැහැදිලි කිරීම තවදුරටත් කරගෙන යමු. දැන් නැවතත් පහත රූපය බලන්න. මෙහි නිල්පාට වක්‍රයෙන් පෙන්වන්නේ f(x)=4x² යන ශ්‍රිතයයි. මෙම ප්‍රස්ථාරය කිසිදු තැනක් සරල රේඛීයව නොපවතී (වක්‍රව පවතී). දැන් පෙර සේම y අක්ෂය දිගේ වෙනසක් ගෙන ඊට අනුරූප x අක්ෂය දිගේ වෙනසින් බෙදන්න. එවිට සුපුරුදු ලෙසම x වෙනස් වීමේදී y වෙනස්වීමේ සීඝ්‍රතාව ලැබේ. මෙම වක්‍රයේ x අක්ෂය දිගේ පවතින වෙනස ලෙස 0 සිට 5 දක්වා ගමු. ඊට අනුරූපව y අක්ෂය දිගේ පවතින වෙනස 0 සිට 100 දක්වා බව රූපයෙන් පෙනේ. දැන් මෙම අගයන් යොදා ගෙන ප්‍රස්ථාරයේ බෑවුම ගණනය කරන්න.

Δy/Δx = (100-0)/(5-0) = 100/5 = 20

 

මෙම බෑවුම තමයි කොල පාට රේඛාවෙන් පෙන්වන්නේ. දැන් ප්‍රස්ථාරයේ වෙනස් පරාස දෙකක් සලකා ප්‍රස්ථාරයේ බෑවුම නැවත ගණනය කරමු.
 

Δy/Δx = (200-0)/(7-0) = 200/7 = 28.57

මෙම බෑවුම රතු පාට රේඛාවෙන් පෙනේ. මෙම බෑවුම ඊට පෙර බෑවුමට වඩා වෙනස් නේද? ඔව්, මෙම ප්‍රස්ථාරයේදී ඔබ තෝරා ගන්නා පරාසයන් අනුව ඔබට විවිධ බෑවුම් අගයන් තමයි ලැබෙන්නේ. ඊට හේතුව ප්‍රස්ථාරය රේඛීය නොවී වක්‍ර වීමයි. ඒ කියන්නේ වක්‍ර ප්‍රස්ථාරවලට තනි බෑවුම් අගයක් නැත. ප්‍රස්ථාරයේ විවිධ තැන්වල බෑවුම විවිධ වේ. උදාහරණයක් ලෙස ප්‍රස්ථාරයේ තැනින් තැන ස්ථාන 10ක් ලකුණු කර එම ස්ථාන 10යේ බෑවුම් වෙන වෙනම ගණනය කළ හැකියි. ඊට වඩා තවත් නිවැරදියි ස්ථාන 100ක් ලකුණු කර එම ස්ථාන 100යේ බෑවුම් වෙන වෙනම ගණනය කළ හැකි නම්. මේ ආදී ලෙස, වක්‍රය මත ස්ථාන අති විශාල ගණනක් ලකුණු කර එම ස්ථාන සියල්ලේම බෑවුම් ගණනය කළ හැකියි. සම්පූර්ණයෙන්ම නිවැරදි වීමට ප්‍රස්ථාරය මත ස්ථාන අනන්ත ගණනක් ලකුණු කර එම ස්ථාන සියල්ලේම බෑවුම් ගණනය කළ හැකියි. ප්‍රස්ථාරය මත ස්ථාන අනන්ත ගණනක් ලබා ගැනීම යනු x පරාසය ශූන්‍ය දක්වා කුඩා කිරීමයි. දැන් නැවත පෙර සේම x අක්ෂයේ පරාසය ශූන්‍ය දක්වා කුඩා කරමු. එවිට ඔබට dy/dx අගයක් ලැබේ (අවකලනය කිරීමෙන් ලැබෙන අගය). ඒ කියන්නේ අවකලනය මඟන් අපට ප්‍රස්ථාරයේ ඕනෑම තැනක බෑවුම ගණනය කළ හැකියි.

