Quaternion (ක්වෝටර්නියන්)

quaternion (ක්වෝටර්නියන්) ගැනයි අප කතා කරන්නට යන්නේ. එය ගණිත සංකල්පයකි. ඇත්තටම මාද මේ ගැන ගැඹුරු හැදෑරීමක් කර නැත; මාගේ අධ්‍යන කටයුතුවලදී ක්වෝටර්නියන් හමු නොවීම ඊට හේතුවයි. ජීවිතේට මේ ගැන ලිවීමට සිතා නොසිටියත් එකවරම මෙම කුඩා ලිපිය ලියන්නට හේතුව වූයේ ඊයේ රාත්‍රියේ මගේ බ්ලොගයේ තිබූ කමෙන්ටුවකි (https://www.tekcroach.tk/2017/12/amateur-radio-121.html?showComment=1516351179602#c5339757654033845008). එම කමෙන්ටුව දැකීමෙන් පසු අන්තර්ජාලයේ ඒ සම්බන්දයෙන් සිංහල බසින් කිසිත් ලියා ඇත්දැයි "ක්වෝටර්නියන්" යන වචනය ගූගල් කළ විට (සුපුරුදු ලෙසම) එකදු ලිපියක්වත් හමු නොවීය. ඉන්පසු සමහරවිට ක්වෝටර්නියන් යන්නට සමාන සිංහල පාරිභාෂික වචනයකින් ඒ ගැන ලියා ඇත්දැයි සෙවීමට ක්වෝටර්නියන් යන්නෙහි සිංහල පාරිභාෂික වචනය වන "චතුෂ්ටය " ඔස්සේද ගූගල් කළ විටද මෙම ගණිත සංකල්පය ගැන එකදු ලිපියක්වත් අන්තර්ජාලය තුල නොවීය. අපේ විජ්ජවිජ්ජාල (ඒවායේ විද්‍යා/දර්ශන පීඨ ගැන විශේෂයෙන්) හා ඒවායේ සිටිනවා යැයි කියන ගුරු හා ශිෂ්‍ය "විද්‍යාර්ථින්" ගැන ලොකු ආඩම්බරයක්ද දැනෙනවා ඇත්තෙන්ම!

 

පොඩි එකෙකු පවා 2, -64, 814782, 573.63 ආදි සංඛ්‍යා ගැන දන්නවානෙ. මේවා තාත්වික සංඛ්‍යා (real numbers) ලෙස ගණිතය තුල හඳුන්වමු. තවදුරටත් ගොස් කැමති නම් පහත රූපයේ ආකාරයට ඕනෑම තාත්වික සංඛ්‍යාවක් තිරස් රේඛාවක (මෙය තාත්වික රේඛාව - real number line නමි) නිරූපණයද කළ හැකිය. තාත්වික සංඛ්‍යා දෙකක් එකතු කළ විට, අඩු කළ විට, වැඩි කළ විට, බෙදූ විට, බලයකට නැංවූ විට ආදී ලෙස ගණිත කර්ම සිදු කළ පසුත් අපට ලැබෙන්නේ තාත්වික සංඛ්‍යාවක්මයි (ගණිතය තුල මෙවන් ගතිගුණයක් closure property ලෙස හැඳින්වේ).

 

එහෙත් යම් තාත්වික සංඛ්‍යාවක වර්ගමූලය ගත් විට හැමවිටම තාත්වික සංඛ්‍යාවක්ම ලැබෙන්නේ නැත. 4 හි වර්ගමූලය ධන හෝ ඍන 2 වේ; 1 හි වර්ගමූලය ධන හෝ ඍන 1 වේ. එම අවස්ථාවල තාත්වික සංඛ්‍යා ලැබුණත්, -4 හෝ -1 හෝ (වෙනත් ඕනෑම ඍන සංඛ්‍යාවක) වර්ගමූලය (හෝ ඉරට්ටේ මූලයක්) ගත් විට එලෙස අපට තාත්වික සංඛ්‍යාවක් ලබා ගත නොහැකිය. මෙනිසා, අතාත්වික සංඛ්‍යා (imaginary numbers) යන සංකල්පය හඳුන්වාදුනි. අතාත්වික සංඛ්‍යා පදනම්ව ඇත්තේ හෙවත් නිර්වචනය කර ඇත්තේ √-1 = i (හෙවත් i² = -1) යන සම්මුතිය අනුවය. ඒ අනුව, ඍන සංඛ්‍යාවක වර්ගමූලය දැන් අපට නිරූපනය කළ හැකියි.

√-1 = i

√(-4) = √(4 x -1) = √4 x √-1 = √4 i = ±2i

√-7.2 = √7.2i

මේ අනුව, සෑම අතාත්වික සංඛ්‍යාවක්ම i සහිතයි. දැන් අපට හැකියි තාත්වික සංඛ්‍යා දෙකක් මත ගණිත කර්ම සිදු කළ ආකාරයටම, අතාත්වික සංඛ්‍යා 2ක් මතත් එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, වැඩි කිරීම, බෙදීම ආදි ගණිත කර්ම සිදු කරන්නට.

3i + 2i = 5i

-5i + 4i = -1i = -i

6i - 3i = 3i

2i x 4i = 8i² = 8 x -1 = -8

8i / 2i = 4

(2i)⁴ = 2i x 2i x 2i x 2i =16 x i⁴ = 16 x i² x i² = 16 x -1 x -1 = 16

(2i)³ = 2i x 2i x 2i = 8i³ = 8 x i² x i = 8 x (-1) x i = -8i

ඉහත ගණනය කිරීම්වලින් පෙනෙනවා අතාත්වික සංඛ්‍යා දෙකක් වැඩි කිරීම හා බෙදීම නිසා අපට ලැබෙන්නේ තාත්වික සංඛ්‍යා බව (එනම් ක්ලෝසර් ප්‍රොපර්ටි/ලක්ෂනය අතාත්වික සංඛ්‍යා ගුන කිරීමේදී හා බෙදීමේදි නැත). අතාත්වික සංඛ්‍යා බලයකට නැංවීමේදී සමහර අවස්ථාවලදී (එනම් දර්ශකය ඔත්තේ වන විට) අතාත්වික සංඛ්‍යාත් තවත් සමහර අවස්ථාවකදී (එනම් දර්ශකය ඉරට්ටේ වන විට) තාත්වික සංඛ්‍යාත් ලැබෙන බව පෙනේ. අපට හැකියි අතාත්වික සංඛ්‍යාත් ඍන අනන්තයේ සිට ධන අනන්තය දක්වා පහත ආකාරයට ජ්‍යාමිතිකව නිරූපණය කරන්නට "සිරස්" රේඛාවක් මඟින්. මෙය අතාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව (imaginary number line) වේ.

තාත්වික හා අතාත්වික සංඛ්‍යා/අගයන් දෙකක් එකිනෙකට එකතු (හෝ අඩු) කළ විට ලැබෙන සංඛ්‍යාවට අප සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් (complex number) යැයි කියනවා. උදාහරණයක් ලෙස, 5 යන තාත්වික සංඛ්‍යාව 2i යන අතාත්වික සංඛ්‍යාව සමඟ එකතු කළ විට, එය පහත ආකාරයට නිරූපණය කෙරෙනවා. තෙල් හා ජලය එකිනෙකට මිශ්‍ර කළාට මිශ්‍ර නොවී වෙන වෙනම ස්ථර දෙකක් ලෙස පවතින්නාක් සේ, තාත්වික හා අතාත්වික යනු එකිනෙකට නොගැලපෙන සංඛ්‍යා දෙකක් නිසා, පහත ආකාරයට එම සංඛ්‍යා කොටස් දෙක වෙන වෙනම + ලකුණ දෙපස දැක්වීමට සිදු වෙනවා.

5 + 2i

එනිසා ඕනෑම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් පොදුවේ ලියන්නේ a + bi යන ක්‍රමයටයි. මෙහි a යනු තාත්වික කොටස (real part) හා b යනු අතාත්වික කොටස (imaginary part) ලෙස හැඳින්වේ. මේ නිරූපණය ක්‍රමය හැරෙන්නට ඇත්තටම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කළ හැකි තවත් ක්‍රම 2ක් තිබෙනවා - r(cosθ + isinθ) යන ධ්‍රැවීය නිරූපණය හා re^iθ යන ඔයිලර් නිරූපණය. ඇත්තටම, සංකීර්ණ සංඛ්‍යා යනු තාත්වික හා අතාත්වික සංඛ්‍යා යන දෙකෙහිම පොදු ආකාරයයි. ඒ කියන්නේ සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් මඟින් (එනම් එම නිරූපණ ක්‍රමය මඟින්) අපට හැකියි තාත්වික සංඛ්‍යාවක් හෝ අතාත්වික සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කරන්නට.