රේඛීය හෝ අරේඛීය (වක්‍ර) ඕනෑම ප්‍රස්ථාරයක ඕනෑම තැනක බෑවුම ගණනය කිරීමට තමයි අවකලනය යොදා ගන්නේ. වෙනත් විදියකින් කියතොත් අවකලනය මඟින් ගණනය කරන්නේ ඕනෑම ශ්‍රිතයක ස්වායත්ත විචල්‍ය අනුව පරායත්ත විචල්‍යය වෙනස් වීමේ සීඝ්‍රතාවයි. අවකලන ක්‍රමය නොතිබෙන්නට මෙය ප්‍රායෝගිකව කිරීම සිදු කිරීම සිතා ගත නොහැකි තරම් කාලය ගතවන අපහසු කාර්යකි. උදාහරණයක් වශයෙන් y=4x² යන ශ්‍රිතය අවකලනය කළ පසු dy/dx=8x ලෙස ලැබේ. දැන් x සඳහා ඔබට කැමති අගයක් ආදේශ කර ප්‍රස්ථාරයේ ඕනෑම ස්ථානයක dy/dx අගය හෙවත් බෑවුම ගණනය කළ හැකියි නේද?

ඉහත මෙතෙක් කතා කළේ අවකලනය ගැන සාංකල්පීය පැහැදිලි කිරීමකි. ප්‍රායෝගිකව අවකලනය සිදු කරන අයුරු දැන් බලමු. මෙය කුඩා ගණිත අතිරේකයක් නිසා, පහත දැක්වෙන පොදු සූත්‍ර/රීතින් කිසිවක් සාධනය කරන්නට යන්නේ නැත. ඔබ පහත දැක්වෙන පොදු සූත්‍ර කටපාඩම් කර, ඒවා යොදා ගන්නා අයුරු ඉගෙන ගන්න අවම වශයෙන් (ඇත්තටම අවකලනය රසවත් විෂයක් නිසා වෙනමම ඒ ගැන ඉගෙන ගන්න උත්සහ කරන්න).

අවකලන පොදු සූත්‍ර/රීති

ඉහත සූත්‍ර කිහිපයක් යොදාගෙන ගණනය කිරීම් කිහිපයක් කරමු.

1. t⁴ යන ශ්‍රිතය t විෂයෙන් අවකලනය කරන්න. බලයක් සහිත විචල්‍යක් නිසා ඉහත 1 සූත්‍රය යෙදිය යුතුය. ඒ අනුව, dt⁴/dt = 4t^4-1 = 4t³ වේ.

2. x^-5 හෙවත් 1/x⁵යන ශ්‍රිතය x විෂයෙන් අවකලනය කරන්න. මෙහිදිත් බලයක් සහිත විචල්‍යයක් නිසා, ඉහත 1 සූත්‍රය යෙදිය යුතුය. ඒ අනුව, dx^-5/dx = -5x^-5-1 = -5x^-6 හෙවත් -5/x⁶වේ.

3. 4n³ යන ශ්‍රිතය n විෂයෙන් අවකලනය කරන්න. මෙහිදී 1 හා 2 යන රීති/සූත්‍ර දෙකම යෙදීමට සිදුවෙනවා. ඔව්, ප්‍රායෝගිකව ඉහත රීති සමූහයක්ම එකවිට යෙදීමට සිදුවන අවස්ථා බහුලව හමු වෙනවා. ඒ අනුව, d(4n³)/dn = 4 (dn³/dn) = 4x3n² = 12n²වේ.

4. x⁴ - 5x² + 3x + 5 යන ශ්‍රිතය x විෂයෙන් අවකලනය කරන්න. මෙහිදී 1, 2, 3, 4 යන රීති යොදා ගැනීමට සිදු වෙනවා. මතක තබා ගන්න ඕනෑම නියත පදයක අවකලනය කළ පසු ලැබෙන්නේ ශූන්‍ය වේ (ඉහත 3 රීතිය). මෙම 3 වැනි රීතිය ඉතා පහසුවෙන් 1 වැනි රීතියෙන් සාධනය කළද හැකියි (dx⁰/dx = 0 x d (x^0-1)/dx = 0 x d (x^-1)/dx = 0). ඒ අනුව,

d (x⁴ – 5x² + 3x + 5)/dx = dx⁴/dx – d(5x²)/dx + d(3x)/dx + d(5)/dx
= 4x³ – 10x + 3 + 0 = 4x³ – 10x + 3