0 + 4i = 4i (මෙය අතාත්වික සංඛ්‍යාවකි)

5 + 0i = 5 (මෙය තාත්වික සංඛ්‍යාවකි)

දැන් අපට හැකියි එකිනෙකට ලම්භක තාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව හා අතාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව එකට ඇඳ කාටිසියානු තලයකට සමාන ආකාරයක් ලබා ගෙන, ඒ මත ඕනෑම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කිරීමට (එවිට, ඉබේම තාත්වික සංඛ්‍යාද, අතාත්වික සංඛ්‍යාද නිරූපණය කළ හැකිය). මෙවිට, තිරස් අක්ෂය තාත්වික අක්ෂය (real axis) ලෙසද, සිරස් අක්ෂය අතාත්වික අක්ෂය (imaginary axis) ලෙසද, සමස්ථ ප්‍රස්ථාරයම ආගන්ඩ් තලය (Argand plane) හෙවත් සංකීර්ණ තලය (complex plane) ලෙසද නම් කරනු ලබනවා.

 

මෙම ලිපියේ මූලික අරමුණ ක්වෝටර්නියන් ගැන කතා කිරීමට බැවින් හා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ගැන මා වෙනම විස්තරාත්මකව ලිපි පෙලක්ම ලියා ඇති බැවින් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ගැන මෙතැනින් නවතනවා. තාත්වික සංඛ්‍යා, අතාත්වික සංඛ්‍යා, හා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ගැන කෙටියෙන් හෝ ප්‍රථමයෙන් විස්තර කළේ ක්වෝටර්නියන් යනු සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සංකල්පයේ විස්තීර්ණ අවස්ථාවක් බැවිනි. දැන් ඒ ගැන බලමු.

 

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවට පදනම වූයේ √-1 = i යන සම්මුතියයි (සම්මුතියක් යනු "අපි මෙහෙම යැයි සිතමු" යැයි කවුරුත් ඒකමතිකව ගත් තීරණයකි). එලෙසම දැන් අපට හැකියි ක්වෝටර්නියන් සංඛ්‍යාවක් ("ක්වෝටර්නියන් සංඛ්‍යාව" යන්න වෙනුවට නිකංම "ක්වෝටර්නියන්" යැයි ව්‍යවහාර කෙරේ) පහත ආකාරයට සම්මුතික වශයෙන් අර්ථ දක්වන්නට. ඇත්තටම මෙම අර්ථ දැක්වීම මෙසේ විය යුතු යැයි 1843 දී පමණ පළමු වරට යෝජනා කරමින් ක්වෝටර්නියන් සංකල්පය හෙවත් ක්වෝටර්නියන් සංඛ්‍යා පද්ධතිය හඳුන්වා දුන්නේ විශිෂ්ට ගණිතඥයකු වන විලියම් රෝවන් හැමිල්ටන් විසිනි. සාමාන්‍යයෙන් තාත්වික සංඛ්‍යා R මඟින්ද, සංකීර්ණ සංඛ්‍යා C මඟින්ද, ක්වෝටර්නියන් H මඟින්ද ගණිතයෙදී සංඛේතවත් කෙරේ. මෙහි a යන කොටස අදිශ කොටස (scalar part) ලෙසද, bi + cj + dk යන කොටස දෛශික කොටස (vector part) ලෙසද හැඳින් වෙනවා.

 

H = a + bi + cj + dk

 

බැලූබැල්මටම ක්වෝටර්නියන් හා සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් අතර සමීපබවක් පේනවා නේද? ඔව්; ක්වෝටර්නියන් එකක අතාත්වික කොටස් 1ක් නොව 3ක්ම තිබෙනවා. අවශ්‍ය නම් ඒවා i₁, i₂, i₃ ලෙස නිරූපණය කළ හැකි වුවත්, වඩා පහසුවෙන් ඒවා හැසිර වීමට i, j, k ලෙස ලියා දක්වනවා. මෙහි, a, b, c, d යන කොටස් ඇත්තටම වීජීය ප්‍රකාශයක සංගුණක (coefficient) බඳුය; ඒවා තාත්වික අගයන්ය. i, j, k තුන quaternion units (ක්වෝටර්නියන් ඒකක) ලෙස හැඳින්වේ. 

 

ක්වෝටර්නියන් එකක් මඟින් අවශ්‍ය නම් තාත්වික සංඛ්‍යාවක්, අතාත්වික සංඛ්‍යාවක්, සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් වුවත් නිරූපණය කළ හැකිය. ඒ කියන්නේ සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවම තවත් වැඩිදියුණු කිරීමක් (විස්තීර්ණ කිරීමක්) ලෙස එය සැලකිය හැකියි.