5. (x⁴)(x³+2x) යන්න x විෂයෙන් අවකලනය කරන්න. මෙය දෙයාකාරයකින් සිදු කළ හැකියි. එකක් නම්, ඉහත ප්‍රකාශය සුලු කර (එවිට x⁷+2x⁵ ලෙස ලැබේ) පසුව සුපුරුදු ලෙස අවකලනය කිරීමයි. එහෙත් ප්‍රකාශය ඉහත 5 වැනි රීතිය (ශ්‍රිත දෙකක ගුණිතය පිළිබඳ රීතිය) යොදාගෙනද එකවරම සුලු කළද හැකියි. අප මෙම දෙවැනි ක්‍රමයට එය සුලු කරමු. මෙහිදී x⁴ හා x³+2x යනු වෙන වෙනම ශ්‍රිත දෙකක් වේ. ඒ අනුව,

d ((x⁴)(x³+2x))/dx = 4x³(x³+2x) + x⁴(3x²+2) = 4x⁶+8x⁴+3x⁶+2x⁴ = 7x⁶+10x⁴ වේ.

e^x යන්න x විෂයෙන් අවකලනය කළ විට නැවත ලැබෙන්නේද e^x මයි (ඔබ දන්නවා e යනු දළ වශයෙන් 2.7183 යන අගය ඇති ගණිතයේ/විද්‍යාවේ හමුවන සුවිශේෂි නියත පදයක්). එය මෙම ශ්‍රිතයේ තිබෙන සුවිශේෂි ගතියකි. ඒ කියන්නේ e^x ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයේ ඕනෑම තැනකින් බෑවුම මැන්න විට ලැබෙන අගය e^x මයි. a^x යන්නද තරමක් e^x වැනිම ශ්‍රිතයකි. එහෙත් එහිදී අමතරව ln(a) යන නියත පදයෙන් ගුණ කළ යුතු වෙනවා (a යනු නියත පදයකි; නියත පදයක ලඝු ගත්විට ලැබෙන්නේද නියත පදයකි).

අවසානයේ දැක්වෙන චේන් රූල් නමින් හැඳින්වෙන රීතිය ඉතාම ප්‍රයෝජනවත් හා බලවත් එකකි. එහි, u, v යනු x හි ශ්‍රිත දෙකකි. f(x), g(x) ලෙස කැමැති නම් එම දෙක ලිවිය හැකි වුවත්, රීතිය පැහැදිලිවත් කෙටියෙනුත් පෙන්වීමටයි u,v පද දෙක යොදා ගෙන ඇත්තේ. ඇත්තටම මේ ආකාරයට ලියූ විට එහි පැටර්න් එකක් පෙනේ. මෙම චේන් රූල් එක ඔබට කැමති කැමති දිගක් දක්වා පුලුල් කළ හැකියි. උදාහරණයක් ලෙස,

dy/dx = (dy/dw).(dw/dz).(dz/dt).(dt/dn).(dn/dx)

ආදී ලෙස දිග් කරගෙන යා හැකිය. ආරම්භක අනුපාතයේ හරයේ ඇති විචල්‍ය/ශ්‍රිතය පසුව ඇති අනුපාතයේ ළවයට එන පරිදිද, පළමු අනුපාතයේ ළවය හා අවසාන අනුපාතයේ ඇති අරය මුල් අනුපාතයේ ලවය හා අරය ලෙසද පවතින ආකාරයට එය සකස් කළ යුතුය. එය දම්වැලක් ආකාරයෙන් දික් කළ හැකි නිසා තමයි චේන් රූල් යන නම ලැබී ඇත්තේ. බොහෝවිට සම්පූර්ණ ශ්‍රිතයක් තවත් ශ්‍රිතයක් තුළ තිබෙන අවස්ථා හමුවෙනවා (ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක් ලෙස මෙය හැඳින්වේ). එවැනි විටක එය සුලු කළ හැක්කේ චේන් රූල් යෙදීමෙනි. මෙය උපයෝගි කරගෙන ගණනක් සුලු කරන හැටි දැන් බලමු.

(x⁴+3x)⁵ යන්න x විෂයෙන් සුලු කරන්න. මෙහි x⁴+3x යනු යම් ශ්‍රිතයකි. එම ශ්‍රිතය අප t ලෙස තාවකාලිකව හඳුන්වමු. එවිට, මෙම t ඉහත සූත්‍රයට ආදේශ කළ විට t⁵ ලෙස ලැබෙනවා නේද? t⁵ යනුද ශ්‍රිතයකි. එහෙත් එය ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයකි මොකද එම ශ්‍රිතය තවත් ශ්‍රිතයක් තමන් තුළ රඳවාගෙන සිටින නිසා. ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක් සුලු කිරීමට චේන් රූල් යෙදිය යුතුය. නැවත සරල චේන් රූල් එක බලමු.

dy/dx = (dy/dt).(dt/dx)

හොඳින් බලන්න මෙම සූත්‍රය දෙස. ඉන් කියන්නේ පළමුව පිටත ඇති ශ්‍රිතය අලුතින් ආදේශ කළ විචල්‍යයෙන් (විෂයෙන්) අවකලනය කරන ලෙසයි (dy/dt කොටස). ඉන්පසු ඇතුලේ ඇති ශ්‍රිතයේ අවකලනය අදාල විෂයෙන් සොයන ලෙසයි (dt/dx යන්නෙන් හැඟවෙන්නේ එයයි). ඉන්පසු එම අගයන් දෙක ගුණ කරන්න. මේ අනුව ඉහත උදාහරණය සුලු කරමු.

y = (x⁴+3x)⁵ → y = t⁵ (x⁴+3x යන්න වෙනුවට t තාවකාලිකව ආදේශ කිරීමෙන්)

දැන් t⁵ ශ්‍රිතය t විෂයෙනුත්, x⁴+3x ශ්‍රිතය x විෂයෙනුත් වෙන වෙනම අවකලනය කර එකිනෙකට ගුණ කරන්න. එවිට,

dy/dt = 5t⁴ හා dt/dx = 4x³+3 වේ. එම දෙකේ ගුණිතය (dy/dt).(dt/dx) වන්නේ,

(5t⁴)(4x³+3) වේ. දැන් t වෙනුවට නැවත එහි නියම අගය ආදේශ කරන්න. එච්චරයි. ඒ අනුව,

(5(x⁴+3x)⁴)(4x³+3) ලෙස අවසන් පිළිතුර ලැබේ.

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා

නම සංකීරණ සංඛ්‍යා (complex number) ලෙස හැඳින් වුවත්, මෙම සංඛ්‍යාවල ඇති සංකීර්ණ (අමුතුවෙන් අමාරු) බවක් නැත. එය හුදු නමක් පමණි. ඔබ දන්නවා ඔත්තේ, ඉරට්ටේ, නිඛිල, දශම, පරිමේය, අපරිමේය ආදී ලෙස සංඛ්‍යා විවිධ වර්ගීකරණයකට ලක් කර තිබෙනවා. සංකීර්ණ සංඛ්‍යා යනු තවත් එක් වර්ගීකරණයක් පමණි. මේ ගැන කෙටියෙන් විමසා බලමු.

ඔබ අප නිතරම භාවිතා කරන සංඛ්‍යා තථ්‍ය (real) සංඛ්‍යා ලෙස හැඳින්වෙනවා. තථ්‍ය (real) යන්නෙහි තේරුම "ඇත්තටම පවතින" යනුයි. උදාහරණයක් ලෙස, මා ගාව පෑන් 4ක් තිබෙනවා යැයි කියූ විට, මෙම 4 යන සංඛ්‍යායෙන් කියන අගය සත්‍ය ලෙසම පවතිනවා. මෙම රියල් සංඛ්‍යා ඍණ අනන්තයේ සිට ධණ අනන්තය දක්වා විහිදෙනවා. බිංදුව (ශූන්‍යයද) මේ අතර පවතිනවා. රූපමය ආකාරයෙන් පහත ආකාරයට තිරස් සංඛ්‍යා රේඛාවකින් (number line) මෙම සියලු රියල් සංඛ්‍යා නිරූපණය කළ හැකියි. මෙම සංඛ්‍යා රේඛාව real number line ලෙස හැඳින්වෙනවා.
 