 

4 + 0i + 0j + 0k = 4 (මෙය සාමාන්‍ය තාත්වික සංඛ්‍යාවක් නේද?)

0 + 2i + 0j + 0k = 2i (මෙය සාමාන්‍ය අතාත්වික සංඛ්‍යාවකි)

5 + 4i + 0j + 0k = 5 + 4i (මෙය සාමාන්‍ය සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවකි)

 

ඇත්තටම, ඉහත උදාහරණ 3න් දෙවැනි එකට අනුරූප තවත් අවස්ථා 2ක් ඇත. එනම්, 0 + 0i + 2j + 0k හෙවත් 2j හා 0 + 0i + 0j + 2k හෙවත් 2k යනුද 2i අවස්ථාවටම අනුරූප අවස්ථා වන අතර, ඒවාද අතාත්වික සංඛ්‍යා ලෙස සැලකිය යුතුය. තවද, 2i + j, 4i + 5k, 7j + k, 8i + j + 2k ආදි ලෙස අතාත්වික කොටස් දෙකක හෝ තුනෙහිම “මිශ්‍රණවලටත්” අතාත්වික යැයි කියනවා. සාමාන්‍ය අතාත්වික සංඛ්‍යාවකින් (4i වැනි) මෙලෙස ක්වෝටර්නියන් ඇසුරින් නිරූපණය කෙරෙන අතාත්වික සංඛ්‍යා විශේෂ කොට හැඳින්වීමට 4i, 4k, 4j, 2i + j, 4i + 5k, 7j + k, 8i + j + 2k ආදි අතාත්වික සංඛ්‍යා "ශුද්ධ අතාත්වික" (pure imaginary) යැයි හඳුන්වනවා.

ඇත්තටම H = a + bi + cj + dk යන්න ක්වෝටර්නියන් එකක් බවට සැලකීම සිදු වන්නේ පහත සඳහන් අනිවාර්ය පූර්ව කොන්දේසිය යටතේය (මෙම කොන්දේසිය හැමිල්ටන් විසින්ම පනවන ලද්දකි).

 

i² = j² = k² = ijk = -1

 

i² = -1 යන්න සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවලත් සම්මතයනෙ. එම සම්මතයම තවදුරටත් ඉදිරියට ගෙනයමින් ඉහත ආකාරයට කොන්දේසියක්/සම්මතයක් ඇති කළේය. මෙහි අවසානයට ඇති ijk යන ගුණිතයත් -1 ට සමාන කිරීම නිසා ක්වෝටර්නියන්වල අපූරු ගතිගුණ ලැබේ. දැන් ඒ ගැන බලමු. එනම්, පහත දැක්වෙන ගතිගුණද පවතී.

 

i x j = k
j x k = i
k x i = j

 

ඉහත සම්බන්දතා පවතින බව පහත සාධනය මඟින් ඔප්පු වේ.

 

ijk = (ij)k = (k)k = kk = k² = -1 හෝ

ijk = i(jk) = i(i) = i² = -1 හෝ

ijk = i)j(k = j(j) = j² = -1

 

තවද, ක්වෝටර්නියන් දෙකක් අතර තිබෙන ගුණිතය න්‍යාදේශ්‍ය නියමය (commutative law) පිළිපදින්නේ නැත. එනම් H₁ x H₂ ගුණ කළ විට ලැබෙන පිළිතුර නොවෙයි H₂ x H₁ ලෙස පද මාරු කරගෙන ගුණ කළ විට ලැබෙන්නේ. ඒ වෙනුවට (H₁ x H₂)  = - (H₂ x H₁) ලෙස පවතී. විශේෂයෙන් එය මතක තබා ගත යුතුමය. මෙම ගතිගුණය නිසා, පහත ආකාරයට සම්බන්දතා ඇති වේ.

 

j x i = -k (එනම්, j x i = -(i x j) වේ)
k x j = -i (එනම්, k x j = -(j x k) වේ)
i x k = -j (එනම්, i x k = -(k x i) වේ)

 

ක්වෝටර්නියන් එකක් රූපමය ආකාරයෙන්ද නිරූපණය කළ හැකියි. සාමාන්‍යයෙන් මිනිසා ත්‍රිමාන අවකාශය සංජානනය කරන බැවින් ක්වෝටර්නියන් එකක කොටස් 4ක් තිබෙන බැවින් එකිනෙකට ලම්භකව අක්ෂ 4ක් අපට ඇඳිය නොහැකිය. එනිසා, මතක තබා ගන්න ක්වෝටර්නියන් එකක් දක්වන්නේ ත්‍රිමාන කාටිසියානු පද්ධතියක ආකාරයෙන් නොවෙයි (මොකද ත්‍රිමාන කාටිසියානු පද්ධතියක එකිනෙකට ලම්භකව අක්ෂ 3ක් පමණක් තිබෙන නිසා). මෙම රූපික නිරූපණය සඳහා නිකංම කොලය මත එකිනෙකට වෙන් වෙන්ව පෙනෙන ආකාරයට ඇඳි අක්ෂ 4ක් යොදා ගැනේ. අවශ්‍ය නම් එම රූපික නිරූපණය චතුර්මාන අවකාශයක (4D) එකිනෙකට ලම්භක අක්ෂ 4ක් මඟින් කෙරෙන නිරූපණයක් ලෙස “සිතින් මවාගන්න”. 

දැන් අපි බලමු ක්වෝටර්නියන් දෙකක් එකතු කරන හා අඩු කරන හැටි. මෙහිදීද සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවලදී සිදු කළ දේ තවත් පියවරයක් ඉදිරියට යෑමක් පමණි. එනම්, සමාන කොටස් වෙන වෙනම එකතු කර හෝ අඩු කර දක්වන්නට පමණි තිබෙන්නේ. යම් කොටසක් නැතිනම් එතැන 0 තිබෙනවා යැයි සිතා (0, 0i, 0j, 0k) සුලු කරන්න. උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

 

(-4 + 3i + j + 12k) + (3 + 8i + 2j + 3k) = -1 + 11i + 3j + 15k

(5 + 2i + 4k) + (4i + j - k) = 5 + 6i + j + 3k

(6 + 2i + 2j +2k) – (i + j - k) = 6 + i + j + 3k

 

යම් ක්වෝටර්නයක් සාමාන්‍ය අදිශයකින් ගුණ කළ හැකිය. එවිට එම අදිශ අගයෙන් ක්වෝටර්නයේ ඇති සෑම සංරචකයක්ම ගුණ කරන්න.

 

4(2 + 4i – 2j – 5k) = 8 + 16i – 8j – 20k

 

ක්වෝටර්නයක් තවත් ක්වෝටර්නයකින් ගුණ කළද හැකිය; මෙය හැමිල්ටන් ගුණිතය (Hamilton product) ලෙස හැඳින්වේ. පහත සුලු කිරීම බලන්න. සාමාන්‍ය වීජගණිතමය සුලු කිරීමමයි එතැන තිබෙන්නේ. ඊට අමතරව ඉහත සඳහන් කර ඇති ක්වෝටර්නියන්වල විශේෂිත ලක්ෂණද (ij = k වැනි) අදාල කරගෙන තිබෙනවා.

 

H₁ = a + bi + cj + dk
H₂ = w + xi + yj + zk

H₁ x H₂ = (a + bi + cj + dk)(w + xi + yj + zk)
             = aw + axi + ayj + azk + bwi +bxi² + byij + bzik + cwj + cxji + cyj² + czjk + dwk + dxki + dykj + dzk²
             = aw + axi + bwi + ayj + cwj + azk + dwk + bw(-1) + cy(-1) + dz(-1) + by(ij) + cx(ji) + bz(ik) + dx(ki) + cz(jk) + dy(kj)
           = aw – bx – cy – dz + (ax + bw)i + (ay + cw)j + (az + dw)k + by(k) – cx(ij) – bz(ki) + dx(j) + cz(i) – dy(jk)
           = aw – bx – cy – dz + (ax + bw)i + (ay + cw)j + (az + dw)k + byk – cxk – bzj + dxj + czi – dyi

          = (aw – bx – cy – dz) + (ax + bw + cz – dy)i + (ay + cw + dx – bz)j + (az + dw + by – cx)k

 

ඉහත අවසානයට ලැබී තිබෙන ප්‍රතිපලයේ පද විශාල ගණනක් තිබුණත් එයත් ක්වෝටර්නියන් එකක් බව පැහැදිලියිනෙ. ඉහත ගණනය කිරීම ඉතා සුලු දෙයක් වුවත්, එහි පද ගණන වැඩි නිසා සුලු කිරීම තරමක හිසරදයක් විය (කොහොමත් මා සුලු කිරීම්වලට බොහෝ කම්මැලියෙකි). 