මේ අතර තවත් සංඛ්‍යා වර්ගයක් පවතිනවා අතථ්‍ය (imaginary) සංඛ්‍යා ලෙස. ඔබට දැන් සිතා ගත හැකියිනේ අතථ්‍ය යන්නෙහි තේරුම "සත්‍ය ලෙසම නොපවතින" හෙවත් "මනඃකල්පිත" යන්න බව. මේවාද රියල් සංඛ්‍යා මෙන්ම යම් අගයක් නිරූපණය කරයි. එහෙත් රියල් සංඛ්‍යාවලට වඩා මෙම සංඛ්‍යා යොදා ගන්නේ වෙනත් අරමුණක් උදෙසාය. අරමුණ කෙසේ වෙතත් මෙම සංඛ්‍යා සමඟද සාමාන්‍ය (රියල්) සංඛ්‍යා සමග කටයුතු කරනවා සේ කටයුතු කළ හැකියි. රියල් සංඛ්‍යාවලින් මෙම සංඛ්‍යා වෙන් කර හඳුනාගැනීමට i (හෝ j) යන ඉංග්‍රිසි අකුර සංඛ්‍යාවක් පසුපසින් (හෝ අවශ්‍ය නම් සංඛ්‍යාව ඉදිරියන් වුවද) යෙදේ. උදාහරණ ලෙස, 5i, 13.45i

ඇත්තටම නිවැරදි අකුර නම් i වේ (imaginary යන්නෙහි මුල් අකුර). එහෙත් විදුලි/ඉලෙක්ට්‍රොන්ක්ස් ක්ෂේත්‍රයේදී විදුලි ධාරාව සංඛේතවත් කරන්නේද අයි අකුරින් බැවින් j අකුර බොහෝවිට එම ක්ෂේත්‍රය තුල යෙදෙනවා ධාරාව සමග පැටලීම වලක්වා ගැනීමට.

ඇත්තෙන්ම i අකුර නිකංම සංඛේතයක්ම නොවේ. ඊට නිශ්චිත අගයක්ද ඇත. එනම් i = √(-1) වේ. ඔබ දන්නවා ඕනෑම ඍණ සංඛ්‍යාවක වර්ගමූලය සෙවිය නොහැකියි. ඊට හේතුව මෙයයි. යම් සංඛ්‍යාවක් එම සංඛ්‍යාවෙන්ම ගුණ කළ විට ලැබෙන අගය හැමවිටම ධණ වේ (උදාහරණ ලෙස, (-2)(-2) = +4; (2)(2) = +4). වර්ගකිරීමේ විරුද්ධ ක්‍රියාව තමයි වර්ගමූලය කියන්නේ. එහෙත් ඉහත පෙන්වා දුන් පරිදි කිසිවිටක ඍණ වර්ග පදයක් අපට හමු නොවේ (හරියට එදිනෙදා ජීවිතයේදී ඍණ උසක්, ඍණ වයසක් හමු නොවන්නා සේම). එසේ නම්, ඍණ සංඛ්‍යාවක වර්ගමූලයක් සොයනවා කියා අපට කිව නොහැකියිනෙ. කෙසේ හෝ වේවා, සමහර ගණිත කර්ම සිදු කරගෙන යන අතරේ, මෙම සිදු විය නොහැකි යැයි පැවසූ දෙය සිදු වෙනවා. ඒ කියන්නේ ඍණ සංඛ්‍යාවක වර්ගමූලය සෙවීමට සිදු වෙනවා.

හරි මෙම ප්‍රශ්නයේ තව එක් පියවරක් ඉදිරියට තැබිය හැකියි. උදාහරණයක් ඇසුරින් එය බලමු. සිතන්න -5 හි වර්ගමූලය සෙවීමට තිබෙනවා කියා. -5 = (-1)(5) ලෙස ලිවිය හැකියිනෙ. එ අනුව පහත ආකාරයට දැක්විය හැකියි.
 