 

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවලට මෙන්ම ක්වෝටර්නියන් සඳහාද ක්වෝටර්නියන් ප්‍රතිබද්ධය (quaternion conjugate) ඇත. එය * ලකුණකින් සංඛේතවත් කෙරේ. උදාහරණයක් ලෙස, H = a + bi + cj + dk යනු ක්වෝටර්නියන් එකක් නම් එහි ප්‍රතිබද්ධය පහත දැක්වේ.

 

H* = a – bi – cj – dk 

 

ක්වෝටර්නියන් ප්‍රතිබද්ධයක් නැවත ප්‍රතිබද්ධ කළ විට නැවත ඔරිජිනල් ක්වෝටර්නියන් එක ලැබේ. එනම්,

 

(H*)* = a + bi + cj + dk

 

තවද, පහත ආකාරයේ සම්බන්දයක්ද පවතී. එනම්, ක්වෝටර්නියන් දෙකක ගුණිතයක් ගෙන එහි ප්‍රතිබද්ධය සමාන වනවා එම ක්වෝටර්නියන් දෙකෙහි වෙන වෙනම ගත් ප්‍රතිබද්ධ දෙක පද මාරු කරමින් ගුණ කළ විට.

 

(H₁ x H₂)* = H₂*H₁*

 

තවද, යම් ක්වෝටර්නියන් එකක් එහි ප්‍රතිබද්ධයෙන් ගුණ කළ විට ලැබෙන්නේ තාත්වික සංඛ්‍යාවකි. පහත ආකාරයට එම අවසාන තාත්වික අගය ලැබේදැයි සුලු කොට බලන්න.

 

(a + bi + cj + dk)x(a – bi – cj – dk) = a² + b² + c² + d²

 

ක්වෝටර්නියන් එක එහි ප්‍රතිබද්ධයෙන් ගුණ කළ විට ලැබෙන අවසාන පිලිතුර තාත්වික අගයක් බැවින්, න්‍යාදේශ්‍ය න්‍යාය පිළිපදී. එනිසා පහත ආකාරයට සම්බන්දයක් ලිවිය හැකිය.

 

H x H* = H* x H = ||H||²

ඉහත යම් ක්වෝටර්නියන් එකක් එහි ප්‍රතිබද්ධයෙන් ගුණ කළ විට ලැබෙන වර්ගපද 4හි එකතුවෙහි වර්ගමූලය ගත් විට, ඊට එම ක්වෝටර්නියන් එකෙහි norm එක යැයි කියන අතර පහත ආකාරයට එය ලිවිය හැකිය.

 

|H| = ||H|| = √(HH*) = √(H*H) = √(a² + b² + c² + d²)

 

යම් ක්වෝටර්නියන් එකක නෝර්ම් අගය 1 නම්, එම ක්වෝටර්නියන් එක “ඒකක ක්වෝටර්නියන්” (unit quaternion) යැයි හැඳින්වෙනවා. තවද, ඕනෑම ක්වෝටර්නියන් එකක් ගෙන එය එහි නෝර්ම් එකෙන් බෙදූ විට (එනම්, H / ||H|| ), එම ගණිතමය ක්‍රියාව quaternion normalization ලෙස හැඳින්වෙනවා.

 

ක්වෝටර්නියන් එකක තාත්වික කොටස හෙවත් අදිශ කොටස වෙනමත් අතාත්වික කොටස හෙවත් දෛශික කොටස වෙනමත් ගෙන පහත ආකාරයට නිරූපණය කළ හැකිය. පසුව විස්තර කරන සමහර ගණිත කර්ම විස්තර කිරීමේදී මෙම නිරූපණය යොදා ගැනීමෙන් එම සූත්‍ර සරලව පෙනේ. මෙහිදී v = bi + cj + dk වේ.

 

H = a + bi + cj + dk à H = a + v

 

ක්වෝටර්නියන් එකක් e පාදයේ බලයකට නැංවිය හැකියි පහත ආකාරයට. ||v|| යනු දෛශික කොටසේ නෝර්ම් එක වේ. එනම්, ||v|| = √( b² + c² + d²) වේ.

තවද, ක්වෝටර්නියන් එකක ලඝු පහත ආකාරයට සෙවිය හැකිය.

 

ඔබ දන්නවා සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් a + bi යන ආකාරයට අමතරව පහත පෙන්වා තිබෙන විදියට තවත් ආකාර දෙකකින් නිරූපණය කළ හැකියි.

C = r(cosθ + isinθ) - ධ්‍රැවීය නිරූපණය (polar)

C = re^iθ - ඔයිලර් නිරූපණය (Euler)

ඉහත අඩිපාර දිගේ යමින්ම ක්වෝටර්නියන් එකක්ද එම නිරූපණ ක්‍රම දෙකෙන්ම පහත ආකාරයට ලිවිය හැකිය.

H = ||H||(cosθ + ňsinθ)

H = ||H||e^ňθ

 

ඉහත සූත්‍ර දෙකෙහි හමුවන ň යනු දෛශික කොටස (v) එම දෛශික කොටසෙහි නෝර්ම් එකෙන් (||v||) බෙදූ විට ලැබෙන අගය වේ (ň = v / ||v||). ක්වෝටර්නියන් සඳහා ඔයිලර් හා ධ්‍රැවීය නිරූපණයන් ලබා ගත් අයුරු දැන් කෙටියෙන් බලමු. ගණිතයේ හමුවන ශ්‍රේණි (series) හි පවතින මූලික සිද්ධාන්තයක් ගැන පලමුව බලමු. එනම්,

ඉහත පෙන්වා තිබෙන්නේ ඝාතීය ශ්‍රිතය (exponential function) ශ්‍රේණියක් ලෙස දක්වන ආකාරයයි. මෙහි x යන දර්ශක පදයට තාත්වික, අතාත්වික, සංකීර්ණ, හෝ ක්වෝටර්නියන් සංඛ්‍යාවක් ආදේශ කළ හැකිය. ඒ අනුව, ක්වෝටර්නියන් සංඛ්‍යාවක් (H) ආදේශ කර එය ඉහත ශ්‍රේණිය ඇසුරින් සුලු කර බලමු. එහිදී ක්වෝටර්නියන් සංඛ්‍යාව H = a + bi + cj + dk යන සාමාන්‍ය ස්වරූපය වෙනුවට H = a + v යන ස්වරූපය යොදා ගමු. තවද, e^xe^y = e^x+y යන සම්බන්දතාවද මෙහිදී යොදා ගැනේ. එබැවින්, e^H = e^a+v = e^ae^v ලෙස ගත හැකි අතර දැනට e^a කොටස අමතක කර e^v යන කොටස ගැන සිතමු.

  

තවද, 

 

v = bi + cj + dk
v² = (bi + cj + dk)(bi + cj + dk) = -b² – c² – d² = -(b² + c² + d²) = -||v||²

  

එනිසා, පහත ආකාරයේ රටාවක් පවතිනවා.

 

v² = -||v||² , v³ = -||v||²v , v⁴ = ||v||⁴ , v⁵ = ||v||⁴v , v⁶ = ||v||⁴(-||v||² ) = -||v||⁶ , …

 

ඉහත ශ්‍රේණියට ආදේශ කළ විට,

 

 

ඔබ දන්නවා සයින්, කොස් ආදි ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතද ඝෘතීය ශ්‍රේණි ඇසුරින් පහත ආකාරයට නිරූපණය කළ හැකිය.

  

ඒ අනුව මීට e^v හි ඉහත අවසාන පේලියට සයින් හා කොස් ශ්‍රිත ආදේශ කර පහත ආකාරයට සැකසිය හැකියි.

  

දැන් මුලින් අමතක කර දැමූ e^a කොටස ආදේශ කර පහත ආකාරයට ක්වෝටර්නියන් එකක් සඳහා සූත්‍රය ලිවිය හැකිය.

  

තවද, H = a + v ලෙස සලකන නිසා, a, v පද දෙකෙහිම හරය හා ලවය ||H|| වලින් බෙදා, v පදයේ හරය හා ලවය නැවත ‍||v|| වලින් බෙදූ විට පහත ආකාරය ලැබේ.

  

H = a + v සේම ||H||² = a² + ||v||² වේ. එනිසා, සමීකරණයේ දෙපසම ||H||² මඟින් බෙදීමෙන් පහත ආකාරයට ලැබේ.

  

 

ඉහත සූත්‍රය ත්‍රිකෝණමිතික සාම්‍යයක් වන sin²(x) + cos²(x) = 1 යන්නට අනුරූප වේ. එනිසා, කෝණය රේඩියන් 0ට වඩා වැඩි රේඩියන් 2π වඩා අඩු සීමාව තුල තිබිය යුතුය යන කොන්දේසිය යටතේ ඉහත ක්වෝටර්නියන් සමීකරණය පහත ආකාරයට සයින් හා කොස් ඇසුරින් (කෝණයක් ඇසුරින්) අර්ථ දැක්විය හැකියි.