√(-5) = √(-1 x 5) = √(-1) x √(5)

දැන් ඔබට 5හි වර්ගමූලය සෙවිය හැකියි. එහෙත් තවමත් -1හි වර්ගමූලය සෙවීමට අප දන්නේ නැත. ඉතිං ඕනෑම ඍණ සංඛ්‍යාවක වර්ගමූලය සෙවීම ඉහත ආකාරයට -1හි වර්ගමූලය සෙවීම දක්වා සරල කරගත හැකියි. නොපවතින දෙයක් සොයන්නේ කෙසේද? එය ප්‍රශ්නයක් තමයි. එහෙත් ඉහත පැවසූ ආකාරයටම -1හි වර්ගමූල පදය i ලෙස සංඛේතවත් කර "නොපවතින සංඛ්‍ය" යන අරුතින් අතථ්‍ය සංඛ්‍යා නිර්වචනය කර තිබේ. ඒ අනුව -5හි වර්ගමූලය √5 i ලෙස දැන් ලිවිය හැකියි. ඇත්තටම මෙය සුලු කිරීමක් නොවේ. තිබෙන දේ තිබෙන විදියට සරලව දැක්වීමක් පමණි. මෙය උපමාවකින් මෙසේ කිව හැකියි. පවුලේ අපරාධ/වැරදි කරන දරුවකු සිටින විට, අම්මා ඔහු අපරාධකරුවකු වුවත් නොසලකා ඉන්නේ නැත. ඇය කරන්නේ ඔහුගේ වැරදි බව තේරුම් ගනිමින්ම ඔහුට තවමත් තමන්ගේ දරුවකුට දක්වන සෙනෙහස දැක්වීමයි. අතථ්‍ය සංඛ්‍යාද ඇත්තටම නොපැවතියත් ඊටද ගණිතය තුළ තැනක් සදා දී තිබේ.

ඇත්තටම අතථ්‍ය සංඛ්‍යාවල කිසිදු ප්‍රයෝජනයක් නැතිනම් ගණිතය තුළ ඊට ස්ථානයක් හිමි නොවනු ඇත. විවිධ ගණනය කිරීම්වලදී අතථ්‍ය සංඛ්‍යා යොදාගැනීමට සිදු වන අවස්ථා තිබේ. මෙම පාඩම් මාලාවේද මෙම සංඛ්‍යා හමු වුණා මතකද? තථ්‍ය සංඛ්‍යා තිරස් සංඛ්‍යා රේඛාවකින් දක්වන්නා සේම, අතථ්‍ය සංඛ්‍යා ඍණ අනන්තයේ සිට ධණ අනන්තය දක්වා සිරස් සංඛ්‍යා රේඛාවකින් නිරූපණය කෙරේ. මෙම සංඛ්‍යා රේඛාව imaginary number line ලෙස හැඳින්වේ. මෙහිද 0 හමු වේ. 0i යනු 0 ම වේ මොකද ඕනෑම දෙයක් බිංදුවෙන් ගුණ කළ විට ලැබෙන්නේ බිංදුව නිසාය. එ් අනුව, අතථ්‍ය සංඛ්‍යා රේඛාව තුළ හමුවන එකම තථ්‍ය සංඛ්‍යාව වන්නේ 0 යි.
 

අතථ්‍ය සංඛ්‍යා දෙකක් එකතු හෝ අඩු කළ හැකියි (4i + 3i = 7i ; 5i – 6i = -1i). එලෙසම ගුණ කිරීම හෝ බෙදීමද කළ හැකියි. එහෙත් ගුණ කිරීමේදී හා බෙදීමේදී ලැබෙන්නේ තථ්‍ය සංඛ්‍යාවකි. ඊට හේතුව පහත උදාහරණයෙන් පැහැදිලි වේවි.

4i x 3i = 12i² = 12 x -1 = -12 (i = √(-1) නිසා, i² = (√(-1))² = -1 වේ)

4i/2i = 2 (උඩ අයි අකුරට යට අයි අකුර කැපේ)

මින් පැහැදිලි වෙනවා අතථ්‍ය සංඛ්‍යා සත්‍ය ලෙසම නොපැවතියත් ගණිත කර්ම සිදු කරගෙන යෑමේදී ඒවාගෙන් වුවද තථ්‍ය සංඛ්‍යා ලැබෙන බව. ඒ කියන්නේ ගණිත කර්මවලට අතථ්‍ය සංඛ්‍යා බාධාවක් නොවේ.

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් යනු තථ්‍ය සංඛ්‍යාවක් හා අතථ්‍ය සංඛ්‍යාවක් සහිත/සංයුක්ත සංඛ්‍යාවකි. එය සම්මතයක් වශයෙන් x + yi ලෙස ලිවිය හැකියි. මෙහි x යනු තථ්‍ය සංඛ්‍යා සංරචකය වන අතර yi යනු අතථ්‍ය සංඛ්‍යා සංරචකයයි (අයි අකුර තිබෙන නිසා මෙම කොටස් දෙක වෙන වෙනම එකවරම පහසුවෙන් හඳුනාගත හැකියි). මීට දිය යුතු හොඳම නම සංයුක්ත සංඛ්‍යා යන්නයි. එහෙත් දැනටමත් සංයුක්ත සංඛ්‍යා (composite number) යනුවෙන් සංඛ්‍යා වර්ගයක් අර්ථ දක්වා තිබේ. ප්‍රථමක සංඛ්‍යා දෙකක් හෝ කිහිපයක් ගුණ කළ විට ලැබෙන්නේ සංයුක්ත සංඛ්‍යාවකි. උදාහරණයක් ලෙස, 6 යනු සංයුක්ත සංඛ්‍යාවකි මොකද 6 = 2x3. එනිසයි සංකීර්ණ සංඛ්‍යා යන නම යොදා ඇත්තේ (සංකීර්ණ යන්නෙහිද "සංයුක්ත" යන තේරුම තිබෙන නිසා). 
 
සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙකක් එකතු කිරීම අඩු කිරීම සිදු කරන විට, එම සංඛ්‍යාවේ තිබෙන තථ්‍ය හා අතථ්‍ය කොටස් දෙක වෙන වෙනම සලකා සුලු කරන්න. සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් සමග තථ්‍ය සංඛ්‍යා හෝ අතථ්‍ය සංඛ්‍යා හෝ තවත් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් හෝ සුලු කළ හැකියි. උදාහරණයක් ලෙස

(4 + 3i) + (5 + 9i) = 9 + 12i
5 + (3 + 2i) = 8 + 2i
(3 + 3i) – 5 = -2 + 3i
(9 + 4i) – (2 + 3i) = 7 + I

සංකීරණ සංඛ්‍යාවක් තවත් සංකීර්ණ හෝ වෙනත් (තථ්‍ය හා අතථ්‍ය) සංඛ්‍යාවක් සමග ගුණ කිරීම හා බෙදීමද කළ හැකියි. ගුණ කරන විට වීජීය ප්‍රකාශන දෙකක් ගුණ කරන ආකාරයට එය සිදු කළ යුතුය (වීජීය ප්‍රකාශන දෙකක් ගුණ කරන විට, (x+y)(a+b) = xa+xb+ya+yb වේ). උදාහරණයක් ලෙස

(4 + 3i)(2+i) = 4x2 + 4xi + 3ix2 + 3ixi = 8+4i+6i+3i² = 8+10i-3 = 5+10i
5(3 - 2i) = 15 – 10i
(5)(2i) = 10i

යම් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක තථ්‍ය හා අතථ්‍ය සංඛ්‍යා දෙක අතර පවතින සලකුණ (+ හෝ -) මාරු කළ විට ලැබෙන සංඛ්‍යාවට අප කියනවා එම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ complex conjugate කියා. උදාහරණයක් ලෙස 4 + 2i හි කොම්ප්ලෙක්ස් කොනජුගේට් එක 4 – 2i වේ. එලෙසම 2 – 9i හි කොන්ජුගේට් අගය 2 + 9i වේ. සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් භාගයක හරයේ ඇතිවිට එය සුලු කර ගැනීමට මෙම කොන්ජුගේට් එක අවශ්‍ය කරනවා. ඊට හේතුව මෙයයි. භාගය තුළ හරයේ අතථ්‍ය/සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් තිබෙන විට, එය පළමුව ඉවත් කරගත යුතු වෙනවා. එය සිදු කරන්නේ හරයේ ඇති සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව එහි කොන්ජුගේට් එකෙන් ගුණ කිරීමයි (මෙවිට හරයද එකම අගයෙන් ගුණ කිරීමට සිදු වෙන බව ඔබ දන්නවා). එවිට හරයේ ඇති වන්නේ (x+yi)(x-yi) වැනි එකක්. මෙය x² – y²i² = x² + y² බවට පත් වෙන බව ඔබ දන්නවා. එවිට i අකුර ඉවත් වෙනවා. ඉන්පසු පහසුවෙන් ඉතිරිය සුලු කරගෙන යා හැකියි. උදාහරණයක් බලමු.