මෙවිට පහසුවෙන්ම H = ||H||e^ňθ යන සූත්‍රයද සාධනය වේ. ඉහත සම්බන්දතා නිසා පහත ආකාරයටද සම්බන්දතා 2ක් පවතින බව පහසුවෙන්ම පෙනේ.

   
a = ||H||(cosθ)

v = ||H||( ňsinθ)

 

ක්වෝටර්නියන් එකක ධ්‍රැවීය හෝ ඔයිලර් නිරූපණය යොදා ගෙන පහසුවෙන්ම ක්වෝටර්නියන් එකක් බලයකට නැංවිය හැකිය.

 

H^t = ||H|| ^t  e^ňtθ

H^t =||H||^t (costθ + ňsintθ)

ක්වෝටර්නියන් දෙකක් අතර තවත් ආකාරයක ගුණිතයක් අර්ථ දැක්විය හැකියි dot product (තිත් ගුණිතය) හෙවත් inner product ලෙස. මෙම ගුණිතය තිතක් මඟින් සංඛේතවත් කරන අතර, හැමිල්ටන් ගුණිතය කතිරයක් මඟින් හෝ කිසිම සලකුණක් නැතිව (H₁ x H₂ හෝ H₁H₂ ලෙස) සාමාන්‍යයෙන් සංඛේතවත් කෙරෙනවා. තිත් ගුණිතයෙන් ලැබෙන්නේ තාත්වික සංඛ්‍යාවකි.

 

H₁ . H₂ = (a + bi + cj + dk).(w + xi + yj + zk) = aw + bx + cy + dz

 

තිත් ගුණිතය ඇසුරින් අපට හැකියි දී තිබෙන ක්වෝටර්නියන් දෙකක් අතර කෝණය සොයා ගන්නට පහත සූත්‍රයෙන්.

ක්වෝටර්නියන් එකක ප්‍රතිලෝමය (inverse), H^-1 ලෙස නිරූපණය කරන අතර, එය පහත ආකාරයට ගණනය කළ හැකිය (ඇත්තටම මෙම සූත්‍රයේ සාධනය ඉතාම පහසු අතර, මෙතෙක් උගත් කරුණු ඔස්සේ පේලි දෙකකින් පමණ එය සාධනය කළ හැකිය).

 

ක්වෝටර්නියන් එකක් තවත් ක්වෝටර්නියන් එකකින් බෙදිය හැකිය. මේ සඳහා භාජකය (divisor) ලෙස පවතින ක්වෝටර්නියන් එකේ ප්‍රතිලෝමයෙන් අනෙක් ක්වෝටර්නියන් එක හෙවත් භාජ්‍යය (dividend) ලෙස පවතින ක්වෝටර්නියන් එක ගුණ කළ හැකිය.

H₁ / H₂ = H₁ H₂^-1

බහුලවම ක්වෝටර්නියන් පරිගනක ගේම්ස් සෑදීමේදී රූප/ඇනිමේෂන් සඳහා යොදා ගැනෙන බව පවසනවා (මා කොම්පියුටර් ගේම් හෝ ගේම් ප්‍රෝග්‍රැමිං හෝ ගැන කිසිත් නොදන්නා නිසා ඒ ගැන විස්තර කරන්නට බැරිය). එහෙත් එහිදිත් ඇත්තටම ගණිතය තුල ඉගැන්වෙන ක්වෝටර්නියන් සංකල්පයම නොව, එම සංකල්පයෙහි යම් කුඩා කොටසක් (එනම් යම් කිසි අගයන් 4ක් තනි ඒකකයක් හෙවත් පරිගනක භාෂාවෙන් කියනවා නම් කොම්පොසිට් වේරියබල් එකක් ලෙස නිරූපණය කිරීමට හා හැමිල්ටන් ගුණිතය) පමණක් එහිදී යොදා ගැනෙන බව විමසීමේදී පෙනෙනවා. තවද, සංකීර්ණ සංඛ්‍යා පද්ධතිය ක්වෝටර්නියන් මඟින් විස්තීර්ණ කෙරුණා සේම, ක්වෝටර්නියන්ද තවදුරටත් විස්තීර්ණ සංඛ්‍යා පද්ධතියක් බවට පත් කෙරෙනවා octonion නම් ගණිත සංකල්පය මඟින් (මෙහිදී අෂ්ටමාන අවකාශයක් පවතී). බලන් ගියහම මෙහි විස්තීර්ණ කිරීමේ ඉවරයක් නැත.