(4 + 8i)/(2 + 2i) = (4+8i)(2-2i)/(2+2i)(2-2i) = (24+8i)/(2²-2²i²) = (24+8i)/(4+4) = 3+i

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක්ද තථ්‍ය හා අතථ්‍ය සංඛ්‍යා රූපමය ආකාරයෙන් නිරූපණය කළ විදියටම නිරූපණය කළ හැකියි. එහෙත් මෙහිදී සංකීරණ සංඛ්‍යාව තුල තථ්‍ය හා අතථ්‍ය කොටස් දෙකම සංයුක්තව පවතින බැවින් තනි රේඛාවකින් නොව රේඛා දෙකකින් එය නිරූපණය කිරීමට සිදු වෙනවා. ඇත්ත වශයෙන්ම මෙම රේඛා දෙක වන්නේ තථ්‍ය සංඛ්‍යා රේඛාව හා අතථ්‍ය සංඛ්‍යා රේඛාවයි. මේ දෙක තිරස්ව හා සිරස්ව පවතින බැවින්, එකට ඇන්ද විට පහත ආකාරයට කාටිසියානු තලයක ආකාරයට එය දිස් වේ. මතකද මුලින් පැවසුවා අතථ්‍ය රේඛාව තුළ පවතින එකම තථ්‍ය සංඛ්‍යාව 0 බව. මෙන්න මෙම 0 තමයි අක්ෂ දෙකටම පොදු ඉලක්කම බවට පත් වන්නේ (අක්ෂ දෙක එකිනෙකට ඡේදනය වන ස්ථායේ පවතින්නේ).
 

 

මෙම රූපය Argand plane/diagram එකක් ලෙස හැඳින්වේ. දැන් ඕනෑම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් ඉහත ආගන්ඩ් තලයේ ලකුණු කළ හැකියි. සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ තථ්‍ය කොටස x අක්ෂය දිගේද, අතථ්‍ය කොටස y අක්ෂය දිගේද සලකුණු කළ හැකියි. යම් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් ආගන්ඩ් තලයක ලකුණු කළ විට එම ස්ථානයට මූලයේ සිට ඍජු රේඛාවක් ඇඳිය හැකිය. එම රේඛාවෙන් එවිට නිරූපණය කරන්නේ එම සංඛ්‍යාවයි. මෙම රේඛාවේ දිගට magnitude/amplitude යන නම යෙදිය හැකියි. ඒ විතරක්ද නොවේ, මෙම රේඛාව x අක්ෂය (හෙවත් තථ්‍ය සංඛ්‍යා රේඛාව) සමග කෝණයක්ද සාදනවා. මෙම කෝණය argument ලෙස හැඳින්වේ.

මෙම ආගන්ඩ් සටහනේ ඇඳ තිබෙන සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් බලන විට, ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත ඇසුරින්ද ඒවා නිරූපණය කළ හැකි බව පෙනෙනවාද? ඉහත ඇඳ තිබෙන 4+3i යන සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව බලන්න. මෙම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ ඇම්ප්ලිටියුඩ් එක (මෙය r අකුරින් සංඛේතවත් කෙරේ) x හා y අක්ෂ දෙකට විභේදනය (ප්‍රක්ෂේපණය) කළ හැකියි. ඒ අනුව,

x අක්ෂය ඔස්සේ ප්‍රක්ෂේපණය වූ කොටස = rcos(a)
y අක්ෂය ඔස්සේ ප්‍රක්ෂේපණය වූ කොටස = irsin(a)

මෙවිට, යම් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් rcos(a)+irsin(a) ලෙසද ලිවිය හැකියි (සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ ඇම්ප්ලිටියුඩ් එක හා කෝණය ඇසුරින්). මෙය පහත ආකාරයට තවදුරටත් සරල කළ හැකියි.

rcos(a)+irsin(a) = r(cos(a) + isin(a)) → rcis (“ආර් සිස්" ලෙස මෙය ශබ්ද කරන්න)

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ගැන තව දුරටත් පොතපත කියවා ඉගෙන ගන්න.

ඉලෙක්ට්‍රෝනික්ස් (electronics) ...